1. Punkt materialny

Punktem materialnym nazywamy ciało obdarzone masą, lecz nie mające objętości, a więc takie, które nie może obracać się ani wykonywać drgań własnych. Prędkość punktu materialnego jest wielkością, która określa, jak szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie. Położenie punktu jest określane przez wektor położenia, który łączy początek układu z punktem. Wektor przemieszczenia łączy dwa punkty położenia.

V_r = Δr/Δt,
gdzie Δr - wektor przemieszczenia, Δt - przedział czasu (skalar).

Przyspieszenie punktu materialnego informuje o szybkości zmian jego prędkości: a = Δv/Δt

Wektory ruchu po okręgu.

Najprostszym spośród ruchów krzywoliniowych jest ruch po okręgu.

ω = = Θγ

ΔU_Θ = U_Θ2 - U_Θ1 = - ΔUr dokończyć

a_γ = u ; = - = - U_γ= - U_γ ω

U_γ = const.

a = V= - U_γ ωv = - U_γ

1. Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki Newtona: Jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub siły działające równoważą się, to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada: Jeżeli na ciało działa niezerowy układ sił, to ciało to porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej układu, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała: a = F/m

III zasada: Każdej akcji towarzyszy równa co do wartości, lecz przeciwnie skierowana reakcja - inaczej wzajemne oddziaływanie dwóch ciał jest zawsze równe co do wartości, lecz przeciwnie skierowane.

III zasada wg współczesnej teorii: Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą

2. Prawo zachowania pędu dla punktu materialnego:

F = F = ma a = p = mv

F = m = =

Siła jest szybkością zmian pędu. Jeżeli suma sił zewnętrznych jest równa 0 to pęd jest stały.

Zasada zachowania momentu pędu: Stosunek zmiany całkowitego momentu pędu układu materialnego względem punktu związanego z inercjalnym układem odniesienia (wzgl. środka masy) do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równa sumie momentów sił zewnętrznych działających na układ.

τ_zew = ; dla τ_zew = 0 ⇒ = 0

p = mv F = ma = m = =

F = 0 ⇒ = 0 → p = const.

L = r × p ← moment pędu

r × F = × r

τ = F × r ← moment siły

= (r × p) = (× p) + (r × )

= r × ⇒ t =

Jeżeli τ = 0 to L = const

5. Siły w układach nieinercjalnych

W układach nieinercjalnych musimy oprócz zwykłych sił znanych z układów inercjalnych, wprowadzić dodatkowo siły pozorne zwane siłami bezwładności. Siły te nie są wywierane na nasze ciało przez żadne z ciał znajdujących się w jego otoczeniu. Ponadto, jeśli rozpatrujemy ruch ciała z inercjalnego układu odniesienia, siły bezwładności znikają. Wprowadzenie tych sił pozwala na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach nieinercjalnych.

Siły bezwładności w ruchu po okręgu:

Dla obserwatora znajdującego się w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się po okręgu, na ciało poruszające się po tym samym okręgu działają dwie siły: rzeczywista siła dośrodkowa, oraz siła bezwładności, zwana siłą odśrodkową, która jest siłą pozorną. Natomiast obserwator patrzący na ciało z inercjalnego układu odniesienia, będzie widział jedynie działającą siłę dośrodkową.

F = ma = (mv²)/r

Człowiek będący w karuzeli obserwujący innego człowieka idącego po linii radialnej stwierdzi, że człowiek porusza się w stanie równowagi, ponieważ nie ma on żadnego przyspieszenia a jednak występuje siła tarcia. Z punktu widzenia obserwatora stojącego na Ziemi występowanie jest zrozumiałe. Składowa F_r jest związana z przyspieszeniem odśrodkowym ω²r, a składowe F_c z przyspieszeniem Coriolisa 2ωVrsinα. Obserwator stojący na karuzeli nie widzi jednak żadnego z tych przyspieszeń. Obserwator stojący na karuzeli twierdzi, że siła tarcia działająca na poruszającego się człowieka jest równoważona przez dwie siły pozorne. Jedna z tych sił jest nazwana siła odśrodkową i ma wart. bezwzgl. F_r i działa na zewnątrz.

Druga - siła Coriolisa ma wartość F_c i działa stycznie w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu karuzeli F_c = ω × r

Siła ta powoduje skręcanie w prawo passatów na półkuli południowej oraz prawe brzegi rzek płynących `południkowo' są bardziej podmyte.

