Rodzaje deformacji

1.wydłużenie proste:

p= $\frac{F}{s}$=E$\ \frac{l}{l_{o}}$ ;l = l − l_o ; E-moduł Younga ;

prawo Hooke`a: p= E$\ \frac{l}{l_{o}}$ =Eλ;

wydłużenie kierunku działania siły towarzyszy zmniejszenie rozmiarów

poprzecznych, czyli grubości pręta h o Δh i ogólnie dla

prostopadłościanu: $\frac{h}{h} = \frac{\omega}{\omega}$=-σ$\ \frac{l}{l}\ $

względna zmiana rozmiarów w kierunkach prostopadłych do działającej siły $\frac{h}{h}$ jest wprost proporcjonalna do względnej zmiany rozmiarów w kierunku działającej siły $\frac{l}{l}$; współczynnikiem proporcjonalności jest stała Poissona, która jest bezwymiarowa i mniejsza od 0,5 (dla żelaza=0,3). Prawo Hooke`a można stosować dla małych odkształceń. Doświadczalną zależność odkształcenia względnego od naprężenia dla drutu stalowego przedstawia wykres:

P-granica proporcjonalności granicą stosowalności

Hooke`a, P_s-granica sprężystości,P_l-obszar

plastyczności, M-max naprężenie czyli granica

wytrzymałości, Z-zerwanie.

2.odształcenia objętościowe: pod wpływem naprężenia p prostopadłego do

powierzchni ciała, zmniejsza jego objętości, bez

zmiany kształtu ; p=$- K\frac{V}{V}$ ; K- moduł ściśliwości [$\frac{N}{m^{2}}$]

; k=$\frac{1}{K}$-współczynnik ściśliwości.

3.odkształcenie postaci: występuje przy zmianie kształtu ciała pod wpływem

naprężenia stycznego; p=$\frac{x}{h}\text{G\ }$;$\ \frac{x}{h} = tg \propto \approx \propto \ ;p = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

                                          G ∝  ; G- moduł sztywności [K]

Prawo Hooke`a

Siły oddziaływanie sąsiednich atomów w węzłach sieci

krystalicznej można przedstawić w funkcji ich wzajemnej

odległości. Powyżej osi działają siły odpychania , poniżej

przyciągania ; FF_i = Cr_i ; siły oddziaływanie

sąsiednich atomów w pobliży położenia równowagi

można przybliżyć linią prostą.

Niech: n_s-liczba at. na jednostce powierzchni , n_l- liczba at. na długości l_o ;

$F_{i} = \frac{F}{Sn_{s}}$ ; $\frac{F}{S} = F_{i}n_{s}$ ; $F_{i} = Cr_{i}\ ;\ \frac{F}{S} = Cr_{i}n_{s}\ ;\ r_{i}n_{l} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l\ ;\ r_{o}n_{l} = \ l_{o}\ ;\ $ $\frac{l}{l_{o}} = \frac{r_{i}}{r_{o}}\ ;\ r_{i} = \ \frac{l}{l_{o}}r_{o}$ ; $\frac{F}{S} = Cr_{o}n_{s}\frac{l}{l_{o}}$ ; E= Cr_on_s ; C-stała materiałowa , r_o- odległość pomiędzy atomami, niezaburzona oddziaływaniami zewnętrznymi, stała materiałowa, n_s-też stała materiałowa ; $\frac{F}{S}$=E$\frac{l}{l_{o}}$

Prosta teoria sprężystości

a)Prawo Hooke`a : p=E $\frac{l}{l}\ $; b)odkształcenie poprzeczne : $\frac{h}{h} = \frac{\omega}{\omega}$=-σ$\ \frac{\ l}{l}$ ; c) zasada superpozycji odkształceń : l = l₁ + l₂ + l₃ (Jeżeli na ciało sprężyste działa więcej niż jedna siła, to odkształcenie całkowite jest sumą wszystkich odkształceń spowodowanych przez różne siły).

Prostopadłościan poddano ściskaniu z takim samym

ciśnieniem p, na każdą ścianę. Obliczamy całkowitą

deformację objętościową poprzez sumowanie odkształceń w trzech kierunkach. Najpierw w kierunku długości l . Zmiany w tym kierunku spowodowane przez działanie naprężeń we wszystkich kierunkach.

Całkowita deformacja w kierunku l , jest sumą trzech deformacji, pierwsza związana z działaniem naprężenia wzdłuż l, druga związana z działaniem naprężenia wzdłuż h, trzecia wzdłuż w.

(1) p= -E$\frac{l_{1}}{l}\ $; $\frac{l_{1}}{l} = - \frac{p}{E}$

(2) $\frac{l_{2}}{l} = \ $-σ$\ \frac{h}{h}\ \mathsf{v}\frac{h}{h} = - \frac{p}{E}$ ; $\frac{l_{2}}{l} =$ $\frac{p}{E}$σ

(3) $\frac{l_{3}}{l} = \ $-σ$\frac{\omega}{\omega}\ \mathsf{v}\ \frac{\omega}{\omega} = - \frac{p}{E}$ ; $\frac{l_{3}}{l} = \ \frac{p}{E}$ σ

Całkowite względne odkształcenie w kierunku l jest sumą tych składowych(1)(2)(3): $\frac{l}{l} = \frac{l_{1}}{l} + \frac{l_{2}}{l} + \frac{l_{3}}{l} = \ - \frac{p}{E} + 2\frac{p}{E}$ σ=- $\frac{p}{E}$ (1-2 σ)

Odkształcenie jednorodne

Wszystkie kierunki równouprawnione (jednorodność) a więc dla szerokości i wysokości można zapisać analogiczne deformacje względne: $\frac{l}{l} = \frac{h}{h} = \frac{\omega}{\omega}$=- $\frac{p}{E}$ (1-2 σ) ; $\frac{V}{V} = \frac{l}{l} + \frac{h}{h} + \frac{\omega}{\omega} = 3\frac{l}{l} = - 3\frac{p}{E}$(1-2 σ) ; p=-K$\ \frac{V}{V}$ ; $\frac{V}{V} = - 3\frac{p}{E}$(1-2 σ) ; p=+K$\frac{3p}{E}$(1-2 σ) ; K= $\frac{E}{3(1 - 2\ \sigma)}$ ; k=E σ