Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
1
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
Z7/1.1. Zadanie 1
Dana jest belka złożona oraz wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego przedstawione na rysunku Z7/1.1. Zaprojektować stalową blachownicę dwuteową, a następnie narysować wykresy naprężeń: normalnego σX oraz naprężeń stycznych τXZ i τXY. Przyjąć wytrzymałość stali R = 215 MPa.
α
12,0 kNm
15,0 kN/m
10,0 kN/m
8,0 kN
A
B
D
E
C
α
11,0 kN
52,0 kN
30,0 kN
[m]
6,0
2,0
4,0
1,0
18,0
8,0
11,0
T(x) [kN]
22,0
34,0
1,8
2,2
2,966
3,034
8,0
12,0
9,754
0,0
16,2
M(x) [kNm]
36,0
2,966
3,034
1,8
2,2
Rys. Z7/1.1. Wykresy sił przekrojowych w belce Z7/1.2 Zaprojektowanie przekroju blachownicy
Na podstawie wykresu siły poprzecznej i momentu zginającego przedstawionego na rysunku Z7/1.1
możemy stwierdzić, że ekstremalny moment wynosi
M EXT=36,0 kNm=3600 kNcm .
(Z7/1.1)
Y
Wytrzymałość stali wynosi
kN
R=215 MPa=21,5
.
(Z7/1.2)
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
2
Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie powinien spełniać więc warunek 3600
W
=167,4 cm 3 .
(Z7/1.3)
Y
21,5
Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii wskaźnik wytrzymałości dla krawędzi dolnej równa się wskaźnikowi wytrzymałości dla krawędzi górnej. Posiłkując się tablicami do projektowania kons-trukcji metalowych dobierzemy przekrój dwuteowy równoległościenny 200PE, którego wskaźnik wytrzyma-
łości wynosi (oś X w tablicach odpowiada naszej osi Y=Ygl) W =194 cm 3
(Z7/1.4)
Y
czyli jest większy niż wyliczony ze wzoru (Z7/1.3). Wymiary przekroju 200PE przedstawia rysunek Z7/1.2.
Wszystkie wymiary zostały podane w centymetrach. Przekrój belki musi być wykonany jako blachownica należy więc zaokrąglić wszystkie grubości do pełnych milimetrów a szerokości do centymetrów. Przyjmie-my więc przekrój przedstawiony na rysunku Z7/1.3. Przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii więc środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia obu tych osi. Przedstawia to także rysunek Z7/1.3.
Moment bezwładności dwuteownika względem osi Y=Ygl wynosi 10,0
10,0−0,6⋅18,03
J
⋅20,03
= J =
−
=2098 cm 4 .
(Z7/1.5)
Y
Ygl
12
12
Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii to wskaźniki wytrzymałości dla krawędzi dolnej i górnej są równe. Wynoszą one
2098
W g= W d = W =
=209,8 cm 3 .
(Z7/1.6)
Y
Y
Y
10,0
Wskaźnik (Z7/1.6) jest większy niż wyznaczony ze wzoru (Z7/1.3). Przekrój spełnia więc warunek wytrzymałości.
0,56
0,02
0,85
10,0
[cm]
Rys. Z7/1.2. Wymiary przekroju 200PE
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
3
10,0
1,0
0,6
10,0
Y=Y =Y
0
gl
sc
18,0
20,0
10,0
Z=Z =Z
0
gl
1,0
[cm]
5,0
5,0
Rys. Z7/1.3. Przyjęty przekrój blachownicowy
X
kN
36,0 kNm
34,0
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/1.4. Siły przekrojowe w przekroju α - α
Z7/1.3 Naprężenia normalne σX oraz styczne τXZ i τXY w przekroju Rysunek Z7/1.4 przedstawia siły przekrojowe działające w przekroju α - α znajdującego się w lewej części belki złożonej. Siła poprzeczna odczytana na wykresie na rysunku Z7/1.1 jest ujemna więc kręci ona odciętą częścią belki przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Moment zginający rozciąga górną część przekroju pręta. Moment zginający w przekroju α - α rozciąga górną część przekroju pręta jest więc on ujemny a jego wartość wynosi
M =−36,0 kNm=−3600 kNcm .
(Z7/1.7)
Y
Wartość bezwzględna siły poprzecznej wynosi
∣ T Z∣=34,0 kN .
(Z7/1.8)
Rysunek Z7/1.5 przedstawia przekrój dwuteowy z działającymi siłami przekrojowymi. Na rysunku tym zaznaczone są również punkty, w których będziemy wyznaczać wartości naprężeń normalnych i stycznych.
Funkcja naprężeń normalnych σX będzie miała postać
−3600
=
⋅ z=−1,716⋅ z .
(Z7/1.9)
X
2098
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
4
1,0
10,0
5
4
34,0 kN
9,0
Y=Y =Y
0
gl
36,0 kNm
3=sc
18,0
N=0,0 kN
9,0
2
7
6 1
1,0
[cm]
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/1.5. Przekrój dwuteowy obciążony siłami przekrojowymi Naprężenie normalne w punkcie 1 wynosi
kN
1= 10,0 =−1,716⋅10,0 =−17,16
=−171,6 MPa .
