Cialkoskrypt0

338 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

ZADANIE 4.13.52

Kulka stalowa o gęstości materiału p_k = 7 800 kg/m³ i średnicy d = 3 mm opada w wodzie ze stałą prędkością (rys. 4.66). Obliczyć prędkość opadania kulki, jeśli współczynnik dynamiczny lepkości wody ą = 1,0-10"³ Pa-s, a gęstość wody p_w - 1000 kg/m³.

Rozwiązanie

Rys. 4.66

Na kulkę działają następujące siły:

1)    wypór Archimedesa

W = fc!^J-p„-g,

O

2)    ciężar

Q = f<J³-p_k-g.

3)    siła oporu płynu

2

P, = c • A

Ponieważ kulka porusza się ruchem jednostajnym, więc siły te są w równowadze (1 zasada dynamiki Newtona):

P_X + W = Q,

a po podstawieniu powyższych wielkości otrzymujemy:

1

2^Cx ’P w

-d³-p₍

Wielkościami nieznanymi w ostatnim wzorze są prędkość opadania v oraz współczynnik oporu c_x, ponieważ zależy on od liczby Reynoldsa, a liczba ta zależy od prędkości. Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:

/_ N ₂    4 • d • g /    X 4-0,003-9,81- 7800-1000) „

c_x (Re) • v² =-s. p - p ) = ----------------—4--------------L _ 0,266832

^{xV ;}    3-p_w ^{V k}    3-1000

Ponieważ współczynnik oporu czołowego c_x zależy od liczby Reynoldsa:

c

X

24    6

Re 1 + Vr^

+ 0,4,

przeto przekształćmy powyższe równanie c_x (Re)-v² -0,266832 = 0 do formy zawierającej tylko liczbę Reynoldsa:

c_x -v² -0,266832 = c_x

v-D

— | -0,266832 =

= c_x-Re²|—J -0,266832 = 0

lub po pomnożeniu obustronnie przez (D/v)²

(D/v)² c_x = Re²-0,266832 <(D/v)² =c_x • Re²-0,266832*(D*p/pt)² = = c_x *Re² - 0,2666832 • (o,0003 * 1000/10^-3 )² =

24

= c, - Re"-2401488 = 1 — +

+ 0,4

Re²-2401488 = 0

Re l + ^Ri

Należy zatem rozwiązać następujące równanie nieliniowe:

f(Re) = 0, f(Re) = f■— + —%= + 0,4 ] • Re²- 2401488. yRe 1 + VRe    )

Do rozwiązania nieliniowego równania f(Re) = 0 zastosujemy metodę Newtona iteracyjnego wyznaczania pierwiastków równania:

f(Re„)

Re_n., =Re -    , _x

^{n+1 n} f*(Re_n)

, n = 0,1,2,.

gdzie

f'(Re)= -

24

\

_v ^Re2 (l + VRe)² ^

3 Re² ,₀ = -24 —_r...............+ 48 +

• Re + 12

-

48    12

• +

Re 1 + 7Re

+ 0,8

Re =

(i₊VrS)² U+VrJ

+ 0,8

Re =

= 24 +

12

3VRe

+ 0,8

Re,

1+VS (i₊Vfe)

Niech pierwsze przybliżenie n = 0, Re₀ = 2100. Wówczas

f(Re₀)=|-^- +-^===- + 0,4 |-2100² -2401488 =

{2100 1 + 72100

= 2379473,6-2401488 = -22014,4,