Zadanie D

1. Temat: WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W UKŁADACH PRĘTOWYCH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH.

2. Schemat statyczny układu z wymiarami i wartościami obciążeń.

3. Analiza kinematyczna układu.

Układ ( łuk kołowy) składa się z 2 tarcz. Utwierdzenie podporami gwarantuje geometryczną niezmienność.

1. Warunek konieczny.

Dla 2 tarczy może istnieć 6 stopnie swobody, które dla tej tarczy ograniczone są sześcioma więzami , a więc warunek konieczny geometrycznej niezmienności jest spełniony.

2. Warunek dostateczny.

Więzy tego układu rozmieszczone są prawidłowo. Kierunki więzów nie przecinają się w jednym punkcie.

4. Analiza statyczna układu

W tym układzie liczba niewiadomych reakcji równa jest liczbie równań równowagi liniowo niezależnych. 6=6

5. Obliczenie reakcji

q=3kN/m

a=1m

Q=3kN

∑P_X=0 => H_A-H_B=0kN
H_A=H_B

∑P_Y=0 => V_A+V_B-3=0

V_A+V_B=3Kn

∑M_A=0 => 1,5 ∙Q-2 ∙V_B=0

2V_B=4,5Kn

V_B=2,25Kn

V_A=3-2,25=0,75Kn

∑M_Cp=0 => Q ∙0,5-V_B+H_B=0

H_B=2,25-1,5=0,75Kn

H_A=H_B=0,75Kn

6. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych.

Przekrój 1-1

0<x<1

0 º<x<90 º

r=1

sin φ = y/r => y = r ∙sin φ = sin φ

cos φ = (r-x)/r => r-x = r ∙cos φ => x= 1- cos φ

Obliczamy N(φ)

∑P_K=0 =>N(φ)+H_A∙sin φ+V_A ∙cos φ=0

N(φ)=-0,75 ∙sin φ-0,75 ∙cos φ

N(φ=0 º)=?

N(φ=0 º)=-0,75 ∙sin0 º-0,75 ∙cos0 º=-0,75kN

N(φ=15º)=?

N(φ=15 º)=-0,75 ∙sin15 º-0,75 ∙cos15 º=-0,194-0,724=-0,918kN

N(φ=30º)=?

N(φ=30 º)=-0,75 ∙sin30 º-0,75 ∙cos30 º=-0,375-0,65=-1,025kN

N(φ=45º)=?

N(φ=45 º)=-0,75 ∙sin45 º-0,75 ∙cos45 º=-1,061kN

N(φ=60º)=?

N(φ=60 º)=-0,75 ∙sin60 º-0,75 ∙cos60 º=-0,65-0,375=-1,025kN

N(φ=75º)=?

N(φ=75 º)=-0,75 ∙sin75 º-0,75 ∙cos75 º=-0,724-0,194=-0,918kN

N(φ=90º)=?

N(φ=90 º)=-0,75 ∙sin90 º-0,75 ∙cos90 º=-0,75-0=-0,75kN

Obliczamy T(φ)

∑P_M=0 =>T(φ)-V_A ∙sin φ+H_A ∙cos φ=0

T(φ)=0,75 ∙sin φ-0,75 ∙cos φ

T(φ=0 º)=?

T(φ=0 º)=0,75 ∙sin0 º-0,75 ∙cos0 º=0-0,75=-0,75kN

T(φ=15 º)=?

T(φ=15 º)=0,75 ∙sin15 º-0,75 ∙cos15 º=0,194-0,724=-0,53kN

T(φ=30 º)=?

T(φ=30 º)=0,75 ∙sin30 º-0,75 ∙cos30 º=0,375-0,65=-0,275kN

T(φ=45 º)=?

T(φ=45º)=0,75 ∙sin45 º-0,75 ∙cos45 º=0,53-0,53=0kN

T(φ=60 º)=?

T(φ=60 º)=0,75 ∙sin60 º-0,75 ∙cos60 º=0,6495-0,375=0,2745kN

T(φ=75 º)=?

