Nr ćw.: 108	Data 01.06.98	Imię i nazwisko: Mikołaj Pranke		Wydział: Elektryczny	Semestr: II	Grupa nr: E-8
Prowadzący: Maciej Kamiński			Przygotował:	Wykonał:	Opracował:		Ocena ost.:

TEMAT: WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METOD UGICIA.

1. Wiadomoci wstpne.

Modu Younga jest to wielko naprenia potrzebna do wyduenia ciaa o dugo pocztkow. Modu Younga ma wymiar cinienia (naprenia) - w ukadzie SI jest to N/m2. Sens tej definicji wynika z tzw. prawa Hooke'a:

s = Ee,

gdzie: s - naprenie normalne, E - modu Younga, e - odksztacenie wzgldne.

Gdy na poduny prt dziaa sia prostopadle do jego dugoci, doznaje on ugicia, a wielko tzw. strzaki ugicia jest zawsze proporcjonalna do siy F, a take zaley od wymiarw geometrycznych i rodzaju materiau, z ktrego jest w prt wykonany.

Wemy pod uwag element prta o dugoci Dx, gruboci Dy i szerokoci b znajdujcy si w odlegoci x od krawdzi zamocowanej i na wysokoci y powyej warstwy rodkowej. Na skutek ugicia belki warstwa badana ulega wydueniu o fy. Zgodnie z prawem Hooke'a wyduenie jest wprost proporcjonalne do siy i dugoci pocztkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju:

Fn Dx

fy = ---------- ,

E b Dy

gdzie: E - modu Younga, Fn - sia rozcigajca rozpatrywan warstw elementarn.

Taka sama sia, lecz skierowana przeciwnie, dziaa na warstw elementarn pooon symetrycznie poniej warstwy neutralnej N. Moment siy Fn wzgldem warstwy N wynosi:

DM = y Fn = E (f/Dx) y2 b Dy.

Bezporedni przyczyn ugicia jest sia F przyoona do koca prta. Moment tej siy wzgldem przekroju wynosi F [l - (x + Dx)] lub po zaniedbaniu wielkoci Dx jako maej w porwnaniu z x:

M = (l - x) F.

Po uwzgldnieniu zwizku M = E (f/Dx) H oraz porwnaniu powyszego rwnania otrzymamy elementarn strzak ugicia:

F

S = ------- (l - x)2 x .

E H

Cakowit strzak ugicia otrzymamy sumujc analogiczne wyraeni dla wszystkich odcinkw x, ktre moemy zastpi nieskoczenie maymi przyrostami dx, po czym scakowa w wyniku czego otrzymamy wyraenie:

F

S = --------- l3 .

3 E H

Wspczynnik H zaley od ksztatu i rozmiarw geometrycznych prta. Gdy przekrj jest prostoktem o wysokoci h i szerokoci b, to jego warto wynosi:

1

H = ---- bh3 .

12

Warto tego samego wspczynnika dla przekroju koowego wynosi:

p

Ho = -- r4 .

4

Podstawiajc odpowiednie wartoci H otrzymujemy dla obu przekrojw strzaki ugicia:

4 l3

S = --------- F ,

E b h3

4 l3

So = ---------- F ,

3 E r4

Otrzymane powyej wzory odnosz si do prta obcionego jednostronnie i jednym kocem umocowanego. Mona je atwo dostosowa do sytuacji, gdy prt jest swobodnie oparty dwoma kocami i obciony w rodku. Zachowuje si on wtedy tak, jakby by zamocowany w rodku, a na jego koce dziaay siy F/2 skierowane ku grze. Sia F/2 dziaa wtedy na prt o dugoci l/2. Po uwzgldnieniu powyszego, uzyskujemy wzory na strzaki ugicia prtw dwustronnie podpartych.

l3

S = ----------- F ,

4 E b h3

l3

So = ----------- F .

12 E r4

Wzory te wykorzystuje si do wyznaczania moduu Younga, poniewa wszystkie wielkoci w nich wystpujce s atwe do zmierzenia.

Strzak ugicia mierzymy za pomoc katetometru nastawiajc nici pajcze lunetki wpierw na krawd prta nieobcionego, w poowie jego dugoci, a nastpnie na t sam krawd przy zmienianym stopniowo obcieniu. Strzaka ugicia jest rwna rnicy pooe lunetki katetometru.

2. Wyniki pomiarw:

Prt o przekroju kwadratowym.

Wymiary: b = 7.05 mm,

a = 5.75 mm,

l = 650 mm,

h₀ = 621.64 mm.

Tabela wynikw:

Lp	obcienie [g]	wysokośćh [mm]	strzaka s [mm]	modu Younga 1010 [N/m2]
1	200	621.26	0.38
2	400	620.73	0.91
3	500	620.25	1.39
4	700	619.65	1.99
5	900	618.96	2.68
6	1000	618.66	2.98
7	1200	618.21	3.43
8	1400	617.56	4.08
9	1500	617.10	4.54
10	1700	616.07	5.57
	1900	615.82	5.82
w.r.
błąd

Prt o przekroju koowym.

Wymiary: r = 8.05 mm,

l = 650 mm,

h₀ = 620.61 mm.

Tabela wynikw:

Lp	obcienie [g]	wysoko h [mm]	strzaka s [mm]	modu Younga 1010 [N/m2]
1	200	619.82	0.79
2	400	619.41	1.2
3	500	619.16	1.45
4	700	618.71	1.9
5	900	618.21	2.4
6	1000	617.92	2.69
7	1200	617.47	3.14
8	1400	616.99	3.62
9	1500	616.71	3.9
10	1700	616.21	4.4
11	1900	615.80	4.81
w.r.
błąd

Prt o przekroju koowym.

Wymiary: r = 8.2 mm,

l = 650 mm,

h₀ = 620.01 mm.

Lp	obcienie [g]	wysoko h [mm]	strzaka s [mm]	modu Younga 1010 [N/m2]
1	200	619.17	0.84	3.8362265902
2	400	618.41	1.6	4.0280379190
3	500	618.01	2.0	4.0280379197
4	700	617.36	2.65	4.4256040060
5	900	616.55	3.46	4.1910221130
6	1000	616.19	3.82	4.2178407530
7	1200	615.71	4.3	4.4964144220
8	1400	615.12	4.89	4.6128859612
9	1500	614.53	5.48	4.4102604965
10	1700	613.91	6.1	4.4902717794
11	1900	613.27	6.74	4.5420012151
w.r.	4.29805302485 10 10 N/m2
błąd

3. Wnioski.

---