UNIWERSYTET WARMIŃSKO

-MAZURSKI

KATEDRA FIZYKI

ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI

(CZĘŚĆ TEORETYCZNA)

Temat: Składanie drgań, krzywe Lissajous. Wyznaczanie przesunięcia fazowego drgań składowych przy użyciu oscyloskopu.

Mariusz Stankiewicz

para 7

II MiBM

Drgania są ruchem często występującym w różnego rodzaju urządzeniach technicznych. W wielu przypadkach są one wywoływane celowo jako ruch roboczy. Wszędzie tam, gdzie nie są czynnikiem roboczym, są pasożytnicze, ponieważ zniekształcają główny ruch roboczy, wprowadzają zakłócenia rytmu pracy urządzeń. Mimo, że zmiany wartości współrzędnych drgań pasożytniczych w czasie są niewielkie, to wywołują bardzo istotne skutki, jak:

• zmiana obciążeń elementów urządzeń

• zwiększenie zużycia powierzchni trących

• zwiększenie luzów

• zniekształcenie sygnałów wejściowych, itp.

Szczególnie niebezpieczne są w przypadku wystąpienia rezonansu oraz niestabilności, ponieważ powodują występowanie bardzo dużych obciążeń w miejscach niepożądanych i prowadzą, z reguły do szybkiego uszkodzenia urządzenia. Oprócz tego drgania oddziaływują na organizm, powodując stany chorobowe

W urządzeniach mechanicznych, ze względu na tzw. nie wyważenie elementów obrotowych, dowolnie obrany punkt materialny tego urządzenia podlega drganiu wypadkowemu (tzw. biciu), które jest wynikiem superpozycji drgań składowych występujących najczęściej w różnych kierunkach. Ten wypadkowy ruch zależy od relacji między częstotliwościami, amplitudami oraz fazami poszczególnych drgań składowych i może być z tego względu mniej lub bardziej złożony. Gdy drgania składowe są aperiodyczne, stosunek częstotliwości drgań składowych nie daje się wyrazić liczbami całkowitymi i drgania wypadkowe nie mogą tworzyć krzywych zamkniętych, co analitycznie stanowi problem nie do rozwiązania.

Spośród drgań okresowych największą rolę odgrywają drgania proste, czyli harmoniczne (sinusoidalne), podczas których amplituda zmienia się wg wzoru:

A = A₀ sin (ωt + ϕ₀)

Przykładem drgań harmonicznych jest ruch wahadła matematycznego przy niewielkich wychyleniach od położenia równowagi. W przypadku układów mechanicznych o jednym stopniu swobody drgania harmoniczne zachodzą wtedy, gdy siła działająca na punkt drgający jest skierowana do punktu będącego położeniem równowagi i jest proporcjonalna do odległości punktu drgającego od tego punktu. Drgania prawie harmoniczne, w których jedna lub więcej spośród wielkości A₀, ω lub ϕ₀ jest wolnozmienną (w porównaniu z okresem) funkcją czasu, noszą nazwę drgań modulowanych (modulacja odpowiednio amplitudy, częstotliwości lub fazy). Drgania, których amplituda maleje w miarę upływu czasu zwane są drganiami gasnącymi. Układ wytrącony z położenia równowagi, pozostawiony samemu sobie, wykonuje drgania swobodne, zaś układ, w którym działa okresowo zmienna siła zewnętrzna (wymuszająca), wykonuje drgania wymuszone. Jeśli drgania charakteryzuje szybka zmiana wartości wielkości drgającej w ciągu bardzo małej części okresu i późniejsza powolna jej zmiana w następnej części okresu, to drgania mają charakter relaksacyjny.

Tor punktu, który podlega wypadkowemu drganiu, tworzy krzywe zamknięte, zwane krzywymi Lissajousa. Każda krzywa Lissajousa przebiega wewnątrz prostokąta o bokach 2A₁ i 2A₂, gdyż jest utworzona przez nałożenie dwóch drgań harmonicznych prostopadłych do siebie.

Jeżeli dwa drgania składowe o tym samym kierunku rozchodzenia mają różne amplitudy oraz częstości, to wynik ich złożenia zależy od tego, czy stosunek częstości jest liczbą wymierną czy niewymierną. W pierwszym przypadku drganie wypadkowe nie jest drganiem harmonicznym lecz okresowym. W drugim przypadku drganie wypadkowe nie jest drganiem okresowym, lecz aperiodycznym.

Gdy częstości drgań składowych niewiele różnią się od siebie i spełniony jest warunek:

ω₁ - ω₂ = Δω << ω₁ + ω₂

to możemy z wystarczającym przybliżeniem uważać ruch wypadkowy za drganie harmoniczne proste o częstości (ω₁ + ω₂)/2 i amplitudzie zależnej od czasu, której wartość maksymalna wynosi 2A. Przypadek taki nosi nazwę dudnienia. Składać można ze sobą dowolną liczbę drgań harmonicznych o różnych częstościach. Jeżeli stosunki tych częstotliwości są liczbami wymiernymi, to wypadkowe drganie będzie okresowe.

Drgania mechaniczne można przekształcić na drgania elektryczne. Urządzenia elektroniczne będące źródłami różnego rodzaju drgań są zwane generatorami.

W ćwiczeniu źródłami drgań są dwa generatory wytwarzające drgania sinusoidalne. Jedno drganie przykłada się do okładek odchylania poziomego, drugie do okładek odchylania pionowego. W zależności od warunków początkowych, na ekranie oscyloskopu obserwuje się określone krzywe Lissajousa. Podczas wyznaczania przesunięcia fazowego między drganiami składowymi wykorzystuje się tylko jeden generator, ale z przesuwnikiem fazowym. Taki układ zapewnia stałą częstotliwość w czasie. Różnica napięć przyłożonych do układu odchylającego oscyloskopu wzdłuż osi y zależy od parametrów elektrycznych RC użytego przesuwnika fazowego wg. zależności:

ϕ = arc tg (ωRC)

W tym przypadku napięcie opóźnia się w fazie w stosunku do napięcia przyłożonego wzdłuż osi x o π/2.

Jeżeli stosuje się następujący przesuwnik fazowy:

to napięcie wzdłuż osi y wyprzedza w fazie napięcie wzdłuż osi x o π/2 i jest określone wzorem:

ϕ = arc tg (1/ωRC)

---