Wstęp teoretyczny

Bryła sztywna oznacza ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległość dwóch dowolnych punktów takiego ciała pozostaje stała. Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych: postępowy i obrotowy. Nas interesuje tylko zagadnienie ruchu obrotowego. Ruch obrotowy bryły charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej, zwanej osią obrotu. Oś obrotu jest stała, jeśli z biegiem czasu nie zmienia swego położenia. Punkty znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a pozostałe punkty poruszają się po łukach okręgów. Wielkość wywołującą ruch obrotowy nazywamy momentem siły. Momentem siły F względem punktu O osi obrotu nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły. Jeśli układ odniesienia zostanie związany ze środkiem masy bryły to moment siły M zapisujemy następująco:

Natomiast wyrażenie na moment pędu L:

Po uwzględnieniu związku pomiędzy prędkościami liniową i kątową:

otrzymamy:

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu.Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest moment bezwładności. Moment bezwładności jest miarą bezwładności w ruchu obrotowym, podobnie jak masa w ruchu postępowym. Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi. Moment bezwładności I wyraża się wzorem:

Moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I0 względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły i kwadratu odległości d obu osi. Wyraża to wzór Steinera:

Pojęcie elipsoidy bezwładności bryły wprowadza się w celu scharakteryzowania rozkładu momentów bezwładności dla dowolnych osi przechodzących przez środek masy ciała. Elipsoida bezwładności jest powierzchnią, której dowolny punkt jest końcem odcinka poprowadzonego ze środka masy ciała, a którego długość jest równa:

gdzie jest momentem bezwładności danej bryły względem osi pokrywającej się z tym odcinkiem. W przypadku ogólnym dla dowolnie usytuowanego układu współrzędnych równanie takiej elipsoidy ma postać:

Jeśli osie współrzędnych będą pokrywać się z osiami głównymi, to równanie elipsoidy bezwładności uprości się do postaci:

Za pomocą równania elipsoidy bezwładnosci można znaleźć moment bezwładności względem dowolnej osi, jeśli tylko znane są główne momenty bezwładności. W przypadku gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała, stosujemy twierdzenie Steinera.

Opis metody pomiarowej

Przedmiotem badań jest stalowy prostopadłościan z systemem otworów na ściankach, krawędziach i narożnikach, który pozwala realizować różnorakie usytuowanie osi obrotu względem osi symetrii bryły. W celu wyznaczenia jego momentu bezwładności stosujemy wahadło torsyjne, którego okres drgań określa wzór:

gdzie D jest momentem kierującym, czyli momentem skręcającym powodującym jednostkowy kąt skręcenia 1 rad, a jego wartość jest parametrem danego wahadła.

W celu wyznaczenia momentu bezwładności należy zmierzyć okres drgań wahadła skrętnego bez ociążenia:

i obciążonego daną bryłą:

skąd po przekształceniach otrzymujemy:

Moment bezwładności wibratora Io można wyznaczyć pośrednio mierząc okres drgań układu obciążonego bryłą o znanym momencie bezwładności, np. walcem. Moment bezwładości walce o masie m i promieniu R dla osi obrotu pokrywającej się z osią bryły określony jest wzorem:

Podstawiając do wzoru na Ix otrzymamy:

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie, w jakim stopniu metoda elipsoidy bezwładności pozwala wyznaczać moment bezwładności bryły dla dowolnej osi obrotu. Dlatego też należy w pierwszej kolejności wyznaczyć momenty bezwładności dla trzech głównych osi bezwładności. Następnie wyznaczamy ze wzoru na Ix moment bezwładności dla zadanej osi i otrzymany wynik eksperymentalny weryfikujemy z równaniem elipsoidy bezwładności (przy zastosowaniu cosinusów kierunkowych dla danej konfiguracji):

gdzie:

Opis przyrządu pomiarowego

Wahadło skrętne stanowi ramka zawieszona pionowo pomiędzy dwoma naprężonymi stalowymi drutami, które zamocowano końcami do uchwytów statywu. Naprężenie drutów można regulować, a wzdłuż prowadnic ramki można przesuwać ruchomą belkę. Nakrętki z tulejami zaciskowymi umożliwiają umocowanie belki na prowadnicach ramki w zależności od wysokości badanego elementu. Środkowa śruba belki zakończona jest ostrzem i pozwala na umocowanie w ramce badanej bryły.z systemem otworów na ściankach, krawędziach i narożnikach, dzięki któremu możemy realizować różnorakie usytuowanie osi obrotu wzgłędem osi symetrii bryły.

