1. POJĘCIA I ZASADY DYNAMIKI

Podstawą mechaniki ogólnej są prawa ruchu sformułowane przez Izaaka Newtona.

I prawo Newtona: Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego

prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

II prawo Newtona: Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły

działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Jeżeli siłę działającą na punkt materialny oznaczy się przez P, a pęd tego punktu przez mV, to treść drugiego prawa Newtona można wyrazić następującym równaniem wektorowym:

Jeżeli masa m punktu jest wielkością stałą
, to równanie przyjmuje postać:

gdzie: r - promień - wektor opisujący położenie punktu materialnego

a - przyspieszenie punktu materialnego

III prawo Newtona: Każdemu działaniu towarzyszy równe i prostoliniowo przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne oddziaływanie dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

IV prawo Newtona: Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił:

(mV₁ + mV₂ + … + mV_n) = P₁ + P₂ + … + P_n = P

V prawo Newtona: (grawitacji): Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m₁ ∙ m₂ i odwrotnie), proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, nazywany siłą grawitacji

Podstawowe pojęcia rzeczywiste mechaniki:

• ruch (w statyce nie uwzględnia się ruchu)

• czas (w statyce nie odgrywa żadnej roli)

• przestrzeń

• materia (której miarą jest masa)

• siła

Przestrzeń - rozumie się przestrzeń euklidesową, tzn. taką, w której są spełnione znane z geometrii pewniki Euklidesa. Przestrzeń ta ma trzy wymiary odległości mierzone zwykle w trzech wzajemnie do siebie prostopadłych kierunkach, które nazwano długością, szerokością i wysokością.

Materia - masa jest miarą ilości materii zawartej w ciele i jednocześnie miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest kilogram (1kg).

Siła - jest miarą wzajemnego oddziaływania ciał, przejawiającego się wyprowadzeniem ich ze stanu spoczynku, zmianą ich ruchu lub przez utrzymanie ciał w stanie równowagi. Ruch ciał zależy ponadto od ich bezwładności. Im więcej materii zawierają w sobie ciała tym większa jest ich bezwładność. Działanie siły jest określane przez jej wartość, kierunek działania i zwrot.

Przykład: wartość siły ciężkości (ciężaru ciała) jest równa iloczynowi jego masy oraz

przyspieszeniu ziemskiemu. Kierunek działania jest określony przez prostą skierowaną do środka Ziemi.

Wniosek: Siła jest wielkością fizyczną wektorową, którą można przedstawić za pomocą odcinka skierowanego - wektora.

Wektory: siły P=
i ciężaru ciała G.

l

P B

A O Wektory sił P i G.

G

Kierunki tych wektorów są takie, jak kierunki działania sił. Długości wektorów, czyli ich wartości bezwzględne (P = P₁G = |G|) są równe w pewnej skali wartościom liczbowym tych sił.

Wektor przedstawiający siłę P: punkt A - początek wektora

punkt B - koniec wektora

Długość odcinka AB określa w pewnej skali moduł wektora.

Punkt A nosi nazwę punktu przyłożenia siły, a prosta l przechodząca przez ten punkt, na której leży wektor P, przedstawiający siłę, nazywa się linią działania siły. Całkowite scharakteryzowanie siły wymaga podania: wartości liczbowej, kierunku i punktu przyłożenia do ciała, na które działa.

Rodzaje sił:

• masowe lub objętościowe, które są proporcjonalne do masy rozłożonej w objętości, działające na wszystkie punkty ciała

• powierzchniowe, powstające przy bezpośrednim zetknięciu się jednego ciała z drugim (np. siła tarcia)

• zewnętrzne, pochodzące od punktów lub ciał nie należących do rozpatrywanego układy mechanicznego

• wewnętrzne, pochodzące od punktów lub ciał należących do rozpatrywanego układu mechanicznego

• czynne (obciążenia zewnętrzne), mogące wywoływać ruch

• bierne, czyli reakcje powstające pod wpływem sił czynnych

Siły jako wielkości fizyczne można mierzyć:

• metodą dynamiczną pomiaru sił, polegającą na określeniu wartości przyspieszenia, które dana siła nadaje ciału o znanej masie. Następnie na podstawie II prawa Newtona możemy obliczyć poszczególne wartości siły

• metodą statyczną, polega na wyznaczeniu wartości siły na podstawie pomiaru odkształceń.