X
X
(Z7/1.10)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 2 wynosi
kN
2= 9,0 =−1,716⋅9,0 =−15,44
=−154,4 MPa .
X
X
(Z7/1.11)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 3 wynosi
kN
3= 0,0 =−1,716⋅0,0 =0,0
=0,0 MPa .
X
X
(Z7/1.12)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 4 wynosi
kN
4= −9,0=−1,716⋅−9,0 =15,44
=154,4 MPa .
X
X
(Z7/1.13)
cm 2
Naprężenie normalne w punkcie 5 wynosi
kN
5= −10,0=−1,716⋅−10,0 =17,16
=171,6 MPa .
X
X
(Z7/1.14)
cm 2
Rysunek Z7/1.10 przedstawia wykres naprężeń normalnych na wysokości przekroju dwuteowego.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
5
1,0
0,6
10,0
Y=Y =Y
0
gl
sc
18,0
9,5
10,0
2
sc1
Z=Z =Z
1,0
0
gl
10,0
[cm]
Rys. Z7/1.6. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 2
1,0
0,6
10,0
Y=Y =Y
0
gl
3=sc
18,0
4,5
9,0
sc2
9,5
0,6
10,0
sc1
1,0
Z=Z =Z
0
gl
10,0
[cm]
Rys. Z7/1.7. Część przekroju pręta znajdująca się poniżej punktu 3
Naprężenie styczne τXZ w punkcie 1 wynosi zero, ponieważ jest to punkt znajdujący się na krawędzi dolnej przekroju. W punkcie 2 będziemy mieli dwie wartości naprężenia stycznego τXZ, ponieważ w tym punkcie szerokość dwuteownika zmienia się skokowo. Rysunek Z7/1.6 przedstawia część przekroju pręta znajdującą się poniżej punktu 2. Jest to jak widać cała półka dolna. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie 2 znajdującym się półce dolnej, zgodnie z (7.20), wynosi
∣
34,0⋅10,0⋅1,0⋅9,5
kN
2p∣=
=0,154
=1,54 MPa .
(Z7/1.15)
XZ
10,0⋅2098
cm 2
Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 2 znajdującym w środniku, zgodnie z (7.20), wynosi
∣
34,0⋅10,0⋅1,0⋅9,5
kN
2s∣=
=2,566
=25,66 MPa .
(Z7/1.16)
XZ
0,6⋅2098
cm 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
6
Rysunek Z7/1.6 przedstawia część przekroju pręta znajdującą się poniżej punktu 3. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXZ w punkcie numer 3, zgodnie z (7.20), wynosi
∣
34,0⋅10,0⋅1,0⋅9,50,6⋅9,0⋅4,5
kN
3∣=
=3,222
=32,22 MPa .
(Z7/1.17)
XZ
0,6⋅2098
cm 2
Ponieważ w przekroju dwuteowym oś Y=Ygl jest jedną z osi symetrii to wykres naprężeń stycznych τXZ
będzie względem niej symetryczny. Rysunek Z7/1.10 przedstawia wykres naprężeń stycznych τXZ w przekroju dwuteowym. Siła poprzeczna działa do góry więc naprężenia styczne τXZ w przekroju pręta będą działać także do góry więc będą ujemne.
1,0
0,6
10,0
Y=Y =Y
0
gl
sc
18,0
4,7
9,5
10,0
6
sc3
1,0
Z=Z =Z
0
gl
5,0
5,0
[cm]
10,0
Rys. Z7/1.8. Część półki
34,0 kN
Y=Y =Y
0
gl
sc
Z=Z =Z
0
gl
Rys. Z7/1.9. Model przepływu wody w celu ustalenia znaków naprężeń stycznych τ XY
Dr inż. Janusz Dębiński
Z7/1. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 1
7
Rysunek Z7/1.8 przedstawia część półki mierzoną od jej krawędzi do punktu numer 6. Wartość bezwzględna naprężenia stycznego τXY w tym punkcie, zgodnie z (7.23), wynosi
∣
34,0⋅4,7⋅1,0⋅9,5
kN
6∣=
=0,7236
=7,236 MPa .
(Z7/1.18)
XY
1,0⋅2098
cm 2
Ponieważ punkt 7 znajduje się na krawędzi półki to naprężenie styczne τXY będzie w tym punkcie wynosiło zero. Znaki naprężeń stycznych ustalimy na podstawie przepływu wody w systemie rurek w kształcie dwuteownika. Przepływ ten przedstawiony jest na rysunku Z7/1.9. Rysunek Z7/1.10 przedstawia wykres naprężeń stycznych τXY.
6
,237
[MPa]
7,236
0,0
0,0
τXY
σ
τ
X
171,6
XZ
0,0
1,54
154,4
25,66
34,0 kN
Y=Y =Y
0
gl
36,0 kNm
32,22
sc
0,0
N=0,0 kN
154,4
25,66
1,54
171,6 [MPa]
0,0
[MPa]
6
,23 Z=Z =Z
0
gl
7
[MPa]
7,236
0,0 τXY
0,0
Rys. Z7/1.10. Wykresy naprężeń normalnych i stycznych w przekroju dwuteowym Dr inż. Janusz Dębiński