Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 13
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1. Badanie funkcji
Badanie funkcji ma na celu uzyskanie wyczerpujących informacji o tej funkcji potrzebnych do sporzą-
dzenia wykresu. Schemat badania funkcji:
1. Analiza funkcji:
- określenie dziedziny,
- obliczenie granic na końcach przedziałów określoności,
- znalezienie równań ewentualnych asymptot,
- wyznaczenie punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych,
- zbadanie, czy funkcja ma istotne dla jej zmienności własności szczególne, np. parzystość, nieparzystość,
okresowość).
2. Obliczenie i analiza pochodnej funkcji:
- wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji,
- znalezienie ekstremów i określenie ich rodzaju.
3. Obliczenie i analiza drugiej pochodnej funkcji:
- wyznaczenie przedziałów wklęsłości i wypukłości wykresu,
- znalezienie punktów przegięcia wykresu.
4. Sporządzenie tabelki zmienności na podstawie wyników z części 1-3.
5. Naszkicowanie wykresu.
3x2 -� 3
Przykład 1. Zbadać funkcję i sporządzić jej wykres: a) f (x) =� x3 -� 4x2 +� 4x , b) f (x) =� ,
x2 +� 3
x
x2 -� 4x +� 5 x
x-�1
c) f (x) =� , d) f (x) =� e , e) f (x) =� .
x -� 2 ln x
Rozwiązanie.
a) Dziedziną funkcji jest D =� R . Funkcja nie posiada zatem asymptot pionowych.
4 4
Ponieważ lim (x3 -� 4x2 +� 4x) =� lim x3 (1 -� +� ) =� -�Ą�
x��-�Ą� x��-�Ą�
x
x2
4 4
oraz lim (x3 -� 4x2 +� 4x) =� lim x3 (1 -� +� ) =� +�Ą� ,
x��+�Ą� x��+�Ą�
x
x2
to funkcja nie posiada asymptot poziomych , może jednak posiadać asymptoty ukośne.
f (x) f (x)
Jednakże m =� lim =� lim (x2 -� 4x +� 4) =� +�Ą� i podobnie m =� lim =� lim (x2 -� 4x +� 4) =� +�Ą� .
x��-�Ą� x��-�Ą� x��+�Ą� x��+�Ą�
x x
Oznacza to ostatecznie, że asymptot ukośnych nie ma.
Obliczając wartość funkcji w punkcie x =� 0 otrzymujemy f (0) =� 0 , co oznacza, że wykres przechodzi przez
początek układu współrzędnych P( 0, 0 ) . Poszukując odciętych punktów wspólnych wykresu z osią OX
dostajemy
f (x) =� 0 �� x3 -� 4x2 +� 4x =� 0 �� x(x2 -� 4x +� 4) =� 0 �� x1 =� 0, x2 =� 2 .
Tym samym dodatkowym punktem wykresu leżącym na osi OX jest Q(2, 0 ) .
/
Pochodna funkcji jest równa f (x) =� 3x2 -� 8x +� 4 . Szkic jej wykresu przedstawia rys.1.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
2
/
Znak f
+ +
+ +
X
2 - - -
2
3
Rys. 1.
//
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy f (x) =� 6x -� 8. Szkic wykresu przedstawia rys.2.
//
Znak f
+ + +
X
_ _ _
4
3
Rys. 2.
Układamy tabelkę zmienności:
2 2 2 4 4 4
(-�Ą� ; 0) ( 2; +� Ą� )
x 0 2
( 0 ; ) ( ; ) ( ; 2 )
3 3 3 3 3 3
/
+ + 0  
0 +
f
//
   + +
f
32
+� Ą�
27
16
min.
f 0
27
0
max. p.p
-� Ą�
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.3.
Y
f (x) =� x3 -� 4x2 +� 4x
32
27
16
27
X
2
4
0
2
3
3
Rys. 3.
b) Dziedziną funkcji jest D =� R . Funkcja nie posiada zatem asymptot pionowych.