T(φ=75 º)=0,75 ∙sin75 º-0,75 ∙cos75 º=0,724-0,194=0,53kN

T(φ=90 º)=?

T(φ=90 º)=0,75 ∙sin90 º-0,75 ∙cos90 º=0,75kN

Obliczamy M(φ)

∑M_Ck=0 => -M(φ)+V_A ∙x-H_A ∙y=0

M(φ) =V_A ∙x-H_A ∙y

x= 1- cos φ

y=sin φ

M(φ)=V_A ∙(1-cos φ)-H_A ∙sin φ

M(φ)= 0,75 ∙(1-cos φ)-0,75 ∙sin φ

M(φ=0 º)=?

M(φ=0 º)=0,75 ∙(1-cos0 º)-0,75 ∙sin0 º=0kNm

M(φ=15 º)=?

M(φ=15 º)=0,75 ∙(1-cos15 º)-0,75 ∙sin15 º=0,026-0,1941=-0,1681kNm

M(φ=30 º)=?

M(φ=30 º)=0,75 ∙(1-cos30 º)-0,75 ∙sin30 º=0,1004-0,375=-0,2746kNm

M(φ=45 º)=?

M(φ=45 º)=0,75 ∙(1-cos45 º)-0,75 ∙sin45 º=0,22-0,5303=-0,3103kNm

M(φ=60 º)=?

M(φ=60 º)=0,75 ∙(1-cos60 º)-0,75 ∙sin60 º=0,375-0,6495=-0,2745kNm

M(φ=75 º)=?

M(φ=75 º)=0,75 ∙(1-cos75 º)-0,75 ∙sin75 º=0,556-0,7244=-0,1684kNm

M(φ=90 º)=?

M(φ=90 º)=0,75 ∙(1-cos90 º)-0,75 ∙sin90 º=0,75-0,75=0kNm

Przekrój 2-2

0<x<1

0º<x<90º

r=1

sin γ = y/r => y=r∙sinγ => y=sinγ

cos γ = (r-x)/r => r-x = r∙cos γ => x = 1-cos γ

Q(x)/x=3

Q(x)=3x

Obliczamy N(γ)

∑P_K=0 => N(x)-Q∙cos γ +V_B∙cos γ +H_B∙sin γ=0

N(γ)=3x∙cos γ -2,25∙cos γ - 0,75∙sin γ

x=1-cos γ

N(γ)=3∙ (1-cos γ) ∙cos γ -2,25∙cos γ -0,75∙sin γ

N(γ=0º)=?

N(γ=0º)= 3∙ (1-cos 0º) ∙cos 0º -2,25∙cos 0º -0,75∙sin 0º=0-2,25=-2,25kN

N(γ=15º)=?

N(γ=15º)=3∙(1-cos 15º)∙cos 15º -2,25∙cos 15º -0,75∙sin 15º=0,0987-2,173-0,1941=-2,27kN

N(γ=30º)=?

N(γ=30º)= 3∙(1-cos 30º) ∙cos 30º -2,25∙cos 30º -0,75∙sin 30º=0.348-1,949-0,375=-1,976kN

N(γ=45º)=?

N(γ=45º)= 3∙(1-cos 45º) ∙cos 45º -2,25∙cos 45º -0,75∙sin 45º=0,6213-1,591-0,5303=-1,5kN

N(γ=60º)=?

N(γ=60º)= 3∙ (1-cos 60º) ∙cos 60º -2,25∙cos 60º -0,75∙sin 60º=0,75-1,125-0,65=-1,025kN

N(γ=75º)=?

N(γ=75º)= 3∙ (1-cos 75º) ∙cos 75º -2,25∙cos 75º -0,75∙sin 75º=0,5754-0,5823-0,7244=

=-0,7313kN

N(γ=90º)=?

N(γ=90º)= 3∙ (1-cos 90º) ∙cos 90º -2,25∙cos 90º -0,75∙sin 90º=0-0.75=-0,75kN

Obliczamy T(γ)

∑P_M=0 =>T(γ)-Q ∙sin γ+V_B ∙sin γ - H_B ∙cos γ=0

T(γ)=3x ∙sin γ-2,25 ∙sin γ +0,75 ∙ cos γ

x=1-cos γ

T(γ)=3(1-cos γ) ∙sin γ-2,25 ∙sin γ +0,75 ∙ cos γ

T(γ=0 º)=?

