Wykład IV
Ruch zło\ony
Kinematyka bryły
Ruch zło\ony punktu Ruch zło\ony punktu
Wielkości kinematyczne to wielkości występujące w kinematyce:
z
Rozpatrzmy punkt
tor, prędkość, przyspieszenie, droga.
P poruszający się
ś
Wielkości kinematyczne bezwzględne to wielkości kinematyczne
względem pewnego
P
dotyczące poruszającego się punktu P odniesione do stałego układu
układu odniesienia
odniesienia.
Aś
A
Wielkości kinematyczne względne to wielkości kinematyczne
y
dotyczące poruszającego się punktu P odniesione do ruchomego
który to układ
O
układu odniesienia
porusza się
względem
Wielkości kinematyczne unoszenia to wielkości kinematyczne
innego układu
przynale\ne temu punktowi ruchomego układu odniesienia, który
odniesienia
w danej chwili pokrywa się z punktem P.
Inaczej mówiąc są to wielkości opisujące ruch układu ruchomego
Oxyz
względem nieruchomego.
x
3 4
Ruch zło\ony punktu Prędkość w ruchu zło\onym punktu
Ruch punktu P w
z
układzie stałym
rP = rA + P
nazwiemy ruchem
ś
bezwzględnym.
Prędkość punktu wyra\amy jako pochodną promienia
wektora
Ruch punktu P w
ruchomym układzie & & &
rP = rA + P
A
rA
ruchomym nazwiemy
y
ruchem względnym.
Uwzględniając reguły ró\niczkowania wektorów otrzymamy:
O
P
Ruch układu
rP
ruchomego
"P &
&
P
względem układu
rP = + rA + P
"t
stałego nazwiemy
ruchem unoszenia.
x
rP = rA + P
5 6
1
Ruch zło\ony punktu Prędkość w ruchu zło\onym
W ruchu zło\onym punktu prędkość bezwzględna punktu
prędkość bezwzględna (prędkość punktu P
Gdzie:
jest sumą geometryczną wektorów prędkości względnej i
b
względem układu nieruchomego)
prędkości unoszenia.
bP = wP +uP
prędkość względna (prędkość punktu P
w
względem układu ruchomego)
lub uogólniając oznaczenia
prędkość unoszenia, czyli prędkość punktu tego
b =w +u
u
punktu układu ruchomego (obliczana względem
układu nieruchomego), z którym w danej chwili
pokrywa się ruchomy punkt P.
Zazwyczaj prędkości względna i unoszenia nie są
wzajemnie prostopadłe
7 8
Ruch zło\ony punktu Przyspieszenie w ruchu zło\onym
Zazwyczaj prędkości względna i unoszenia nie są wzajemnie
b = w +u
prostopadłe:
Przyspieszenie punktu wyra\amy jako pochodną wektora
prędkości
b =w +u
w b
d
&
ą
ab =b = (b)
dt
u
W ruchu zło\onym przyspieszenie punktu jest sumą geometryczną
Moduł wektora prędkości bezwzględnej wyznaczamy w takim
(wektorową) przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia
przypadku z następującej zale\ności:
i przyspieszenia Coriolisa.