3 3
3 -� 3 -�
3x2 -� 3 3x2 -� 3
x2 x2
Ponieważ lim =�[Ą�]=� lim =� 3 oraz lim =�[Ą�]=� lim =� 3 ,
3 3
x��-�Ą� x��-�Ą� x��+�Ą� x��+�Ą�
Ą� Ą�
x2 +� 3 x2 +� 3
1 +� 1 +�
x2 x2
to prosta y =� 3 jest asymptotą poziomą obustronną funkcji i tym samym asymptot ukośnych wykres nie
posiada.
Obliczając wartość funkcji w punkcie x =� 0 otrzymujemy f (0) =� -�1, co oznacza, że wykres przecina oś OY
w punkcie P( 0, -�1) . Poszukując odciętych punktów wspólnych wykresu z osią OX dostajemy
f (x) =� 0 �� 3x2 -� 3 =� 0 �� x1 =� -�1, x2 =�1. Tym samym punktami wykresu leżącymi na osi OX są
Q1(-�1, 0 ) , Q2 (1,0 ) .
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
3
3(-�x)2 -� 3 3x2 -� 3
Ponieważ f (-�x) =� =� =� f (x) , dla każdego x �� R , to funkcja jest parzysta.
(-�x)2 +� 3 x2 +� 3
Pochodna funkcji jest równa
(3x2 -� 3)/ (x2 +� 3) -� (3x2 -� 3)(x2 +� 3)/ 6x(x2 +� 3) -� (3x2 -� 3)2x 24x
/
f (x) =� =� =� .
(x2 +� 3)2 (x2 +� 3)2 (x2 +� 3)2
Ponieważ w rozpatrywanej dziedzinie mianownik wyrażenia jest dodatni, to znak pochodnej jest identyczny
jak znak funkcji g(x) =� 24x , której szkic wykresu przedstawiony jest na rys.4.
/
Znak f
+� +� +�
-� -� -�
0
Rys. 4.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
(24x)/ (x2 +� 3)2 -� 24x[(x2 +� 3)2 ]/ 24(x2 +� 3)2 -� 24x �� 2(x2 +� 3) �� 2x
//
f (x) =� =� =�
(x2 +� 3)4 (x2 +� 3)4
24(x2 +� 3)(x2 +� 3 -� 4x2 ) 24(3 -� 3x2 )
=� =� .
(x2 +� 3)4 (x2 +� 3)3
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji h(x) =� 3 -� 3x2 , której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.5.
//
Znak f
+ + +
X
- -
- -
1
-� 1
Rys. 5.
Układamy tabelkę zmienności:
(-�Ą�;-�1) -1 (-�1;0) 0 ( 0 ;1) 1
(1; +� Ą� )
x
/
0 + +
- -
f
//
0 + + 0
- -
f
1 1
min.
0 0
p.p. p.p.
f - 1
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.6.
Y
3
3x2 -� 3
f (x) =�
x2 +� 3
X
-� 1
1
-1
Rys. 6.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
4
x2 -� 4x +� 5
c) Funkcja f (x) =� jest określona, gdy x -� 2 ą� 0 , zatem D =� (-�Ą� ; 2 ) �� ( 2 ; +� Ą� ) .
x -� 2
x2 -� 4x +� 5 x2 -� 4x +� 5
Ponieważ lim =�[01 ]=� -�Ą� , lim =�[01 ]=� +�Ą� ,
-� +�
x��2-� x��-�2+�
x -� 2 x -� 2
to prosta x =� 2 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji. Z faktu, że
5
x -� 4 +�
x2 -� 4x +� 5
x
lim =�[Ą�]=� lim =�[-� Ą�]=� -�Ą� ,
2
x��-�Ą� x��-�Ą�
x -� 2 Ą� 1
1 -�
x
5
x -� 4 +�
x2 -� 4x +� 5
x
lim =�[Ą�]=� lim =�[+� Ą�]=� +�Ą� ,
2
x��+�Ą� x��+�Ą�
x -� 2 Ą� 1
1 -�
x
wynika, że wykres nie posiada asymptot poziomych, może jednak posiadać asymptoty ukośne.