T(γ=0 º)= 3(1-cos 0º) ∙sin 0º-2,25 ∙sin 0º +0,75 ∙ cos 0º=0,75kN

T(γ=15 º)=?

T(γ=15 º)= 3(1-cos 15º) ∙sin 15º-2,25 ∙sin 15º +0,75 ∙ cos 15º=0,0265-0,5823+0,7244=0,1686kN

T(γ=30 º)=?

T(γ=30 º)= 3(1-cos 30º) ∙sin 30º-2,25 ∙sin 30º +0,75 ∙ cos 30º=0,201-1,125+0,6495=

-0,2745kN

T(γ=45 º)=?

T(γ=45 º)= 3(1-cos 45º) ∙sin 45º-2,25 ∙sin 45º +0,75 ∙ cos 45º=0,6213-1,591+0,5303=

-0,4394kN

T(γ=60 º)=?

T(γ=60 º)= 3(1-cos 60º) ∙sin 60º-2,25 ∙sin 60º +0,75 ∙ cos 60º=1,299-1,949+0,375=

-0,275kN

T(γ=75 º)=?

T(γ=75 º)= 3(1-cos 75º) ∙sin 75º-2,25 ∙sin 75º +0,75 ∙ cos 75º=2,148-2,173+0,1941=0,1691kN

T(γ=90 º)=?

T(γ=90 º)= 3(1-cos 90º) ∙sin 90º-2,25 ∙sin 90º +0,75 ∙ cos 90º=3-2,25+0=0,75kN

Obliczamy M(γ)

∑M_Ck=0 => M(γ)-V_B ∙x + H_B ∙y +1/2x ∙Q=0

M(γ)=2,25x-0,75y-3/2x²

x = 1-cos γ

y=sinγ

M(γ)=2,25 ∙(1-cos γ)-0,75 ∙sin γ-3/2 ∙(1-cos γ)²

M(γ)= 2,25 ∙(1-cos γ)-0,75 ∙sin γ-3/2 ∙(1-2∙cosγ+cos²γ)

M(γ=0º)=?

M(γ=0º)= 2,25 ∙(1-cos 0º)-0,75 ∙sin 0º-3/2 ∙(1-2∙cos0º+cos²0º)=0kNm

M(γ=15º)=?

M(γ=15º)= 2,25 ∙(1-cos 15º)-0,75 ∙sin 15º-3/2 ∙(1-2∙cos15º+cos²15º)=0,0767-0,1941-0,0017=-0,1191kNm

M(γ=30º)=?

M(γ=30º)= 2,25 ∙(1-cos 30º)-0,75 ∙sin 30º-3/2 ∙(1-2∙cos30º+cos²30º)=0.3014-0,375-0,0269=-0,1005kNm

M(γ=45º)=?

M(γ=45º)= 2,25 ∙(1-cos 45º)-0,75 ∙sin 45º-3/2 ∙(1-2∙cos45º+cos²45º)=0,659-0,5303-0,1287= 0kNm

M(γ=60º)=?

M(γ=60º)= 2,25 ∙(1-cos 60º)-0,75 ∙sin 60º-3/2 ∙(1-2∙cos60º+cos²60º)=1,125-0,6495-0,375=0,1005kNm

M(γ=75º)=?

M(γ=75º)= 2,25 ∙(1-cos 75º)-0,75 ∙sin 75º-3/2 ∙(1-2∙cos75º+cos²75º)=1,668-0,724-0,6231=0,3209kNm

M(γ=90º)=?

M(γ=90º)= 2,25 ∙(1-cos 90º)-0,75 ∙sin 90º-3/2 ∙(1-2∙cos90º+cos²90º)=2,25-0,75-1,5=0kNm

7. Wykresy sił wewnętrznych.

7

---