Wydział EAIiE	Nazwiska :		Rok	Grupa	Zespół
Pracownia fizyczna I	Temat : Moduł Younga				Nr Ćwiczenia 11
Data Wykonania	Data Oddania	Zwrot do poprawki		Data Oddania	Data Zaliczenia	Ocena

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a oraz wyznaczenie modułu Younga za pomocą pomiarów dokonanych przy wydłużaniu się metalowych prętów pod wpływem obciążenia.

2. Wstęp teoretyczny:

Rozpatrując teorię oddziaływań i odkształceń możemy podzielić ciała na mniej podatne na odkształcenia (ciała stałe, np. stal, drewno) i bardziej podatne (ciecze, a szczególnie gazy). Wpływ na takie a nie inne zachowanie danego ciała pod wpływem działającej nań siły zależy w dużej mierze od charakteru jego wiązań międzycząsteczkowych. Ciała, w których oddziaływania międzycząsteczkowe są bardzo silne ulegają mniejszemu odkształceniu nawet pod działaniem większej siły.

Ciała możemy również podzielić ze względu na sposób „reagowania” na działające nań siły. Ciała, które po zaniku działania siły powracają do swojego pierwotnego kształtu nazywamy sprężystymi. Jeżeli po usunięciu działającej siły odkształcenie ciała pozostaje to takie ciało nazywamy niesprężystym.

Odkształcenia możemy podzielić również na:

• odkształcenia jednostronne - siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała prostopadle do nich co powoduje zmianę jego wymiarów wzdłuż prostej równoległej do wektorów tych sił. Skutkiem takiego odkształcenia jest zmiana długości ciała ΔL (wydłużenie lub, gdy ΔL<0 - skrócenie ciała).

• odkształcenie wszechstronne - siły działają na każdy element ciała prostopadle do niego co skutkuje zmianą objętości danego ciała ΔV.

Mówiąc o sile działającej na dany element ciała (jego powierzchnię) lepiej jest stosować pojęcie naprężenia:

- naprężenie [
],
- siła oddziaływania [N], S - powierzchnia [m²]

Naprężeniem P nazywamy więc wektor, którego wartość równa jest stosunkowi długości wektora siły i powierzchni na jaką działa ta siła i o zwrocie i kierunku takim samym jak wektor siły. Jeżeli zdefiniujemy również wydłużenie względne:

ε - wydłużenie względne [ - ], ΔL - zmiana długości [m], L - długość pierwotna

to wyrażenie: nazywamy prawem Hooke'a, gdzie E to tzw. Moduł Younga - wielkość

charakterystyczna dla danego ciała i opisująca w pewien sposób jego właściwości mechaniczne. Znając moduł Younga dla np. stali oraz znając parametry badanego ciała (np. długość i średnicę drutu stalowego) to możemy z pewnym przybliżeniem przewidzieć zmiany jakim ulegnie dane ciało pod wpływem działających nań sił.

3. Przebieg pomiarów:

Pomiarów dokonujemy badając wydłużenie trzech drutów o różnych długościach, średnicach i właściwościach ( druty: stalowy, miedziany i mosiężny ). Pomiarów długości drutów dokonujemy za pomocą przymiaru liniowego a średnicę mierzymy śrubą mikrometryczną. Ponieważ średnica drutu nie jest jednakowa na całej długości dokonujemy pomiaru w 10 różnych miejscach i obliczamy średnią. Pomiarów wydłużenia dokonujemy na specjalnej wadze połączonej z czujnikiem wydłużenia. Ważne jest aby przy nieobciążonym drucie czujnik wskazywał zero i aby po usunięciu jakiegokolwiek wcześniej zadanego obciążenia wskazówka czujnika powróciła na swoje miejsce.

