Rozdział 9 BADANIE WŁAŚCIWOŚCI UKŁADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

WSTĘP TEORETYCZNY

Stabilność układów automatyki

Zapewnienie stabilnej pracy układu regulacji jest jednjpil z zasadniczych zadań przy jego projektowaniu. Warunek teat I jest tym ważniejszy, że o ile np. niekorzystna charak- I terystyka częstotliwościowa układu regulacji lub występc— I wanie nieliniowości zmniejsza jedynie dobroć regu-lacji, o I tyle występowanie niestabilności może pociągnąć za sob* I uszkodzenie układu regulacji, a zwłaszcza wzmacniacza mocy I członu wykonawczego.

Pojęcie stabilności układu wiąże się intuicyjnie z poję­ciem trwałej równowagi układu. O ile w przypadku ogólnym dla układów nieliniowych można wyodrębnić wiele sposobów okreś­lania stabilności, w zależności od wymagań stawianych ukła­dom, o tyle w przypadku liniowych układów dynamicznych defi­nicja stabilności jest prosta i jednoznaczna. Brzmi ona. w sformułowaniu Laplace'a następująco: Układ liniowy nazywny jest układem stabilnym, jeżeli dla dowolnych warunków począ­tkowych, przy dowolnym i ograniczonym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy pozostaje również ograniczony.

Dla układów regulacji stabilność definiuje się nieć: inaczej, a mianowicie są one stabilne, jeżeli dla dowolnyc" warunków początkowych, przy zerowych sygnałach wejściowych (wymuszeniach i zakłóceniach), sygnał wyjściowy w stanie ustalonym dąży do wartości zerowej.

Dla tak definiowanej stabilności (zerowe wymuszenia) przy jej badaniu wystarczy posługiwać się jednorodnym równanien różniczkowym dynamiki układu:

lub związanym z nim operatorowym równaniem algebraicznym:

zwanym równaniem charakterystycznym. Równanie to otrzymuje się przyrównując do zera mianownik funkcji przejścia układu zamkniętego
:

czyli:

gdzie
jest transmitancją układu otwartego.

Kryteria stabilności układów regulacji

Kryterium pierwiastków równania charakterystycznego

Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu regulacji jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakte­rystycznego miały części rzeczywiste ujemne, tj.:

Wynika to z faktu, iż rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego:
składa się w za-

leżności od pierwiastków s_m równania charakterystycznego (jednokrotne, wielokrotne lub równe zero) z sumy wyrażeń typu:
Każde rozwiązanie danego

jednorodnego równania różniczkowego będzie dążyć do zera przy
gdy części rzeczywiste wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego będą ujemne ze względu na -alejący charakter funkcji typu

Przy zachowaniu warunku
wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w lewej półpłasz-czyźnie zmiennej zespolonej "s" (w układzie współrzędnych: oś X - osią rzeczywistą (Re) , oś Y - urojoną (Im)). Jeśli dowolny z pierwiastków
ma część rzeczywistą równą zero, to układ znajduje się na granicy stabilności i mogą w nim •rystąpić drgania o stałej amplitudzie. Jeśli natomiast choć ;eden z pierwiastków ma dodatnią część rzeczywistą (znajduje się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s"), -ówczas układ jest niestabilny - amplituda drgań w układzie narasta, a układ "rozbiega się". Przypadki te prezentuje rys. 9.1.

Rys.9.1. Pierwiastki równania charakterystycznego: a) układu stabilnego, b) układu na granicy stabilności, c) układu niestabilnego

Badanie stabilności za pomocą kryterium pierwiastków rów­nania charakterystycznego jest bardzo kłopotliwe, szczegól­nie dla układów wyższych rzędów.

Kryterium algebraiczne Hurwitza

Kryterium to pozwala ocenić stabilność układu regulacji na podstawie współczynników równania charakterystycznego bez konieczności obliczania pierwiastków tego równania.

