4531591937

Lemat 6. Niech (Q,A,p) będzie zupełną, a-skończoną przestrzenią mierzalną, X - zupełną ośrodkową przestrzenią metryczną oraz niech G £ A®B(X), gdzie B(X) - a-ciało borelowskich podzbiorów X. Wówczas rzut na pierwszy czynnik jest mierzalny:

TTfj(G) := {u; £ Q|3_i6x(w,x) £ G} £ A.

Dowód. Dowód można znaleźć w [13, strony 75-80].    □

Definicja 8. Funkcję F : $7 —* 2^X nazwiemy mierzalną, jeśli dla każdego otwartego O C X mamy F^_1(0) = {oj £ U : F(uj)r\0 ± 0} £ M, gdzie M jest ustalonym o - ciałem podzbiorów

n.

Definicja 9. Mierzalna selekcja z F to dowolna funkcja mierzalna f : Q —* X taka, że

V„«i/(_W) 6 F(u).

Twierdzenie 6. [10, Twierdzenie 8.1.3] Niech (X, d) - zupełna, ośrodkowa przestrzeń metryczna, (fi, M) - przestrzeń mierzalna. Niech F : ii —» 2^X będzie mierzalną funkcją o niepu-stych domkniętych wartościach (to znaczy B{oj) jest niepustym domkniętym podzbiorem X). Wówczas istnieje mierzalna selekcja z F.

Dowód. Pomysł dowodu jest bardzo prosty. Wybierzmy    - ustalony gęsty przeliczalny

podzbiór X. Skonstruujemy ciąg mierzalnych odwzorowań fk : D —> X o wartościach w Okaże się, że {fk} będzie jednostajnie zbieżny do pewnego /, które jako granica ciągu funkcji mierzalnych będzie mierzalna i będzie szukaną selekcją z F. Przejdźmy do szczegółów.

Dla danego oj £ Q niech n > 1 będzie najmniejszą liczbą naturalną taką, że B(x_n, l)nF(w) ^ 0. Połóżmy fo(oj) = x_n. Funkcja /o jest oczywiście mierzalna, bo przyjmuje przeliczalną ilość wartości. Kontynuujemy przez indukcję. Przypuśćmy, że skonstruowaliśmy odwzorowania

fk'■ Q—> {xi,X2, ■ ■ ■} fc = 0, ...,m

spełniające

Vo^Ad(fk{oj), F{oj)) < ^

oraz

^o^fccm— i d(fk(o)),fk+i(a>)) < 2&-1 ’

Oznaczając S_n = {oj £ Q\f_m(uj) — x_n}, zauważamy, że S_n są parami rozłączne, a ich suma jest całym Q. Ponadto

Vu€S_nF(oj) O B(x_n, 2~^m) ± 0.

Rozważmy najmniejsze naturalne r takie, że

F(u) n B(x„, 2“”*) n%, 2^^(m+1>) # 0 i połóżmy f_m+i(oj) = x_r. Wtedy

«.W,klH) < ₂-m _{+ 2}-(-»+l) < ₂^-m+1

oraz

<i(/m+l(w),F(u)) < 2-<^m+I>.

W ten sposób dostajemy mierzalne odwzorowanie fm+1 : D —> {a:_n}^Li, co kończy dowód kroku indukcyjnego. Dla każdego oj £ fł fk{u>) jest ciągiem Cauchy’ego, który zbiega do pewnego f{oj). Ze zbieżności punktowej f(oj) jest funkcją mierzalną, co więcej, d(f(oj), F(oj)) = 0. Korzystając z domkniętości F(oj) uzyskujemy tezę.

□

17