ÿþI n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a
f u n k c j a p r z y b l i |a n a f ( x ) ,
s i a t k a w z Bó w x i , i = 0 , . . . , n , f i = f ( x i )
D l a d o w o l n y c h , r ó |n y c h n + 1 p u n k t ó w w z Bo w y c h i s t n i e j e
d o k Ba d n i e j e d e n w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y s t o p n i a , c o
n a j w y |e j n t a k i , |e
P ( x i ) = f i d l a i = 0 , 1 , . . . , n
W z ó r i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e a
n n
x - x k
P ( x ) = f i
" "
x i
i = 0 k = 0 - x k
k `"i
W 3 - 1
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
W s p ó Bc z y n n i k i w i e l o m i a n u i n t e r p o l a c y j n e g o
P ( x ) = c n x n + c n - 1 x n - 1 + + c 1 x + c 0
m o |n a o b l i c z y z :
n n - 1
¡# ¤# c n f 0
x 0 x 0 x 0 1 ¡# ¤# ¡# ¤#
¢#
n n - 1
f 1
x 1 x 1 x 1 1 ¥#¢# ¥# ¢# ¥#
¢# ¥#
¢#c n - 1 ¥# ¢# ¥#
¢#
¢# ¥# ¢# ¥#
=
¥#
¢# ¥#
¢# ¥# ¢#
n n - 1
m a c i e r z V a n d e r m o n d e a ,
c 1 f n - 1 ¥#
x n - 1 x n - 1 1 ¥#¢# ¥# ¢# ¥#
n - 1
¢#x
n n - 1
¢#
c 0 f n
x n x n x n 1 ¥#¢# ¥# ¢# ¥#
£# ¦# £# ¦#
£# ¦#
j e s t n i e o s o b l i w a j e [l i w z By x i s r ó |n e , a l e zl e u w a r u n k o w a n a ( t r u d n o j
o d w r ó c i )
W 3 - 2
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
c n , c n - 1 , c 1 , c 0 t o m o |e m y o b l i c z y j e g o
J e [l i w i e l o m i a n P ( x ) m a w s p ó Bc z y n n i k i
P ( x 0 ) , P ( x 1 ) , P ( x m ) w p u n k t a c h x 0 , x 1 , x m :
w a r t o [c i
n n - 1
P ( x 0 ) ¡# ¤# c n
¡# ¤# x 0 x 0 x 0 1 ¡# ¤#
¢#
¢# ¥#
n n - 1
P ( x 1 )
x 1 x 1 x 1 1 ¥#¢# ¥#
¢# ¥#
¢# ¥# ¢#c n - 1 ¥#
¢#
¢# ¥# = ¢# ¥#
¥#
¢# ¥#
¢#P ( x m - 1 ) ¥# ¢# ¥#
n n
c 1
x m - 1 x m - 1 1 ¥#¢# ¥#
m - 1 - 1
¢#x
¢# ¥#
n n
¢#
¢# ¥#
P ( x m ) c 0
x m x m - 1 x m 1 ¥#¢# ¥#
£# ¦# £# ¦#
£# ¦#
S c h e m a t H o r n e r a :
n = 3
( ) ( ( ) )
P ( x ) = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 c 3 x + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 c 3 x + c 2 x + c 1 x + c 0
= =
w i c :
c 2 c 1 c 0
c 3 = a 3 a 3 x a 2 x a 1 x
a 2 = c 2 + a 3 x a 1 = c 1 + a 2 x P ( x ) = c 0 + a 1 x
W 3 - 3
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
I n t e r p o l a c j a p r z e z r o d z i n t r ó j k t n
Õ0 ( x ) = 1
Õ1 ( x ) = ( x - x 0 )
Õ2 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 )
P ( x ) = c n Õn ( x ) + c n - 1 Õn - 1 ( x ) + + c 1 Õ1 ( x ) + c 0
,
Õn ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x - x n - 1 )
f 0 = P ( x 0 ) = c 0 Ò! c 0 = f 0
f 1 - c 0
f 1 = P ( x 1 ) = c 1 ( x 1 - x 0 ) + c 0 Ò! c 1 =
x 1 - x 0
f 2 = P ( x 2 ) = c 2 ( x 2 - x 0 ) ( x 2 - x 1 ) + c 1 ( x 2 - x 0 ) + c 0 Ò! c 2 =
& & & & . .
