1) Pojęcia wstępne

II zasada Newtona dla ruchu obrotowego:

Jeżeli na bryłę działa niezrównoważony moment sił to ciało porusza się ruchem obrotowym z przyspieszeniem kątowym ε wprost proporcjonalnym do działającego momentu a odwrotnie proporcjonalnym do momentu bezwładności:

Wyprowadzenie równania ruchu obrotowego:

W ruchu obrotowym tylko siła zewnętrzna (jej składowa)może zmienić prędkość elementu, ponieważ siły wewnętrzne działają pomiędzy sąsiadującymi elementami ciała. Siły te tworzą momenty znoszące się parami. Siła dośrodkowa działa na kierunku przechodzącym poprzez promień a więc nie wywołuje momentu. Rozważamy nieskończenie mały wycinek Δ m ciała będącego w ruchu którego prędkość zmienia się w ciągu krótkiego czasu Δt.Korzystając z twierdzenia o popędzie i pędzie mamy:

po pomnożeniu obu stron równania przez promień wodzący i uwzględnieniu zależności
oraz
otrzymujemy:

Uwzględniając ze mamy do czynienia z całą bryłą otrzymujemy :

• Moment wypadkowy sił:

• Moment pędu ( krętu ):

• Moment bezwładności:

• stąd otrzymujemy:

Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności w oparciu o energie ciała :

• Energia kinetyczna elementarnej części obracającego się ciała :

• Energia kinetyczna ruchu postępowego:

• Całkowita energia ruchu obrotowego:

• Moment bezwładności:

Rozważając ruch zestawu pomiarowego dochodzimy do wniosku, że energia potencjalna ciężarka musi być równa sumie energii kinetycznej ruchu obrotowego ( krzyżaka ) i postępowego (ciężarka). Przy czym energia ruchu postępowego jest pomijalnie mała. Stąd otrzymujemy:

Wykorzystując wzory na ruch liniowy i zależności pomiędzy ruchem obrotowym i liniowym :

Stąd po przekształceniach otrzymujemy wzór na moment bezwładności :

• 
  

Z wyprowadzonych zależności wynika że moment bezwładności jest wprost proporcjonalny do promienia na jakim umieszczone są elementy ciała reprezentującego bryłę sztywną. Wartość momentu bezwładności zwiększa się czterokrotnie poprzez podwojenie promienia, jednocześnie przyspieszenie kołowrotka jest cztery razy większe. W przypadku wyprowadzenia wzoru z uwzględnienie sił działających na ciało, pomijamy moment bezwładności walca centralnego.

Wahadło fizyczne torsyjne.

W wahadle torsyjnym moment kierujący wytwarza skręcający się drut, pręt lub inne ciała sprężyste.

Równanie ruchu wahadła torsyjnego przybierze więc tę samą postać, co w przypadku wahadła grawitacyjnego:

II Wyniki pomiarów:

a) wyznaczenie momentu bezwładności

Lp.	l	t1	t2	t3	t	I1	I2
1	4,6	6	6	6,2	6,06	0,002512	0,002522
2	5,6	6,8	6,6	6,6	6,67	0,003045	0,003055
3	6,6	7	7	7,2	7,06	0,003413	0,003423
4	7,6	7,4	7,4	7,6	7,46	0,003812	0,003822
5	8,6	8,2	8	8	8,06	0,004451	0,004461
6	9,6	8,4	8,4	8,2	8,33	0,004755	0,004765
7	10,6	8,8	8,8	8,6	8,73	0,005224	0,005234
8	11,6	9	9	9,4	9,13	0,005714	0,005724
9	12,6	9,8	9,8	9,6	9,73	0,006491	0,006501
10	13,6	10	10,6	10,2	10,26	0,007219	0,007229
11	14,6	11,2	11,2	11	11,13	0,008497	0,008507
12	15,6	12,2	11,8	11,8	11,93	0,009764	0,009773
13	16,6	12,4	12,4	12,2	12,33	0,01043	0,01044
14	17,6	14	13,8	14	13,93	0,013315	0,013325

• Wzór w oparciu o energie ciała:

• Wzór wykorzystujący siły

masa ciężarka m=200g

przyspieszenie ziemskie q=10m/s²

wysokość h=70 cm

b) wyznaczenie modułu sztywności:

	t1	t2	t3	T	T0	G
bez obciążenia	18,502	18,502	18,502	18,502	1,8502	1,3041*10^11
I1=2961*10^-6 [kg*m^2]	23,298	23,314	23,314	23,3087	2,33087	8,2167*10^10
I2=301,1*10^-6 [kg*m^2]	23,339	23,321	23,289	23,3163	2,33163	8,2113 *10^10
I3=287*10^-6 [kg*m^2]	23,271	23,308	23,308	23,2957	2,32957	8,2259*10^10

T - czas 10 okresów

T₀ - czas jednego okresu

G - moduł sztywności:

r = 25,5 mm - promień drutu

l₁= 13,69 cm - długość pierwszego odcinka drutu

l₂=13,80 cm - długość drugiego odcinka drutu

Dyskusja błędu:

A:) wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną:

błąd bezwzględny

4798,477

Lp.	r	t	I1			ΔI
1	4,6	6,06	110,36		36,56375	7,40872
2	5,6	6,67	198,28	7081,588	59,64367	12,07037
3	6,6	7,06	308,67	9353,881	87,69101	17,72528
4	7,6	7,46	457,13	12029,78	122,8651	24,81361
5	8,6	8,06	683,53	15896,16	169,9787	34,31366
6	9,6	8,33	909,88	18955,92	218,9021	44,15954
7	10,6	8,73	1218,6	22993,06	279,6974	56,39935
8	11,6	9,13	1596,4	27525,2	350,3074	70,61197
9	12,6	9,73	2139,7	33963,68	440,4701	88,77329
10	13,6	10,26	2772,2	40767,77	541,1126	109,0379
11	14,6	11,13	3760,4	51512,62	676,4931	136,3289
12	15,6	11,93	4933,2	63246,97	827,8509	166,8351
13	16,6	12,33	5967,2	71894,53	968,817	195,2013
14	17,6	13,93	8563,3	97311,31	1230,379	248,022

b:) wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną:

---