Według kryterium Hurwitza układ jest stabilny, jeśli zachodzą następujące warunki:

- wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są

dodatnie,

- wyznacznik główny
i wszystkie podwyznaczniki

(2,3,...n) utworzone z wyznacznika głównego są dodatnie:

Kryterium częstotliwościowe Nyąuista

Kryterium Nyąuista dotyczy przypadku badania stabilności zamkniętego układu regulacji na podstawie charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego. Metoda ta pozwala stwierdzić już na etapie projektu i budowy układu regulacji, czy po zamknięciu obwodu regulacyjnego układ będzie

stabilny. Ważnym elementem kryterium Nyąuista jest oparcie się na charakterystykach częstotliwościowych, które mogą być wyznaczane doświadczalnie, a niekoniecznie metodą anali­tyczną.

W myśl kryterium pierwiastków równania charakterystycz­nego układ regulacji jest stabilny, jeżeli wszystkie pier­wiastki tego równania mają części rzeczywiste ujemne, to znaczy znajdują się w lewej części płaszczyzny zmiennej zespolonej "s". Istota tego kryterium polega więc na wyzna­czeniu rozkładu pierwiastków równania
na płasz­czyźnie "s". Kryterium Nyąuista opiera się na kontroli poło­żenia pierwiastków równania charakterystycznego na płasz­czyźnie "s" poprzez odwzorowanie tej płaszczyzny na płasz­czyznę zmiennej zespolonej
. Aby odnaleźć na płasz­czyźnie
punkt odpowiadający danemu punktowi
na płaszczyźnie "s", należy dokonać podstawienia:

a z otrzymanego rezultatu wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną, czyli:

Wartości
są współrzędnymi punktu

odpowiadającego na płaszczyźnie
punktowi
na płasz­czyźnie "ś". Jeżeli
jest jednym z pierwiastków równania
czyli jeżeli
(lub w innym zapisie:

^Ko(3 G>)=-l+jO), to takiemu punktowi
na płaszczyźnie "s" odpowiada na płaszczyźnie
punkt o współrzędnych (-l,jO).

Po dokonaniu transformacji wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego przejdą w punkt (-l,jO) na płaszczyźnie
W celu sprawdzenia stabilności układu regulacji wystarczy skontrolować, czy na płaszczyźnie
punkt (-l,jO) znajduje się w obszarze odpowiadającym lewej pół-płaszczyźnie zmiennej s lub (co jest równoznaczne) , czy znajduje się poza obszarem odpowiadającym prawej półpłasz-czyźnie zmiennej s. Dokonuje się w tym celu odwzorowania brzegów prawej półpłaszczyzny zmiennej s. Odwzorowanie

płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę
przedstawiono na rysunku 9.2.

Rys.9.2. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę

W przypadku więc stabilnego zamkniętego układu regulacji wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartegc nie może obejmować punktu o współrzędnych (-l,jO) dla częstotliwości zmieniających się od
Jest te

równoznaczne z faktem, że posuwając się po tej charakte­rystyce w kierunku rosnących częstotliwości mija się punkt (-1/jO) w ten sposób, że znajduje się on po lewej stronie wykresu. Dla większości przypadków wystarczająca jest analiza przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej dla częstotliwości zmieniających się od 0 do oo. Jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina się z ujemna częścią osi rzeczywistej w i (i=l,2..n) punktach, wówczas należy określić częstotliwości
dla których:

a następnie sprawdzić czy spełnione są zależności:

Przykłady zastosowań kryterium Nyąuista do oceny sta­bilności przedstawia rysunek 9.3.

Rys.9.3. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności

Pewne niejasności mogą pojawić się przy układach zawiera­jących elementy całkujące (charakterystyki dążące do nie­skończoności dla
. Należy wtedy narysować pełną charak­terystykę dla częstotliwości
lub uzupełnić ■wykres o krzywą zaczynającą się na dodatniej części osi rzeczywistej - rysunek 9.4.

?ys.9.4. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w przypadkach układów z elementami całkującymi

Jeżeli dla niektórych
warunek
nie jest

jrełniony, to układ nie musi być niestabilny. Może to być rzadko spotykany przypadek, taki jak pokazany na rysunku *.5.

---