Numer ćwiczenia: 302	Data:		Wydział	Semestr: I	Grupa: Nr lab.
Prowadzący: Dr	Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena:

Temat: Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej.

1. Podstawy teoretyczne:

Falowy charakter światła:

Światło jest falą elektromagnetyczną, tzn. falą polegającą na rozchodzeniu się w przestrzeni zmian natężenia pola elektrycznego i magnetycznego. W zjawiskach optycznych decydującą rolę odgrywa wektor natężenia pola elektrycznego E, w skrócie zwany wektorem elektrycznym. W związku z tym do opisania fali świetlnej w optyce wystarcza określenie tego wektora w funkcji czasu i współrzędnych przestrzennych. Zachowanie się wektora elektrycznego fali biegnącej w kierunku osi x opisuje funkcja falowa:

$E = E_{0}sin\left\lbrack 2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) + \varphi_{0} \right\rbrack$,

gdzie T i λ oznaczają odpowiednio okres i długość fali, φ₀ jest fazą początkową.

Fale dowolnego rodzaju, a więc także świetlne, mogą ulegać dyfrakcji i interferencji. Podstawę do wyjaśnienia tych zjawisk stanowi zasada Huyghensa: każdy punkt, do którego dochodzi fala, staje się źródłem nowej fali kulistej.

Interferencja polega na nakładaniu się dwóch lub większej liczby fal. W określonym punkcie przestrzeni nastąpi wzmocnienie lub osłabienie amplitudy, w zależności od różnicy faz nakładających się fal. Jeżeli dwie fale wybiegają z dwóch punktów o tej samej fazie początkowej, np. z różnych szczelin siatki dyfrakcyjnej, to w punkcie nałożenia występuje różnica faz wynikająca z różnicy przebytych dróg.

Warunki interferencji możemy wyrazić zarówno poprze różnicę faz Δφ, jak i przez różnicę dróg ΔS:

• maksimum: Δφ = k • 2π,   S = kλ,   k = 0, 1, 2, 3…

• minimum: $\Delta\varphi = \left( 2k + 1 \right)\pi,\ \ S = \left( k + \frac{1}{2} \right)\lambda,\ \ k = 0,1,2,3\ldots$

Chociaż interferencja zachodzi dla dowolnych fal, stały w czasie obraz interferencyjny można zaobserwować tylko wtedy, gdy nakładają się fale spójne (koherentne), których różnica faz nie zmienia się w czasie.

Dyfrakcja:

Jest to zjawisko ugięcia się fali zauważalnie, gdy przechodzi ona przez szczelinę w nieprzezroczystej przeszkodzie o rozmiarach porównywalnych z długością fali. Istotę tego zjawiska przedstawia rys. 1. Zachowanie się fali za otworem zależy od wielkości tej szczeliny w stosunku do długości fali światła.

Rysunek . Przechodzenie światła przez otwory różnych wielkości

Obraz dyfrakcyjny otrzymany na ekranie za szczeliną jest na ogół układem naprzemiennych prążków jasnych i ciemnych; jest on wynikiem superpozycji fal elementarnych wychodzących z różnych fragmentów szczeliny. Centralne maksimum występuje na przedłużeniu kierunku fal padających, czyli dla kąta ϑ = 0, natomiast położenie kolejnych minimów dyfrakcyjnych (prążków ciemnych) jest określone wzorem:

asinλ = mλ.

W przybliżeniu w połowie odległości między sąsiednimi minimami występują maksima oświetlenia. Szerokość maksimum centralnego jest wyznaczona przez położenie pierwszego minimum (m=1). Z powyższego wzoru wynika, że dla szerokich szczelin (a >> λ) pierwsze minimum pojawia się już przy bardzo małym kącie, co oznacza, że centralne maksimum jest wąskie i odwzorowuje geometryczny kształt szczeliny. Gdy szerokość szczeliny jest równa długości fali, pierwsze minimum występuje dla kąta λ = 90°, co oznacza, że centralne maksimum wypełnia całą przestrzeń za szczeliną. Jeżeli ekran w tym przypadku nie jest zbyt duży, możemy przyjąć;, że jego oświetlenie jest jednorodne.

Dwie szczeliny:

Obraz otrzymany na ekranie przy przechodzeniu światła przez dwie szczeliny (rys. 2) jest wynikiem jednoczesnego wystąpienia dwóch zjawisk: dyfrakcji światła na każdej ze szczelin oraz interferencji fal wychodzących z sąsiednich szczelin.

Rysunek : Dyfrakcja na dwóch szczelinach

Maksima interferencyjne występują w punktach ekranu, dla których różnica dróg S jest wielokrotnością długości fali. Z rysunku 2 widać, że S = d sinϑ więc położenie maksimów interferencyjnych określa związek:

dsinϑ = mλ,       m = 1, 2, 3…

Odległość kątowa prążków interferencyjnych jest określona przez stosunek $\frac{\lambda}{d}$ gdzie d jest odległością między środkami sąsiednich szczelin. Względne natężenie tych prążków jest określone przez obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny, a więc zależy od stosunku$\frac{\lambda}{a}$, gdzie a jest szerokością szczeliny. Można powiedzieć, że prążki interferencyjne mają natężenie modulowane przez dyfrakcyjną obwiednię. Gdy szczeliny są bardzo wąskie, obraz dyfrakcyjny jest bardzo szeroki - wszystkie prążki interferencyjne mają niemal takie samo natężenie i na ekranie obserwuje się tylko obraz interferencyjny.