b = w 2 +u 2 + 2wu cosą
ab = aw + au + ac
9 10
Przyspieszenie w ruchu zło\onym Przyspieszenie Coriolisa
ab przyspieszenie bezwzględne czyli przyspieszenie punktu
w = const
P względem nieruchomego układu odniesienia
przyspieszenie unoszenia czyli przyspieszenie punktu
aw = 0
au układu ruchomego z którym w danej chwili pokrywa się w
punkt P
=const
przyspieszenie względne, czyli przyspieszenie punktu P
aw względem układu ruchomego
=0
ha
ac = 2 w przyspieszenie Coriolisa
Ruch względny ruch postępowy prostoliniowy
Określa wpływ ruchu względnego na ruch
suwaka po pręcie
unoszenia i odwrotnie
Ruch unoszenia ruch obrotowy pręta
11 12
2
Przyspieszenie Coriolisa Przyspieszenie Coriolisa
vu ="ha
'
"vw '
vw
vu
'
v' ="(ha +"ha)
u
vw
vw
vu
ha +"ha ha +"ha
vw vu
'
vu
Wektor prędkości względnej
doznał przyrostu pomimo, \e:
Wektor prędkości unoszenia doznał
przyrostu wartości pomimo, \e:
vw = const
= const
=const
13 14
Przyspieszenie Coriolisa Przyspieszenie Coriolisa
wektor prędkości kątowej ruchu unoszenia jest
Przyspieszenie Coriolisa jest równe zero w następujących
w II równoległy do wektora prędkości ruchu
przypadkach:
względnego
prędkość względna jest równa zeru
w = 0
prędkość kątowa ruchu unoszenia jest równa zeru,
=0
czyli ruch unoszenia jest ruchem postępowym
vw
wektor prędkości kątowej ruchu unoszenia jest
w II
równoległy do wektora prędkości ruchu
względnego
15 16
Mechanizm korbowo-wodzikowy
Ruch płaski bryły
18
3
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
Ruchem płaskim ciała sztywnego (bryły materialnej) nazywamy taki ruch W ruchu płaskim mo\na przeprowadzić przekrój płaski z poło\enia
podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach początkowego w poło\enie końcowe za pomocą dwóch ruchów
równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.
składowych:
- postępowego (przesunięcie równoległe)
- obrotowego (dookoła bieguna)
A
B B
B
A
Ą
A
A
Ą0
Ą Ą0
II
19 20
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
B
B
vB Chwilowy środek obrotu le\y w punkcie
przecięcia normalnych do torów wszystkich
Drugi ze sposobów polega
B
C
na wykonaniu tylko ruchu vC punktów poruszającego się przekroju lub
inaczej mówiąc na przecięciu się prostych
A obrotowego dookoła
A
wektorów
vA prostopadłych do kierunków nale\ących
A
pewnego punktu, w którym
prędkości wszystkich punktów
przecinają się symetralne do rozpatrywanego przekroju.
odcinków AB.
hB hC
vA vB vC
Punkt ten zwany jest
= =
hA
środkiem obrotu
zastępczego. hA hB hC
C
środek obrotu zastępczego
chwilowy środek obrotu
S
21 22
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej przykład 3
Wyznaczyć prędkość punktów B i C tarczy kołowej o promieniu
B
r pokazanej na rysunku
m
vi = "hi ł łł
ł śł vo
s
ł ł vB =
B
r
Gdzie: prędkość kątowa przekroju w ruchu płaskim,
hi odległość punktu bryły od chwilowego środka obrotu
vC
vo
Prędkość punktu przekroju w ruchu płaskim jest
proporcjonalna do odległości tego punktu od C
O
chwilowego środka obrotu
=
vS 0
S
chwilowy środek obrotu
23 S chwilowy środek obrotu 24
4
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
Ruch płaski traktowany jako zło\enie ruchu postępowego
Chwilowy środek obrotu mo\emy wykorzystać do wyznaczania
i obrotowego
prędkości punktów bryły w ruchu płaskim
Prędkość punktu w ruchu płaskim
jest sumą geometryczną prędkości
vA
vB
vBA Ą" AB
S
ruchu postępowego i prędkości AS =
vBA = " AB ruchu obrotowego dookoła
vB B
obranego bieguna.
