WSTĘP TEORETYCZNY

Stabilność układów automatyki

Zapewnienie stabilnej pracy układu regulacji jest jednym z zasadniczych zadań przy jego projektowaniu. Warunek ten jest tym ważniejszy, że o ile np. niekorzystna charakterystyka częstotliwościowa układu regulacji lub występowanie nieliniowości zmniejsza jedynie dobroć regulacji, o tyle występowanie niestabilności może pociągnąć za sobą uszkodzenie układu regulacji, a zwłaszcza wzmacniacza mocy i członu wykonawczego.

Pojęcie stabilności układu wiąże się intuicyjnie z poję­ciem trwałej równowagi układu. O ile w przypadku ogólnym dla układów nieliniowych można wyodrębnić wiele sposobów okreś­lania stabilności, w zależności od wymagań stawianych ukła­dom, o tyle w przypadku liniowych układów dynamicznych defi­nicja stabilności jest prosta i jednoznaczna. Brzmi ona w sformułowaniu Laplace'a następująco: Układ liniowy nazywany jest układem stabilnym, jeżeli dla dowolnych warunków począ­tkowych, przy dowolnym i ograniczonym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy pozostaje również ograniczony.

Dla układów regulacji stabilność definiuje się nieco inaczej, a mianowicie są one stabilne, jeżeli dla dowolnych warunków początkowych, przy zerowych sygnałach wejściowych (wymuszeniach i zakłóceniach), sygnał wyjściowy w stanie ustalonym dąży do wartości zerowej.

Dla tak definiowanej stabilności (zerowe wymuszenia) przy jej badaniu wystarczy posługiwać się jednorodnym równaniem różniczkowym dynamiki układu:

lub związanym z nim operatorowym równaniem algebraicznym:

zwanym równaniem charakterystycznym. Równanie to otrzymuje się przyrównując do zera mianownik funkcji przejścia układu zamkniętego
:

czyli:

gdzie
jest transmitancją układu otwartego.

Kryteria stabilności układów regulacji

Kryterium pierwiastków równania charakterystycznego

Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu regulacji jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakte­rystycznego miały części rzeczywiste ujemne, tj.:

Wynika to z faktu, iż rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego:
składa się w zależności od pierwiastków s_m równania charakterystycznego (jednokrotne, wielokrotne lub równe zero) z sumy wyrażeń typu:
Każde rozwiązanie danego jednorodnego równania różniczkowego będzie dążyć do zera przy
gdy części rzeczywiste wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego będą ujemne ze względu na malejący charakter funkcji typu

Przy zachowaniu warunku
wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s" (w układzie współrzędnych: oś X - osią rzeczywistą (Re) , oś Y - urojoną (Im)). Jeśli dowolny z pierwiastków
ma część rzeczywistą równą zero, to układ znajduje się na granicy stabilności i mogą w nim wystąpić drgania o stałej amplitudzie. Jeśli natomiast, choć jeden z pierwiastków ma dodatnią część rzeczywistą (znajduje się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s"), wówczas układ jest niestabilny - amplituda drgań w układzie narasta, a układ "rozbiega się". Przypadki te prezentuje rys. 9.1.

Rys.9.1. Pierwiastki równania charakterystycznego: a) układu stabilnego, b) układu na granicy stabilności, c) układu niestabilnego

Badanie stabilności za pomocą kryterium pierwiastków rów­nania charakterystycznego jest bardzo kłopotliwe, szczegól­nie dla układów wyższych rzędów.

Kryterium algebraiczne Hurwitza

Kryterium to pozwala ocenić stabilność układu regulacji na podstawie współczynników równania charakterystycznego bez konieczności obliczania pierwiastków tego równania.