Wahadło Foucault

Ciężarek rozwieszony na dość dużym drucie. Drut jest w górnym punkcie mocowany przegubowo (przegub Cardana) tak, że może ono wykonywać swobodnie ruch wahadłowy w każdym kierunku. Jeśli wahadło to wprowadzimy w ruch wahadłowy, wtedy płaszczyzna wahań powoli obraca się względem linii narysowanej na podłodze, chociaż siła napięcia linki podtrzymującej ciężarek oraz działające nań przyciąganie grawitacyjne leżą w płaszczyźnie pionowej. Zjawisko to jest rezultatem tego, że Ziemia nie jest inercjalnym układem odniesienia. Płaszczyzna wahań takiego wahadła nie zmienia się pomimo, iż Ziemia obraca się dokoła własnej osi. Jako płaszczyznę wahań przyjmujemy płaszczyznę wzdłuż południka północ - południe. Prędkość kątowa płaszczyzny wahań względem Ziemi uzależniona jest od szerokości geograficznej. Dla bieguna ω = ω₀, a dla równika ω = 0, gdzie ω - prędkość kątowa płaszczyzny wahań względem Ziemi, ω₀ - prędkość kątowa Ziemi

ω₀ = = =

ω = ω₀cos(90^o - ϕ) = ω₀sinϕ

Okres obrotu płaszczyzny wahadła znajdującego się na szerokości 0 wynosi: (24/sin0)h. Na równiku: ω = ω₀sin(π/2) = 0

[rysunek]

6. Ruch Harmoniczny.

Ruchem który powtarza się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem harmonicznym. Poruszające się cząstki w ruchu harmonicznym możemy zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus
i cosinus. Ponieważ te funkcje nazywamy harmonicznymi to ruch periodyczny nazywamy często ruchem harmonicznym.

F = - kx

F = ma ⇒ m = - kx

+ kx = 0

+ ωx =

x(t) = Asin(ω₀t + ϕ)

V(t) = = Aω₀cos(ω₀t + ϕ)

a(t) = = -Aω₀sin(ω₀t + ϕ)

Wahadło matematyczne

[rysunek]

G = mg

G' = Gcosα

G'' = Gsinα

Ruch powoduje jedynie składowa G'', więc równanie ruchu:
ma = -mgsinα (minus ponieważ α jest liczony w kierunku przeciwnym niż a). Dla małych α (poniżej 3^o) sinα ≈ tgα

tgα = s/l, więc równanie przyjmuje postać:

a = -g oraz a =

ponieważ a = -ω²s, to ω² = = = ω =

więc T = 2π

8. Prawo grawitacji Newtona

Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m₁ i m₂ znajdującymi się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty i ma wartość F = G(m₁m₂)/r², gdzie G jest stałą uniwersalną mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych.

[rysunek]

F_{2 1} = - r_{1 2} siła z jaką m₂ działa na m₁

F_{1 2} = - r_{2 1}

r_{2 1} = - r_{1 2}

F_{2 1} = -

Potencjał grawitacyjny wyraża liczbowo wartość pracy wykonanej przeciwko siłom przyciągania grawitacyjnego przy przeniesieniu masy jednostkowej z nieskończoności do danego punktu pola, przy czym ujemna wartość oznacza, że pracę tę wykonują siły przyciągania: V = E_p/m. V = -(GM)/r. Praca, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m przesunąć z nieskończoności do punktu odległego o r od źródła jest równa energii potencjalnej ciała E_p w tym punkcie.

W = GMm(1/r₀ - 1/r) - praca w polu grawitacyjnym

r₀ = ∞ → 1/r₀ = 0

Prawa Keplera

1. Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych w których w jednym z ognisk znajduje się Słońce.

2. Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze słońcem zakreśla w równych odcinkach czasu równe pola.

3. Kwadrat okresu obiegu każdej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca

GHs = Hs - masa Słońca.

F₁₂ = - G Ep = - G

E_pB - E_pA = V_A = - G

10. Oscylator harmoniczny.

ε(t) = ε_m cosω''t

ε = L - = Ri +

ε(t) = L + Ri + ; i =

i = = cos(ω''t - φ) = i_m cos(ω''t - φ)

Rezonans:

Częstość drgań wymuszających jest równa częstości drgań własnych układu:

I_m = =

i_m będzie max gdy: ω''L =

Dla rezonansu (ω''= ω) amplituda drgań prądu jest określona wielkością oporu co wynika z podstawienia ω''= do równania na i_m czyli i_m = ε_m/R występuje wówczas rezonans prądowy.

Warunek rezonansu ω''= max wartość prądu i występuje wówczas, gdy częstość ω jest równa ω₀

11. Relatywistyka

Postulaty Einsteina:

1. Prawa fizyki mają jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Nie istnieje żaden wyróżniony inercjalny układ odniesienia.