Do pomiaru okresu drgań stosujemy złącze optoelektroniczne z licznikiem impulsów.

Wysięgnik ramki przecina strumień światła generując impuls elektryczny. Licznik zlicza co drugi taki impuls umożliwiając zliczanie liczby liczby okresów. Równocześnie ze zwolnieniem ramki z chwytaka elektromagnetycznego następuje uruchcomienie czasomierza elektronicznego. W ten sposób możemy mierzyć czas określonej liczby pełnych wahnięć z dużą dokładnością.

Obliczenia

Doświadczenie zostało przeprowadzone dla prostopadłościanu o długościach krawędzi: a=6 cm, b=4 cm, c=10 cm. Pomiar okresu drgań wahadła został przeprowadzony dla 13 osi: trzech głównych x, y, z i 10 innych:AC', CA', BD', DB', FH', EG', HF', GE', PP', MM'. W celu wyznaczenia momentu bezwładności wibratora wykonano również pomiar okresu drgań wahadła dla walca ze znaną masą m=1465 g i wyznaczonym promieniem r=2,4 cm. Czasomierz elektroniczny pracował z dokładnością 0,001 s. Następnie porównano wartości eksperymentalne z wynikami otrzymanymi z równania elipsoidy bezwładności. Ostateczne wyniki pomiarów i obliczeń przedstawia poniższa tabela.

Oś obrotu	Okres T [s]	DT[s]	Ix [kg•m^2]	DIx [kg•m^2]	Ix wyznaczone	cosa	cosb	cosg
wibrator	0,965	0,001	281,9E-6	2,6E-6	z równania
walec	1,246	0,001	421,9E-6	3,6E-6	elipsoidy bezwł.
Z	1,424	0,001	332,5E-6	2,2E-6	332,5E-6	0	0	1
X	1,826	0,001	728,7E-6	3,3E-6	728,7E-6	1	0	0
Y	1,936	0,001	853,1E-6	3,6E-6	853,1E-6	0	1	0
AC'	1,506	0,001	405,1E-6	2,4E-6	404,3E-6	0	0,3714	0,9285
CA'	1,506	0,001	404,8E-6	2,4E-6	404,3E-6	0	0,3714	0,9285
BD'	1,540	0,001	436,6E-6	2,5E-6	437,3E-6	0,5145	0	0,8575
DB'	1,541	0,001	437,9E-6	2,5E-6	437,3E-6	0,5145	0	0,8575
FH'	1,589	0,001	483,4E-6	2,6E-6	481,1E-6	0,4867	0,3244	0,8111
EG'	1,591	0,001	484,6E-6	2,6E-6	481,1E-6	0,4867	0,3244	0,8111
HF'	1,593	0,001	486,7E-6	2,6E-6	481,1E-6	0,4867	0,3244	0,8111
GE'	1,591	0,001	485,3E-6	2,6E-6	481,1E-6	0,4867	0,3244	0,8111
PP'	1,860	0,001	766,0E-6	3,3E-6	767,0E-6	0,8321	0,5547	0
MM'	1,861	0,001	767,8E-6	3,4E-6	767,0E-6	0,8321	0,5547	0

Rachunek błędów

Za błąd maksymalny wartości średniej okresu drgań zostało przyjęte maksymalne odchylenie wartości zmierzonej od wartości średniej. We wszystkich przypadkach błąd ten był mniejszy od 0,001 [s]. Biorąc pod uwagę dokładność czasomierza, która wynosiła 0,001,

wszystkie błędy zaokrąglono do 0,001.

Błędy wyznaczania momentów bezwładności obliczono metodą różniczki zupełnej.

Momenty bezwładności obliczano ze wzoru:

Ix jest funkcją wielu zmiennych. Różniczka zupełna tej funkcji przyjmie postać:

Różniczki zastępujemy przyrostami skończonymi. Przyrostom skończonym można przypisać sens fizyczny błędów maksymalnych.Uwzględniając regułę dodawania błędów otrzymamy:

Wnioski

Wyniki eksperymentalne różniły się nieznacznie od wyników uzyskanych z równania elipsoidy bezwładności. Doświadczenie doskonale ukazuje jak bardzo oś obrotu wpływa na moment bezwładności bryły. Obliczone błędy wskazują na na dużą dokładność przyrządu pomiarowego.

Politechnika Śląska

Wydz. Mat-Fiz

grupa II

Wyznaczanie elipsoidy bezwładności bryły za pomocą wahadła torsyjnego

Sekcja 8

Sebastian Korzekwa

Tomasz Zbrożek

---