Według kryterium Hurwitza układ jest stabilny, jeśli zachodzą następujące warunki:

- wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie,

- wyznacznik główny
i wszystkie podwyznaczniki

(2,3,...n) utworzone z wyznacznika głównego są dodatnie:

Kryterium częstotliwościowe Nyquista

Kryterium Nyquista dotyczy przypadku badania stabilności zamkniętego układu regulacji na podstawie charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego. Metoda ta pozwala stwierdzić już na etapie projektu i budowy układu regulacji, czy po zamknięciu obwodu regulacyjnego układ będzie stabilny. Ważnym elementem kryterium Nyquista jest oparcie się na charakterystykach częstotliwościowych, które mogą być wyznaczane doświadczalnie, a niekoniecznie metodą anali­tyczną.

W myśl kryterium pierwiastków równania charakterystycz­nego układ regulacji jest stabilny, jeżeli wszystkie pier­wiastki tego równania mają części rzeczywiste ujemne, to znaczy znajdują się w lewej części płaszczyzny zmiennej zespolonej "s". Istota tego kryterium polega, więc na wyzna­czeniu rozkładu pierwiastków równania
na płasz­czyźnie "s". Kryterium Nyquista opiera się na kontroli poło­żenia pierwiastków równania charakterystycznego na płasz­czyźnie "s" poprzez odwzorowanie tej płaszczyzny na płasz­czyznę zmiennej zespolonej
. Aby odnaleźć na płasz­czyźnie
punkt odpowiadający danemu punktowi
na płaszczyźnie "s", należy dokonać podstawienia:

a z otrzymanego rezultatu wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną, czyli:

Wartości
są współrzędnymi punktu odpowiadającego na płaszczyźnie
punktowi
na płasz­czyźnie "ś". Jeżeli
jest jednym z pierwiastków równania
czyli jeżeli
(lub w innym zapisie: K_o(jω)=-l+jO), to takiemu punktowi
na płaszczyźnie "s" odpowiada na płaszczyźnie
punkt o współrzędnych (-l,jO).

Po dokonaniu transformacji wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego przejdą w punkt (-l,jO) na płaszczyźnie
W celu sprawdzenia stabilności układu regulacji wystarczy skontrolować, czy na płaszczyźnie
punkt (-l,jO) znajduje się w obszarze odpowiadającym lewej pół-płaszczyźnie zmiennej s lub (co jest równoznaczne) , czy znajduje się poza obszarem odpowiadającym prawej półpłasz-czyźnie zmiennej s. Dokonuje się w tym celu odwzorowania brzegów prawej półpłaszczyzny zmiennej s. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę
przedstawiono na rysunku 9.2.

Rys.9.2. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę

W przypadku więc stabilnego zamkniętego układu regulacji wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego nie może obejmować punktu o współrzędnych (-l,jO) dla częstotliwości zmieniających się od
Jest te równoznaczne z faktem, że posuwając się po tej charakte­rystyce w kierunku rosnących częstotliwości mija się punkt (-1,jO) w ten sposób, że znajduje się on po lewej stronie wykresu. Dla większości przypadków wystarczająca jest analiza przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej dla częstotliwości zmieniających się od 0 do oo. Jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina się z ujemna częścią osi rzeczywistej w i (i=l,2..n) punktach, wówczas należy określić częstotliwości
dla których:

a następnie sprawdzić czy spełnione są zależności:

Przykłady zastosowań kryterium Nyquista do oceny sta­bilności przedstawia rysunek 9.3.

Rys.9.3. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności

Pewne niejasności mogą pojawić się przy układach zawiera­jących elementy całkujące (charakterystyki dążące do nie­skończoności dla
. Należy wtedy narysować pełną charak­terystykę dla częstotliwości
lub uzupełnić ■wykres o krzywą zaczynającą się na dodatniej części osi rzeczywistej - rysunek 9.4.

Rs.9.4. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w przypadkach układów z elementami całkującymi

Jeżeli dla niektórych
warunek
nie jest spełniony, to układ nie musi być niestabilny. Może to być rzadko spotykany przypadek, taki jak pokazany na rysunku 9.5.