vA B vBA
vA vB
=
vB = vA + rAB
AS BS
Kierunek wektora prędkości vB jest
vB = vA + vBA
prostopadły do BS, a wartość
vA A wyznaczany z zale\ności
vA A
vB = " BS
25 26
Ruch płaski bryły materialnej przykład 2 Plan prędkości
Prędkość dowolnego punktu przekroju w ruchu płaskim mo\na
Wyznaczyć prędkość punktu B mechanizmu pokazanego na
wyznaczyć korzystając z planu prędkości
rysunku
c
Oa = vA
b
vBA vB
vB
B
Ob = vB
B
vA
a
vC
Oc = vC
C O
vA Wielobok abc jest podobny do wieloboku
ABC i obrócony względem niego o kąt
A
A
90o w stronę obrotu chwilowego
vAB = ab vAC = ac vBC = bc
vA
27 28
Ruch płaski bryły materialnej przykład
Wyznaczyć prędkość punktu C mechanizmu pokazanego na
rysunku je\eli AC=0,25AB
b
S chwilowy środek obrotu
Przyspieszenie w ruchu płaskim
B
c
O a
C
A
vA
29
5
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
Przyspieszenie znajdujemy jako pochodną wektora prędkości
Przyspieszenie dowolnego punktu B określa zale\ność:
vB = vA + rAB
aB = aA + rAB + ( r4)
& & & & AB
vB = vA + rAB + rAB
123 14
4243
t n
aBA aBA
Przyspieszenie dowolnego punktu B określa zale\ność:
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest
sumą geometryczną przyspieszenia ruchu postępowego (bieguna),
przyspieszenia stycznego i przyspieszenia normalnego we
aB = aA + rAB + ( rAB)
względnym ruchu obrotowym wokół bieguna
31 32
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
Rozpatrzmy przekrój bryły poruszającej się ruchem płaskim.
t n
Znane jest przyspieszenie punktu A. Poszukujemy
aB = aA + aBA + aBA
przyspieszenia punktu B
n B
n
B aBA AB
aBA
n 2
aBA = " AB
aA
A
t
A
aBA
a
aA A
t
aBA Ą" AB
33 t 34
aBA = " AB
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
t n
aB = aA + aBA + aBA aB = aA + aBA
B
n
aBA
B
n
aBA
aA
aBA
t
aA
aBA
aBA
A
a
A
t
A
aBA a
B
a
A
35 36
6
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
2
2 2
t n aBA = rAB " +4
aBA = aBA + aBA
B
n
aBA
2
2
tgą =
aBA = ( " rAB )2 +( " rAB)
2
ą
aA
t
aBA
A
2
a
aBA = rAB " +4 A
aBA
tgą =
2
37 38
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski bryły materialnej
Wyznaczanie przyspieszenia punktu bryły z wykorzystaniem
Dla przekroju bryły w ruchu płaskim mo\emy znalezć punkt, którego
chwilowego środka przyspieszeń przyspieszenie w danej chwili jest równe zero. Punkt ten nazywamy
chwilowym środkiem przyspieszeń.
Wektor przyspieszenia dowolnego punktu jest nachylony pod stałym kątem
do odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń, a odległość tego
Zakładamy, \e znamy
punktu wyznaczamy z zale\ności:
A
przyspieszenie jednego
aA
punktu bryły oraz jej
AM =
prędkość i
2 4
aA
przyspieszenie kątowe + A
ą
tg ą =
2
aA
M - chwilowy środek
przyspieszeń
39 40
Ruch płaski bryły materialnej Ruch płaski
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej poruszającej się ruchem
płaskim ma wartość proporcjonalną do odległości tego punktu od środka
W ogólnym przypadku ruchu płaskiego bryły
przyspieszeń, a wektor przyspieszenia jest nachylony pod stałym kątem do
odcinka łączącego dany punkt ze środkiem przyspieszeń.