Pojęcia wyidealizowane, zwane modelami pojęć rzeczywistych:

• punkt materialny - ciało o wymiarach znikomo małych, w porównaniu z wielkością obszaru, w którym się porusza, dlatego też można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót. Traktuje się to ciało jako punkt geometryczny, w którym jest skupiona skończona ilość materii, czyli jest obdarzony pewną masą

• ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) - takie wyidealizowane ciało stałe, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił. Założenie takie nie może być uczynione w mechanice ciał odkształcalnych i wytrzymałości materiałów, teorii sprężystości itd., ale dla celów statyki może być przyjęte.

Pojęcie continuum materialnego (ciągłości materialnej) - oznacza, że obszar zajęty przez ciało jest wypełniony materią w sposób ciągły. Pojęcie to nie jest zgodne z poglądami współczesnej fizyki, ale przyjęte przez mechanikę do badania ruchu lub spoczynku materialnego ciał rzeczywistych.

Układ punktów materialnych - ciało zawierające dowolną ilość punktów materialnych. Każde ciało materialne można podzielić myślowo na drobne elementy - punkty materialne. Jeżeli będziemy dzielić ciało na nieograniczenie wzrastającą ilość punktów materialnych, przy jednocześnie malejących wymiarach tych punktów, dojdziemy do pojęcia continuum materialnego.

Układ mechaniczny - zbiór punktów materialnych lub ciał doskonale sztywnych mających tę własność, że położenie i ruch każdego elementu zależy od położenia i ruchu pozostałych elementów układu.

Podstawą wytrzymałości materiałów są:

• obliczenia teoretyczne - stanowią zastosowanie zasad mechaniki ogólnej, a przede wszystkim praw statyki

• badanie doświadczalne - wykazują odkształcenie materiałów w funkcji obciążeń przy różnych warunkach zewnętrznych.

W wytrzymałości materiałów dokonuje się podstawowych uproszczeń, które dotyczą samego materiału i opisu kształtu ciała.

Schemat obliczeniowy - wprowadzenie uproszczeń przekształca analizowany rzeczywisty obiekt w schemat obliczeniowy, w którym zachowane zostają tylko najważniejsze dla rozpatrywanego zagadnienia cechy obiektu. Uproszczenia w opisie materiału są konieczne ze względu na rzeczywistą budowę materii (budowę atomową).

Ciało jednorodne i niejednorodne - materiał ciała jest jednorodny, jeżeli jego właściwości fizyczne są takie same w każdej jego części. Jeżeli materiał ciała nie spełnia tego warunku, uważamy go za niejednorodny. Z pojęcia jednorodności wynika, że w uproszczonym modelu materia wypełnia objętość w sposób ciągły. Przy analizie takiego ciała można wówczas stosować pojęcia i cały aparat analizy matematycznej, jak np.: różniczkowanie, całkowanie.

Idealna sprężystość i plastyczność - większość analizowanych zagadnień z wytrzymałości materiałów rozpatruje się przy założeniu idealnej sprężystości materiału, gdzie wywołane obciążeniem odkształcenia znikają całkowicie. Przeciwieństwem ciała idealnie sprężystego jest ciało idealnie plastyczne. Należy zaznaczyć, że rzeczywiste ciała nie są ani idealnie sprężyste, ani idealnie plastyczne!

ZASADY STATYKI:

Statyka jako dział mechaniki ogólnej wykorzystuje następujące zasady (aksjomaty), których się nie udowadnia, a przyjmuje jako pewniki:

• zasada równoległoboku - działanie dwóch sił P i P można zastąpić działaniem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równo1e boku ABCD zbudowanego na wektorach sił P i P

a) D C b) A P₁

P₂ R

α P₂

A P₁ B R

• układ sił równoważących się - jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają tą samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty,

l

P₂

B Układ jest w równowadze gdy:

A P₁ = - P₂ lub P₂ = - P₁

P₁

• układ zerowy - stosunek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeżeli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił P₂ i -P₂, czyli tzw. układ zerowy,

l

P₁

B

- P₂ A P₂

a) l b) l c) l

P₁ P₁

A A P₁

B P₁

B

P₂

Wniosek: Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesunąć dowolnie wzdłuż jej działania.