Rys.9.5. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w szczególnych przypadkach układów

Korzystając z kryterium Nyquista, można określić warunki stabilności układu regulacji analitycznie, bez konieczności sporządzania wykresu charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego. Zakłada się, że moduł transmitancji widmowej
jest funkcją monotonicznie malejącą dla et zmieniającej się od zera do nieskończoności. Jest to praktycznie dość często występujący przypadek - rysunek 9.6.

Rys.9.6. Typowa charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego

Określenia warunków stabilności układu regulacji można w tej sytuacji dokonać trojako:

I sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

II sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

III sposób:

1. Wyznaczyć częstotliwość
z warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

W praktyce samo stwierdzenie, że układ regulacji jest stabilny, bywa niewystarczające. Ważne jest również okreś­lenie, jak duży jest tak zwany "zapas stabilności", czy też jak daleko od "granicy stabilności" znajduje się układ regu­lacji. Oczywiście, im bliżej tej granicy będzie znajdował się układ, tym mniejszy będzie zapas stabilności, a w, przy­padku, gdy któryś z pierwiastków równania charakterys­tycznego będzie miał część rzeczywistą równą zeru, to układ taki będzie znajdował się na granicy stabilności.

0 zapasie stabilności decyduje odległość od osi
na płaszczyźnie "s" najbliżej tej osi położonego pierwiastka (lub pierwiastków). Im ta odległość będzie mniejsza, tym mniejszy będzie zapas stabilności układu. Miarą zapasu stabilności jest więc minimalna co do wartości bezwzględnej część rzeczywista pierwiastków równania charakterystycznego, odpowiadającego układowi stabilnemu:

Podobnie z kryterium Nyquista wynika, że układ jest na granicy stabilności, jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
przechodzi przez punkt o współrzędnych (-l, jO). Stąd o zapasie stabilności decyduje odległość punktu (-l, jO) od charakterystyki amplitudowe -fazowej układu otwartego. Im ta odległość będzie mniejsza tym mniejszy zapas stabilności Am będzie posiadał układ. M. jest tak zwanym amplitudowym zapasem stabilności. Przez jego miarę można rozumieć odwrotność modułu wartości części rzeczywistej transmitancji widmowej układu otwartego dla częstotliwości
dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina ujemną oś części rzeczywistych:

Podobnie przez miarę fazowego zapasu stabilności rozumie się wartość kąta
określanego jako różnica argumentów transmitancji widmowej dla częstotliwości
dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina okrąg jednost­kowy, mający środek w początku układu współrzędnych, i dla częstotliwości

Częstotliwość
nazywana jest częstotliwością graniczną fazy (częstotliwość odcięcia fazy):

Częstotliwość
nazywana jest częstotliwością graniczną modułu (częstotliwość odcięcia modułu):

Pojęcia amplitudowego i fazowego zapasu stabilności ilustruje rysunek 9.7.

Rys.9.7. Ilustracja pojęć amplitudowego
i fazowego
zapasu stabilności

Zapas amplitudy określa więc, ile razy można zwiększyć moduł transmitancji, zanim osiągnie on wartość 1, a zapas fazy określa, o ile można zwiększyć przesunięcie fazowe, zanim osiągnie ono wartość
Określanie zapasu stabil­ności dotyczy oczywiście tylko układów stabilnych. Układy niestabilne nie mają zapasu stabilności, choć czasami określa się dla nich ujemne wartości zapasu w celu wyzna­czenia parametrów korygujących, stabilizujących układ.

Zapewnienie odpowiedniego zapasu stabilności dla projek­towanych układów regulacji jest zagadnieniem istotnie ważnym w teorii układów automatycznej regulacji. Zaleca się na ogół, aby:

• amplitudowy zapas stabilności:
  

• fazowy zapas stabilności:
  

Dokładność statyczna układów automatyki

Z punktu widzenia analizy właściwości układów regulacji istotną sprawą jest ocena wartości ustalonego uchybu (błędu) regulacji.

Schemat blokowy prostego układu regulacji przedstawia rysunek 9.8.

