ZESTAW 3

INŻYNIERSKIE ZASTOSOWANIA STATYSTYKI

Dystrybuantę i gęstość można przedstawić w postaci tabeli podając wartości dyskretnej zmiennej losowej i odpowiadające im wartości F(x) lub f(x).

1. W grupie studenckiej (n=10) przeprowadzono sprawdzian. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta (X jest zmienną losową). Stosunek ocen b. Dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak jak 1:3:4:2. Wyznaczyć dla zmiennej losowej X:

1. funkcję gęstości prawdopodobieństwa i jej wykres,

2. dystrybuantę i jej wykres,

3. prawdopodobieństwo P(X<3,5) korzystając z gęstości i dystrybuanty,

4. prawdopodobieństwo P(3<=X<4,5) korzystając z gęstości i dystrybuanty.

2. Dystrybuanta zmiennej losowej jest określona następującą tabelką:

x	[- , -2)	[-2, 3)	[3, 50)	[5, ]
F(x)	0	0,4	0,5	1

Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej.

3. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest dana w następujący sposób:

f(x) =

dla x>0

0 dla pozostałych x

1. wyznaczyć prawdopodobieństwo P(5<=x<<=10) ( λ = 10 )

2. wyznaczyć dystrybuantę.

4. Niech X będzie zmienną losową ciągłą o dystrybuancie F. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y=-X.

5. Na kwadracie opisano koło. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt koła jest również punktem kwadratu.

6. W 30 sportowców jest 20 narciarzy, 6 kolarzy i 4 biegaczy. Prawdopodobieństwa zakwalifikowania się do zawodów sportowych są następujące: dla narciarzy 0,9, dla kolarzy 0,5 i dla biegaczy o,75. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany losowo sportowiec będzie zakwalifikowany do zawodów?

7. W szkole pracuje 20 nauczycieli, 14 kobiet i 6 mężczyzn. Do przygotowania uroczystości wybrano 5-osobowy komitet organizacyjny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w komitecie będą:

1. same kobiety,

2. sami mężczyźni,

3. 3 kobiety i 2 mężczyzn.

8. Prawdopodobieństwo tego, ż zmienna losowa przyjmie wartości1, 2, 3 lub 4 jest określone funkcją P(X=x) = x²/30. Sprawdzić, czy jest to rozkład prawdopodobieństwa. Jeżeli tak to znaleźć prawdopodobieństwa tego, że zmienna losowa przyjmie wartość:

1. mniejszą od 4,

2. większą od 2,

3. mniejszą od 5, ale większą od 2.

9. Dana jest funkcja:

0 - dla x<= o

f(x) = 2x - dla 0 < x <= 1

0 - dla x > 1

Sprawdzić czy jest to funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

10. Dana jest zmienna losowa X o wartości oczekiwanej E[X] = m i wariancji V[X] = ο². Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych Y, Z, T określonych wzorami:

Y = 2X, Z =

11. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y, która jest polem kwadratu, którego bok jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, a).

12. Promień koła jest zmienną losową R o gęstości:

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa g(S) zmiennej losowej S=Πr².

---