chwilowy środek obrotu i chwilowy środek przyspieszeń
A
M - chwilowy środek ą nie pokrywają się
przyspieszeń
aA B
Są to dwa ró\ne punkty. Przyspieszenie chwilowego
M
ą
środka obrotu jest ró\ne od zera. Podobnie prędkość
2 4
chwilowego środka przyspieszeń jest ró\na od zera
aB = BM +
aB
tg ą =
41 42
2
7
Plan przyspieszeń Metoda analityczna wyznaczania prędkości
Przyspieszenie dowolnego punktu przekroju w ruchu płaskim Poło\enie układu Axyz w dowolnej chwili, względem nieruchomego
układu współrzędnych OXYZ jest opisane następującymi równaniami
mo\na wyznaczyć korzystając z planu przyspieszeń
ruchu:
aAB = ab
Oa = aA c Y
y
B
-ruch postępowy
aAC = ac YB
aB
b
Ob = aB a
yB
X = X (t),
A A
B aBC = bc
Oc = aC
YA = YA(t),
rB xB
x
aC k
-ruch obrotowy YA
O
A
rA
aA
C = (t)
Wielobok abc jest podobny do wieloboku
z
ABC i obrócony względem niego o kąt
A
X
180o-ą w stronę obrotu lub przeciwną w XA XB
zalezności, czy ruch jest przyspieszony,
43 Z 44
czy opózniony
Ruch dowolnego punktu B figury płaskiej w układzie nieruchomym
Ostatecznie otrzymamy następujący wzór na prędkość punktu B
jest opisany za pomocą promienia-wektora rB
vB = [vAX -(YB -YA)]i +[vAY + (X - X )] j
B A
rB = rA +
Składowe prędkości punktu B w układzie nieruchomym są równe
Prędkość punktu B wynosi:
drB drA d
vBX = vAX -(YB -YA)
B = = +
dt dt dt
vBY = vAY +(X - X )
B A
d
= = AB
dt
45 46
Równania określające poło\enie chwilowego środka obrotu w
Składowe prędkości w układzie ruchomym wynoszą
układzie nieruchomym
vBx = vAx cos +vAy sin - y
vAX - (YS -YA) = 0
vBy = vAy cos -vAx sin + x
vAY +(XS - XA) =0
Bezwzględną wartość prędkości punktu B obliczamy ze wzoru
v v
AX AY
YS =YA + = f1(t) XS = XA - = f2(t)
2 2 2 2
vB = vBX + vBY = vBx + vBy
Rugując czas z powy\szych równań uzyskamy równanie
krzywej zwanej centroidą stałą
47 48
8
Metoda analityczna wyznaczania przyspieszenia
Po wykorzystaniu wzorów na składowe prędkości w układzie
ruchomym, otrzymamy równania określające poło\enie chwilowego
Przyspieszenie punktu B otrzymamy ró\niczkując wzór na
środka obrotu w układzie ruchomym
prędkość tego punktu względem czasu
vAx cos + vAy sin - y = 0
dvB dvA d d
vAy cos - vAx sin + x = 0
a = = + +
dt dt dt
dt
vAx sin - vAy cos
stąd
a =aA + + ( )
x =
Ostatecznie wzór na przyspieszenie punktu B ma postać
vAx cos + vAy sin
2
y =
aB = aA + -
49 50
Metoda analityczna obliczania przyspieszeń w ruchu płaskim
polega na zastosowaniu poprzednio wyprowadzonych wzorów lub
Wartość przyspieszenia bezwzględnego obliczamy ze wzoru
na zró\niczkowaniu prędkości rozwa\anego punktu B ciała
sztywnego
2 2
vBX = vAX -(YB -YA)
aB = aBX + aBY
vBY = vAY +(XB - XA)
Składowe przyspieszenia punktu B w układzie nieruchomym
wynoszą
aBX = aAX - (YB -YA) -2(X - X )
B A
aBY = aAY + (X - X ) -2(YB -YA)
B A
51 52
Ruch kulisty bryły materialnej
Ruchem kulistym nazywamy, ruch ciała sztywnego, którego jeden punkt,
zwany środkiem ruchu kulistego, jest unieruchomiony.
z
Na rysunku przedstawiono ciało
sztywne, dla którego środkiem ruchu
kulistego jest punkt O, obrany jako
Ruch kulisty bryły
początek nieruchomego układu
współrzędnych Oxyz.
Torami punktów rozpatrywanego
ciała są pewne krzywe le\ące na
O
powierzchniach kul o wspólnym
y
środku w punkcie O.
54
x
9
Ruch kulisty bryły materialnej
Przykład ruchu kulistego
Z poło\enia początkowego do poło\enia następnego, sąsiedniego mo\na
przeprowadzić bryłę za pomocą obrotu dookoła osi przechodzącej przez pkt O,
Chwilowa oś obrotu
zwanej chwilową osią obrotu.
z
Chwilowa oś obrotu, to prosta
związana z bryłą, której
Środek ruchu
wszystkie punkty mają w danej
kulistego
chwili prędkości równe 0
O
y
Chwilowa oś obrotu
55 56
x
Ruch kulisty bryły materialnej Ruch kulisty bryły materialnej
Poło\enie układu ruchomego, a tym samym i poło\enie w
przestrzeni związanego z nim ciała, jest jednoznacznie
Aby określić poło\enie
określone za pomocą trzech kątów noszących nazwę kątów
ciała względem
z
Eulera.
