WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Przedstawione na rysunkach 9.13 - 9.17 wykresy to chara­kterystyki amplitudowo-fazowe kilku podstawowych elementów automatyki.

Rysunek 9.13 przedstawia charakterystykę elementu inercyjnego I rzędu o transmitancji:

Rys.9.13. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego I rzędu

Rysunek 9.14 przedstawia charakterystykę elementu iner­cyjnego II rzędu o transmitancji:

Rysunek 9.15 przedstawia charakterystykę elementu oscyla­cyjnego II rzędu o transmitancji:

Rys.9.14. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego II rzędu

Rys.9.15. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu oscylacyjnego II rzędu

Rysunek 9.16 przedstawia charakterystykę elementu róż­niczkującego rzeczywistego o transmitancji:

Rys.9.16. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego rzeczywistego

Rysunek 9.17 przedstawia charakterystykę elementu całku­jącego rzeczywistego o transmitancji:

Rys.9.17. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego

Dla układu regulacji zamodelowanego jak na rysunku 9.18 można zbadać wpływ parametrów obiektu oraz wpływ regulatora na zmiany uchybu regulacji e(t) w czasie, wpływ na stabil­ność oraz na statyzm/astatyzm układu.

Rys.9.18. Rozpatrywany układ regulacji

Rys.9.19. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalnym

Z wykresów e(t) dla elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalnym (rys. 9.19) widać, że zwię­kszenie wzmocnienia (k) regulatora powoduje zmniejszenie błędu w stanie ustalonym, nie mniej jednak układ zawsze pozostaje układem statycznym - błąd nigdy nie osiąga zera. Na rysunku tym pokazano również, jak zmieniłby się wykres, gdyby rozważany był przypadek obiektu o innej stałej czasowej.

Rys.9.20. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalnym

Na rysunku 9.20 pokazano dokładnie, że np. przy 10-krotnym zwiększeniu stałej czasowej wykres e(t) osiąga te same wartości co wykres e(t) dla elementu o stałej czasowej nie zwiększonej, ale po czasie 10-krotnie dłuższym.

Dla elementu oscylacyjnego połączonego z regulatorem proporcjonalnym wykonano dwa zestawy wykresów. Wykresy przedstawione na rysunku 9.21 pokazują wpływ współczynnika tłumienia
na charakter przebiegu uchybu regulacji w czasie: dla
układ rozbiega się i nie osiąga wartości ustalonej, jest to więc wtedy przykład członu niestabilnego (przypadek ten jest możliwy jedynie w układach z dodatkowym źródłem energii, a więc właśnie w układach ze sprzężeniem zwrotnym), dla
= 0 w układzie występują drgania nietłumione, a dla
błąd gasnący oscylując osiąga pewną ustaloną wartość. Dla
uchyb osiąga tę wartość bardzo

Rys.9.21. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalnym

szybko, nie wykonując żadnych oscylacji, a tylko dochodząc po pewnym czasie do wartości ustalonej.

Rys.9.22. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalnym

Jeśli natomiast zmianom będzie podlegać wzmocnienie regulatora (rys. 9.22), wówczas wraz z jego wzrostem rosnąć będzie początkowa amplituda drgań, jednakże ostateczny błąd ustalony będzie się zmniejszał. Nigdy nie osiągnie on zera -układ jest statyczny.

Rys.9.23. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalno-całkującym

W przypadku elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalno - całkującym (rys. 9.23), gdy zwiększa się wzmocnienie regulatora, błąd szybciej osiąga zero - układ jest astatyczny.

Podobnie układem astatycznym jest połączenie elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno - całkującym. Tu zwiększenie wzmocnienia regulatora powoduje wzrost początko­wej amplitudy drgań, jednakże po pewnym czasie wielkość błędu ustala się na wartości zerowej - rysunek 9.24. Dla tego układu istnieje niebezpieczeństwo "wypadnięcia" ze sta­bilności - element oscylacyjny jest elementem drugiego rzędu; jego połączenie z regulatorem PI tworzy układ trzeciego rzędu, który może być już niestabilny.

Rys. 9.24. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno-całkującym

Poniżej podany został przykład obliczania warunku stabil­ności dla układu trzeciego rzędu o transmitancji:

oznaczając:
= k

Z kryterium Hurwitza:

Wobec tego współczynniki:

oraz wyznacznik

określają warunki, przy zachowaniu których rozważany układ będzie stabilny.

Rys.9.25. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno-całkującym

Podczas badania elementu oscylacyjnego z regulatorem PI, zmieniając współczynnik tłumienia
(rys. 9.25), można zauważyć, iż układ ten zaczyna się rozbiegać już dla np.
a nie jak w przypadku samego elementu oscylacyjnego dla

Poniżej podane zostały obliczenia dla takiego właśnie układu (element oscylacyjny + regulator PI) .

Transmitancja elementu oscylacyjnego:

Transmitancja regulatora PI:

Wobec tego funkcja przejścia całego układu (otwartego):

przy czym jako k oznaczony został iloczyn
Z kryterium Hurwitza:

Współczynniki:

Wyznacznik:

Wobec tego:

Przy wartościach, dla jakich były wykonane wykresy z rysunku 9.25:

k=2,

T=l[s],

dla
układ jest stabilny.

Podobne obliczenia można wykonać dla stałej czasowej: Z warunku:

otrzymuje się:

Rys.9.26. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno-całkującym

Dla wartości, przy których były wykonywane wykresy z rysunku 9.26:

k=4

wynikiem jest T<1,5, co zostało pokazane na rys. 9.26.

