Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 6
CI
GI I SUMY  lista zadań
1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
n
2 3 3n -ð 5 1 3
n
a) an =ð 4 +ð +ð , b) an =ð 3 +ð 2 ×ð n , c) an =ð , d) an =ð ( )n +ð (-ð )n ,
n
n 2 4
n2 2 +ð 4
2n +ð 4n 3n-ð1 +ð 2 3n +ð 5 4n2 +ð 3n +ð 4
e) an =ð , f ) an =ð , g) an =ð , h) an =ð ,
2n +ð 1
4n 3n n2 +ð n +ð 1
(2n +ð 3)(3n -ð1) (3n -ð1)2 4n +ð 2 7n +ð 5
i) an =ð , j) an =ð , k) an =ð , l) an =ð ,
n +ð 5
n2 +ð 9 2n2 +ð 4
n2 +ð 4
n +ð 1 n +ð 1 n +ð 3 n +ð 5 n +ð 4
Å‚) an =ð ( )4n , m) an =ð ( )2n+ð5 , n) an =ð ( )2n , o) an =ð ( )n+ð6 , p) an =ð ( )3n .
n n n n n +ð 3
2. Wypisać wszystkie składniki sumy. Obliczyć tę sumę:
4 7 3 4 6 5 1
1
2 k k +ð3
a) , b) , c) , d) , e) +ð 2) , f) , g)
åði åð3i åði åð2 åð(3k åð åð2 ,
k
i=ð2 i=ð1 i=ð1 k =ð1 k =ð1 k =ð1 k =ð-ð2
6 10 4
3
h) , i) , j) ×ð 2k .
åðk åð2 åðk
k =ð3 k =ð1 k =ð4
3. Następujące sumy zapisać w notacji  sigmowej :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a) 1 +ð 2 +ð 3 +ð ... +ð 9 , b) 1 +ð +ð +ð +ð +ð , c) +ð +ð +ð +ð , d) 7 +ð 12 +ð 17 +ð 22 +ð 27 +ð 32 ,
2 3 4 5 6 3 4 5 6 7
e) 3 +ð 6 +ð 12 +ð 24 , f) 1 +ð 3 +ð 5 +ð ... +ð 21, g) 3 +ð 8 +ð 13 +ð ... +ð 73 .
100 50
4. Obliczyć sumy: a) +ð 2) , b) -ð1) .
åð(3k åð(2k
k =ð1 k =ð5
5. Następujące sumy zapisać w notacji  sigmowej oraz obliczyć wartość tych sum:
a) 3 +ð 5 +ð 7 +ð... +ð 1023 , b) 100 +ð 105 +ð 110 +ð...+ð 995 .
6. Czy następujące sumy są sobie równe?
3 3 3 5 5 n n
3 3 2 2
a) +ð 2i) =ð +ð2 , b) =ð (
åð(i åði åði åði åði) c) åð(3i +ð 4) =ð 3åði +ð 4n .
i=ð1 i=ð1 i=ð1 i=ð1 i=ð1 i=ð1 i=ð1
7. Obliczyć sumy:
20 20 20 20 40
a) +ð -ð n) , b) +ð -ð1) -ð .
åðn åð(5 åð2n åð(2n åðn
n=ð1 n=ð1 n=ð1 n=ð1 n=ð1
8. Niech (an ) bÄ™dzie ciÄ…giem okreÅ›lonym rekurencyjnie: a1 =ð 2 , an =ð 2an-ð1 +ð1 dla n Å‚ð 2 . Obliczyć
4 3 3
sumy: a) , b) , c)
3n
åða2n åða3n-ð2 åð(a +ð 2) .
n=ð1 n=ð1 n=ð1
Ciągi i sumy  lista zadań
2
Odpowiedzi
4 1 3 9
1. a) 4, b) 5, c) -ð , d) 0, e) 1, f) , g) , h) 4, i) 6, j) , k) 2, l) 7, Å‚) e4 , m) e2 , n) e6 ,
5 3 2 2
o) e5 , p) e3 .
2. a) 2 +ð 3 +ð 4 =ð 9 , b) 3 +ð 6 +ð 9 +ð12 +ð15 +ð18 +ð 21 =ð 84 , c) 12 +ð 22 +ð 32 =ð14 , d) 21 +ð 22 +ð 23 +ð 24 =ð 30 ,
1 1 1 1 137
e) 5 +ð 8 +ð11+ð14 +ð17 +ð 20 =ð 75 , f) 1+ð +ð +ð +ð =ð , g) 21 +ð 22 +ð 23 +ð 24 =ð 30 ,
2 3 4 5 60
h) 33 +ð 43 +ð 53 +ð 63 =ð 432 , i) 2 +ð 2 +ð ... +ð 2 =ð 20 , j) 64 .
1ð4ð 3ð
4ð2ð4ð4ð
10 razy
9 6 576 4 11 15
1
-ð1
3. a) , b) , c)
åðk åð1 åðk +ð 2 =ð åð1 , d) åð(5k +ð 2) , e) åð3×ð 2k , f) åð(2k -ð1) , g) åð(5k -ð 2) .
k k
k =ð1 k =ð1 k =ð1 k =ð3 k =ð1 k =ð1 k =ð1 k =ð1
5 +ð 302 9 +ð 99
4. a) ×ð100 =ð15 350 , b) ×ð 46 =ð 2 484 .
2 2
511 180
5. a) +ð1) =ð ×ð511 =ð ×ð180 =ð
åð(2k 3 +ð1023 262143 , b) åð(5k +ð 95) =ð 100 +ð 995 98 550 .
2 2
k =ð1 k =ð1
5 5
2 2
6. a) tak, b) nie =ð 55 , ( =ð152 =ð 225 , c) tak.
åði åði)
i=ð1 i=ð1
7. a) 100, b) 0.
8. a1 =ð 2 , a2 =ð 5, a3 =ð11, a4 =ð 23 , a5 =ð 47 , a6 =ð 95 , a7 =ð191, a8 =ð 383, a9 =ð 767 .
a) a2 +ð a4 +ð a6 +ð a8 =ð 5 +ð 23 +ð 95 +ð 383 =ð 506 , b) a1 +ð a4 +ð a7 =ð 2 +ð 23 +ð191 =ð 216 ,
c) (a3 +ð 2) +ð (a6 +ð 2) +ð (a9 +ð 2) =ð13 +ð 97 +ð 769 =ð 879 .