Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
Interpolacja
funkcja przybliżana f ( x ),
siatka węzłów xi , i = 0,...,n, fi = f ( xi )
Dla dowolnych, różnych n+1 punktów węzłowych istnieje
dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia, co
najwyżej n taki, że
P( xi ) = fi dla i=0,1,...,n
Wzór interpolacyjny Lagrange a
n n
x - xk
P( x ) = fi
" "
xi
i =0 k =0 - xk
k `"i
W3-1
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
Interpolacja przez rodzinę trójkątną
Rekurencyjne tworzenie wielomianów interpolacyjnych
Pi (x)
Niech będzie wielomianem stopnia nie
0,i1,...,ik
większego od k, spełniającym równania węzłów i0 ,i1 ,...,ik:
Pi (xi ) = fi j = 0,...,k
j j
0,i1,...,ik
Wtedy zachodzi wzór rekurencyjny
Pi(x) = fi i = 0,...,n
(x - xi )Pi (x) - (x - xi )Pi (x)
0 1,i2,...,ik 0k 0,i1,...,ik-1
Pi (x) =
xi - xi
0,i1,...,ik
k 0
W3-2
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
Metoda Aitken a
x0 P0 ( x ) = f0
x1 P1( x ) = f1 P0,1( x )
x2 P2( x ) = f2 P0 ,2( x ) P0 ,1,2( x )
x3 P3( x ) = f3 P0 ,3( x ) P0 ,1,3( x ) P0 ,1,2,3( x )
x4 P4 ( x ) = f4 P0 ,4( x ) P0 ,1,4( x ) P0,1,2,4( x ) P0,1,2 ,3,4 ( x )
W3-3
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
i xi xi - x yi = Pi (x) P0,i (x) P0,1,i (x) P0,1,2,i (x) K P0,1,K,m (x)
0 x0 x0 - x y0 = P0(x)
x0 - x P0(x)
x1 - x P1(x)
1 x1 x1 - x y1 = P1(x) P0,1(x) =
x0 - x1
x1 - x P0,1(x)
x0 - x P0(x)
x2 - x P0,2(x)
x2 - x P2(x)
2 x2 x2 - x y2 = P2(x) P0,2(x) = P0,1,2(x) =
x0 - x2 x1 - x2
x1 - x P0,1(x) x2 - x P0,1,2(x)
x0 - x P0(x)
x3 - x P0,3(x) x3 - x P0,1,3(x)
x3 - x P3(x)
3 x3 x3 - x y3 = P3(x) P0,3(x) = P0,1,3(x) = P0,1,2,3(x) =
x0 - x3 x1 - x3 x2 - x3
M M M M M M M O
x1 - x P0,1(x) x2 - x P0,1,2(x) xm-1 - x P0,1,K,m-1(x)
x0 - x P0(x)
xm - x P0,m (x) xm - x P0,1,m (x) xm - x P0,1,K,m-2,m (x)
xm - x Pm (x)
m xm xm - x ym = Pm (x) P0,m (x) = P0,1,m (x) = P0,1,2,m (x) = K P0,1,K,m(x) =
x0 - xm x1 - xm x2 - xm xm-1 - xm
W3-4
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
Reszta wzoru interpolacyjnego:
Jeżeli funkcja f ( Å" ) ma ciÄ…gÅ‚e pochodne do rzÄ™du n+1 a
P(Å" ) jest wielomianem interpolacyjnym stopnia n, to
n
1
( n+1 )
f ( x ) - P( x ) = f (¾ ) ( x - xi )
"
( n + 1 )! i =0
gdzie ¾ jest pewnym punktem z najmniejszego przedziaÅ‚u
domkniętego zawierającego x, x0 ,..., xn
W3-5
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
1
Przykład: y( x ) =
1 + ( 5x )2
węzły równoodległe w [-1,1] węzły Czebyszewa w [-1,1]
w=[];x=[];y=[];apr=[]; w=[];x=[];y=[];apr=[];
xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2); xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2);
for n=4:16 for n=4:16
h=2/n;
for i=1:n+1 for i=1:n+1
x(n,i)=-1+(i-1)*h; x(n,1:n+1)=-seqcheb(n+1,2);
end end
y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2); y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2);
w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n); w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n);
apr(n,:)=polyval(w,xx); apr(n,:)=polyval(w,xx);
end end
W3-6
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
n=5,6,7
W3-7
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-1 -0.5 0 0.5 1
n=8,9,10,11,12
W3-8
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-1 -0.5 0 0.5 1
n=5,6,7
W3-9
Instytut Automatyki Politechniki A
ódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1 -0.5 0 0.5 1
n=8,9,10,11,12
W3-10