plik


ÿþInstytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 Interpolacja funkcja przybli|ana f ( x ), siatka wzBów xi , i = 0,...,n, fi = f ( xi ) Dla dowolnych, ró|nych n+1 punktów wzBowych istnieje dokBadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia, co najwy|ej n taki, |e P( xi ) = fi dla i=0,1,...,n Wzór interpolacyjny Lagrange a n n x - xk P( x ) = fi " " xi i =0 k =0 - xk k `"i W3-1 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 WspóBczynniki wielomianu interpolacyjnego P( x ) = cn xn + cn-1xn-1 + + c1x + c0 mo|na obliczy z: n n-1 ¡# ¤# cn f0 x0 x0 x0 1 ¡# ¤# ¡# ¤# ¢# n n-1 f1 x1 x1 x1 1¥#¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢#cn-1¥# ¢# ¥# ¢# ¢# ¥# ¢# ¥# = ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢# n n-1 macierz Vandermonde a, c1 fn-1¥# xn-1 xn-1 1¥#¢# ¥# ¢# ¥# n-1 ¢#x n n-1 ¢# c0 fn xn xn xn 1¥#¢# ¥# ¢# ¥# £# ¦# £# ¦# £# ¦# jest nieosobliwa je[li wzBy xi s ró|ne, ale zle uwarunkowana (trudno j odwróci) W3-2 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 cn , cn-1, c1, c0 to mo|emy obliczy jego Je[li wielomian P(x) ma wspóBczynniki P( x0 ), P( x1 ), P( xm )w punktach x0 , x1, xm : warto[ci n n-1 P( x0 ) ¡# ¤# cn ¡# ¤# x0 x0 x0 1 ¡# ¤# ¢# ¢# ¥# n n-1 P( x1 ) x1 x1 x1 1¥#¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢#cn-1¥# ¢# ¢# ¥# = ¢# ¥# ¥# ¢# ¥# ¢#P( xm-1 )¥# ¢# ¥# n n c1 xm-1 xm-1 1¥#¢# ¥# m-1 -1 ¢#x ¢# ¥# n n ¢# ¢# ¥# P( xm ) c0 xm xm-1 xm 1¥#¢# ¥# £# ¦# £# ¦# £# ¦# Schemat Hornera: n=3 ( ) (( ) ) P( x ) = c3x3 + c2x2 + c1x + c0 c3x + c2 x2 + c1x + c0 c3x + c2 x + c1 x + c0 = = wic: c2 c1 c0 c3= a3 a3x a2x a1x a2=c2+a3x a1=c1+a2x P(x)=c0+a1x W3-3 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 Interpolacja przez rodzin trójktn Õ0( x ) = 1 Õ1( x ) = ( x - x0 ) Õ2( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) P( x ) = cnÕn( x )+ cn-1Õn-1( x )+ + c1Õ1( x )+ c0 , Õn( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn-1 ) f0 = P( x0 ) = c0 Ò! c0 = f0 f1 - c0 f1 = P( x1 ) = c1( x1 - x0 )+ c0 Ò! c1 = x1 - x0 f2 = P( x2 ) = c2( x2 - x0 )( x2 - x1 )+ c1( x2 - x0 ) + c0 Ò! c2 = & & & & .. W3-4 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 Rekurencyjne tworzenie wielomianów interpolacyjnych Pi (x) Niech bdzie wielomianem stopnia nie 0,i1,...,i k wikszego od k, speBniajcym równania wzBów i0 ,i1 ,...,ik: Pi (xi ) = fi j = 0,...,k j j 0,i1,...,i k Wtedy zachodzi wzór rekurencyjny Pi(x) = fi i = 0,...,n (x - xi )Pi (x) - (x - xi )Pi (x) 0 1,i2,...,i 0k 0,i1,...,i k k-1 Pi (x) = xi - xi 0,i1,...,i k k 0 W3-5 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 Metoda Aitken a x0 P0 ( x ) = f0 x1 P1( x ) = f1 P0,1( x ) x2 P2( x ) = f2 P0 ,2( x ) P0 ,1,2( x ) x3 P3( x ) = f3 P0 ,3( x ) P0 ,1,3( x ) P0 ,1,2 ,3( x ) x4 P4 ( x ) = f4 P0 ,4( x ) P0 ,1,4( x ) P0 ,1,2 ,4 ( x ) P0 ,1,2 ,3,4 ( x ) W3-6 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 