P3020320

Wielomiany

ooooobo

bAiytmolyka komputerowa

Poprawność I stabilność

DOOOOOOOO '

Aproksymacja funkcji ocoooi >000000000

SpNȴ

Istnienie wielomianu interpolacyjnego

Dowód (indukcyjny).

1° n = 0, po(x) = /o spełnia jedyny warunek interpolacyjny;

2° niech dla k e N istnieje wielomian p_k- 1 e n^-i taki, że I ’    (x/) = y,- dla 0 < i < k -1. Spróbujmy dobrać stałą c tak by

| szukany wielomian p_k miał postać:

Pk(x) - Pk-i(x) + c(x - x₀)(x - x₁) • • • (x - X_k-1).

|: Zauważmy, że stopień Pk nie przewyższa k i pk spełnia warunki I interpolacyjne dla 0 < i < k -1 a równanie

p_k-\{x_k) + c{x_k - x₀)(x_k - x₁) • • • (x_k - x_k -1) = y_k

ma jednoznaczne rozwiązanie ze względu na c.

bdnoznaczność p_n wynika z taktu, że istnienie drugiego wielomianu q_n owodowałoby, że wielomian p_n - q_n miałby n +1 zer.

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)

■ s

40/1