2801842213

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA

2. Suma iloczynów wszystkich odpowiednich elementów dwóch różnych wierszy oraz dwóch różnych kolumn macierzy ortogonalnej równa sic zeru, tzu.

a_n^aji + a_i2a_j2 + ■ ■ • + (hnO-jn = 0 dla i ± T. h j = 1,2,..., n    (127)

a_lka_u + (i_2k.a-2i + ... + a_n*a_ll| = 0 dla k ^ /, k,l = 1,2,..., n    (128)

Ponadto zauważamy, że z równań (124) wynika wartość wyznacznika macierzy ortogonalnej. Mianowicie

dct A dct A⁷ = det I

ale det A^T = det A. det 1=1, więc (det A)² = 1.

St ąc 1 otrzynn i jemy

(129)

det A = ±1

Wyznacznik macierzy ortogonalnej może być równy tylko +1 lub — 1.

Przykład 3.15 Macierz pewnego przekształcenia liniowego ma postać

w =

cos a —sina sin a    cos a

(130)

Sprawdzić własności (125) i (120).

Rozwiązanie 3.15 Jest to macierz nicosobłiwa. ponieważ

det w = cos² a + sin² a = 1 ^ 0

Macierz transponowana jest równa

w^T =

cos a sina — sina cos a

Natomiast macierz dołączoną w^D jest następująca

w^D =

cos a sm a — sina cos a

Ponie waż det w = 1. to

w"¹ = w^D

cos a sina — sina cos a

Widzimy wie_tc, że w tym przypadku zachodzi równość w⁷ = w ¹. Oznacza to. że macierz w jest macierzą ortogonalną. Sprawdzimy własności (125) i (126). Rzeczywiście:

1    wiersz:

2    wiersz:

1    kolumna:

2    kolumna:

cos² a + sin² a = 1 (— sin a)² + cos² a = 1 cos² a + (—sina)² = 1 sin² a + cos² a = 1

Własności (127) i (128) również są spełnione, bowiem:

1. mnożenie względem wierszy:    cos a (— sina) + sina cos a = 0

2. mnożenie względem kolumn:    cos a sin a + (— sina) cos a = 0

54