Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej		Barbara Toczek Bartosz Sobanek			Zespół 5
Grupa 3		Temat: Wahadła fizyczne			ćwiczenie nr 1
data wykonania 19.10.99	data oddania 19.10.99	zwrot do popr.	data oddania	ocena	podpis

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego. Wyznaczenie momentu bezwładności brył sztywnych przez pomiar okresu drgań.

Wprowadzenie

W ćwiczeniu mierzymy okres wahadła T i odległość a (jest to odległość środka ciężkości S od osi obrotu O ), co umożliwia wyznaczenie dla badanego ciała momentu bezwładności . Moment jest momentem bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Dla wyznaczenia momentu bezwładności względem równoległej osi przechodzącej przez środek ciężkości możemy posłużyć się związkiem między i znanym jako twierdzenie Steinera,

Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Z definicji moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem masy i kwadratu odległości od osi obrotu. Momenty bezwładności brył sztywnych, tak jak i , wyraża się jako całka oznaczona

gdzie r to odległość elementu masy dm od osi obrotu.

Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną mogącą obracać się wokół osi obrotu O nie przechodzącej przez środek ciężkości.

Wahadło odchylone od pionu o kąt , a następnie puszczone swobodnie, będzie wykonywać drgania zwane ruchem wahadłowym. W ruchu tym mamy do czynienia z obrotem bryły sztywnej wokół osi O, opisuje go zatem II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

gdzie M. to moment siły, I - moment bezwładności, natomiast jest przyspieszeniem kątowym opisanym przez równanie .

Dla wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia jest równy .

Zatem równanie ruchu wahadła można zapisać jako

Znak minus oznacza, że moment siły jest skierowany przeciwnie do kierunku wychylenia.

Jeżeli ograniczyć ruch do małych kątów wychylenia (kilka stopni) to .

Wtedy równanie ruchu przyjmuje postać

, gdzie . Rozwiązaniem jest funkcja

gdzie (amplituda) i (faza) zależą od warunków początkowych.. Wzór ten wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznym prostym.

Okres drgań T, związany bezpośrednio z częstością wynosi

gdzie można wyznaczyć z przytoczonego na początku twierdzenia Steinera.

Tabele pomiarów.

Pręt				pierścień
masa [kg]	dł. l [m]	dł. a [m]		masa [kg]	Rw [m]	RZ [m]	dł. b [m]
0,755	0,798	0,303		1,365	0,125	0,140	0,129

il. wahnięć - n	czas - t [s]		il. wahnięć - n	Czas - t [s]
50	69,16		50	51,47
50	69,06		50	51,32
50	68,97		50	51,44
50	69,25		50	51,28
50	69,15		50	51,33
50	69,09		50	51,43
50	69,06		50	51,30
50	69,21		50	51,50
50	69,02		50	51,28
50	69,15		50	51,41

Przyczyny powstania błędów pomiarowych.

Błędy pomiarowe mogły powstać w wyniku:

a) opóźnione lub przedwczesne wystartowanie i zatrzymywanie stopera

b) potrącenia stolika, na którym stał (co mogło spowodować zakłócenie wahań brył);

c) zarówno pręt jak i pierścień nie były jednorodnymi i symetrycznymi bryłami (co zmienia położenie środka ciężkości oraz czyni wzory standardowe na moment bezwładności I_S jedynie przybliżonymi);

Oszacowanie błędów pomiaru czasu.

pręt					pierścień
Nr pom.	Ilość wahnięć	czas [s]	okres wahnięcia [s]		Nr pom.	Ilość wahnięć	czas [s]	okres wahnięcia [s]
	n	t	T			n	t	T
1	50	69,16	1,3832		1	50	51,47	1,0294
2	50	69,06	1,3812		2	50	51,32	1,0264
3	50	68,97	1,3794		3	50	51,44	1,0288
4	50	69,25	1,3850		4	50	51,28	1,0256
5	50	69,15	1,3830		5	50	51,33	1,0266
6	50	69,09	1,3818		6	50	51,43	1,0286
7	50	69,06	1,3812		7	50	51,30	1,0260
8	50	69,21	1,3843		8	50	51,50	1,0300
9	50	69,02	1,3804		9	50	51,28	1,0256
10	50	69,15	1,3830		10	50	51,41	1,0282
wartość średnia [s]:			1,3822		wartość średnia [s]:			1,0275
całkowity błąd pomiaru [s]:			0,0005		całkowity błąd pomiaru [s]:			0,0005
odchylenie stand. poj. pomiaru [s]:			0,0017		odchylenie stand. poj. pomiaru [s]:			0,0016

Błędy pozostałych mierzonych wielkości są zaznaczone w tabeli pomiarów.

Długość a jest to odległość osi obrotu od środka ciężkości. W przypadku pierścienia długość a określona jest przez R_Z - b.

Obliczenie momentu bezwładności.

1. Na podstawie doświadczenia.

Po przekształceniu wzoru celem obliczenia I₀ mamy:

Podstawiając do wzoru wartości zmierzone (za T podstawiamy wartość średnią) otrzymujemy:

Pręt [kg m^2]	Pierścień [kg m^2]
0,109(3)	0,046(4)

Gdzie błędy bezwzględne wielkości policzyliśmy ze wzorów:

Aby policzyć moment bezwładności względem środka ciężkości wykorzystujemy tw. Steinera:

Podstawiając do wzoru otrzymujemy:

Pręt [kg m^2]	Pierścień [kg m^2]
0,039(5)	0,023(5)

Gdzie błąd przeniesiony na wartość I_S został policzony z rachunków analogicznych jak poprzedni.

2. Na podstawie przewidywań teoretycznych.

Wzór na moment bezwładności pręta względem środka ciężkości ma postać:

Natomiast pierścienia:

Podstawiając do powyższych wzorów otrzymujemy:

Pręt [kg m2]	Pierścień [kg m2]
0,040(2)	0,024(2)

Błędy policzono na podstawie prawa przenoszenia błędów błąd wyniku teoretycznego momentu bezwładności:

a) dla pręta:

b) dla pierścienia:

Zestawienie wyników.

wartości [kg m^2]	pręt	pierścień
teoretyczne IS	0,040(2)	0,024(2)
doświadczalne IS	0,039(5)	0,023(5)
doświadczalne I0	0,109(3)	0,046(4)

W tabeli zamieszczone są wyniki wraz z błędami. Wartości doświadczalne nie pokrywają się z wartościami teoretycznymi, różnice się minimalnie, w granicach błędów systematycznych. Metoda obliczania momentu bezwładności bryły sztywnej korzystając z pomiarów okresu drgań, pomijając błędy pomiarowe wynikające ze sposobu wykonania pomiarów, jest zgodna z obliczeniami teoretycznymi, w których korzystamy z odpowiednich wzorów całkowych. Do powstania błędów mogły przyczynić się także niejednorodności materiałów, z których zostały wykonane pierścień i pręt.

Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego z fizyki.

Wykonali: Barbara Toczek, Bartosz Sobanek.

6

---