Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 11
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ  lista zadań
/
1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć f (xo ) , jeżeli
1
a) f (x) =� 3x +� 5, b) f (x) =� x2 -� 3x, c) f (x) =� , d) f (x) =� 4x +� 3 .
3x +� 2
2. Wykorzystując wzór (xa� )/ =� a�xa� -�1 , (a� - dowolna stała) obliczyć pochodne następujących funkcji:
1 1
3
a) f (x) =� x4 , b) f (x) =� x10 , c) f (x) =� , d) f (x) =� , e) f (x) =� x ,
x2 x5
1 1
4
f) f (x) =� x3 , g) f (x) =� , h) f (x) =� , i) f (x) =� x x .
3
x x
3. Korzystając ze wzorów podstawowych oraz reguł różniczkowania sumy i różnicy funkcji oraz iloczynu
funkcji przez stałą obliczyć pochodne funkcji:
a) f (x) =� 2x3 +� 3x -� 2 , b) f (x) =� 3cos x -� 2sin x , c) f (x) =� 8 x +� 5 , d) f (x) =� (2x +� 5)2 ,
2
x +� 3 x x
ć� ��
e) f (x) =� , f) f (x) =� (sin +� cos )2 , g) f (x) =� x2 (x3 -�1) , h) f (x) =� 3ex +� 4 ln x ,
�� ��
x 2 2
Ł� ł�
i) f (x) =� 3arctgx +� 7 tg x , j) f (x) =� 6sin x +� 4ln x , k) f (x) =� 53 x -�12ex .
4. Wykorzystując wzory podstawowe oraz reguły różniczkowania iloczynu i ilorazu funkcji
obliczyć pochodne następujących funkcji:
a) f (x) =� x2 sin x , b) f (x) =� x3 cos x , c) f (x) =� 2 x sin x , d) f (x) =� 4x tg x ,
e) f (x) =� xex , f) f (x) =� x3arctgx , g) f (x) =� x2 ln x , h) f (x) =� ex ln x ,
x2 -� 3x +� 5 1 +� x sin x 3x +� 2
i) f (x) =� , j) f (x) =� , k) f (x) =� , l) f (x) =� ,
cos x +� 3x
x3 -� 2x 4ex +� 2
1 -� x
2ln x +� x 3arctgx +� 5 xex
m) f (x) =� , n) f (x) =� , o) f (x) =� .
x +� 7
4x +� ex x2 +� 1
5. Obliczyć pochodne następujących funkcji złożonych:
a) f (x) =� sin 5x , b) f (x) =� cos(4x +� 2) , c) f (x) =� 4x -�1 , d) f (x) =� 4x2 -� 4x +� 5 ,
e) f (x) =� e-�3x+�5 , f) f (x) =� ln(2x +� 5) , g) f (x) =� ln(4x2 +� 5) , h) f (x) =� arctg(4x +� 3) ,
2
i) f (x) =� ex +�4x , j) f (x) =� sin2 x , k) f (x) =� cos3 x .
6. Obliczyć pochodne następujących funkcji (stosując wzory podstawowe i reguły różniczkowania):
a) f (x) =� cos2x sin3x , b) f (x) =� sin3 4x , c) f (x) =� sin4 x -� cos4 x ,
3x 1
d) f (x) =� (x2 +� x +� 3)e3x , e) f (x) =� e3x sin 2x , f) f (x) =� x ln , g) f (x) =� arctg .
x +� 4 x
7. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
2
a) f (x) =� ex , b) f (x) =� x2e-�3x , c) f (x) =� arctg2x , d) f (x) =� sin2 x .
8. Po obliczeniu kilku kolejnych pochodnych funkcji podać wzór na pochodną rzędu n funkcji:
1
a) f (x) =� e2x , b) f (x) =� xex , c) f (x) =� .
1+� 2x
1
x
x
9. Obliczyć pochodną funkcji: a) f (x) =� x , b) g(x) =� xsin x , c) h(x) =� x .
Wskazówka. Dla dodatnich wartości y mamy y =� eln y .
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej  lista zadań
2
Odpowiedzi
[3(x0 +� D�x) +� 5] -� [3x0 +� 5]
/
1. a) f (x0 ) =� lim =� 3 .
D�x��0
D�x
[(x0 +� D�x)2 -� 3(x0 +� D�x)] -� [x0 2 -� 3x0 ]
/
b) f (x0 ) =� lim =� 2x0 -� 3.
D�x��0
D�x
1 1
-�
3(x0 +� D�x) +� 2 3x0 +� 2
3
/
c) f (x0 ) =� lim =� -� .
D�x��0
D�x
(3x0 +� 2)2
4(x0 +� D�x) +� 3 -� 4x0 +� 3
2
/
d) f (x0 ) =� lim =� .
D�x��0
D�x
4x0 +� 3
-� 2 -� 5 1
/ / / / /
2. a) f (x) =� 4x3 , b) f (x) =�10x9 , c) f (x) =� , d) f (x) =� , e) f (x) =� ,
3
x3 x6
3 �� x2
3 -�1 -�1 3
/ / / /
f) f (x) =� , g) f (x) =� , h) f (x) =� , i) f (x) =� x .
