I rok INFORMATYKA	Adrian Sitko	Zadanie nr 1
Data: 11^55 - 13^35	Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadłem fizycznym.	Ocena:
Uwagi:

1. Wstęp teoretyczny

Przyspieszeniem ziemskim nazywamy prawie stałe przyspieszenie ciała swobodnie spadającego na ziemię. Prawie, ponieważ jego wartość jest zależna od odległości ciała od środka Ziemi, jej ruchu w okół własnej osi oraz spłaszczeniu, w związku z czym wartość ta wynosi około 9,78m/s² na równiku, a ok. 9,83m/s² na biegunach. Przyspieszenie ziemskie zwykle oznaczamy tradycyjnie symbolem „g”, a do obliczeń nie wymagających dużej precyzji za jego wartość przyjmujemy 9,81m/s².

Wahadło matematyczne zwane inaczej wahadłem prostym to idealizacja wahadła fizycznego. Jest nim punkt materialny zawieszony na nieważkiej (w rzeczywistości o pomijalnej masie) i nierozciągliwej nici. Za pomocą takiego wahadła możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wzoru, który otrzymamy przekształcając wzór na okres drgań:

gdzie L to długość nici, a T to okres drgań. Wzór ten jest poprawny jedynie dla małych amplitud.

Logarytmiczny dekrement tłumienia wyznaczamy natomiast za pomocą wahadła fizycznego, którym jest sztywna bryła, mogąca wykonywać obroty wokół osi, która znajduje się powyżej środka ciężkości tej bryły. Dekrement tłumienia to stosunek dwóch kolejnych amplitud w czasie jednego okresu. Logarytmiczny dekrement tłumienia to logarytm naturalny z tegoż właśnie dekrementu:

Współczynnik oporu ośrodka obliczamy za pomocą wzoru:

2. Przebieg ćwiczenia

Najpierw dokonałem pomiarów wahadła prostego w celu uzyskania wyników potrzebnych do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego. Układ pomiarowy składa się z czterech kulek, dwie metalowe i dwie drewniane, zawieszonych na niciach o różnej długości na wspólnym statywie. Po zmierzeniu długości nici oraz średnicu kulek mierzyłem czas 30 wahnięć po odchyleniu wahadła o niewielki kąt (poniżej 5 stopni) i puszczeniu. Wyniki przedstawione są w tabeli nr 1.

Następnie aby zebrać wyniki niezbędne do obliczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia użyłem wahadła fizycznego. W tym celu po wychyleniu wahadła poza skalę pomiarową i puszczeniu, odczytuję ze skali 10 kolejnych wychyleń. Wyniki zapisane są w tabeli nr 2.

3. Table pomiarowe

Tabela 1:

Lp	Rodzaj Kulki	Długość nici l [m]	Średnica kulki d [m]	Długość wahadła L=(l+d/2) [m]	Czas trwania 30 okresów	Okres T[s]	Średnia wartość okresu T[s]	Stosunek L/T^2	Przyśpieszenie g [m/s^2]
1.	metalowa	0,574	0,0304 0,0304 0,0304	0,541	44,7 44,4 44 44,2	1,49 1,48 1,47 1,47	1,48	0,2346	9,75
2.	metalowa	0,638	0,0298 0,0298 0,0298	0,7128	50,2 50,3 50,2 50,3	1,67 1,67 1,67 1,67	1,67	0,2556	10,09
3.	drewniana	0,705	0,0285 0,0285 0,0285	0,7335	51,3 51,4 51,3 51,2	1,71 1,71 1,71 1,71	1,71	0,2508	9,901
4.	drewniana	0,577	0,0294 0,0294 0,0294	0,6064	45,8 45,7 45,7	1,53 1,52 1,52	1,52	0,2625	10,363

Tabela 2:

L.p.	n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1.	An [mm]	470	430	370	340	320	290	270	250	230	210
2.			485	460	400	350	330	300	280	270	250	225
3.			490	420	380	350	330	290	280	250	230	210