Ponieważ
4 5
1 -� +�
f (x) x2 -� 4x +� 5 x
x2
m =� lim =� lim =�[Ą�]=� lim =�1 ,
2
x��-�Ą� x��-�Ą� x��-�Ą�
x Ą�
x2 -� 2x
1 -�
x
x2 -� 4x +� 5 x2 -� 4x +� 5 -� x2 +� 2x
n =� lim [ f (x) -� mx] =� lim ( -� x) =� lim =�
x��-�Ą� x��-�Ą� x��-�Ą�
x -� 2 x -� 2
5
-� 2 +�
-� 2x +� 5
x
=� lim =�[Ą�]=� lim =� -�2 .
2
x��-�Ą� x��-�Ą�
x -� 2 Ą�
1 -�
x
oraz granice przy x �� +�Ą� są analogiczne, to asymptotą ukośną obustronną jest prosta y =� x -� 2 .
5
Wartość funkcji w punkcie x =� 0 wynosi f (0) =� -� . Oznacza to, że wykres przecina oś OY w punkcie
2
5
P( 0, -� ) . Równanie f (x) =� 0 przyjmuje postać x2 -� 4x +� 5 =� 0 i jest równaniem sprzecznym ( D� <� 0 ).
2
Wykres nie przecina osi OX.
Obliczając pochodną otrzymujemy:
(x2 -� 4x +� 5)/ (x -� 2) -� (x2 -� 4x +� 5)(x -� 2)/ (2x -� 4)(x -� 2) -� (x2 -� 4x +� 5)
/
f (x) =� =� =�
(x -� 2)2 (x -� 2)2
2x2 -� 4x +� 4x +� 8 -� x2 +� 4x -� 5) x2 -� 4x +� 3
=� =� .
(x -� 2)2 (x -� 2)2
Znak pochodnej jest identyczny jak znak trójmianu g(x) =� x2 -� 4x +� 3, którego szkic wykresu przedstawio-
ny jest na rys.7.
/
Znak f
+ +
+ +
- - - -
1 2
3
X
Rys. 7.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
(x2 -� 4x +� 3)/ (x -� 2)2 -� (x2 -� 4x +� 3)[(x -� 2)2 ]/ (2x -� 4)(x -� 2)2 -� (x2 -� 4x +� 3)2(x -� 2)
//
f (x) =� =� =�
(x -� 2)4 (x -� 2)4
(x -� 2)[(2x -� 4)(x -� 2) -� 2(x2 -� 4x +� 3)] (x -� 2)(2x2 -� 8x +� 8 -� 2x2 +� 8x -� 6) 2(x -� 2)
=� =� =� .
(x -� 2)4 (x -� 2)4 (x -� 2)4
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji h(x) =� x -� 2 , której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.8.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
5
//
Znak f
+� +� +�
-� -� -�
2
Rys. 8.
Układamy tabelkę zmienności:
(-�Ą� ; 0) ( 3; +� Ą� )
x 0 ( 0;1) 1 (1 ; 2 ) 2 ( 2;3) 3
/
+ + 0 
X 
0 +
f
//
 X + +
 
f
X +� Ą� +� Ą�
min.
f 5 - 2 X
-�
max. 2
X
2
-� Ą� X
-� Ą�
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.9.
x2 -� 4x +� 5
f (x) =�
Y
x -� 2
y =� x -� 2
2
X
2
1
3
-2
5
-�
2
Rys. 9.
x
x-�1
d) Funkcja f (x) =� e jest określona, gdy x -�1 ą� 0 , zatem D =� (-�Ą� ;1) �� (1; +� Ą� ) .