4
3
2
4 �� x
2 �� x3 3 �� x4
4
/ / / /
3. a) f (x) =� 6x2 +� 3 , b) f (x) =� -�3sin x -� 2 cos x , c) f (x) =� , d) f (x) =� 8x +� 20 ,
x
6 18
/ / /
e) f (x) =�-� -� , f) f (x) =�1+� sin x, f (x) =� cos x , g) f (x) =� 5x4 -� 2x ,
x2 x3
4 3 7 4 5
/ / / /
h) f (x) =� 3ex +� , i) f (x) =� +� , j) f (x) =� 6cos x +� , k) f (x) =� -�12ex .
x x
1 +� x2 cos2 x
33 x2
sin x
/ / /
4. a) f (x) =� 2x sin x +� x2 cos x , b) f (x) =� 3x2 cos x -� x3 sin x , c) f (x) =� +� 2 x cos x ,
x
4x x3
/ / /
d) f (x) =� 4 tg x +� , e) f (x) =� ex +� xex , f) f (x) =� 3x2arctgx +� ,
cos2 x 1 +� x2
ex
/ / x
g) f (x) =� 2x ln x +� x , h) f (x) =� e ln x +� ,
x
(2x -� 3)(x3 -� 2x) -� (x2 -� 3x +� 5)(3x2 -� 2) x4 -� 6x3 +� 17x2 -�10
/
i) f (x) =� =� -� ,
(x3 -� 2x)2 (x3 -� 2x)2
1 1
(1 -� x) +� (1 +� x)
1
2 x 2 x
/
j) f (x) =� =� ,
(1 -� x)2 x(1 -� x)2
cos x(cos x +� 3x) -� sin x(-� sin x +� 3) 3x cos x -� 3sin x +� 1
/
k) f (x) =� =� ,
(cos x +� 3x)2 (cos x +� 3x)2
3(4ex +� 2) -� (3x +� 2) �� 4ex -� 6xex +� 2ex +� 3
/
l) f (x) =� =� ,
(4ex +� 2)2 2(2ex +� 1)2
2
( +� 1)(4x +� ex ) -� (2 ln x +� x)(4 +� ex )
8x +� 2ex +� xex -� 8x ln x -� 2x ln xex -� x2ex
/ x
m) f (x) =� =� ,
(4x +� ex )2 x(4x +� ex )2
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej  lista zadań
3
3
(x +� 7) -� (3arctg x +� 5)
-� 5x2 +� 3x +� 16 -� 3arctg x -� 3x2 arctg x
/ 1 +� x2
n) f (x) =� =� ,
(x +� 7)2 (1 +� x2 )(x +� 7)2
x
(e +� xex )(x2 +� 1) -� 2x �� xex (x3 -� x2 +� x +� 1)ex
/
o) f (x) =� =� .
(x2 +� 1)2 (x2 +� 1)2
2 4x -� 2
/ / / /
5. a) f (x) =� 5cos 5x , b) f (x) =� -�4sin(4x +� 2) , c) f (x) =� , d) f (x) =� ,
4x -�1
4x2 -� 4x +� 5
2 8x 4
/ / / /
e) f (x) =� -�3e-�3x+�5 , f) f (x) =� , g) f (x) =� , h) f (x) =� ,
2x +� 5
4x2 +� 5 1 +� (4x +� 3)2
2
/ / /
i) f (x) =� (2x +� 4)ex +�4x , j) f (x) =� 2sin x cos x =� sin 2x , k) f (x) =� -�3cos2 x sin x .
/ / 2
6. a) f (x) =� -�2sin 2x sin 3x +� 3cos 2x cos3x , b) f (x) =�12sin 4x cos 4x ,
/ /
c) f (x) =� 4sin3 x cos x +� 4 cos3 x sin x =� 4sin x cos x =� 2sin 2x , d) f (x) =� (3x2 +� 5x +� 10)e3x ,
4 3x 1 1 1
/ / /
e) f (x) =� (3sin 2x +� 2 cos 2x)e3x , f) f (x) =� +� ln , g) f (x) =� �� (-� ) =� -� .
1
x +� 4 x +� 4
1 +� ( )2 x2 1 +� x2
x
2
// //
7. a) f (x) =� (2 +� 4x2 )ex , b) f (x) =� (2 -�12x +� 9x2 )e-�3x ,
-�16x
// //
c) f (x) =� , d) f (x) =� 2cos 2x .
(1+� 4x2 )2
(n) (n) (n)
8. a) f (x) =� 2n �� e2x , b) f (x) =� nex +� xex , c) f (x) =� (-�1)n n!2n (1+� 2x)-�(n+�1) .
sin x
x ln x /
9. a) f (x) =� e , f (x) =� ex ln x (ln x +� 1) , b) g(x) =� esin x ln x , g/ (x) =� esin x ln x (cos x ln x +� ) ,
x
ln x ln x
1
x x
c) h(x) =� e , h/ (x) =� e (1 -� ln x) .
x2