• zasada zesztywnienia - jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to pozostanie również w równowadze jako ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił,

• zasada działania i przeciwdziałania - każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie

a) b) c) d)

R

B B R

A A R A

O O B O

G G A G

-R

• zasada oswobodzenia z więzów - każde ciało swobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych (reakcji więzów)

a) b)

C B R₁ R₂

A A

O O

G G

Stopnie swobody, więzy i uwolnienia od więzów

Ciało swobodne - każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni. Stopniem swobody I nazywa się możliwość wykonywania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów.

Z

Y M(x,y)

M(x,y,z)

A

B Y

C

X A

X

B

Punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody. Unieruchomienie punktu materialnego M na płaszczyźnie OXY wymaga połączenia go prętami MA i MB z dwoma stałymi punktami A i B. Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.

Więzy

Więzami f nazywa się warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni. Rodzaje więzów:

- obustronne, OM - r = 0

- jednostronne, OM' - r < 0

M M' - wewnętrzne

r - zewnętrzne

O - idealne

Przegub walcowy

Y

R_y Ciało sztywne osadzone jest na walcowym

R sworzniu. Przy pominięciu siły tarcia linia

reakcji R przechodzi przez oś sworznia.

Występujące reakcje: R_x i R_y stanowią dwie

O R_x X niewiadome: wartość reakcji R i jej kierunek.

Przegub kulisty

Z

R_z

R Krępuje swobodę przesunięć, ale umożliwia

obrót wokół dowolnej osi. Przy pominięciu

O R_y tarcia w przegubie kulistym powstaje reakcja

R_x Y R o dowolnym kierunku w przestrzeni

X przechodząca przez środek kuli, mająca trzy

niezależne składowe: R_x, R_y i R_z.

Podpora przegubowo przesuwna (rolkowa)

a) R

Opór w kierunku poziomym,

przy przesuwaniu takiej

podpory jest bardzo mały.

Przyjmuje się, że linia działania

reakcji R jest prostopadła do

b) płaszczyzny poziomej

R (przesuwnej).

Podpora przegubowo stała

a)

A

Koniec podparcia ciała sztywnego może się obracać

b) R_y dookoła osi przegubu, ale nie może się przemieszczać

R w dwóch kierunkach. Przy założeniu braku tarcia w

przegubie linia działania reakcji R przechodzi przez

R_x punkt A. Powstają niezależne od siebie składowe: R_x i

A R_y, a w przestrzeni: R_x, R_y i R_z.

c)

R_z

R

O R_y

R_x

Zawieszenie na cięgnach wiotkich

S₁ S₂

Tzw. podpory kierunkowo

jednostronne- tylko rozciągane.

A B A B Reakcje S₁ i S₂ działają na ciało

wzdłuż cięgien.

O O

G G

Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię

a)

A Powierzchnia gładka - styk punktowy (występuje

tylko jedna reakcja R_A prostopadła do powierzchni

2. R_A styku.

A

Powierzchnia chropowata - występują dwie składowe

c) N reakcji R_A: normalna N do powierzchni i styczna T (siła tarcia).

R_A

A T

Utwierdzenie całkowite

a)

A

Y

b) Na płaszczyźnie ciało sztywne ma trzy stopnie

R_y R swobody, występuje reakcja R o dwóch składowych:

M R_x i R_y oraz moment utwierdzenia M.

A R_x X

c) Z

R_z W przestrzeni całkowite unieruchomienie - 6 więzów,

M_z występuje reakcja R o składowych: R_x, R_y i R_z i

M_x R moment utwierdzenia R o trzech składowych: M_x, M_y

A M_y R_y Y i M_z.

X R_x

Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach przegubowych)

Unieruchomienie przez podparcie

na prętach zakończonych przegubami.

S_A Pręty przegubowe wywierają w

S_B S_C podobny sposób reakcje rozciągające

C jak cięgna (w przeciwieństwie do

A B cięgien mogą być ściskane).

G Reakcje wzdłuż prętów: S_A, S_B i S_C

D E F

1

---