2. Prędkość światła jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Transformacja Lorentza

Załóżmy istnienie układów A i A'. Współrzędne w układzie A oznaczamy x, y, z i czas t, natomiast w układzie A' odpowiednio x', y', z' i t'. Osie obu układów są równoległe. Układ A' porusza się ruchem jednostajnym wzdłuż osi X z prędkością V względem układu A.
W chwili rozpoczęcia ruchu początki i osie układów pokrywają się oraz t = t' = 0. W układzie A pomiary wyrażamy we współrzędnych x, y, z, t, a w A' we współrzędnych x', y', z', t'.

x' = ; y' = y; z' = z; t' =

wg transformacji Galileusza x' = x - vt albo

x = ; y = y'; z = z'; t = gdzie β = v/c

Układ inercjalny, transformacja Galileusza, zasada względności Galileusza.

Inercjalny układ odniesienia to układ w którym jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub działające siły się równoważą to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym. W układzie inercjalnym obowiązują zasady dynamiki Newtona.

Transformacja Galileusza:

gdy przechodzimy z jednego układu inercjalnego do innego to:

r'(t) = r(t) - Vt

= - V

=

a'= a

x = x'+Vt x'= x - Vt

y = y y'= y

z = z' z' = z

Relatywistyczne dodawanie prędkości

u = ui + u j + u k

u= u= u=

u_x = u_y = u_z =

x = = y = y' z = z' t =

u_y = = = =

Relatywistyczne skrócenie długości.

L=x₂-x

l'=x₂'-x₁'

l=x₂(t)-x₁(t)

l'=x₂'(t')-x₁'(t')

t₁ = t₂ = t

x' = (x - Vt)

L' = x'₂ - x'₁ = γ(x₂ - Vt₂) - γ(x₁ - Vt₁) =

= γx₂ - γx₁ - γVt + γVt = γ(x₂ - x₁)

L' =

L = = L₀

Dylatacja czasu.

Δt =

Energia kinetyczna i pęd w relatywistyce.

m = masa relatywistyczna

m₀ - masa spoczynkowa

p = mv = pęd relatywistyczny

E₂ - E₁ = W dE_k = Fdx

F = () dx = = vdt

Zatem

dE_k = V ()dt = dt = ()dt = d() = d(mc²) = c²

= c² == (m - m₀)c² m =

E_k = m₀c² (- 1)

Jest to energia kinetyczna w dynamice relatywistycznej.

12. Prawo Coulomba

Siły, z jakimi dwa ładunki punktowe oddziałują na siebie, są proporcjonalne do iloczynu wielkości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między nimi.

F = k , gdzie k = ε₀ - przenikalność elektryczna próżni

Prawo Coulomba zastosowane zostało w fizyce kwantowej do opisu: 1) sił elektrycznych wiążących jądro atomu i elektrony

2) sił wiążących atomy w cząsteczki

3) sił wiążących atomy lub cząsteczki w ciałach stałych i cieczach

Natężenie pola E w danym punkcje określamy jako stosunek siły F działającej na bardzo mały ładunek próbny q do wielkości tego ładunku (E = F/q).

Zasada zachowania ładunku: suma wszystkich dodatnich i ujemnych ładunków we wszechświecie nie zmienia się.

Zasada superpozycji: pole elektryczne w danym punkcie wynikające z oddzielnych ładunków jest sumą wektorową pól pochodzących od poszczególnych rozkładów.

E = E₁+E₂+E₃+...+E_n = ΣE_n n = 1,2,3,...

Prawo Gaussa:

E₀Φ_E = q

E₀∫Eds = q

Ponieważ E = const dla całej powierzchni kuli

S - pow. kuli [S = 4πr²]

E₀E∫ds = q

E₀ES = q

E₀E(4πr²) = q

E =

F = Eq₀

F = - prawo Coulomba

Prawo Gaussa dla elektryczności

Ładunki jednoimienne odpychają się, a ładunki różnoimienne przyciągają się z siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku przemieszcza się w kierunku jego powierzchni zewnętrznej.

ε_o∫Eds = q

13. Praca w polu elektrycznym.

Potencjał - wielkość charakteryzująca pole jest to stosunek energii potencjalnej jaką ma ładunek w tym punkcie do wartości tego ładunku:

V = E_p = ; k =

Potencjał wyraża liczbowo wartość pracy wykonanej przeciwko siłom pola (w przypadku potencjału dodatniego) albo też wykonanej przez te siły (w przypadku potencjału ujemnego) przy przeniesieniu dodatniego ładunku jednostkowego do jego punktu.

Praca w polu elektrycznym nie zależy od drogi. Zależy tylko od położenia początkowego i końcowego.

Definicja strumienia pola elektrycznego, prawo Gaussa.

STRUMIEŃ- własność pola wektorowego dla powierzchni zamkniętej w polu elektrycznym. Strumień φE jest - kiedy linie sił są skierowane do wewnątrz; + na zewnątrz.

PR Gaussa- zastosowane do dowolnej hipotetycznej powierzchni podaje związek pomiędzy φE przechodzącym przez te pow i całkowitym ładunkiem zamkniętym wewnątrz jej.

