Projekt nr 3. Zestaw nr 12.

Akademia Górniczo-Hutnicza

im Stanisława Staszica

Wydział inżynierii mechanicznej i robotyki

Wytrzymałość Materiałów

Paweł Mierzwa C19

Temat: Zaprojektować średnicę wału obciążonego jak na rysunku i wykonać a) wykres momentów skręcających

b) wykres momentów zginających w płaszczyźnie pionowej i poziomej oraz wykres momentów zredukowanych.

Obliczenia przeprowadzić w oparciu o hipotezę Hubera-Misesa-Hencky’ego (energetyczna).

Sprawdził:

dr inż. Sławomir Badura

data ...........................

Ocena ...........................

1. Dane potrzebne do wykonania zadania:

a= 0.15[m] b=0.2 [m] c=0.15[m] D1=0.3[m] D2=0.5[m] N=10[kW] n=100[obr/min] kz=60 [MPa]

2. Obliczanie sił i momentów działających wzdłuż osi wałów.

Do obliczeń wytrzymałościowych dla wału, musimy zredukować siły działające na układ, do sił



i momentów działających bezpośrednio na oś wału. Możemy to zrobić zamieniając siłę Pi



przyłożoną do krawędzi kół napędowych na siłę P i przyłożoną na osi wału i dodając do niej



parę sił dającą moment siły równy P

i

× Di .

2

Wiedząc, że wał kręci się z prędkością n=100

Moment skręcający Ms.

obr

min

, i przenosi moc N=10[kW], możemy łatwo obliczyć

N= Ms ⋅ ω

 N

s =

M ω

ω = 2 ⋅ Π ⋅ n

60



Ms ≈ 9550 N

n



Ms = 9550

10[W ]

100 obr s



= 955[ Nm] = 0.955[kNm]

Wyznaczamy siłę P₁

M_s1 = P₁x$\frac{D_{1}}{2}$

$$M_{s1} = P_{1}\frac{D_{1}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_{1} = \frac{2*M_{s1}}{D_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ P_{1} = 0,955kNm*\frac{2}{0.3m} = 6,37\ kN\ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

Z równowagi momentów względem osi wału możemy obliczyd M s 2

∑ Msi = M_s2 − M_s1 = 0 ⇔ M_s1 = M_s2

Wyznaczamy siłę P₂

M_s2 = P₂x$\frac{D_{2}}{2}$

$$M_{s2} = P_{2}\frac{D_{2}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_{2} = \frac{2*M_{s2}}{D_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ P_{2} = 0,955kNm*\frac{2}{0.5m} = 3,82\ kN\ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

3. Wyznaczanie momentów gnących składających się na moment gnący zastępczy.

Siły P1 i P2 działają w dwóch prostopadłych do siebie płaszczyznach, reakcje w podporach musimy

wyznaczyd więc dla obu płaszczyzn.

a) Płaszczyzna OXY

Chcąc wyznaczyć reakcje RA1 i RC1 zapisujemy równana równowagi względem tych punktów

$$\sum_{}^{}M_{A} = 0\ P_{1}*a\ - R_{C1}*(a + b) = 0$$

$$R_{C1} = \frac{P_{1}*a}{a + b} = 6,37kN*\frac{0,15m}{0,15m + 0.2m}\ = 2,73\ kN$$

$$\sum_{}^{}M_{C} = 0\ P_{1}*b - R_{A1}*\left( a + b \right) = 0$$

$$R_{A1} = {\frac{P_{1}*b}{\left( a + b \right)}\ }_{} = \frac{6,37\ kN*0,2m}{0.35m} = 3,64kN$$

$$\sum_{}^{}P_{\text{iy}} = 0\ - P_{1} + R_{A1} + R_{C1} = - 6,37kN + 3,64kN + 2,73kN = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \mathbf{L = P}$$

*Wyznaczenie Momentów gnących pochodzących od sił działających w płaszczyźnie

OXY

Belkę rozwiązuję od strony lewej do prawej.

0 ≤ x1 ≤ a

Mg(x) = RA ⋅ x1

Mg(0) = 0

Mg(a) = 3,64kN ⋅ 0.15m = 0,546kNm

a ≤ x2 ≤ a + b

Mg(x) = RA ⋅ x2 − P1 ⋅ (x2 − a)

Mg(a) = 0,546kNm

Mg(a + b) = 3,64kN *(0.15m + 0,2m) – 6,37kN*0,2m = 1,274 – 1,274=0.

Zmiana strony rozwiązywania belki.

