Rozdział 7

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI

WSTĘP TEORETYCZNY

Analiza częstotliwościowa układów dynamicznych polega na rozpatrywaniu układu pod kątem jego zdolności przenoszenia sygnałów sinusoidalnych oraz na badaniu zmian, jakim ulega sygnał tego typu po przejściu przez układ dynamiczny. Podstawowymi pojęciami charakteryzującymi wymienione włas­ności układu dynamicznego są: transmitancja widmowa i cha­rakterystyki częstotliwościowe.

Dla układu dynamicznego o jednym wejściu i jednym wyjściu sygnał wejściowy jest sygnałem sinusoidalnym o następującej postaci:

Ponieważ rozpatrywany układ dynamiczny jest układem liniowym, w stanie ustalonym sygnał wyjściowy będzie również sygnałem sinusoidalnym, o tej samej częstotliwości, lecz : innej amplitudzie
oraz innym przesunięciu fazowym

Graficzną interpretację odpowiedzi układu liniowego na wymuszenie sinusoidalne przedstawia rysunek 7.1.

Rys.7.1. Odpowiedź układu liniowego y(t) na wymuszenie sinusoidalne x(t)

Na podstawie powyższego stwierdzenia określa się transmitancję widmową
układu dynamicznego jako stosunek wartości symbolicznej sinusoidalnego sygnału wyjściowego o stałych w czasie parametrach, będącego odpowiedzią na sinusoidalny sygnał wejściowy do tego wejściowego sygnału.

Ponieważ dla każdego ustalonego o transmitancja widmowa
jest liczbą zespoloną, więc można ją przedstawić w następującej postaci:

gdzie:

Transmitancja widmowa
jest ściśle związana z transmitancją operatorową K(s)

Transmitancję widmową
przedstawia się też często wyodrębniając jej część rzeczywistą oraz część urojoną:

Część rzeczywistą:
opisuje się jako
natomiast część urojoną:
jako
Zależność między częścią rzeczywistą i urojoną a modułem i fazą funkcji
jest następująca:

czyli
:

Właściwości układów dynamicznych o transmitancji widmowej
przedstawia się często w postaci wykresów tak zwa­nych charakterystyk częstotliwościowych. Charakterystyki te otrzymuje się na podstawie transmitancji widmowej, jeśli
potraktuje się jako zmienną niezależną, przybierającą war­tości od

Charakterystyki częstotliwościowe mają nie tylko sens pojęciowy, lecz także pomiarowy, ponieważ wprowadzając eks­perymentalnie do układu wymuszenie harmoniczne o nastawianej pulsacji
można mierzyć charakterystyki częstotliwoś­ciowe na wyjściu układu.

Rozróżnia się następujące charakterystyki częstotliwoś­ciowe:

• amplitudową
  

• fazową
  

• rzeczywistą
  

• urojoną
  

Ponadto określa się charakterystyki częstotliwościowe lo­garytmiczne, bardzo dogodne, gdy operuje się wykresami. Osie
i
skaluje się logarytmicznie, wprowadzając tak zwany moduł logarytmiczny
którego jednostką jest decybel (dB); wzmocnieniu 10-krotnemu odpowiada wtedy 20 dB, wzmocnieniu jednostkowemu - 0 dB.

Jak można było zauważyć, charakterystyki częstotliwościo­we są zestawione parami. Prowadzi to do kilku typowych sposobów ich graficznego przedstawienia w postaci wykresów.

Rys. 7.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Na rysunku 7.2 przedstawiono elementarną interpretację

na płaszczyźnie zmiennej zespolonej o osiach
i
. Traktując o jako zmienną otrzymuje się krzywą
jako tak zwany wykres Nyquista lub charakterystykę ampli­tudowo- fazową, ponieważ współrzędne biegunowe każdego punktu na wykresie wyrażają

Rys. 7.3. Charakterystyki: rzeczywista i urojona

Charakterystyki
przedstawione na rysunku 7.3 są rzadziej stosowane, jednakże wiele wyspecjalizowanych urządzeń pomiarowych podaje wyniki właśnie w tej postaci.

Rys.7.4. Charakterystyki: amplitudowa i fazowa

Również charakterystyki
w skali liniowej (rysunek 7.4) są rzadko stosowane.

