Rys.9.5. Przykłady zastosowania kryterium Nyąuista do oceny stabilności w szczególnych przypadkach układów

Korzystając z kryterium Nyąuista, można określić warunki stabilności układu regulacji analitycznie, bez konieczności sporządzania wykresu charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego. Zakłada się, że moduł transmitancji widmowej
jest funkcją monotonicznie malejącą dla et zmieniającej się od zera do nieskończoności. Jest to praktycznie dość często występujący przypadek - rysunek 9.6.

Rys.9.6. Typowa charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego

Określenia warunków stabilności układu regulacji można w tej sytuacji dokonać trojako:

I sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

II sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

III sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

W praktyce samo stwierdzenie, że układ regulacji jest stabilny, bywa niewystarczające. Ważne jest również okreś­lenie, jak duży jest tak zwany "zapas stabilności", czy też jak daleko od "granicy stabilności" znajduje się układ regu­lacji. Oczywiście, im bliżej tej granicy będzie znajdował się układ, tym mniejszy będzie zapas stabilności, a w przy­padku, gdy któryś z pierwiastków równania charakterys­tycznego będzie miał część rzeczywistą równą zeru, to układ taki będzie znajdował się na granicy stabilności.

0 zapasie stabilności decyduje odległość od osi
na płaszczyźnie "s" najbliżej tej osi położonego pierwiastka (lub pierwiastków). Im ta odległość będzie mniejsza, tym mniejszy będzie zapas stabilności układu. Miarą zapasu stabilności jest więc minimalna co do wartości bezwzględnej część rzeczywista pierwiastków równania charakterystycznego, odpowiadającego układowi stabilnemu:

Podobnie z kryterium Nyąuista wynika, że układ jest ^«b granicy stabilności, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
przechodzi przez punrt o współrzędnych (-l,jO). Stąd o zapasie stabilności decyó odległość punktu (-l,jO) od charakterystyki amplitudowe -fazowej układu otwartego. Im ta odległość będzie mniejsza tym mniejszy zapas stabilności Am będzie posiadał układ. M. jest tak zwanym amplitudowym zapasem stabilności. Przez jego miarę można rozumieć odwrotność modułu wartości częśc-rzeczywistej transmitancji widmowej układu otwartego dla częstotliwości
dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina ujemną oś części rzeczywistych:

Podobnie przez miarę fazowego zapasu stabilności rozumie się wartość kąta
określanego jako różnica argumentów transmitancji widmowej dla częstotliwości
dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina okrąg jednost­kowy, mający środek w początku układu współrzędnych, i dla częstotliwości

Częstotliwość
nazywana jest częstotliwością graniczną fazy (częstotliwość odcięcia fazy):

Częstotliwość
nazywana jest częstotliwością graniczną modułu (częstotliwość odcięcia modułu):

Pojęcia amplitudowego i fazowego zapasu stabilności ilustruje rysunek 9.7.

Rys.9.7. Ilustracja pojęć amplitudowego
i fazowego
zapasu stabilności

Zapas amplitudy określa więc, ile razy można zwiększyć moduł transmitancji, zanim osiągnie on wartość 1, a zapas fazy określa, o ile można zwiększyć przesunięcie fazowe, zanim osiągnie ono wartość
Określanie zapasu stabil­ności dotyczy oczywiście tylko układów stabilnych. Układy niestabilne nie mają zapasu stabilności, choć czasami określa się dla nich ujemne wartości zapasu w celu wyzna­czenia parametrów korygujących, stabilizujących układ.

Zapewnienie odpowiedniego zapasu stabilności dla projek­towanych układów regulacji jest zagadnieniem istotnie ważnym w teorii układów automatycznej regulacji. Zaleca się na ogół, aby:

• amplitudowy zapas stabilności:
  

• fazowy zapas stabilności:
  

Dokładność statyczna układów automatyki

Z punktu widzenia analizy właściwości układów regulacji istotną sprawą jest ocena wartości ustalonego uchybu (błędu) regulacji.

