2
Przemieszczenia bryły w ruchu ogólnym
Ruch ogólny jest więc zło\
ony z ruchu postępowego i kulistego
II
z
I
�
Wykład - kinematyka
A
A
�
�
N
Ruch ogólny bryły 0
y
x
Współrzędne bieguna A i kąty Eulera są pewnymi funkcjami czasu, a więc:
xA = f1(t), yA = f2(t), zA = f3(t),
ńł
�ł
ół� = f4(t), � = f5(t), � = f6(t).
Powy\
sze równania będziemy nazywać równaniami ruchu ogólnego.
3 4
Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym
z
Prędkość punktu P wyra\
a zale\
ność:
y
z
drA dr'
j
k
v = +
A r
dt dt
P
i
rA
r
k
Pochodna wektora rA względem czasu jest prędkością
punktu A:
O
j
y
x
drA dxA dyA dzA
i
vA = = i + j + k
dt dt dt dt
x
5 7
Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym
Pochodna wektora r :
dr'
Niech chwilowy ruch bryły określony będzie wektorami � i VA.
�
�
�
= � � r'
dt
Chwilowa oś obrotu
Zatem prędkość dowolnego punktu P bryły w ruchu ogólnym
określa zale\
ność:
�
v = vA + � � r'
VA
A
Prędkość dowolnego punktu P bryły jest równa sumie prędkości
vA dowolnie obranego bieguna A, przyjętego za początek
ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego
� �r prędkości kątowej � i promienia wodzącego r punktu P w
� �
� �
� �
ruchomym układzie współrzędnych.
1
8 9
Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym Oś centralna ruchu ogólnego
Rozło\
ymy prędkość bieguna VA na dwie składowe, z których
Na kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której le\
ą obie składowe,
jedna ma kierunek chwilowej osi obrotu, a druga jest do niej prostopadła.
odmierzamy odcinek AP:
Składowe te na rysunku oznaczymy przez V i V1.
V1
AP =
�
Chwilowa oś obrotu
Wyznaczony punkt P ma prędkość
Chwilowa oś obrotu
równą sumie geometrycznej
prędkości ruchu postępowego VA i
�
VP=V
prędkości obrotu VP0.
�
VA
V
VP0 = AP �"� , czyli VP0 = V1 V
VP0
VA
A .
VA
P
V1
A
Kierunek tych prędkości jest
V1
jednakowy, a ich zwroty są
Oś centralna
przeciwne. Punkt P ma więc
prędkość równa:
VP = VA +VP0 = V
10 12
Oś centralna ruchu ogólnego Oś centralna ruchu ogólnego
Punkt P i wszystkie punkty le\
ące na
Punkt P i wszystkie punkty
osi równoległej do �, przechodzącej
le\
ące na osi równoległej do �,
VP VP
� �
przez punkt P, mają prędkość
przechodzącej przez punkt P,
VP0 VA równoległą do chwilowej osi obrotu. VP0 VA
. .
mają prędkość równoległą do
P Oś tę nazywamy osią centralną P
. .
VA VA
chwilowej osi obrotu. Oś tę
ruchu ogólnego.
A A
nazywamy osią centralną
Oś centralna Oś centralna
ruchu ogólnego.
14
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu ogólnym
Wzór na przyspieszenie punktu mo\
na przedstawić w nieco innej postaci po
rozpisaniu występującego w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie
z zale\
nością:
a = aA + � � r'+� (� �" r' ) - �2r'
2