ś
nieruchomego układu
kąty Eulera
współrzędnych, z ciałem
tym zwią\emy prostokątny
- kąt nutacji
Ń
układ współrzędnych ś
O
którego początkiem jest
- kąt precesji
środek ruchu kulistego.
O
- kąt obrotu własnego
y
N - oś węzłów
N
57 58
x
Kąt nutacji Kąt precesji
Kąt Ń, zwany kątem nutacji, jest Kąt , czyli kąt precesji, zawarty
kątem między osią O ś układu jest między osią Ox a prostą ON
związanego z ciałem, a osią Oz będącą śladem płaszczyzny O
nieruchomego układu na nieruchomej płaszczyznie Oxy.
współrzędnych.
Prosta ON nosi nazwę linii
węzłów i jest prostopadła do
płaszczyzny przesuniętej przez
osie Oś i Oz.
N N
59 60
10
Kąt obrotu własnego Prędkość w ruchu kulistym bryły materialnej
Prędkość kątowa ruchu kulistego
Kąt , zwany kątem obrotu
= + + Ń
własnego, jest kątem, który
tworzy oś O z linią węzłów
ON.
prędkość kątowa precesji
Poniewa\ poło\enie układu śś
O
prędkość kątowa obrotu własnego
określone jest za pomocą trzech
parametrów przeto ciało sztywne
Ń
prędkość kątowa nutacji
o unieruchomionym jednym
punkcie ma trzy stopnie
&
& &
N swobody. = ; = ; Ń = Ń
61 62
Ruch kulisty bryły materialnej
Przykład ruchu kulistego
Ruch kulisty ciała sztywnego,
który charakteryzuje się tym,
\e kąt nutacji jest stały, a
prędkości obrotu własnego
i precesji są stałe, nazywamy
precesja regularną
= const
= const
Chwilowa oś obrotu
Ń = 0
N
63 64
Prędkość punktu w ruchu kulistym bryły Przyspieszenie punktu bryły w ruchu kulistym
d
&
a = v = ( r)
u - chwilowa oś obrotu
dt
& &
a = r + r
Prędkość dowolnego punktu w ruchu kulistym
określa zale\ność:
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
kulistym:
v = r
a = r + v
Moduł wektora prędkości wyznaczamy ze wzoru
v = " r'
a = ao + ad
65 66
11
Ruch kulisty bryły materialnej Przyspieszenie obrotowe w ruchu kulistym
Chwilowa oś przyspieszenia Przyspieszenie obrotowe:
Przyspieszenie kątowe o
kątowego
a = r
z
d
Wartość przyspieszenia
=
obrotowego
dt ao = " r1'
Gdzie: r1 - odległość danego punktu od osi przyspieszenia
Prosta przechodząca przez
kątowego
środek ruchu O, na której le\y
wektor nazywa się chwilową
Kierunek przyspieszenia obrotowego jest prostopadły
osią przyspieszenia kątowego O
do płaszczyzny przechodzącej przez oś przyspieszenia i
y
dany punkt, a zwrot taki, aby wektory , r, ao tworzyły
Chwilowa oś obrotu
układ prawy
67 68
x
Przyspieszenie doosiowe w ruchu kulistym Ruch kulisty bryły materialnej
Chwilowa oś przyspieszenia
Przyspieszenie doosiowe:
kątowego
d
a = v
z
Wartość przyspieszenia
o
a
doosiowego
.
r1
d .
ad = 2 "r1
a = ao + a
d
a
Gdzie: r1- odległość danego punktu od chwilowej osi obrotu
a
.
r1
Kierunek przyspieszenia doosiowego jest prostopadły do
O
chwilowej osi obrotu, a zwrot przyspieszenia jest zawsze do osi
y
Chwilowa oś obrotu
69 70
x
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykl kin 4wykl kin 6Wykl kin 3Next of Kinwykl 03wykl 12PS YCHOTERAPIA wykŁ lWprowadzenie do psychologii wykł UGWYKL 2 biol 2012 studenwięcej podobnych podstron