Schemat blokowy prostego układu regulacji przedstawia rysunek 9.8.

X(s) - wielkość zadana Y(s) - wielkość regulowana Z(s) - zakłócenia E(s) - uchyb (błąd) regulacji W(s) - wielkość nastawiająca (sterująca) Rys.9.8. Schemat blokowy układu regulacji

Miarą dokładności statycznej układu regulacji są uchyby w stanie ustalonym, które definiuje się następująco:

Dla układu regulacji z rysunku 9.8 uchyb regulacji E(sj można opisać równaniem:

(szczegółowe wyprowadzenie tego równania można znaleźć w rozdziale 10) , przy czym określić można uchyb nadążania
i uchyb zakłóceniowy

Uchyby te w stanie ustalonym określa się następująco:

Przy czym, ponieważ:
więc:

Jak widać, ocena błędu ustalonego polega na ocenie uchybu nadążania i uchybu zakłóceniowego. Dopuszczalne wartości tych błędów określa się oddzielnie w procentach wartości maksymalnych wielkości zadanej lub wielkości regulowanej.

W przypadku analizy właściwości układów regulacji istotny ]est podział tych układów na statyczne i astatyczne układy regulacji automatycznej.

Celem układu regulacji automatycznej jest takie stero­wanie obiektem, aby przebieg sygnału regulowanego jak naj­mniej różnił się od przebiegu sygnału zadanego, to znaczy, oy uchyb regulacji był jak najmniejszy, a w idealnym -kładzie regulacji dążył do zera.

Układ regulacji jest układem statycznym, jeśli uchyb regulacji w stanie ustalonym dla skokowego sygnału x(t) jest różny od zera i równy
Wielkość
nazywana jest -ichybem statycznym.

Układem astatycznym nazywany jest układ, w którym uchyb -stalony jest równy zeru. Aby zamknięty układ regulacji był -icładem astatycznym, układ otwarty musi mieć właściwości całkujące.

Przy wymuszeniu liniowo narastającym statyczny układ regulacji (statyczny przy wymuszeniu w postaci skoku jed­nostkowego) nie może działać prawidłowo, ponieważ uchyb -stalony jest nieskończony, natomiast układ astatyczny przy takim wymuszeniu wykazuje różny od zera, tak zwany uchyb rrędkościowy. Aby uchyb prędkościowy był równy zero, układ

musi być układem astatycznym drugiego stopnia (musi zawiera: dwa elementy całkujące). Aby układ astatyczny drugiec: stopnia mógł wykazywać uchyb ustalony, wymuszenie musi t paraboliczne. Uchyb ustalony przy wymuszeniu parabolicznym nazywa się uchybem przyspieszeniowym. Oczywiście, uk; astatyczny wyższego rzędu ma zerowe uchyby ustalone wszys­tkich niższych stopni.

Aby przybliżyć zagadnienia statycznych i astatycznycr układów regulacji, rozważone będą układy o schematach bloko­wych podanych na rysunku 9.9. Dla układów tych transmitancje układu otwartego wynoszą odpowiednio:

Uchyb ustalony dla skokowego wymuszenia x(t)=a 11 (t), czyli
dla tych układów wynosi:

Rys.9.9. Przykłady układów statycznych i astatycznych

Z obliczeń wynika więc, że układ z rys. 9.9a jest układem statycznym, a pozostałe dwa są układami astatycznymi. Dla układu z rys. 9.9b błąd ustalony różny od zera otrzymuje się dla wymuszenia liniowo narastającego w czasie:

Jest to więc układ astatyczny pierwszego rzędu. Natomiast dla układu z rys. 9.9c błąd ustalony różny od zera występu:^ dopiero dla wymuszenia parabolicznie narastającego:

Jest to więc układ astatyczny drugiego rzędu.

