Cialkoskrypt0

238 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

- a² a² d² J a² a² a' , ,₂. ^A = ai⁷V⁺ai^r    a?¹ 0

___P_    _^_p_    _ ₌ _v_ y ₌ ±

Po

Po

F = —, F = IX + jY + kZ,

gdzie v₀, po, Po, Vo są wartościami charakterystycznymi (wielkościami odniesienia) dla danego przepływu.

Korzystając z powyższych wielkości, równanie Naviera-Stokesa i równanie ciągłości przepływu przedstawimy w postaci bezwymiarowej:

1) równanie Naviera-Stokesa

v_ft av

— + —(v• V)v = g-F--^--~Vp+ —v+-^~v(divv),

I. '    )    ° ni n ^r I²    ^l²    \    >

t₀ at i₀

Po^o P ^o 31₀

2) równanie ciągłości przepływu

Pę a£₊v₂p_Ł—    _a

t₀ at i₀ ^;

Aby równanie Naviera-Stokesa miało postać bezwymiarową, należy je podzielić stronami przez Vq//₀ (jednostkową siłę bezwładności). Wtedy przybiera ono postać:

v₀t₀ at

V₀ Po^v0 P

1    V — -

—Vp +-A v +

Lv

o ^vo

a równanie ciągłości przepływu jest następujące:

-div(pv) = 0.

at l

v =

31o^vo

Vj^div v

- i, |

i ■* *■ i?

^ i

■ • y.

:ir li*

Jeśli dla dwóch porównywanych przepływów: rzeczywistego (1) i modelowego (2) współczynniki stojące przy pochodnych w równaniu Naviera-Stokesa są równe, to znaczy

O*"* 1	f ^lo )	f^g/°l -	f^g/°l
1 ^! o o >	< O o	UJr	^ ^vó J2

;V !v

to przepływy te są opisywane identycznymi równaniami różniczkowymi oraz warunkami brzegowymi i początkowymi. Zatem rozwiązania w postaci bezwymiarowej są identyczne dla tych samych wartości powyższych współczynników. W takim przypadku przepływy 1 i 2 nazywamy dynamicznie podobnymi. Równanie ciągłości przepływu nie wnosi nowych związków podobieństwa. Współczynniki te nazywają się liczbami podobieństwa i przedstawiają iloraz dwóch sił. Siłą odniesienia jest siła bezwładności związana z członem unoszenia występującym w równaniu Naviera-Stokesa. W równaniu tym występują następujące liczby podobieństwa:

Liczba Strouhala jest określona wzorem:

St =

(

Po

A

^Po^V0 J]

' Po \ ^Po^vo )₂

>	-	V 1
^Q^V0 )		<3 >

Vj

1 i nazywana jest również liczbą jednoczesności. Występuje ona tylko w przepływach niestacjonarnych lub okresowych. Liczba Strouhala określa stosunek składowej unoszenia do składowej lokalnej siły bezwładności.

Współczynnik stojący przy bezwymiarowym wektorze sił masowych F określa liczbą Froude’a:

Można j ą przedstawić j ako:

p_r _ P^o ' ^vo _ P^o * ^vo

pg-^o y^li

czyli liczba przedstawia stosunek sił bezwładności do siły ciężkości.

Trzecia zależność w bezwymiarowym równaniu Naviera-Stokesa określa liczbę Eulera:

Eu =-^r

Po^vo

i wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności:

Eu ₌......Jgąjia._

Pc/o ( ^V0 ^0 )

Stąd wynika kryterium Eulera podobieństwa pól sił ciśnieniowych (parcia) w dwóch przepływach. Liczba Eulera dotyczy tylko przepływów płynu nieściśliwego.