Siatka dyfrakcyjna:

Zjawiska podobne do opisanych wyżej zachodzą, gdy liczba szczelin jest większa. Taki układ równoległych szczelin, leżących w równych odległościach, nazywamy siatką dyfrakcyjną. Siatki dyfrakcyjne wykonuje się przez nacięcie rowków na szkle lub na metalowej płycie ostrzem diamentowym. Siatki szklane nazywamy transmisyjnymi, gdyż światło obserwujemy po przejściu przez szczeliny, siatki metalowe zaś nazywamy odbiciowymi ponieważ interferencji ulegają tu promienie odbite. Sporządziwszy taką wzorcową siatkę dyfrakcyjną, można wykonać następne siatki. W tym celu wzorcową siatkę pokrywa się roztworem kolodium, a następnie zdejmuje stwardniałą powłokę i przyklejają do płytki szklanej lub innej podkładki. Mniej dokładne siatki wykonuje się metodą fotograficzną.

W siatkach dyfrakcyjnych szerokość szczelin jest rzędu długości fali, więc natężenie prążków interferencyjnych jest prawie stałe.

Zwiększenie liczby szczelin od dwóch do N nie zmienia położenia maksimów interferencyjnych, które są w dalszym ciągu opisane równaniem dsinϑ = mλ. lecz powoduje pewne zmiany ich kształtu. Mianowicie, ze wzrostem liczby szczelin maksima stają się coraz węższe. Szerokość kątową maksimum wyraża wzór:

$$\Delta\vartheta_{0} = \frac{\lambda}{\text{Nd\ cos}\vartheta_{m}}$$

gdzie ϑ_m oznacza kąt występowania maksimum rzędu m.

Według kryterium Rayleigha dwa maksima są ledwie rozróżnialne, gdy ich odległość kątowa jest taka, że maksimum jednej linii przypada na minimum drugiej. Jeśli zastosujemy to kryterium, to okaże się, że zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest proporcjonalna do całkowitej liczby szczelin oraz do rzędu widma.

R = Nm.

Zasada pomiaru:

Stalą siatki dyfrakcyjnej d nazywamy odległość między środkami sąsiednich szczelin. W celu znalezienia tej wielkości zastosujemy wzór dsinϑ = mλ, który po przekształceniu przyjmie postać:

$$d = \frac{\text{mλ}}{\sin\vartheta}$$

1. Wyniki pomiarów:

Odczyty pomiarów położenia prążków dla siatek dyfrakcyjnych od A do E:

Prążek Siatka	5L [st.]	4L [st.]	3L [st.]	2L [st.]	1L [st.]	0 [st.]	1P [st.]	2P [st.]	3P [st.]	4P [st.]	5P [st.]
A	14,51	12,05	9,23	6,43	4,05	1,22	358,48	356,08	353,22	350,44	347,50
B			22,07	15,04	8,12	1,25	354,42	347,48	340,33
C				29,20	15,05	1,25	347,51	333,16
D					24,05	1,25	341,37
E					29,41	1,25	338,18

1. Obliczenia

Obliczone kąty ugięcia dla każdego rzędu wszystkich siatek dyfrakcyjnych:

Prążek Siatka	5L [st.]	4L [st.]	3L [st.]	2L [st.]	1L [st.]	0 [st.]	1P [st.]	2P [st.]	3P [st.]	4P [st.]	5P [st.]
A	13,29	10,83	8,01	5,21	2,83	0,00	357,26	354,86	352,00	349,22	346,28
B			20,82	13,79	6,87	0,00	353,17	346,23	339,08
C				27,95	13,80	0,00	346,26	331,91
D					22,80	0,00	340,12
E					28,16	0,00	336,93

Obliczenie stałych siatki dla każdego pomiaru:

Prążek Siatka	5L [st.]	4L [st.]	3L [st.]	2L [st.]	1L [st.]	0 [st.]	1P [st.]	2P [st.]	3P [st.]	4P [st.]	5P [st.]
A	12,83 x 10^-6	12,56 x 10^-6	12,70 x 10^-6	12,95 x 10^-6	10,31 x 10^-6		12,34 x 10^-6	13,17 x 10^-6	12,72 x 10^-6	12,62 x 10^-6	12,44 x 10^-6
B			4,98 x 10^-6	4,95 x 10^-6	4,93 x 10^-6		4,96 x 10^-6	4,95 x 10^-6	4,95 x 10^-6
C				2,52 x 10^-6	2,47 x 10^-6		2,48 x 10^-6	2,51 x 10^-6
D					1,52 x 10^-6		1,74 x 10^-6
E					1,25 x 10^-6		1,51 x 10^-6

Obliczenie wartości średniej dla każdej siatki i odchylenia standardowego średniej:

Siatka	Wartość średnia	Odchylenie standardowe średniej
A	12,63 x 10^-6	0,34 x 10^-6
B	4,956 x 10^-6	0,018 x 10^-6
C	2,49 x 10^-6	0,026 x 10^-6
D	1,63 x 10^-6	0,30 x 10^-6
E	1,38 x 10^-6	0,36 x 10^-6

1. Zestawienie wyników i błędów:

Siatka A: d= (12,63 ± 0,34) x 10^-6

Siatka B: d= (4,956 ± 0,018) x 10^-6

Siatka C: d= (2,49 ± 0,026) x 10^-6

Siatka D: d= (1,63 ± 0,30) x 10^-6

Siatka E: d= (1,38 ± 0,36) x 10^-6

1. Wnioski:

Na podstawie zaobserwowanego zjawiska dyfrakcji można powiedzieć ,że światło jest falą. Podstawą tego stwierdzenia jest zasada Huyghensa mówiąca, że każdy punkt, do którego dochodzi fala, staje się źródłem nowej fali kulistej. Z otrzymanych wyników można wnioskować, że im szczeliny na siatce są gęściej rozmieszczone tym odległości między prążkami maksimum oświetlenia są większe.