Strumień pola elektr.

ΦE = ∫Eds

ε₀ΦE = q

q = ∑ q_i E-natężenie; q-całkowity ładunek

ε₀∫Eds = q pr. Gaussa

∫Eds = _v∫divE dv

ε_{0 v}∫divE dv = _v∫pdv

_v∫ε₀divE dv - _v∫pdv = 0

_v∫(ε₀divE - p)dv = 0 ⇒ ε₀divE - p = 0

divE =

15. Prawa przepływu prądu elektrycznego.

Opór między dwoma punktami przewodnika określamy za pomocą przyłożonej różnicy potencjałów U między tymi punktami
i przepływającego prądu i. R=U/i

Opór-zdolności ciała do przeciwstawiania się przepływowi prądu.

Jednostką prądu jest om[Ω]. Elektrony poruszające się w ciele uderzają w atomy i przekazują im energię, ogrzewając ciało i zużywając energię ze źródła SEM.

Opór właściwy p- charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru.

p = σ = - przew. właściwe

R = p

p = p₀[1+α(τ - τ₀)]

zal. oporu właściwego od temp. T = 0˚C, p₀=wart. oporu w danej temp. 0˚C

α - średni wsp. oporu właściwego

Prawo Ohma

Opór rozważanego przewodnika jest zawsze taki sam niezależnie od wielkości przyłożonego napięcia w celu zmienienia go. R=U/i- zależność nie jest stwierdzeniem prawa Ohma, przewodnik spełnia to prawo jeżeli zależność i = f(U) jest linią prostą tzn. R nie zależy od i oraz U.

Prawa Kirchoffa.

1. W dowolnym węźle algebraiczna suma prądów jest równa 0.

∑i = 0

2. Suma algebraiczna SEM i spadków napięć w oczkach sieci jest równa 0.

Mikroskopowa teoria oporu właściwego

W nieobecności pola elektrycznego elektrony swobodne poruszają się w metalu zupełnie chaotycznie. Kiedy do metalu przyłożone jest pole elektryczne, wówczas elektrony są powoli unoszone w kierunku przeciwnym do kierunku pola ze średnią prędkością unoszenia Vu.

a =

Elektron po zderzeniu z jonem zmienia swoją prędkość do następnego zderzenia o aτ, gdzie τ to czas średni między zderzeniami.

v_u = aτ = = ρ = =

ρ = ρ - opór właściwy

Opór właściwy ρ charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru.

ρ = [Ωm] σ = - przewodnictwo właściwe

R = ρ ρ = ρ₀[1+α(τ-τ₀)]

Jest to zależność oporu właściwego od temperatury T₀ = 0^oC, ρ₀ - wartość oporu w danej temperaturze 0^oC, α - średni wsp. temperatury oporu właściwego

15. Prawa przepływu prądu elektrycznego.

Opór między dwoma punktami przewodnika określamy za pomocą przyłożonej różnicy potencjałów U między tymi punktami
i przepływającego prądu i. R=U/i

Opór-zdolności ciała do przeciwstawiania się przepływowi prądu.

Jednostką prądu jest om[Ω]. Elektrony poruszające się w ciele uderzają w atomy i przekazują im energię, ogrzewając ciało i zużywając energię ze źródła SEM.

Opór właściwy p- charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru.

p = σ = - przew. właściwe

R = p

p = p₀[1+α(τ - τ₀)]

zal. oporu właściwego od temp. T = 0˚C, p₀=wart. oporu w danej temp. 0˚C

α - średni wsp. oporu właściwego

Prawo Ohma

Opór rozważanego przewodnika jest zawsze taki sam niezależnie od wielkości przyłożonego napięcia w celu zmienienia go. R=U/i- zależność nie jest stwierdzeniem prawa Ohma, przewodnik spełnia to prawo jeżeli zależność i = f(U) jest linią prostą tzn. R nie zależy od i oraz U.

Prawa Kirchoffa.

1. W dowolnym węźle algebraiczna suma prądów jest równa 0.

∑i = 0

2. Suma algebraiczna SEM i spadków napięć w oczkach sieci jest równa 0.

Mikroskopowa teoria oporu właściwego

W nieobecności pola elektrycznego elektrony swobodne poruszają się w metalu zupełnie chaotycznie. Kiedy do metalu przyłożone jest pole elektryczne, wówczas elektrony są powoli unoszone w kierunku przeciwnym do kierunku pola ze średnią prędkością unoszenia Vu.

a =

Elektron po zderzeniu z jonem zmienia swoją prędkość do następnego zderzenia o aτ, gdzie τ to czas średni między zderzeniami.

v_u = aτ = = ρ = =

ρ = ρ - opór właściwy

Opór właściwy ρ charakteryzuje sam materiał i nie zależy od jego kształtu i rozmiaru.