X(s) - wielkość zadana

Y(s) - wielkość regulowana

Z(s) - zakłócenia

E(s) - uchyb (błąd) regulacji

W(s) - wielkość nastawiająca (sterująca)

Rys.9.8. Schemat blokowy układu regulacji

Miarą dokładności statycznej układu regulacji są uchyby w stanie ustalonym, które definiuje się następująco:

Dla układu regulacji z rysunku 9.8 uchyb regulacji E(sj można opisać równaniem:

(szczegółowe wyprowadzenie tego równania można znaleźć w rozdziale 10) , przy czym określić można uchyb nadążania
i uchyb zakłóceniowy

Uchyby te w stanie ustalonym określa się następująco:

Przy czym, ponieważ:
więc:

Jak widać, ocena błędu ustalonego polega na ocenie uchybu nadążania i uchybu zakłóceniowego. Dopuszczalne wartości tych błędów określa się oddzielnie w procentach wartości maksymalnych wielkości zadanej lub wielkości regulowanej.

W przypadku analizy właściwości układów regulacji istotny jest podział tych układów na statyczne i astatyczne układy regulacji automatycznej.

Celem układu regulacji automatycznej jest takie stero­wanie obiektem, aby przebieg sygnału regulowanego jak naj­mniej różnił się od przebiegu sygnału zadanego, to znaczy, by uchyb regulacji był jak najmniejszy, a w idealnym -kładzie regulacji dążył do zera.

Układ regulacji jest układem statycznym, jeśli uchyb regulacji w stanie ustalonym dla skokowego sygnału x(t) jest różny od zera i równy
Wielkość
nazywana jest uchybem statycznym.

Układem astatycznym nazywany jest układ, w którym uchyb ustalony jest równy zeru. Aby zamknięty układ regulacji był układem astatycznym, układ otwarty musi mieć właściwości całkujące.

Przy wymuszeniu liniowo narastającym statyczny układ regulacji (statyczny przy wymuszeniu w postaci skoku jed­nostkowego) nie może działać prawidłowo, ponieważ uchyb ustalony jest nieskończony, natomiast układ astatyczny przy takim wymuszeniu wykazuje różny od zera, tak zwany uchyb prędkościowy. Aby uchyb prędkościowy był równy zero, układ musi być układem astatycznym drugiego stopnia (musi zawiera: dwa elementy całkujące). Aby układ astatyczny drugiego: stopnia mógł wykazywać uchyb ustalony, wymuszenie musi t paraboliczne. Uchyb ustalony przy wymuszeniu parabolicznym nazywa się uchybem przyspieszeniowym. Oczywiście układ astatyczny wyższego rzędu ma zerowe uchyby ustalone wszys­tkich niższych stopni.

Aby przybliżyć zagadnienia statycznych i astatycznych układów regulacji, rozważone będą układy o schematach bloko­wych podanych na rysunku 9.9. Dla układów tych transmitancje układu otwartego wynoszą odpowiednio:

Uchyb ustalony dla skokowego wymuszenia x(t)=a 1(t), czyli
dla tych układów wynosi:

Rys.9.9. Przykłady układów statycznych i astatycznych

Z obliczeń wynika, więc, że układ z rys. 9.9a jest układem statycznym, a pozostałe dwa są układami astatycznymi. Dla układu z rys. 9.9b błąd ustalony różny od zera otrzymuje się dla wymuszenia liniowo narastającego w czasie:

Jest to więc układ astatyczny pierwszego rzędu. Natomiast dla układu z rys. 9.9c błąd ustalony różny od zera występu: dopiero dla wymuszenia parabolicznie narastającego:

Jest to więc układ astatyczny drugiego rzędu.

Rozważania dotyczące statyzmu lub astatyzmu układu można prowadzić tylko wtedy, gdy układ jest stabilny, gdyż tylko wtedy wartość uchybu e(t) może ustalić się po odpowiednim czasie jako
Niestety, wymagania dużego zapasu stabil­ności i dużej dokładności (małej wartości
są wymaga­niami wzajemnie sprzecznymi. Projektując układ regulacji trzeba się liczyć z pewnym kompromisem między tymi wymaga­niami, a mianowicie należy określić niezbędny zapas stabil­ności i zgodzić się na uzyskaną dokładność statyczną. Waru­nek stabilności jest warunkiem pierwszorzędnym.