Rozważania dotyczące statyzmu lub astatyzmu układu można prowadzić tylko wtedy, gdy układ jest stabilny, gdyż tylko wtedy wartość uchybu e(t) może ustalić się po odpowiednim czasie jako
Niestety, wymagania dużego zapasu stabil­ności i dużej dokładności (małej wartości
są wymaga­niami wzajemnie sprzecznymi. Projektując układ regulacji trzeba się liczyć z pewnym kompromisem między tymi wymaga­niami, a mianowicie należy określić niezbędny zapas stabil­ności i zgodzić się na uzyskaną dokładność statyczną. Waru­nek stabilności jest warunkiem pierwszorzędnym.

Inne wskaźniki jakości regulacji

Kolejnym parametrem charakteryzującym jakość regulacji jest tak zwany częstotliwościowy wskaźnik regulacji. Poka­zuje on, jak silnie tłumione są zakłócenia w zamkniętym układzie regulacji w stosunku do układu otwartego. Tor zakłóceń Z(s) w układzie bez regulatora (czyli w układzie otwartym) ma następującą funkcję przejścia (rys. 9.8):

Natomiast w układzie zamkniętym funkcja przejścia zakłóceń ma postać:

Stosunek funkcji przejścia zakłóceń w układzie zamkniętym do funkcji przejścia zakłóceń w układzie otwartym nazywany jest wskaźnikiem regulacji:

Częściej operuje się pojęciem częstotliwościowego wskaź­nika regulacji, który jest określany przez stosunek wartości bezwzględnych odpowiednich transmitancji widmowych:

Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji jest przedstawiona na rysunku 9.10.

Rys.9.10. Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji

Na charakterystyce wskaźnika regulacji można wyróżnić: - pasmo tłumienia zakłóceń
dla którego

W paśmie tym wpływ zakłóceń jest mniejszy w układzie ze sprzężeniem zwrotnym niż dla obiektu regulacji bez sprzężenia. W przypadku większości układów największe tłumienie jest dla
kiedy to:

- pasmo krytyczne - rezonansowe
dla któresr

Zakłócenia o częstotliwościach z tego pasma sa wzmacniane w układzie ze sprzężeniem zwrotnym w stosur. do układu otwartego. Najsilniej zjawisko to występuje dl; częstotliwości rezonansowej
dla której:

Dla częstotliwości
i
zakłóceni:

oddziałują w ten sam sposób w układzie zamkniętym, jaic i w układzie otwartym;

- pasmo nadrezonansowe
dla którego

W paśmie tym nie ma tłumienia zakłóceń, co wynika ze zmniejszania się transmitancji widmowej do zera dla ty:: częstotliwości
co oznacza "otwarcie" pętli

sprzężenia zwrotnego).

Tak więc, aby tłumienie zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji było bardziej skuteczne niż w układzie otwartym, częstotliwości zakłóceń muszą leżeć w paśmie tłumienia. W praktyce ogranicza się pasmo regulacji
dla

którego wpływ zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji jest słabszy aniżeli w układzie otwartym (rys.9.10).

Duży wpływ na przebieg charakterystyki częstotliwoś­ciowego wskaźnika regulacji ma współczynnik wzmocnienia układu otwartego - rys. 9.11. Ze wzrostem tego współczynnika poprawia się tłumienie, ale następuje pogorszenie się własności układu w paśmie rezonansowym.

Rys.9.11. Wpływ współczynnika wzmocnienia układu otwartego na częstotliwościowy wskaźnik regulacji

O jakości regulacji, oprócz zapasu stabilności, dokła­dności statycznej i wskaźnika regulacji decydują jeszcze następujące wskaźniki (rys. 9.12):

• czas regulacji t_r - czas liczony od chwili wprowadzenia
  wymuszenia do chwili, po której uchyb regulacji zmaleje
  poniżej 5% swojej wartości maksymalnej,

• przeregulowanie
  - stosunek największej wartości błędu
  regulacji o znaku przeciwnym niż błąd maksymalny do
  wartości tego maksymalnego błędu.

Rys.9.12. Ilustracja wskaźników reulacji: czasu regulacji t_r i przeregulowania c

---