Kinematyka bryły materialnej
Rzuty prędkości dowolnych
vB
dwóch punktów ciała sztywnego
na prostą przechodzącą przez te
v2
B
punkty są sobie równe
B
Kinematyka bryły
vA �"cosą = vB �"cos �
2
v
A
vA A
2
Ruch postępowy bryły materialnej
Niech bryła porusza się tak, \
e jej poło\
enia chwilowe są równoległe
do poło\
enia początkowego.
Taki ruch nazywać będziemy ruchem postępowym.
� = const
Ruch postępowy bryły
B
B
B
�
�
�
A
A
A
4
Ruch postępowy bryły materialnej Ruch postępowy bryły materialnej
W ruchu postępowym tor dowolnego punktu jest taki sam jak tor
Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się
innego punktu. Tory (trajektorie) punktów bryły są przesunięte
ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.
równolegle względem siebie. Mogą być krzywymi lub prostymi (ruch
prostoliniowy).
vA = vB = vi = v
B
B
B
Przyspieszenia wszystkich punktów bryły poruszającej się
�
�
ruchem postępowym są w danej chwili wektorami równymi.
rB
�
A
A
A
aA = aB = ai = a
rA
� = const
O = + �
rB rA
5 6
1
Ruch obrotowy bryły materialnej
Rozpatrzmy ruch bryły mającej dwa
z
punkty nieruchome.
W takim przypadku bryła mo\
e
Ruch obrotowy bryły
jedynie obracać się dookoła osi
przechodzącej przez te dwa punkty.
Oś ta zwana jest osią obrotu.
Ciało wykonujące ruch obrotowy ma jeden
stopień swobody. Do określenia poło\
enia
tego ciała w przestrzeni potrzebna jest tylko
jedna współrzędna.
8
Ruch obrotowy bryły materialnej Prędkość kątowa w ruchu obrotowym.
Kąt który tworzy płaszczyzna
z
Pierwszą pochodną kąta obrotu względem czasu nazywamy
ruchoma Ą z nieruchomą
Ą
Ą
Ą
prędkością kątową ruchu obrotowego.
płaszczyzną Ą0 nazywamy
Ą
Ą
Ą
kątem obrotu ciała.
Prędkość kątowa to wektor le\
ący na osi obrotu ciała.
Kąt ten określa poło\
enie ciała
sztywnego w przestrzeni.
Zwrot wyznaczamy z reguły śruby prawoskrętnej biorąc pod
Kąt obrotu ciała będziemy
uwagę kierunek obrotów.
uwa\
ali za dodatni je\
eli
�( )
t
patrząc z grotu osi obrotu ciało
Moduł wektora prędkości kątowej wynosi:
obracać się będzie przeciwnie
Ą0
do ruchu wskazówek zegara.
Ą
x
y rad
�ł łł
&
� = �(t)
Kąt obrotu jest funkcją czasu.
�ł śł
kąt obrotu ciała
s
�= �(t) [rad] �ł �ł
9 10
Przyspieszenie w ruchu obrotowym Ruch obrotowy bryły materialnej
z
Drugą pochodną kąta obrotu nazywamy przyspieszeniem
kątowym ruchu obrotowego.
Przyspieszenie kątowe to wektor le\
ący na osi obrotu ciała.
Zwrot zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy ruch
Kąt obrotu
� = �(t)
jest przyspieszony lub zwrot przeciwny do zwrotu wektora
�
prędkości kątowej gdy ruch jest opóz
niony.
Ą0 Ą Prędkość kątowa
&
� = �(t)
x
Moduł wektora przyspieszenia kątowego wynosi:
� y
�
rad
�ł łł
& &&
� = � = �(t)
Przyspieszenie kątowe
& &&
� = � = �(t)
�ł śł
s2
�ł �ł
11 12
2
Ruch obrotowy bryły materialnej Prędkość punktu bryły
Prędkość liniowa punktu bryły w
z z
ruchu obrotowym jest równa
iloczynowi wektorowemu prędkości
kątowej ruchu obrotowego bryły
vA
sztywnej przez promień wektor
hA hA
A
łączący dowolny punkt na osi obrotu
A
bryły z rozpatrywanym punktem.
rA vA = � �"hA
vA = � �rA
y y
x x
� �
vA = � �"rA �" sin "(� ,rA)
� �
vA = � �"hA
13 14
Rozkład prędkości punktów Przyspieszenie punktu bryły materialnej
d
&
aA = vA = (� � rA)
dt
aA = � �rA +� �vA
vA
aA = � �rA +� �(� � rA)
m
Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej
vi = � �"hi �ł łł
�ł śł
poruszającej się ruchem obrotowym jest wektorową sumą
s
�ł �ł
dwóch przyspieszeń: przyspieszenia stycznego i normalnego
15 16
Przyspieszenie styczne punktu bryły materialnej Przyspieszenie normalne punktu bryły
t
n
aA = � � rA
aA = � �(� � rA)
m
Wartość wektora
an = �2 �" hA
at = � �" hA �ł 2 łł
Wartość wektora
A
A
�łs śł
�ł �ł
Kierunek wektora przyspieszenia normalnego jest prostopadły do
Kierunek wektora przyspieszenia stycznego jest kierunkiem
kierunku wektora prędkości kątowej (prostopadły do osi obrotu) i
stycznym do toru rozpatrywanego punktu.
prostopadły do wektora prędkości liniowej rozpatrywanego punktu
czyli pokrywa się z promieniem okręgu po którym w danej chwili
Zwrot zale\
y od tego czy ruch jest przyspieszony czy opóz
niony.
porusza się rozpatrywany punkt.
Je\
eli jest przyspieszony to zwrot wektora przyspieszenia
stycznego jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości
Zwrot zawsze do osi obrotu.
rozpatrywanego punktu. Je\
eli jest opóz
niony to zwrot wektora
17 18
przyspieszenia stycznego jest przeciwny.
3
Ruch obrotowy bryły materialnej Rozkład przyspieszeń punktów
t n
z
aA = aA + aA
aA
Moduł wektora
t
aA
2 2
n
aA = (at ) +(an)
A A
aA
hA 2
n aA = (� �" hA)2 +(�2 �" hA)
aA
t
aA
Dla dowolnego punktu znajdującego się na promieniu mo\
emy
�
A napisać
�
2
ai = hi � +�4
19 20
4