Δ_dt=0,01s Δ_et = 0,4s

Δ_dl = 1 mm Δ_el =2 mm

Δ_dd = 0,05 mm Δ_ed = 0,1 mm

Δ_dA= 5 mm Δ_eA = 10 mm

4. Obliczenia

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego g:

Dla pierwszego wahadła g₁ = 0,2346 · 4 · 3,14² = 9,75

g₂ = 0,2556 · 4 · 3,14² = 10,09

g₃ = 0,2508 · 4 · 3,14² = 9,901

g₄ = 0,2625 · 4 · 3,14² = 10,363

Wartość średnia:

g_śr = (9,750 + 10,09 + 9,901 + 10,363) / 4 = 10,026

Niepewność standardowa typu B:

gdzie:

Δ_dx - niepewność wzorcowania

Δ_ex - niepewność eksperymentatora

Δ_tx - niepewność wielkości literatury (nie uwzględnione)

= 0,001 m

Niepewność u_c(g):

0,30

Przyjmuję parametr k = 2 dla każdego z przyśpieszeń.

Wartość tabelaryczna przyspieszenia ziemskiego wynosi g_t = 9,81 m/s^2.

Δg₁ = 9,75 m/s² - 9,81 m/s² = | - 0.06 | m/s² = 0,06 m/s²

U(g₁) = 2 · u(g₁) = 2 · 0,3 = 0,6 m/s²

Δg₁ < U(g₁)

Δg₂ = 10,09 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,28 | m/s² = 0,28 m/s²

U(g₂) = 2 · u(g₂) = 2 · 0,28 = 0,56 m/s²

Δg₂ < U(g₂)

Δg₃ = 9,901 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,091 | m/s² = 0,091 m/s²

U(g₃) = 2 · u(g₃) = 2 · 0,32 = 0,64 m/s²

Δg₃ < U(g₃)

Δg₄ = 10,363 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,553 | m/s² = 0,553 m/s²

U(g₄) = 2 · u(g₄) = 2 · 0,2753 = 0,5506 m/s²

Δg₄ < U(g₄)

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

Na podstawie pomiarów nr 3 z tabeli 2.

Λ₁=ln(49/42) = 0,1541507

Λ₂=ln(42/38) = 0,1000835

Λ₃=ln(38/35) = 0,0822381

Λ₄=ln(35/33) = 0,0588405

Λ₅=ln(33/29) = 0,1292117

_{­­­­­­­}Λ₆=ln(29/28) = 0,0350913

Λ₇=ln(28/25) = 0,1133287

Λ₈=ln(25/23) = 0,0833816

_­Λ₉=ln(23/21) = 0,0909718

Niepewność standardowa typu A:

Λ_śr = (Λ₁ + Λ₂ + Λ₃ + … + Λ₉) / 9 = 0,094144

Współczynnik tłumienia wynosi:

β = D / T

Okres jednego pełnego wahnięcia:

T = t₁₀ / 10 = 38 / 10 = 3,8

β = 0,094144 / 3,8 = 0,0247748

Współczynnik oporu ośrodka (b):

m = 268,5 g

b = 2βm = 2 · 0,2685 kg · 0,0247748 1/s = 0,013304 kg/s

Niepewność złożona:

Niepewność standardowa typu B dla T:

0,00321[1/s]

Niepewność złożona u_c(β):

5. Wnioski

Uzyskana wartość przyspieszenia różni się od wartości tabelarycznej. Prawdopodobnie jest to spowodowane błędami pomiarów oraz tym, że w obliczeniach nie zostały uwzględnione opory powietrza i tarcie. Nie bez znaczenia jest również położenie układu pomiarowego.

Ruch wahadła fizycznego miał charakter gasnący w skutek oporów powietrza oraz tarcia, w zwiazku z czym amplituda jego wychyleń malała. Mieliśmy więc do czynienia z ruchem tłumionym. Obliczony logarytmiczny dekrement tłumienia dla tego wahadła wynosi Λ = 0,094144.

---