Od prawej do lewej P  L

0 ≤ x3 ≤ c

Mg(x) = 0

Mg(0) = 0

Mg(c) = 0

b) płaszczyzna OXZ

Chcąc wyznaczyd reakcje RA2 i RC2 zapisujemy równana równowagi względem tych punktów

$$\sum_{}^{}M_{A2} = 0\ R_{C2}*(a + b) - P_{2}*(a + b + c) = 0$$

$$R_{C2} = \frac{P_{2}*(a + b + c)}{a + b} = \frac{3,82kN\left( 0,15m + 0,2m + 0,15m \right)}{0,15m + 0,2m} = 3,82kN*\frac{0,5m}{0,35m} = 5,46kN$$

$$\sum_{}^{}M_{C2} = 0\ R_{A2}*(a + b) - P_{2}*c = 0$$

$$R_{A2} = \frac{P_{2}*c}{a + b} = 3,82\ kN*\frac{0,15m}{0,2m + 0,15m} = 1,64kN$$

$$\sum_{}^{}P_{\text{iy}} = 0\ - P_{2} - R_{A2} + R_{C2} = - 1,64 + 5,46 - 3,82 = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \mathbf{L = P}$$

*Wyznaczenie Momentów gnących pochodzących od sił działających w płaszczyźnie

OXY

Belkę rozwiązuję od strony lewej do prawej.

0 ≤ x1 ≤ a + b

Mg(x) = −RA ⋅ x1

Mg(0) = 0

Mg(a) = −1, 64kN * 0, 15m = −0, 246kNm

Mg(a + b) = −1, 64kN * (0,15m+0,2m) = −0, 574

Zmiana strony rozwiązywania belki.

Od prawej do lewej P  L

0 ≤ x2 ≤ c

Mg(x) = −P2 ⋅ x2

Mg(0) = 0

Mg(a + b) = −3, 84kN * 0, 15m = −0, 574kNm

4. Wyznaczanie momentu gnącego zastępczego

Znając wartości momentów gnących w poszczególnych płaszczyznach możemy wyznaczyd moment gnący zastępczy korzystając ze wzorów.

Mg zA =

(Mg

AOXZ

) 2 + (Mg

AOXY ) =

02 + 02 = 0

Mg zB =

(Mg

BOXZ

) 2 + (Mg

BOXY ) =

(0.546) 2 + (-0.246) 2

= 0.599[kNm]

Mg zC =

(Mg

COXZ

) 2 + (Mg

COXY ) =

02 + (−0.574) 2

= 0.574[kNm]

Mg zD =

(Mg

DOXZ

) 2 + (Mg

DOXY ) =

02 + 02

= 0[kNm]

5. Wykresy momentów skręcających i zginających

6. Wyznaczanie momentów zredukowanych według hipotezy wytężeniowej Hubera-Misesa-

Hencky’ego.

M zA =

(Mg

) 2 + 0.75(Ms ) 2 =

02 + 02 = 0

Mg zB

L → P =

(Mg

) 2 + 0.75(Ms ) 2 =

(0.599) 2 + 0.75(0) 2

= 0.599[kNm]

Mg zB

P → L =

(Mg

) 2 + 0.75(Ms ) 2 =

(0.599) 2 + 0.75(0.955) 2

= 1.021 [kNm]

Mg zC =

(Mg zC

) 2 + (Ms ) 2 =

(0.574) 2 + 0.75(0. 955) 2

= 1.007 [kNm]

Mg zD

L → P =

(Mg

) 2 + 0.75(Ms ) 2 =

02 + 0.75(0.955) 2

= 0.827 [kNm]

Mg zD

P → L =

(Mg

) 2 + 0.75(Ms ) 2 =

02+ 0.75(0) 2

= 0[kNm]

7. Wykresy Momentu skręcającego, zastępczego i zredukowanego.

8. Wyznaczanie średnicy przekroju porzecznego projektowanego wału ze względu na wytrzymałośd na naprężenia zredukowane.

σ max

M

= z max

Wg

≤ k z

I y

Wg =

Πd 4 2

≤ ⋅

Πd 3

=

zmax

64 d 32

σ max

= 32 ⋅ M z [kNm] ≤ k

Πd 3 z

d ≥ 3

d ≥ 3

d ≥ 3

32M z max

Π ⋅ kz

32 ⋅ 1.021[kNm]

Π ⋅ 60[MPa]

32 ⋅ 1.021[kNm]

Π ⋅ 60[MPa]

d ≥ 0,056[m]

Przyjmuję d=0.06 [m] = 6cm .