Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
Zawartość
1.0 Przekształcenie Laplace a .................................................................................................................. 1
1.1 Przykład 1 .......................................................................................................................................... 4
2.0 TRANSMITANCJA ............................................................................................................................... 5
2.1 Przykład 2 .......................................................................................................................................... 7
1.0Przekształcenie Laplace a
Rachunek operatorowy stanowi bardzo ważną metodę w analizie układów , podstawą
rachunku jest przekształcenie całkowe funkcji zmiennej rzeczywistej na funkcje zmiennej
zespolonej - w szczególności nas będzie interesowało przekształcenie Laplace'a które jest
jednym z najbardziej popularnych i stosowanych przekształceń. Jest to przekształcenie
powiÄ…zane z transformatÄ… Fouriera .
Nie będziemy tutaj wyprowadzać zależności na przekształcenia Laplace'a a podam tylko
definicję i własności tego przekształcenia oraz najważniejsze przekształcenia w postaci tabeli.
Definicja
Przekształceniem Laplace a (Transformatą Laplace a) funkcji f(t) nazywamy
przekształcenie postaci :
Bardzo często zapisuje się również F(s)= L[f(t)].
Funkcją f(t) musi być bezwzględnie całkowalna , tzn. musi istnieć granica
lim
Istnieje również przekształcenie odwrotne :
1
2
Zapis ten wygląda skomplikowanie ale przy rozwiązywaniu wszelkich równań
różniczkowych będziemy korzystali z własności transformat ujętych w tabelach 1 i 2
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 1
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
Przekształcenie Laplace a ma wiele ciekawych właściwości  najważniejsze to:
Tabela 1
Liniowość L . . ..
Twierdzenie o przesunięciu zmiennej L
rzeczywistej
Twierdzenie o przesunięciu zmiennej
zespolonej L
Zmiana skali
L
Pomnożenie przez stałą c L
Transformata całki
L
L[f(t)]= sF(s)-f(0)
Transformata pochodnej Dla pochodnej wyższych rzędów
L 0
L 0 0
Najważniejsze i najczęściej wykorzystywane transformaty poniżej ujęte w tabeli:
Tabela 2
Funkcja f(t) Transformata F(s)
1
1
1(t)
1
t
!
1
sin
cos(
cos sin
sin
2
tsin
sin 1(t)
1(t)
1(t) 0.5 0.5
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 2
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
PrzytoczÄ™ jeszcze TWIERDZENIE o ROZKA
ADZIE  które przyda nam się przy
rozwiązywaniu układów równań różniczkowych - innymi słowy dowolnie skomplikowaną
transformatę będziemy sprowadzać w zapisie do najprostszej postaci  czyli sumy
pojedynczych transformat które mamy w tabeli.
Załóżmy ,że mamy transformatę pewnej funkcji w postaci ułamka wymiernego :
. . .
. . .
Przy czym nPrzyrównując mianownik M(s) do zera :
. . . 0
I znajdując miejsca zerowe możemy nasz ułamek zapisać w postaci :
. . .
&
Jeżeli nie ma pierwiastków wielokrotnych ( wielokrotnych miejsc zerowych mianownika) , to
Y(s) możemy przedstawić w postaci sumy ułamków prostych
Zas współczynniki ( 0,1.2 & . ) wyliczamy z zależności:
lim
albo liczymy granicÄ™ przy s ->si opuszczajÄ…c w mianowniku i podstawiamy ,
albo liczymy pochodne mianownika i do całości podstawiamy dany pierwiastek .
Gdy obliczymy współczynniki Ai wówczas możemy wyznaczyć  korzystając z tablic
transformatę odwrotną  czyli przejść z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu.
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 3
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
1.1 Przykład 1
Dana jest transformata , wyznacz funkcjÄ™ oryginalnÄ….
Mianownik naszej funkcji zapiszmy w postaci iloczynowej  wymaga to znalezienia
pierwiastków  czyli miejsc zerowych mianownika.
doprowadzimy do postaci sumy ułamków prostych.
Miejsca zerowe:-1; -2 ; -3
1 2 3
6
·
·
1
1 6 1 1
6
1 20 2 3
A teraz policzmy również poprzez policzenie pochodnej mianownika:
6 11 6 3 12 11
I policzmy jeszcze raz korzystajÄ…c ze wzoru: :
·
·
1
Jak widzimy wyniki sÄ… identyczne.
Otrzymaliśmy wynik:
6 6
Korzystając z tablic możemy wyznaczyć funkcję oryginalną  czyli w dziedzinie czasu:
6 6
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 4
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
2. 0 TRANSMITANCJA
Każdy układ fizyczny , jak i również proces składa się z członów z których każdy ma
zdolność do przenoszenia , wielkości elektrycznej, fizycznej , bądz
chemicznej  możemy
rozpatrywać te wielkości jako sygnały które z jednej strony doprowadzamy do układu a z
drugiej odbieramy z układu.
Sygnał wejściowy możemy traktować jako wymuszenie , a sygnał wyjściowy jako
odpowiedz
układy na te wymuszenie. I tutaj dochodzimy do pojęcia transmitancji , którą
będziemy się posługiwali przy tworzeniu modeli dynamicznych i układów regulacji.