Zmiany
i zmiany T wymagają ingerencji w obiekt regulacji, co w praktyce rzadko kiedy jest możliwe. Możliwa jest natomiast zmiana sumarycznego wzmocnienia układu poprzez zmianę wzmocnienia regulatora. Dla rozważanego układu:

Przypadek pierwszy:

wtedy:

Można zauważyć, iż w tym przypadku mianownik jest liczbą dodatnią, licznik ujemną, co daje w rezultacie liczbę ujemną, a ponieważ k zawsze jest >0, więc warunek ten jest zawsze spełniony.

Rys.9.27. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno-całkującym

Dla przykładu:

T=l[s],

wtedy k>-6.

Przypadek ten został pokazany na wykresie 9.27.

Przypadek drugi:

wtedy:

Rys.9.28. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem proporcjonalno-calkującym

Dla przykładu:

T=l[s],

wtedy k<4 (i oczywiście >0), aby układ był stabilny, co zos­tało przedstawione na rysunku 9.28.

Przydatna jest także znajomość praktycznego wyznaczania z wykresów uchybu regulacji takich wskaźników regulacji, jak: czas regulacji oraz przeregulowanie.

Dla układu regulacji jak na rysunku 9.29 wykreślone zos­tały za pomocą rejestratora XY wykresy zmienności błędu (uchybu) regulacji w funkcji czasu.

Rys.9.29. Schemat blokowy układu regulacji

Wykres z rysunku 9.30 wykonany został dla sygnału wymuszającego typu
(wobec tego X(s)=10/s).

Ponieważ w układzie tym występuje jedynie błąd nadążania (nie występuje błąd zakłóceniowy), to uchyb w stanie ustalonym liczony będzie ze wzoru:

Funkcja przejścia układu otwartego:

Rys.9.30. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu Błąd ustalony:

co oznacza, iż układ jest statyczny. Wykres (rys. 9.30.) potwierdza wynik powyższych obliczeń. Z wykresu można odczytać ponadto następujące wartości:
=9,4[V],
=7,1[V],
Można, więc obliczyć:

- przeregulowanie:

- czas regulacji:

Wykres przedstawiony na rysunku 9.31 został wykonany dla wymuszenia
(wobec tego X(s)=20/s).

Uchyb w stanie ustalonym:

Układ jest więc statyczny.

Rys.9.31. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu Z wykresu można odczytać:

Tak więc:

- przeregulowanie:

- czas regulacji:

Wykres przedstawiony na rysunku 9.32 został wykonany dla wymuszenia liniowo narastającego: x(t)=2t, (czyli

Uchyb w stanie ustalonym:

Rys. 9.32. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu

Rys.9.33. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu

Uchyb w stanie ustalonym jest nieskończony, więc układ nie może w ogóle działać. Widać to na wykresie - uchyb rośnie wraz z upływem czasu i wyraźnie nie ma charakteru stabilizującego się. Nie można więc tu mówić o żadnych wskaźnikach regulacji.

Wykres przedstawiony na rysunku 9.33 został wykonany dla wymuszenia parabolicznego:
(czyli

Uchyb w stanie ustalonym:

Uchyb w stanie ustalonym dąży do nieskończoności - układ rozbiega się i nie może działać. Również w tym przypadku nie można mówić o żadnych wskaźnikach regulacji.

Przedstawić, jak zmieni się wartość wskaźnika regulacji, jeżeli dla przedstawionego układu sygnał zakłóceniowy będzie oddziaływał w pierwszym przypadku za obiektem, a w drugim przed obiektem regulacji.

- dla układu z zakłóceniem działającym za obiektem:

funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie bez regulatora (układ otwarty)

funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie z regulatorem (układ zamknięty)

Wartość wskaźnika regulacji wynosi:

- dla układu z zakłóceniem działającym przed obiektem:

funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie bez regulatora (układ otwarty)

funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie z regulatorem (układ zamknięty)

Wartość wskaźnika regulacji wynosi:

Jak widać z przeprowadzonych obliczeń, zmiana miejsca oddziaływania zakłócenia nie ma wpływu na wartość wskaźnika regulacji q(s).

PROGRAM ĆWICZENIA

I. Przygotowanie teoretyczne do ćwiczenia

1) Zapoznanie się z pojęciem stabilności układu

2) Definicja stabilności liniowych układów dynamicznych oraz definicja stabilności układów regulacji

3. Pojęcie równania charakterystycznego

4. Kryteria stabilności układów regulacji

5) Przykłady zastosowań kryterium Nyquista do oceny stabilności

6. Amplitudowy i fazowy zapas stabilności

7. Statyczne i astatyczne układy regulacji

8. Stabilność a dokładność

9. Częstotliwościowy wskaźnik regulacji

10) Inne wskaźniki regulacji: czas regulacji i przeregulowanie

II. Ćwiczenie

1. Zamodelować za pomocą maszyny cyfrowej kilka podstawowych
   elementów automatyki i wykreślić ich charakterystyki
   amplitudowo-fazowe.

2. Za pomocą maszyny cyfrowej zamodelować:

• element inercyjny I rzędu z regulatorem proporcjonalnym,

• element inercyjny I rzędu z regulatorem PI,

• element oscylacyjny z regulatorem proporcjonalnym,

• element oscylacyjny z regulatorem PI.

3. Dla poszczególnych modeli wykonać wykresy e(t).

4. Zbadać wpływ zmian: wzmocnienia, stałych czasowych, stałej tłumienia na stabilność i statyczność układów.

5. Dla elementu oscylacyjnego z regulatorem PI wykonać obliczenia warunku stabilności.

6. Zamodelować, stosując maszynę analogową, dowolny zamknięty układ regulacji i wykonać wykresy zależności
   uchybu od czasu dla różnych sygnałów wymuszających.

7. Dla każdego przypadku obliczyć przeregulowanie i czas regulacji.

15

---