Def. Podobieństwo Macierzy:

Macierz kwadratową A nazywamy podobną do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det≠0) taka, że B=P^-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa

Tw: Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do macierzy A z macierzą podobieństwa P^-1

Dowód: B=P^-1AP *P.

PB=AP ⇒ PB*P^-1=A

Def. Macierz ortogonalna:

Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną ⇔ A*A^T =E

Definicja Bazy:

Układ B{e₁,e₂} gdzie
są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V₂ (analogicznie dla B-{e₁,e₂,e₃} (Trzy wektory
liniowo niezależne jeżeli kombinacja

Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe

Macierz przejścia:

Dane są dwie bazy: B{e₁,e₂, e₃} oraz B'{e_1',e_2', e_3'} w prz.V₃. Z definicji bazy:

Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy:

Def: Operacji liniowej:

Operacja A: V₃→V₃ (A: V₂→V₂) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek:

1. 
   - warunek addytywności (analogiczności dla V₂)

2. 
   
   
   

-w jednorodności

Def: Operacji jednostkowej:

Operację A, która działa w V₃→V₃ (lub A: V₂→V₂ ) nazywamy jednostkową jeżeli:

A=E - ozn. op. jednostkowej.

Macierz operacji jednostkowej:

Macierz operacji jednostkowej nie zależy od bazy ( w każdej bazie jest taka sama) A_B'=P^-1A_BP; E_B'=P^-1E_BP=P^-1P=E_B.

Def: Operacji symetrycznej:

Operację A:V_n→V_n (n=2,3) nazywamy symetryczną⇔

Def: Operacji antysymetrycznej:

Operację A:V_n→V_n (n=2,3) nazywamy antysymetryczną⇔

Def: Wartości własne i wektory własne:

Liczbę λ nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V₃→V₃ (A: V₂→V₂) jeżeli istnieje niezerowy wektor
taki, że
. Wektor
nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej λ przy A.

Def. Tensor o walencji 1:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią V_n (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n¹ liczb x_i zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:

; (x_i1)=p_ii'x_i

Def. Tensor o walencji 2:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią V_n (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n² liczb α_ij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: α_ij' =p_ii'p_jjα_ij

Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież

Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x₁,x₂,x₃)

Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe:
-moment względny x₁,x₂,x₃

Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.

Def. Kwadryka:

Zbiór wszystkich punktów M(x₁x₂x₃) o promieniach wodzących
i spełniających równanie

nazywamy kwadryką tensorową tensor I_B. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .

Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:

Postać kanoniczna kwadryki tensorowej:

---