i xi xi - x yi = Pi (x) P0,i (x) P0,1,i (x) P0,1,2,i (x) & P0,1,& ,m(x) 0 x0 x0 - x y0 = P0(x) x0 - x P0(x) x1 - x P1(x) 1 x1 x1 - x y1 = P1(x) P0,1(x) = x0 - x1 x1 - x P0,1(x) x0 - x P0(x) x2 - x P0,2(x) x2 - x P2(x) 2 x2 x2 - x y2 = P2(x) P0,2(x) = P0,1,2(x) = x0 - x2 x1 - x2 x1 - x P0,1(x) x2 - x P0,1,2(x) x0 - x P0(x) x3 - x P0,3(x) x3 - x P0,1,3(x) x3 - x P3(x) 3 x3 x3 - x y3 = P3(x) P0,3(x) = P0,1,3(x) = P0,1,2,3(x) = x0 - x3 x1 - x3 x2 - x3 x1 - x P0,1(x) x2 - x P0,1,2(x) xm-1 - x P0,1,& ,m-1(x) x0 - x P0(x) xm - x P0,m (x) xm - x P0,1,m (x) xm - x P0,1,& ,m-2,m (x) xm - x Pm (x) m xm xm - x ym = Pm (x) P0,m (x) = P0,1,m (x) = P0,1,2,m (x) = & P0,1,& ,m (x) = x0 - xm x1 - xm x2 - xm xm-1 - xm W3-7 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 Reszta wzoru interpolacyjnego: Je|eli funkcja f (Å" ) ma cigBe pochodne do rzdu n+1 a P(Å" ) jest wielomianem interpolacyjnym stopnia n, to n 1 ( n+1 ) f ( x ) - P( x ) = f (¾ ) ( x - xi ) " ( n + 1 )! i =0 gdzie ¾ jest pewnym punktem z najmniejszego przedziaBu domknitego zawierajcego x, x0 ,..., xn W3-8 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne w In|ynierii wykBad 3 1 PrzykBad: y( x ) = 1 + ( 5x )2 wzBy równoodlegBe w [-1,1] wzBy Czebyszewa w [-1,1] w=[];x=[];y=[];apr=[]; w=[];x=[];y=[];apr=[]; xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2); xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2); for n=4:16 for n=4:16 h=2/n; for i=1:n+1 for i=1:n+1 x(n,i)=-1+(i-1)*h; x(n,1:n+1)=-seqcheb(n+1,2); end end y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2); y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2); w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n); w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n); apr(n,:)=polyval(w,xx); apr(n,:)=polyval(w,xx); end end W3-9 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne wykBad 3 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 n=5,6,7 W3-10 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne wykBad 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -1 -0.5 0 0.5 1 n=8,9,10,11,12 W3-11 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne wykBad 3 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 n=5,6,7 W3-12 Instytut Automatyki Politechniki Aódzkiej - Metody Numeryczne wykBad 3 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -1 -0.5 0 0.5 1 n=8,9,10,11,12 W3-13

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
metody numeryczne w3
Metody numeryczne w3
Metody numeryczne w11
metody numeryczne i w1
metody numeryczne i w2
barcz,metody numeryczne, opracowanie wykładu
Metody numeryczne7
metody numeryczne w1
metody numeryczne cw 1
Metody numeryczne macierze
Metody numeryczne aproksymacja
3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych
Metody numeryczne w6
METODY NUMERYCZNE CZESC PIERWSZA

więcej podobnych podstron