Rys. 7.5. Charakterystyki logarytmiczne: amplitudowa i fazowa

Bardzo powszechnie natomiast stosuje się sposób przed­stawiania w postaci podanej na rysunku 7.5. Są to tak zwane wykresy Bodego, czyli charakterystyki logarytmiczne.

Rys.7. 6. Charakterystyka moduł logarytmiczny-argument

Na rysunku 7.6 pokazano tak zwany wykres Blacka, stano­wiący połączenie pary charakterystyk moduł logarytmiczny -argument przy pulsacji
traktowanej jako parametr wykresu.

Charakterystyki amplitudowo-fazowe całkujących układów dynamicznych zaczynają się na osi zespolonej w nieskoń­czoności, a kończą w punkcie zerowym - układy całkujące idealne (rys. 7.7) lub zaczynają się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i kończą się w punkcie zerowym - układy całkujące rzeczywiste - rys. 7.8.

Rys.7.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego idealnego

Rys.7.8. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego

Charakterystyki amplitudowo-fazowe różniczkujących ukła­dów dynamicznych zaczynają się w punkcie zerowym, a kończą na osi liczb rzeczywistych - układy rzeczywiste (rys. 7.9) lub w nieskończoności na osi zespolonej - układy idealne (rys. 7.10).

Rys. 7.9. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego rzeczywistego

Rys.7.10. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego idealnego

Charakterystyki amplitudowo-fazowe większości pozostałych układów dynamicznych zaczynają się na osi liczb rzeczy­wistych w punkcie odpowiadającym współczynnikowi wzmocnienia k, a kończą się w punkcie zerowym - rysunek 7.2.

Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych wykorzystuje się głównie przy projektowaniu układów automa­tycznej regulacji oraz badaniu stabilności.

WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Aby uzyskać charakterystyki częstotliwościowe danego układu należy najpierw przeprowadzić pomiary, których specy­fikę opisano poniżej.

Charakterystyki częstotliwościowe elementu liniowego uzyskuje się przez podanie sygnału sinusoidalnego
o częstotliwości
i amplitudzie
na wejście:

i pomiar na wyjściu sygnału:

Ponieważ częstotliwości
są identyczne, uzyskuje się w wyniku dwie funkcje częstotliwości:
i
z których pierwsza jest zwykle modyfikowana,

Zakres częstotliwości praktycznie mierzalnych jest ogra­niczony: od dołu częstotliwością niestałości obrazu oscylos­kopowego a od góry ograniczeniem pasma w modelach elementów. Amplituda sygnału
choć teoretycznie dowolna dzięki przejściu do wyznaczania amplitudowej funkcji przejścia
w praktyce jest też ograniczona: od dołu bliskością szumów sygnałowych i czułością przyrządów, od góry zaś możliwością pojawienia się efektów nieliniowych w najbar­dziej na nie narażonych elementach toru pomiarowego. Amplitudy wygodnie jest wyrażać w skali logarytmicznej: A=201g(u) [dB]. Daje to korzyści przy wyznaczaniu amplitudo­wej funkcji przejścia:

która jest różnicą logarytmicznych miar wartości sygnałów wyjściowego i wejściowego.

Jako przykład posłużyły dane zebrane z czterech działa­jących modeli elementów automatyki: elementu proporcjo­nalnego, całkującego idealnego, różniczkującego rzeczywis­tego i inercyjnego pierwszego rzędu, na podstawie których można wykreślić charakterystyki częstotliwościowe (amplitu­dowe) tych elementów.