Inne wskaźniki jakości regulacji

Kolejnym parametrem charakteryzującym jakość regulacji jest tak zwany częstotliwościowy wskaźnik regulacji. Poka­zuje on, jak silnie tłumione są zakłócenia w zamkniętym układzie regulacji w stosunku do układu otwartego. Tor zakłóceń Z(s) w układzie bez regulatora (czyli w układzie otwartym) ma następującą funkcję przejścia (rys. 9.8):

Natomiast w układzie zamkniętym funkcja przejścia zakłóceń ma postać:

Stosunek funkcji przejścia zakłóceń w układzie zamkniętym do funkcji przejścia zakłóceń w układzie otwartym nazywany jest wskaźnikiem regulacji:

Częściej operuje się pojęciem częstotliwościowego wskaź­nika regulacji, który jest określany przez stosunek wartości bezwzględnych odpowiednich transmitancji widmowych:

Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji jest przedstawiona na rysunku 9.10.

Rys.9.10. Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji

Na charakterystyce wskaźnika regulacji można wyróżnić: - pasmo tłumienia zakłóceń
dla którego

W paśmie tym wpływ zakłóceń jest mniejszy w układzie ze sprzężeniem zwrotnym niż dla obiektu regulacji bez sprzężenia. W przypadku większości układów największe tłumienie jest dla
kiedy to:

- pasmo krytyczne - rezonansowe
dla którego
Zakłócenia o częstotliwościach z tego pasma są wzmacniane w układzie ze sprzężeniem zwrotnym w stosunku do układu otwartego. Najsilniej zjawisko to występuje dla częstotliwości rezonansowej
dla której:

Dla częstotliwości
i
zakłócenia oddziałują w ten sam sposób w układzie zamkniętym, jak i w układzie otwartym;

- pasmo nadrezonansowe
dla którego

W paśmie tym nie ma tłumienia zakłóceń, co wynika ze zmniejszania się transmitancji widmowej do zera dla ty:: częstotliwości
co oznacza "otwarcie" pętli sprzężenia zwrotnego).

Tak więc, aby tłumienie zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji było bardziej skuteczne niż w układzie otwartym, częstotliwości zakłóceń muszą leżeć w paśmie tłumienia. W praktyce ogranicza się pasmo regulacji
dla którego wpływ zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji jest słabszy aniżeli w układzie otwartym (rys.9.10).

Duży wpływ na przebieg charakterystyki częstotliwoś­ciowego wskaźnika regulacji ma współczynnik wzmocnienia układu otwartego - rys. 9.11. Ze wzrostem tego współczynnika poprawia się tłumienie, ale następuje pogorszenie się własności układu w paśmie rezonansowym.

Rys.9.11. Wpływ współczynnika wzmocnienia układu otwartego na częstotliwościowy wskaźnik regulacji

O jakości regulacji, oprócz zapasu stabilności, dokła­dności statycznej i wskaźnika regulacji decydują jeszcze następujące wskaźniki (rys. 9.12):

• czas regulacji t_r - czas liczony od chwili wprowadzenia wymuszenia do chwili, po której uchyb regulacji zmaleje poniżej 5% swojej wartości maksymalnej,

• przeregulowanie
  - stosunek największej wartości błędu regulacji o znaku przeciwnym niż błąd maksymalny do wartości tego maksymalnego błędu.

Rys.9.12. Ilustracja wskaźników regulacji: czasu regulacji t_r i przeregulowania c

Praca dotyczy zakresu wykładów z Podstaw Automatyki, zajęć prowadzonych przez dr Jerzego Mikulskiego.

Obecne zajęcia podlegają egzaminowaniu, więc dodatkowe informacje w przyjemnej elektronicznej formie bardzo się przydadzą.

12

---