1 1
x x
x-�1 0-� x-�1 0+�
lim e =�[e ]=�[e-�Ą�]=� 0 , lim e =�[e ]=�[e+�Ą�]=� +�Ą� .
x��1-� x��1+�
Prosta x =� 1 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji.
Z faktu, że
1 1
x Ą� 1 x Ą� 1
1-� 1-�
x-�1 Ą� x x-�1 Ą� x
lim e =�[e ]=� lim e =� e oraz lim e =�[e ]=� lim e =� e ,
x��-�Ą� x��-�Ą� x��+�Ą� x��+�Ą�
wynika, że wykres posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu y =� e .
Wartość funkcji w punkcie x =� 0 wynosi f (0) =�1. Oznacza to, że wykres przecina oś OY w punkcie
P( 0,1) . Równanie f (x) =� 0 jest równaniem sprzecznym. Wykres nie przecina osi OX (leży powyżej osi).
Obliczając pochodną otrzymujemy:
x x x
x x -�1 -� x -�1
/
x-�1 x-�1 x-�1
f (x) =� e �� ( )/ =� e �� =� e �� .
x -�1
(x -�1)2 (x -�1)2
W rozpatrywanej dziedzinie pochodna jest ujemna.
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy:
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
6
x x
/
-�1
x x x
x-�1 x-�1
ć� �� -� e �� (x -�1)2 +� 2e (x -�1)
x-�1 x-�1 x-�1
�� ��
-� e (-�e )/ (x -�1)2 +� e [(x -�1)2 ]/ (x -�1)2
//
f (x) =� =� =� =�
�� ��
(x -�1)2 �� (x -�1)4 (x -�1)4
��
Ł� ł�
x x x x
x-�1 x-�1 x-�1 x-�1
e +� 2e �� (x -�1) e �� (1+� 2x -� 2) e �� (2x -�1)
=� =� =� .
(x -�1)4 (x -�1)4 (x -�1)4
W rozpatrywanej dziedzinie znak drugiej pochodnej jest identyczny jak znak funkcji h(x) =� 2x -�1 , której
szkic wykresu przedstawiony jest na rys.10.
//
Znak f
+� +� +�
1
-� -� -�
X
2
Rys. 10.
Układamy tabelkę zmienności:
1 1
1
(1; +� Ą� )
x (-�Ą� ;0) 0 1
( 0; ) ( ;1)
2 2
2
/
 X 
 
f
//
 0 + X +

f
e X +� Ą�
1
f 1 X
e
X
p.p.
0 X e
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.11.
Y
x
x-�1
f (x) =� e
e
X
1
1
Rys. 11.
x
e) Funkcja f (x) =� jest określona, gdy x >� 0 i ln x ą� 0 . Zatem D =� ( 0;1) �� (1; +� Ą� ) .
ln x
x 0 x x
Ponieważ lim =�[ ]=� 0 , lim =�[01 ]=� -�Ą� , lim =�[01 ]=� +�Ą� , to asymptotą pionową jest
-� +�
x��0+� x��1-� x��1+�
ln x -� Ą� ln x ln x
x =�1 .
H
x 1
Z faktu, że lim =�[Ą�]=� lim =� lim x =� +�Ą� wynika, że funkcja nie posiada asymptoty poziomej,
1
x��+�Ą� x��+�Ą� x��+�Ą�
ln x Ą�
x
może natomiast posiadać asymptotę ukośną.
f (x) 1
W tym wypadku jednak m =� lim =� lim =�[+�1 ]=� 0 , co oznaczałoby, że asymptota jest pozioma,
x��+�Ą� x��+�Ą�
x ln x Ą�
a taka nie istnieje.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
7
Wykres funkcji nie przecina osi układu współrzędnych.
x ln x -�1
/
Pochodna funkcji jest równa f (x) =� ( )/ =� . Mianownik wyrażenia jest w zbiorze D dodatni,
ln x
ln2 x
zatem znak pochodnej jest identyczny jak znak funkcji g(x) =� ln x -� 1. Szkic jej wykresu przedstawia rys.12.