TRANSMITANCJ
OPERATOROW
układu fizycznego ( procesu) nazywamy stosunek
transformat sygnały wyjściowego do sygnału wejściowego.
Y(s)  transformata sygnał wyjściowego.
U(s)- transformata sygnału wejściowego.
Transmitancja opisuje związek między sygnałem wyjściowym. Jeżeli znamy transmitancję
członu jesteśmy w stanie wyznaczyć jego odpowiedz
na dowolny sygnał wejściowy.
Odpowiedz układu na wymuszenie wyznaczamy poprzez wyznaczenie transformaty
odwrotnej
Zaletą transmitancji jest również to iż mając transmitancję  znamy właściwości
układu , nie musimy znać jego dokładnej budowy . Jeżeli mamy sygnał wejściowy oraz
wyjściowy  to przy spełnieniu odpowiednich warunków jesteśmy w stanie odtworzyć
transmitancję układu  czyli zidentyfikować go.
Charakterystyki częstotliwościowe - czyli Transmitancją widmowa.
Jeżeli na wejście układu liniowego doprowadzimy sygnał sinusoidalny
sin
To na wyjściu w stanie ustalonym otrzymamy również sygnał sinusoidalny o tej samej
częstotliwości , ale o innej wartości i fazie :
sin
Zarówno sygnał wejściowy jak i wyjściowy zapisaliśmy w postaci zespolonej 
stosunek wartości wyjściowej zespolonej odpowiedzi na wymuszenie
sinusoidalne (sygnał wejściowy) w stanie ustalonym nazywamy transmitancją widmową
(zespolonÄ…).
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 5
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
Transmitancję widmową  jeżeli nie znamy w właściwości procesu ( układu
fizycznego) wyprowadza się w ten sposób ze na wejście dostarczamy sygnał sinusoidalny o
znanej częstotliwości i amplitudzie (Um) odczytujemy amplitudę wyjściową (Ym) oraz kat
przesunięcia fazowego.  w tez sposób przeprowadzając ten zabieg dla różnych
częstotliwości wejściowych uzyskujemy pełną informację o procesie.
Transmitancję widmową również otrzymujemy gdy w transmitancji operatorowej zamiast s
podstawimy .
W praktyce oznacza to ze jesteśmy w stanie wyznaczyć transmitancję obiektu (
procesu) którego struktury nie znamy , lub wiemy o niej niewiele , lub tez jest bardzo
skomplikowana aby tworzyć ją z modelu matematycznego.
Transmitancję Widmową możemy zapisać jako suma części rzeczywistej i urojonej
Ponieważ transmitancja widmowa jest funkcją częstotliwości - to na podstawie zależności
transmitancji od częstotliwości tworzymy charakterystyki widmowe:
Charakterystyka amplitudowa określana jest poprzez moduł transmitancji widmowej
zależnością:
Charakterystyka fazowa określana jest poprzez argument transmitancji widmowej:
arg
Zaś sama transmitancja określa nam charakterystykę amplitudowo- fazową :
Charakterystyka amplitudowo - fazowa określana jest często jako wykres Nyquista.
Przypomnieliśmy sobie czym jest przekształcenie Laplace a , transmitancja operatorowa,
transmitancja widmowa a teraz zrobimy przykład.
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 6
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
2.1 Przykład 2
Dla schematu na rysunku wyznacz transmitancjÄ™ operatorowÄ… , przebieg prÄ…du w obwodzie
na wymuszenie:
a.) impulsowe
b.) wymuszenie jednostkowe u(t)=1(t)
napięcia wejściowego dla warunków zerowych
oraz transmitancjÄ™ widmowÄ… oraz charakterystyki
częstotliwościowe.
Jak widzimy jest to szeregowy obwód R L . wejściem jest napięcie u(t) wyjściem zaś prąd i(t).
Napięcie chwilowe opisane jest zależnością ( u(t)=u ; i(t)=i:
Transformata Laplace a ( korzystając z właściwości  tabela 1) :
0
Po przekształceniach i uwzględnieniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy
transmitancjÄ™ :
a.) Odpowiedz na wymuszenie impulsowe
.
1
0.001
b.) Odpowiedz na wymuszenie skoku jednostkowego 1
lim 0.001
lim 0.001
. .
1000
1
Transmitancja widmowa (
Charakterystyka amplitudowa.
|G( | "1000
Charakterystyka fazowa:
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 7
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
1000
1000
arg
10
100
1000
RysujÄ…c charakterystykÄ™ amplitudowÄ… bÄ…dz
fazową często przyjmuje się skale decybelową
na osi wartości oraz skalę logarytmiczną na osi częstotliwości.
Czyli : 20log "1000
20log
100
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 8
Pojęcia podstawowe-Przekształcenie Laplace a
08-2009
y
ródła:
1.Podstawy teorii układów elektrycznych -S.W Director R.A Rother PWN 1976.
2.Teoria układów regulacji automatycznej T Kaczorek PWN 1974
3.Podstawy elektrotechniki R. Kurdziel PWN 1973
A
ukasz Szydłowski Modelowanie i sterowanie 9