ρ = [Ωm] σ = - przewodnictwo właściwe

R = ρ ρ = ρ₀[1+α(τ-τ₀)]

Jest to zależność oporu właściwego od temperatury T₀ = 0^oC, ρ₀ - wartość oporu w danej temperaturze 0^oC, α - średni wsp. temperatury oporu właściwego

16. Pole magnetyczne

Polem magnetycznym nazywamy właściwości przestrzeni wokół magnesu lub przewodnika, w której na inne przewodniki z prądem lub poruszające się ładunki działają siły magnetyczne. Podstawowym wektorem pola magnetycznego jest wektor indukcji magnetycznej B. Wielkość ta może być reprezentowana przez linie indukcji tak, jak pole elektryczne było reprezentowane było przez linie sił. Podobnie wektor pola magnetycznego związany jest z liniami indukcji w następujący sposób:

1) Styczna do linii indukcji w dowolnym punkcie daje kierunek wektora B w tym punkcie. 2) linie indukcji rysuje się w ten sposób, że ich liczba na jednostkę pow. przekroju poprzecznego (⊥ do linii) jest o wart bezwzględnej B. Tam gdzie linie są blisko siebie, B jest duże a gdzie daleko małe. Linie indukcji pokazują bezpośrednio w sposób graf. jak zmienia się B w ściśle określonym obszarze przestrzeni.

Strumień Φ- to jest własnością wszystkich pól wektorowych.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego: jest stwierdzeniem o nie istnieniu izolowanych biegunów magnetycznych. Strumień Φ_B przechodzący przez dowolną zewnętrzną zamkniętą powierzchnię gaussowską musi być równy 0 czyli: Φ_B = ∫ BdS = 0

Postać różniczkowa: divE = divE = + +

Postać całkowa: ε₀ ∫ BdS = ∑ a_i

Indukcja magnetyczna - wielkość wektorowa, której kierunek jest styczny do lini sił pola, a zwrot zgodny ze zwrotami lini sił. Φ = BScosα

Siła działająca ze strony pola B na powierzchnię z prądem:

F = q_ovBsinΘ...; Θ = 90^o => F = q_ovB = ev_uB

v_u = j/ne <= prędkość unoszenia

U ⊇ F = ej/ne B = jB/n

F = (nSL)F = nSLjB/n ; js = i ; F = BiL; ∠(j,B) ⊥ =>

=>FR = iLxB

Jeśli próbkę zawierającą N atomów, z których każdy ma magnetyczny moment dipolowy umieścimy w polu magnetycznym, elementarne dipole atomowe będą usiłowały ustawić się w kierunku zgodnym z kierunkiem pola. Ta tendencja do ustawiania się nazywa się paramagnetyzmem. W przypadku ustawienia dokoła nie zgodnie z kierunkiem pola próbka jako całą miała by dipolowy moment magnetyczny N_M.

Diamagnetyzm

Występuje w każdym ciele. Polega on na powstawaniu w całej objętości ciała niezanikających mikroskopowych wirowych prądów elektrycznych, indukowanych zewnętrznym polem magnetycznym, przy czym zgodnie z regułą Lenza pole magnetyczne tych prądów jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. W materiałach diamagnetycznych wypadkowa indukcja magnetyczna B jest mniejsza niż w próżni, tzn. B < μ₀H

B = μ₀μ_rH

Przenikalność magnetyczna diamagnetyków μ_r < 1

Przykłady: woda, kwarc, srebro, bizmut, miedź

[rysunek]

F_E = ma = mr - siła na e (lub B)

Jeżeli -e w polu magnet. (zewnętrznym) to działa dodatkowo siła magnet. prostopadle do kierunku ruchu

F_B = evB = eωrB

Dla obu kierunków obiegu mamy siły wypadkowe

F_B = F_E = mω²r

ω² ± ω - = 0 sω ≈ ± ω = ω₀ ±

Jeżeli do diamagnetyka przyłożymy B, to indukuje siły momentu magnetycznego o kierunku przeciwnym do B, np. bizmut, złoto, cynk

4. Prawo Ampere'a

Prędkość światła można wyliczyć z pomiarów czysto elektromagnetycznych. Prąd płynący w przewodniku wytwarza wokół siebie pole magnetyczne.

∫Bl = μ₀(ε₀ + i)

Efekt Halla

[rysunek]

efekt spodziewany dla q+

E_k - poprzeczne pole efekt Halla

V_u - prędkość unoszenia ładunku el.

R = 1/ne - stała Horna

qE_H + qv_u × B = 0

E_H = -v_u × B

E_H = v_uB = B = R_HjB

n = - ilość ładunków

E_H = ; j = =

= R_HB

U_H = iB - wzór na napięcie Halla

Płytkę przewodnika umieszczamy w polu magnetycznym i indukcji B (pow. prostopadle do linii natężenia pola). Jeżeli teraz przez płytkę przepuścimy prąd o natężeniu i, to na płytkę będzie działała siła F. Ponieważ siła działająca na tę płytkę jest wynikiem sił działających na ładunki przenoszące prąd, ładunki te (niezależnie czy są dodatnie, czy ujemne) będą odchylane w kierunku działania siły powodując powstawanie różnicy potencjałów U_H.

Zastosowanie: 1) hallotron (przyrząd do pomiaru indukcji magnetycznej B; 2) kontrola jakości metali i półprzewodników; 3) stabilizacja indukcji magnetycznej B

17. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej.

Prawo indukcji Faraday'a

Sztabka magnetyczna przesuwana przez zamknięty obwód powoduje powstanie prądu w tym obwodzie.

∫Edl = -

23. Ruch falowy.

Prędkość fazowa to inaczej prędkość fali.

Dla fali biegnącej w prawo: y = f(x - Vt)

dla fali biegnącej w lewo: y = f(x + Vt)

dla wybranej fali biegnącej w prawo żądamy aby

x - Vt = const.

Różniczkowanie względem czasu daje:

- V = 0 → = V

co oznacza że V jest prędkością fazową fali. Dla fali biegnącej w lewo otrzymamy: -V

prędkość fazowa V_F jest prędkością poruszania się konfiguracji pola. Nie jest ona bezpośrednio mierzalna. Konfiguracje falowe powtarzają się i nie ma sposobu odróżnienia jednego maksimum fali od drugiego. Możemy na fali umieścić sygnał przez kształtowe zwiększenie mocy generatora. Prędkość sygnału jest prędkością z jaką następuje przesłanie energii, a więc prędkość grupową.

V_f = V_g = c

λ =

λ_g = = = λ λ_g =

a - szerokość falowodu

λ - dł. fali w próżni

Zauważamy że dla a → nieskończoności V_f = V_g = c

23. Ruch falowy.

Prędkość fazowa to inaczej prędkość fali.

Dla fali biegnącej w prawo: y = f(x - Vt)

dla fali biegnącej w lewo: y = f(x + Vt)

dla wybranej fali biegnącej w prawo żądamy aby

x - Vt = const.

Różniczkowanie względem czasu daje:

- V = 0 → = V

co oznacza że V jest prędkością fazową fali. Dla fali biegnącej w lewo otrzymamy: -V

prędkość fazowa V_F jest prędkością poruszania się konfiguracji pola. Nie jest ona bezpośrednio mierzalna. Konfiguracje falowe powtarzają się i nie ma sposobu odróżnienia jednego maksimum fali od drugiego. Możemy na fali umieścić sygnał przez kształtowe zwiększenie mocy generatora. Prędkość sygnału jest prędkością z jaką następuje przesłanie energii, a więc prędkość grupową.

V_f = V_g = c

λ =

λ_g = = = λ λ_g =

a - szerokość falowodu

λ - dł. fali w próżni

Zauważamy że dla a → nieskończoności V_f = V_g = c

25. Mechanika płynów

Prawo Bernouliego dla cieczy

[rysunek]

W = F₁Δl₁ - F₂Δl₂

p =

W = p₁Δs₁v₁Δt - p₂Δs₂v₂Δt = + Δmgh₂ - - Δmgh₁

p₁Δs₁v₁Δt + + Δmgh₁ = p₂Δs₂v₂Δt + + Δmgh₂

v₁ = v₂ = v

= ζ

p₁ + 0,5ζv + ζgh₁ = p₂ - 0,5ζv + ζgh₂

p + + ζgh = const - prawo Bernouliego

M = ps₁v₁ΔtV₁

p = mv

p₁ = ps₁v₁ΔtV₁; p₂=ps₂v₂ΔtV₂

F = ma a = p = mv

F = → F =

F ≅ = v₁ ≈ v₂ = v s₁ ≈ s₂ = s

F = psv(V₂ - V₁) siła reakcji

Siła reakcji zależy od prędkości.

s₁≈ s₂ = s v₁ ~ v₂ = v

Siła F działa na ciecz a pochodzi od ścianki rury. Z taką samą siłą działa ciecz na ścianki rury.

Reakcja strugi.

Rysunek

m = ps₁v₁Δt

p = mv

p₁ = ps₁v₁ΔtV₁ p₂ = ps₂v₂ΔtV₂

F = ma a = p = mv

F = z tego F =

F ≅ = v₁ ≈ v₂ = v s₁ ≈ s₂ = s

F = psv(V₂ - V₁)

F to jest siła reakcji

-------------------------------------------------------------------------------------

27. Prawa gazowe i termodynamika.

Równanie Van der Waalsa.

Oddziaływania między cząsteczkowe oraz skończone cząsteczek zostały częściowo uwzględnione w równaniu stanu gazu nazwanym równaniem Van der Waalsa. Równanie to dla 1 kilomola gazu ma postać:

(p + )(V - b) = RT v = - tj obj. molowa

Stałe a i b są różne dla różnych gazów (zależą od właściwości cząstek). Stałą b interpretujemy jako objętość zajmowaną przez cząsteczki, stała a wiąże się z siłami oddziaływania. Gdy obj. jest bardzo duża, równanie Van.. przechdzi w równanie stanu gazu doskonałego

1. obszar współistnienia cieczy i pary wodnej.

2. Układ zaczyna się skraplać.

(pk, Vk) - punkt krytyczny

[rysunek]

Silnik i cykl Carnota

W silniku Carnota procesowi cyklicznemu ulega gaz doskonały. W tym silniku nie ma strat spowodowanych tarciem itp.

Cykl Carnota:

I rozprężenie izotermiczne w temperaturze T₁

II rozprężenie adiabatyczne przy zachowaniu temp. od T₁ do T₂

III sprężanie izotermiczne w T₂

IV sprężanie adiabatyczne przy zmianie temp. od T₂ do T₁

η =

[rysunek]

28. Optyka falowa

Interferencja

[rysunek]

AB = dsinϕ

AC = 2dsinϕ

Jeżeli promienie sąsiednie promieniując dają maksimum, to wtedy wszystkie promienie sprowadzone do jednego punktu przez zastosowanie soczewki wzmocnią się i dadzą silne maksimum. Dla promieni ugiętych pod kątem ϕ maksima otrzymuje się, gdy dsinϕ = kλ, k = 0, 1, 2, 3,...

Dyfrakcja

Jeżeli równoległą wiązkę światła po przejściu przez wąską szczelinę skierujemy na ekran, to na ekranie powstanie obraz dyfrakcyjny w postaci pewnego środkowego max i leżących po jego obu stronach minimów i maksimów, które powstają na skutek interferencji fal ugiętych biegnących z różnych miejsc szczeliny. Środkowy pas jest jasny, bo spotykają się nam fale o zgodnych fazach. Pierwszy ciemny prążek powstaje, gdy różnica dróg wynosi parzystą wielkość λ/2. Jasny, gdy nieparzystą wielkość, np. 3λ/2

J_Θ - natężenie fali wypadkowej

J₀ - natężenie, jakie wytwarza pojedyncza fala

Natężenie J fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy

JΘ ~ E_Θ²

= ()²; E_Θ = E_mcosβ

⇓

J_Θ = 4J₀cos²β = j_mcos²β

różnica faz [2π] = różnica dróg [2π]

⇓

φ = dsinΘ oraz φ = 2β, ⇒ β = sinΘ

J_Θ = J_mcos²( sinΘ )

Dyspersja D siatki dyfrakcyjnej jest wynikiem pomiaru odległości kątowej dwu linii utworzonych przez dwie padające fale monochromatyczne, których długości fal mało od siebie się różni.

dsinϕ = kλ

sinϕ = - różniczkujemy po ϕ i po λ

cosϕdϕ = dλ

D = =

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej:

R = λ/Δλ λ - średnica długości fali dwu linii widocznych

R = km Δλ - różnica długości fal między nimi

k - rząd widma; m - liczba szczelin w siatce, m = 1,2,...

30. Własności promieniowania ciała doskonale czarnego.

C.d.cz. to idealne ciało puste wewnątrz z wywierconymi małymi otworami. Ciało to może świecić gdy rozgrzejemy go do temp topnienia platyny 2142K. Promieniowanie wychodzące z wnętrza jest zawsze większe niż promieniowanie ścian zewnętrznych.

Wzór Plancka:

R_λ = - E = nh_ν

C₁ = 2πc²h C₂ =

k- stała Boltzmana

Prawo Stefana-Boltzmana:

Emisja energetyczna promieniowania wnętrza c.d.cz. wyraża się jako: R_c = kT⁴

Emisja energetyczna dla zewnętrznych powierzchni zmienia się w bardziej skomplikowany sposób R = eR_c = ekT⁴

Gdzie e jest wielkością zależną od rodzaju substancji i temperatury.

31. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

[rysunek]

Światło monochromatyczne padające na metalową płytkę A wyzwala fotoelektrony, które mogą być wykrywane jako prąd, jeżeli są przyciągane do naczynia metalowego B przy pomocy różnicy potencjałów V. Wartość fotoprądu odczytujemy na galwanometrze G. Przy dostatecznie dużej wartości V wszystkiej elektrony emitowane są zbierane przez naczynie B.