/
Znak f
X
+ +
_ _ _
e
0 1
Rys. 12.
1 2
ln2 x -� (ln x -�1) �� ln x
ln x -�1 ln x(2 -� ln x)
// x x
Obliczając drugą pochodną otrzymujemy f (x) =� ( )/ =� =� .
ln2 x ln4 x x ln4 x
Znak pochodnej jest w zbiorze D taki sam jak znak funkcji h(x) =� ln x(2 -� ln x) . Szkic wykresu tej funkcji
przedstawia rys.13.
//
Znak f
+ + +
_ _
0 1 X
e2
-
Rys. 13.
Układamy tabelkę zmienności:
x 1 (1 ;e) e
(0;1)
(e ;e2 ) e2 ( e2 ; +� Ą� )
/
X 
0 + +

f
//
X + + 0
 
f
0 X +� Ą�
f X e2 +� Ą�
X e
2
min. p.p
-� Ą�
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.14.
x
f (x) =�
lnx
Y
e2
2
e
X
e
0
1
e2
Rys. 14.
Wykład 13. Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
8
2. Najmniejsza i największa wartość funkcji na przedziale
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale domkniętym a ;b . Z twierdzenia Weierstrassa wynika,
że istnieją punkty x1,x2�� a ;b , takie że f (x1) =� m , f (x2 ) =� M , gdzie m oznacza wartość najmniejszą
funkcji na przedziale, a M - wartość największą.
Jeżeli dodatkowo założyć, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale, to punktami, w których mogą
wystąpić te wartości są : a) końce przedziału, b) punkty wewnętrzne, w których występuje ekstremum.
Przypadki te zilustrowane zostały na rys.15.
Y
Y
M
M
y =� f (x)
y =� f (x)
m
X
m X
b =� x2
a =� x1
b =� x2
a x1
Rys. 15.
Uwaga. Aby znalez
ć wartość najmniejszą i największą funkcji f na przedziale a ;b w przypadku,
gdy funkcja jest różniczkowalna wystarczy:
1. Wyznaczyć punkty, w których pochodna jest równa zeru (punkty takie nazywamy stacjonarnymi) leżące
w przedziale.
2. Obliczyć wartości funkcji na końcach przedziału oraz w punktach stacjonarnych wyznaczonych w 1.
Największa z obliczonych wartości funkcji jest wtedy wartością największą, najmniejsza-najmniejszą.
Przykład 2. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji y =� f (x) na przedziale I :
a) f (x) =� 3x -� x3 , I =� 0; 2 , b) f (x) =� ex+� x2 , I =� -� 2;3 .
Rozwiązanie.
/ /
a) Ponieważ f (x) =� 3 -� 3x2 , to f (x) =� 0 �� 3 -� 3x2 =� 0 �� x1 =� -�1, x2 =�1 .
Wynika stąd, że jedynym punktem stacjonarnym leżącym wewnątrz przedziału 0; 2 jest x =� 1.
W poniższej tabelce zestawiono wartości funkcji na końcach przedziału i w punkcie stacjonarnym:
x 0 1 2
f (x)
0 2 -� 2
Wynika z nich, że m =� -�2 =� f ( 2 ), M =� 2 =� f (1) .
1
/ /
b) Ponieważ f (x) =� ex+� x2 (1+� 2x) , to f (x) =� 0 �� 1 +� 2x =� 0 �� x =� -� .
2
1
Wynika stąd, że jedynym punktem stacjonarnym leżącym wewnątrz przedziału -� 2;3 jest x =� .
2
Mamy zatem:
1
x -� 2 3
2
4
f (x)
e2 e12
e3
1
4
Oznacza to, że m =� e3 =� f ( ), M =� e12 =� f (3) .
2