Element proporcjonalny
fwe[Hzl	5	10	20	50	100	200	500	1000	2000	5000	10000
UwefYl	1.88	1.88	1.88	1.88	1.91	1.91	1.91	1.91	1.91	1.91	1.91
Uwv(V]	8.91	9.44	9.44	9.44	9.44	9.55	9.55	9.33	8.66	6.17	3.63
Kf-1	4.73	5.01	5.01	5.01	4.95	5.01	5.01	4.9	4.54	3.24	1.91
AweFdBl	5.5	5.5	5.5	5.5	5.6	5.6	5.6	5.6	5.6	5.6	5.6
AwyWBl	19	19.5	19.5	19,5	19.5	19.6	19.6	19.4	18.75	15.8	11.2
KLMQ1	13.5	14	14	14	13.9	14	14	13.8	13.15	10.2	5.6
Element całkujący ący
fwefH?!	5	10	20	50	100	200	500	1000	2000	5000	10000
UweP/1	9r2?	P25	0.2$	0.25	0.25	0 25		0.25	025	0 25	0 25
UWYlYl	7.5	4.34	2.05	0.79	0 43	0.22	Q.13	0.04	0.02	0.01	0.01
KI-1	29 85	17.28	8.18	3.16	1.73	0.89	0.5	0.17	0.08	0.04	0.03
AwefdBl	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12
AwyFdBl	17.5	12.75	6.25	-2	-7.25	-13	-18	-27.25	-33.5	-40	-44
KLfdBl	29.5	24.75	18.25	10	4.75	-1	-6	-15.25	-21.5	-28	-32
Element różniczkujący
	5	10	20	50	100	200	500	1000	2000	5000	10000
UwelYl	025	0.25	0.25	0.25	0.25	0 25	0.25	0.25	0 25	0 25	0 25
UwyM	0.04	0.07	0.15	0.38	0.75	1.58	4.07	6.68	10.59	9.44	5.46
Kf-1	0.17	0.28	0.6	1.5	2.99	6.31	16.22	26.61	42.17	37.58	21.75
AweTdBl	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12
AwvfdBI	-27.5	-23	-16.5	-8,5	-2.5	4	12.2	16.5	20.5	19.5	14.75
KJJdBL-	-15.5	-11	-4.5	3.5	9.5	16	24.2	28.5	32.5	31.5	26.75
Element inercyjny 1 rzędu
fweFHzi	5	10	20	50	100	200	500	1000	2000	5000	10000
UweM	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00
Uwyty]	1000	10.59	10.59	9.7?	8.41	6.31	2.99	1.58	0.75	0.45	0.22
K[-]	1.00	1.06	1.06	0.9.7	0.84	0.63	0.3	0.16	0.07	0.04	0.02
AwefdBl	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
AwtfdBl	20	20.5	20.5	19.75	18.5	16	9.5	4	-2.5	-7	-13
KLFdBl	0	0.5	0.5	-0.25	-1.5	-4	-10.5	-16	-22.5	-27	-33

Rys.7.11. Wyniki pomiarów dla poszczególnych elementów

wyrażone w skali logarytmicznej (w decybelach). Różnica
i
czyli
- także w decybelach - posłużyła do wykreślenia charakterystyk częstotliwościowych amplitudowych badanych elementów.

Na rysunkach zaznaczono linią przerywaną przykładowe przebiegi charakterystyk dla elementów idealnych.

Rys.7.12. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu proporcjonalnego

W przypadku elementu proporcjonalnego (rys. 7.12) otrzymana charakterystyka w swej początkowej i środkowej części jest zbliżona do charakterystyki teoretycznej. Spadek wartości
dla częstotliwości powyżej 5000 Hz można tłumaczyć pojawiającym się dla takich wysokich częstotli­wości ograniczeniem pasma badanego elementu.

Charakterystyka elementu całkującego idealnego wyznaczona doświadczalnie (rys. 7.13) ma postać zbliżoną do charakte­rystyki teoretycznej.

W przypadku charakterystyki elementu różniczkującego rzeczywistego - rys. 7.14 - jej przebieg jest, z wyjątkiem jej końcowego odcinka, dość zbliżony do idealnego (teore­tycznego) . Opadający charakter końcowego odcinka można tłu­maczyć - podobnie jak dla elementu proporcjonalnego - ogra­niczeniem pasma badanego modelu elementu dla wyższych częstotliwości.

Rys. 7.13. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu całkującego

Rys.7.14. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu różniczkującego

Rys. 7.15. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu inercyjnego I rzędu

Charakterystyka elementu inercyjnego pierwszego rzędu -rzeczywistego - wykazuje, jak widać to na rys. 7.15, dość duże podobieństwo do jej teoretycznego odpowiednika.

PROGRAM ĆWICZENIA

I. Przygotowanie teoretyczne do ćwiczenia

1. Określenie transmitancji widmowej układu dynamicznego
   K(jra)

2. Sposoby prezentacji transmitancji K(jo)

3. Rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:

• charakterystyka amplitudowa,

• charakterystyka fazowa,

• charakterystyka rzeczywista,

• charakterystyka urojona,

• charakterystyki logarytmiczne,

• charakterystyka amplitudowo-fazowa

4. Zastosowanie charakterystyk częstotliwościowych

8

---