4. Wyniki pomiarów:

1. Drut mosiężny:

L = 1066 mm ± 1 mm (Δ = ± 1mm - błąd wynikający z dokładności przymiaru)

Pomiar	d [mm]	Δd [mm]
1	0,74	-0,031
2	0,74	-0,031
3	0,77	-0,001
4	0,77	-0,001
5	0,77	-0,001
6	0,79	0,019
7	0,78	0,019
8	0,78	0,009
9	0,78	0,009
10	0,78	0,009
wart. śr.	dśr=0,771	Δdśr=0,006

Pomiaru średnicy dokonano śrubą mikrometryczną (Δ = ± 1mm )

d_śr =
mm

Δd =
0,02 mm - błąd pojedynczego pomiaru.

Δd_śr =
0,006 mm - odchylenie standardowe (błąd) średniej pomiarów.

Obciążenie [kg]	Wydłużenie drutu przy
		Zwiększaniu masy obc. [mm]	Zmniejszaniu masy obc. [mm]
1	0,30 ± 0,01	0,36 ± 0,01
2	0,56 ± 0,01	0,64 ± 0,01
3	0,82 ± 0,01	0,90 ± 0,01
4	1,07 ± 0,01	1,14 ± 0,01
5	1,30 ± 0,01	1,40 ± 0,01
6	1,55 ± 0,01	1,62 ± 0,01
7	1,79 ± 0,01	1,79 ± 0,01

Średnica Dśr [mm]	pole przekroju S [mm^2]	Obciążenie M [kg]	Naprężenie δ [N/mm^2]	Wydłużenie ΔL [mm]	wydł. wzg. ε=ΔL/L [-]	Moduł Younga E [N/mm^2]
0,771 ±0,006	0,466 ± 0,004	1	21,42	0,30	0,00028	76099,28
		2	42,83	0,56	0,00053	81534,95
		3	64,25	0,82	0,00077	83523,61
		4	85,67	1,07	0,00100	85344,99
		5	107,08	1,30	0,00122	87806,87
		6	128,50	1,55	0,00145	88373,36
		7	149,91	1,79	0,00168	89278,49

Przykładowe obliczenia ( dla obciążenia M = 4 kg ) :

d_śr = (0,771 ± 0,006) mm

S = 0,25πd_śr² = 0,466 mm² ± 0,004 mm²

ΔS =
= 0,25πd_śrΔd_śr = 0,004 mm²

Takie same obliczenia i rachunek błędów wykonywaliśmy dla przypadków z drutami miedzianym i stalowym.

2. Drut miedziany:

L = 1063 mm ± 1 mm (Δ = ± 1mm - błąd wynikający z dokładności przymiaru)

Pomiar	d [mm]	Δd [mm]
1	0,81	0,001
2	0,81	0,001
3	0,81	0,001
4	0,81	0,001
5	0,81	0,001
6	0,81	0,001
7	0,81	0,001
8	0,81	0,001
9	0,80	-0,009
10	0,81	0,001
wart. śr.	dśr=0,809	Δdśr=0,001

d_śr = (0,809 ± 0,001) mm

Δd_śr = 0,001 mm, Δd = 0,003 mm

Obciążenie [kg]	Wydłużenie drutu przy
		Zwiększaniu masy obc. [mm]	Zmniejszaniu masy obc. [mm]
1	0,25 ± 0,01	0,37 ± 0,01
2	0,51 ± 0,01	0,60 ± 0,01
3	0,72 ± 0,01	0,80 ± 0,01
4	0,90 ± 0,01	1,00 ± 0,01
5	1,13 ± 0,01	1,19 ± 0,01
6	1,30 ± 0,01	1,37 ± 0,01
7	1,51 ± 0,01	1,51 ± 0,01

