CCF20130128010

Definicja 9.1 .4 (podobieństwo macierzy)

Macierze A i B nazywamy podobnymi jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P (o której mówimy, że jest macierzą zmiany bazy) taka, że P AP = B

Definicja 9.1.5

Mówimy, że macierz A jest diagonalizowaina, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P i diagonalna macierz A taka, że A-P ®AP. Innymi słowy macierz diagonalizowaina jest podobna do macierzy diagonalnej typu

4	0 ■	0
0	Ą	0
0	0 ■	•• K 0
0	0 •	•• o 4

Kaedy macierz jest diagonalizowaina? Odpowiadają na to następujące twierdzenia.

Twierdzenie. 9.1.5

Macierz A wymiaru n*n jest diagonalizowaina wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona n liniowo niezależnych wektorów własnych. Ma to miejsce wtedy, gdy krotność geometryczna każdej wartości własnej jest równa jej krotności algebraicznej. Nieosobłiwą macierz P taką, że A=P AP, gdzie A jest macierzą diagonalną uzyskujemy z wektorów własnych tej macierzy:

P = [v₁,v₂,...,v„].

Przykład 5. Zdiagonałizować następującą macierz:

5	4
4	5
2	2

2

2 •

2

Wielomian charakterystyczny tej macierzy:

5-2    4    2

= 4/t-0²U-!O)=o.

p_A{X) - det( A - 21) =

4    5-2    2

2 2 2-2

Wartości własne i krotności algebraiczne: Ą =l-,.kr.— 2 i %₂ -10, k₂ — 1 . Wektory własne:

1) Ą =1 •

Musimy rozwiązać układ równań:

(A-M)x =

4	4	2“
4	4	2	x2
2	2	1	3.

-0.

4	4	2	o"		"4	4	2	o"		'l	1	><	o"
4	4	2	0		0	0	0	0	->	0	0	0	0
2	2	1	0		0	0	0	0		0	0	0	0

Macierz rozszerzona układu: