TEMAT: WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METOD UGICIA.

1. Wiadomoci wstpne.

Modu Younga jest to wielko naprenia potrzebna do wyduenia ciaa o dugo pocztkow. Modu Younga ma wymiar cinienia (naprenia) - w ukadzie SI jest to N/m2. Sens tej definicji wynika z tzw. prawa Hooke'a:

s = Ee,

gdzie: s - naprenie normalne, E - modu Younga, e - odksztacenie wzgldne.

Gdy na poduny prt dziaa sia prostopadle do jego dugoci, doznaje on ugicia, a wielko tzw. strzaki ugicia jest zawsze proporcjonalna do siy F, a take zaley od wymiarw geometrycznych i rodzaju materiau, z ktrego jest w prt wykonany.

Wemy pod uwag element prta o dugoci Dx, gruboci Dy i szerokoci b znajdujcy si w odlegoci x od krawdzi zamocowanej i na wysokoci y powyej warstwy rodkowej. Na skutek ugicia belki warstwa badana ulega wydueniu o fy. Zgodnie z prawem Hooke'a wyduenie jest wprost proporcjonalne do siy i dugoci pocztkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju:

Fn Dx

fy = ---------- ,

E b Dy

gdzie: E - modu Younga, Fn - sia rozcigajca rozpatrywan warstw elementarn.

Taka sama sia, lecz skierowana przeciwnie, dziaa na warstw elementarn pooon symetrycznie poniej warstwy neutralnej N. Moment siy Fn wzgldem warstwy N wynosi:

DM = y Fn = E (f/Dx) y2 b Dy.

Bezporedni przyczyn ugicia jest sia F przyoona do koca prta. Moment tej siy wzgldem przekroju wynosi F [l - (x + Dx)] lub po zaniedbaniu wielkoci Dx jako maej w porwnaniu z x:

M = (l - x) F.

Po uwzgldnieniu zwizku M = E (f/Dx) H oraz porwnaniu powyszego rwnania otrzymamy elementarn strzak ugicia:

F

S = ------- (l - x)2 x .

E H

Cakowit strzak ugicia otrzymamy sumujc analogiczne wyraeni dla wszystkich odcinkw x, ktre moemy zastpi nieskoczenie maymi przyrostami dx, po czym scakowa w wyniku czego otrzymamy wyraenie:

F

S = --------- l3 .

3 E H

Wspczynnik H zaley od ksztatu i rozmiarw geometrycznych prta. Gdy przekrj jest prostoktem o wysokoci h i szerokoci b, to jego warto wynosi:

1

H = ---- bh3 .

12

Warto tego samego wspczynnika dla przekroju koowego wynosi:

p

Ho = -- r4 .

4

Podstawiajc odpowiednie wartoci H otrzymujemy dla obu przekrojw strzaki ugicia:

4 l3

S = --------- F ,

E b h3

4 l3

So = ---------- F ,

3 E r4

Otrzymane powyej wzory odnosz si do prta obcionego jednostronnie i jednym kocem umocowanego. Mona je atwo dostosowa do sytuacji, gdy prt jest swobodnie oparty dwoma kocami i obciony w rodku. Zachowuje si on wtedy tak, jakby by zamocowany w rodku, a na jego koce dziaay siy F/2 skierowane ku grze. Sia F/2 dziaa wtedy na prt o dugoci l/2. Po uwzgldnieniu powyszego, uzyskujemy wzory na strzaki ugicia prtw dwustronnie podpartych.

l3

S = ----------- F ,

4 E b h3

l3

So = ----------- F .

12 E r4

Wzory te wykorzystuje si do wyznaczania moduu Younga, poniewa wszystkie wielkoci w nich wystpujce s atwe do zmierzenia.

Strzak ugicia mierzymy za pomoc katetometru nastawiajc nici pajcze lunetki wpierw na krawd prta nieobcionego, w poowie jego dugoci, a nastpnie na t sam krawd przy zmienianym stopniowo obcieniu. Strzaka ugicia jest rwna rnicy pooe lunetki katetometru.

2. Wyniki pomiarw:

2.1. Masy obcie:

Lp	m [kg]
1	0.2
2	0.2
3	0.5
4	0.5
5	0.5

2.2. Prt o przekroju kwadratowym.

2.2.1.Wymiary: b = 8 mm,

a = 8 mm,

l = 60.5 mm,

h0 = 573.7 mm.

2.2.2. Tabela wynikw:

Lp	obcienie [g]	wysoko h [mm]	strzaka s [mm]	modu Younga 1010 [N/m2]
1	200	573.34	0.36	7.3661861038
2	400	572.90	0.80	6.6295674951
3	900	572.03	1.67	7.1456416112
4	1400	571.10	2.60	7.1395342243
5	1900	571.08	2.62	9.6154032340
6	1700	570.60	3.10	7.2711385414
7	1200	571.63	2.07	7.6864550665
8	700	572.40	1.30	7.1395345543
9	200	573.34	0.36	7.3661861038
10	500	572.82	0.88	7.5335994278
11	1000	571.95	1.75	7.5766485624
w.r.	7.4972631450 1010 N/m2
sn	0.722866846 1010
sn-1	0.758149144 1010

2.3. Prt o przekroju koowym.

2.3.1. Wymiary: r = 7 mm,

l = 60.5 mm,

h0 = 573.8 mm.

2.3.2. Tabela wynikw:

Lp	obcienie [g]	wysoko h [mm]	strzaka s [mm]	modu Younga 1010 [N/m2]
1	200	573.39	0.41	1.1707333523
2	400	573.00	0.80	1.2000016881
3	900	572.10	1.70	1.2705900225
4	1400	571.50	2.30	1.4608716198
5	1900	570.23	3.57	1.2773127209
6	1700	571.15	2.65	1.5396248068
7	1200	571.58	2.22	1.2972991217
8	700	572.47	1.33	1.2631596713
9	200	573.39	0.41	1.1707333523
10	500	572.78	1.02	1.1764722433
11	1000	571.84	1.96	1.2244915178
w.r.	1.2773900106 10 10 N/m2
sn	0.114733125 1010
sn-1	0.120333117 10 10

3. Wnioski.

Porwnujc otrzymane wyniki oraz dane zawarte w tablicy w skrypcie Stanisawa Szuby pt. ”wiczenia laboratoryjne z fizyki” na stronie 201 moemy stwierdzi, e badane prty wykonane byy z aluminium (prt o przekroju kwadratowym) i oowiu (prt o przekroju koowym). Niewielkie odchyki od wartoci nominalnych mog by nastpstwem warunkw panujcych w sali w czasie przebiegu wiczenia (np. temperatura panujca w sali znacznie odbiegaa od 20C). Stosunkowo dua warto odchylenia standardowego wynika z duej rozbienoci wynikw, ktre s konsekwencj niedokadnoci odczytu i zamocowania prtw.

---