średnica d [mm]	Pole przekroju S [mm^2]	obciążenie M [kg]	naprężenie δ [N/mm^2]	Wydłużenie ΔL [mm]	wydł. wzg. ΔL/L [-]	moduł Younga E [N/mm^2]
0,809 ± 0,001	0,5137 ± 0,0006	1	19,43	0,25	0,00024	82606,5
		2	38,86	0,51	0,00048	80986,77
		3	58,28	0,72	0,00068	86048,44
		4	77,71	0,90	0,00085	91785
		5	97,14	1,13	0,00106	91378,87
		6	116,57	1,30	0,00122	95315,19
		7	135,99	1,51	0,00142	95736,01

3. Drut stalowy:

L = 1068 mm ± 1 mm (Δ = ± 1mm - błąd wynikający z dokładności przymiaru)

Pomiar	d [mm]	Δd [mm]
1	1,01	0,002
2	1,01	0,002
3	1,01	0,002
4	1,01	0,002
5	1,01	0,002
6	1,01	0,002
7	1,01	0,002
8	1,01	0,002
9	1,00	-0,008
10	1,00	-0,008
wart. śr.	dśr=1,008	Δdśr=0,001

d_śr = (1,008 ± 0,001) mm

Δd_śr = 0,001 mm, Δd = 0,004 mm

Obciążenie [kg]	Wydłużenie drutu przy
		Zwiększaniu masy obc. [mm]	Zmniejszaniu masy obc. [mm]
1	0,11 ± 0,01	0,12 ± 0,01
2	0,21 ± 0,01	0,22 ± 0,01
3	0,30 ± 0,01	0,32 ± 0,01
4	0,38 ± 0,01	0,38 ± 0,01
5	0,45 ± 0,01	0,47 ± 0,01
6	0,54 ± 0,01	0,57 ± 0,01
7	0,62 ± 0,01	0,63 ± 0,01
8	0,63 ± 0,01	0,69 ± 0,01
9	0,76 ± 0,01	0,77 ± 0,01
10	0,84 ± 0,01	0,84 ± 0,01

Średnica d [mm]	pole przekroju S [mm^2]	obciążenie M [kg]	Naprężenie δ [N/mm^2]	Wydłużenie ΔL [mm]	wydł. wzg. ΔL/L [-]	moduł Younga E [N/mm^2]
1,008 ± 0,001	0,7976 ± 0,0008	1	12,51	0,11	0,00010	125100,0
		2	25,03	0,21	0,00020	125150,0
		3	37,54	0,3	0,00028	134071,4
		4	50,05	0,38	0,00036	139027,8
		5	62,56	0,45	0,00042	148952,4
		6	75,08	0,54	0,00051	147215,7
		7	87,59	0,62	0,00058	151017,2
		8	100,10	0,63	0,00059	169661,0
		9	112,61	0,76	0,00071	158605,6
		10	125,13	0,84	0,00079	158392,4

5. Opracowanie wyników:

1. Wykresy ΔL(F) zostały sporządzone przy pomocy oprogramowania dostępnego na komputerach laboratorium fizycznego.

2. Dla drutu stalowego metodą najmniejszych kwadratów znaleźć wartość i odchylenie standardowe współczynnika nachylenia a=ΔL/ΔF:

⇒

,

,

W = 383471,6 - 301300,3 = 82171,3

3. Obliczanie modułu Younga dla stali przy pomocy współczynnika nachylenia prostej regresji a=ΔL/ΔF dla stali. Obliczenie ΔE według prawa przenoszenia błędów biorąc pod uwagę błąd współczynnika a, przekroju S i długości L druta.

Tablicowa wartość

6. Wnioski:

Wartość wyliczonego modułu Younga dla stali odbiega (nawet po uwzględnieniu odchyłki standardowej pomiarów) od wartości tablicowej. Jest to zapewne związane z dużą ilością wielkości mierzonych potrzebnych do wyliczenia modułu. Im większa liczba wielkości mierzonych tym więcej jest błędów w mniejszym lub większym stopniu wpływających na ostateczny wynik. Mimo, że wyników nie sprawdziliśmy dla drutów miedzianego i mosiężnego to należy przewidywać podobne rezultaty.

---