Przy zmianie znaków V na przeciwny natężenie prądu fotoelektrycznego nie spada natychmiast do 0. Dowodzi to, że emitowane elektrony mają V różne od 0. Jeżeli zwiększymy V dostatecznie, wówczas osiągniemy taką wartość V₀ (potencjał hamujący), że wartość fotoprądu spadnie do 0.

Eαmax = eV₀ - energia kinetyczna najszybszych elektr.

Trzy zasadnicze cechy efektu fotoelektrycznego nie dające się wyjaśnić przy pomocy falowej teorii światła:

1. Eαmax = eV₀ nie zależy od natężenia światła

2. efekt fotoelektryczny powinien występować dla dowolnej częstotliwości światła - jednak istnieje takie V₀, poniżej którego zjawisko nie zachodzi

3. jeżeli światło jest dostatecznie słabe, powinno następować pewne opóźnienie między padaniem światła na powierzchnię, a emisją fotoelektronów - co nie zachodzi

Dopiero Einstein dzięki założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w postaci skończonych porcji energii zwanych fotonami, wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne.

E = -hv - energia poj. fotonu

Stosując swoją koncepcję Einstein napisał:

hv = E₀ + Eαmax - część energii fotonu E₀ elektron używa na przejście przez powierzchnię metalu. Natomiast nadmiar energii hv - E₀ elektron otrzymuje w formie energii kinetycznej.

Efekt Comptona

[rysunek]

Wiązka promieni Rentgena o dokładnie określonej długości fali skierowana została na blok grafitowy (jak na rys.). Compton mierzył dla różnych kątów rozproszenia natężenia promieni Rentgena jako funkcję ich długości. Chociaż wiązka padająca miała jedną długość fali λ, rozproszone promienie Rentgena mają max przy dwóch długościach fali λ - taką samą i λ' większą o Δλ.

Compton udowodnił, że padająca wiązka promieni RTG nie jest falą, lecz zbiorem fotonów o energii E = hv

Światło monochromatyczne padające na metalową płytkę A wyzwala fotoelektrony, które mogą być wykrywane jako prąd, jeżeli są przyciągane do naczynia metalowego B przy pomocy różnicy potencjałów V. Wartość fotoprądu odczytujemy na galwanometrze G. Przy dostatecznie dużej wartości V wszystkiej elektrony emitowane są zbierane przez naczynie B.

Przy zmianie znaków V na przeciwny natężenie prądu fotoelektrycznego nie spada natychmiast do 0. Dowodzi to, że emitowane elektrony mają V różne od 0. Jeżeli zwiększymy V dostatecznie, wówczas osiągniemy taką wartość V₀ (potencjał hamujący), że wartość fotoprądu spadnie do 0.

Eαmax = eV₀ - energia kinetyczna najszybszych elektr.

p = = = - pęd fotonu

hv = hv' + (m - m₀)c²
m₀ - masa spoczynkowa

p₀ =

dla skł. x → = cosϕ + cosΘ

dla skł y → 0 = sinϕ - sinΘ

[Δλ = λ' - λ = (l - cosϕ)]

Trzy zasadnicze cechy efektu fotoelektrycznego nie dające się wyjaśnić przy pomocy falowej teorii światła:

1. Eαmax = eV₀ nie zależy od natężenia światła

2. efekt fotoelektryczny powinien występować dla dowolnej częstotliwości światła - jednak istnieje takie V₀, poniżej którego zjawisko nie zachodzi

3. jeżeli światło jest dostatecznie słabe, powinno następować pewne opóźnienie między padaniem światła na powierzchnię, a emisją fotoelektronów - co nie zachodzi

Dopiero Einstein dzięki założeniu, że energia wiązki świetlnej rozchodzi się w postaci skończonych porcji energii zwanych fotonami, wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne.

E = -hv - energia poj. fotonu

Stosując swoją koncepcję Einstein napisał:

hv = E₀ + Eαmax - część energii fotonu E₀ elektron używa na przejście przez powierzchnię metalu. Natomiast nadmiar energii hv - E₀ elektron otrzymuje w formie energii kinetycznej.

Postulaty de Broglie'a

1. przyroda jest symetryczna.

2. wszechświat składa się ze światła i materii.

3. Jeżeli ciało ma dwoistą, cząsteczkowo-falową naturę, być może materia ma taką samą naturę.

λ = długość fali

promień świetlny ma własności korpuskularne. Każdy foton posiada:

E = hν = hλ =

p = → p =

m = → m =

λ =

λ = → = ec → V =

Doświadczenie Davissona - Germera

Obserwując rozpraszanie się atomów na powierzchni kryształów niklu stwierdzamy istnienie w pewnych kierunkach wyraźnych maksimów w ilości rozpraszanych elektronów. Pod pewnym kątem występują wyraźne odbicia. Był spełniony warunek:

mλ = 2dsinΘ, m=1,2,3,..

Stanowi to przekonywujący argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują falową naturę.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

---