W 3 - 4
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
R e k u r e n c y j n e t w o r z e n i e w i e l o m i a n ó w i n t e r p o l a c y j n y c h
P i ( x )
N i e c h b d z i e w i e l o m i a n e m s t o p n i a n i e
0 , i 1 , . . . , i
k
w i k s z e g o o d k , s p e Bn i a j c y m r ó w n a n i a w z Bó w i 0 , i 1 , . . . , i k :
P i ( x i ) = f i j = 0 , . . . , k
j j
0 , i 1 , . . . , i
k
W t e d y z a c h o d z i w z ó r r e k u r e n c y j n y
P i ( x ) = f i i = 0 , . . . , n
( x - x i ) P i ( x ) - ( x - x i ) P i ( x )
0 1 , i 2 , . . . , i 0 k 0 , i 1 , . . . , i
k k - 1
P i ( x ) =
x i - x i
0 , i 1 , . . . , i
k
k 0
W 3 - 5
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
M e t o d a A i t k e n a
x 0 P 0 ( x ) = f 0
x 1 P 1 ( x ) = f 1 P 0 , 1 ( x )
x 2 P 2 ( x ) = f 2 P 0 , 2 ( x ) P 0 , 1 , 2 ( x )
x 3 P 3 ( x ) = f 3 P 0 , 3 ( x ) P 0 , 1 , 3 ( x ) P 0 , 1 , 2 , 3 ( x )
x 4 P 4 ( x ) = f 4 P 0 , 4 ( x ) P 0 , 1 , 4 ( x ) P 0 , 1 , 2 , 4 ( x ) P 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ( x )
W 3 - 6
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
i x i x i - x y i = P i ( x ) P 0 , i ( x ) P 0 , 1 , i ( x ) P 0 , 1 , 2 , i ( x ) & P 0 , 1 , & , m ( x )
0 x 0 x 0 - x y 0 = P 0 ( x )
x 0 - x P 0 ( x )
x 1 - x P 1 ( x )
1 x 1 x 1 - x y 1 = P 1 ( x ) P 0 , 1 ( x ) =
x 0 - x 1
x 1 - x P 0 , 1 ( x )
x 0 - x P 0 ( x )
x 2 - x P 0 , 2 ( x )
x 2 - x P 2 ( x )
2 x 2 x 2 - x y 2 = P 2 ( x ) P 0 , 2 ( x ) = P 0 , 1 , 2 ( x ) =
x 0 - x 2 x 1 - x 2
x 1 - x P 0 , 1 ( x ) x 2 - x P 0 , 1 , 2 ( x )
x 0 - x P 0 ( x )
x 3 - x P 0 , 3 ( x ) x 3 - x P 0 , 1 , 3 ( x )
x 3 - x P 3 ( x )
3 x 3 x 3 - x y 3 = P 3 ( x ) P 0 , 3 ( x ) = P 0 , 1 , 3 ( x ) = P 0 , 1 , 2 , 3 ( x ) =
x 0 - x 3 x 1 - x 3 x 2 - x 3
x 1 - x P 0 , 1 ( x ) x 2 - x P 0 , 1 , 2 ( x ) x m - 1 - x P 0 , 1 , & , m - 1 ( x )
x 0 - x P 0 ( x )
x m - x P 0 , m ( x ) x m - x P 0 , 1 , m ( x ) x m - x P 0 , 1 , & , m - 2 , m ( x )
x m - x P m ( x )
m x m x m - x y m = P m ( x ) P 0 , m ( x ) = P 0 , 1 , m ( x ) = P 0 , 1 , 2 , m ( x ) = & P 0 , 1 , & , m ( x ) =
x 0 - x m x 1 - x m x 2 - x m x m - 1 - x m
W 3 - 7
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
R e s z t a w z o r u i n t e r p o l a c y j n e g o :
J e |e l i f u n k c j a f ( Å" ) m a c i g Be p o c h o d n e d o r z d u n + 1 a
P ( Å" ) j e s t w i e l o m i a n e m i n t e r p o l a c y j n y m s t o p n i a n , t o
n
1
( n + 1 )
f ( x ) - P ( x ) = f ( ¾ ) ( x - x i )
"
( n + 1 ) ! i = 0
g d z i e ¾ j e s t p e w n y m p u n k t e m z n a j m n i e j s z e g o p r z e d z i a Bu
d o m k n i t e g o z a w i e r a j c e g o x , x 0 , . . . , x n
W 3 - 8
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w I n |y n i e r i i w y k Ba d 3
1
P r z y k Ba d : y ( x ) =
1 + ( 5 x ) 2
w z By r ó w n o o d l e g Be w [ - 1 , 1 ] w z By C z e b y s z e w a w [ - 1 , 1 ]
w = [ ] ; x = [ ] ; y = [ ] ; a p r = [ ] ; w = [ ] ; x = [ ] ; y = [ ] ; a p r = [ ] ;
x x = - 1 : . 0 1 : 1 ; y y = 1 . / ( 1 + ( 5 * x x ) . ^ 2 ) ; x x = - 1 : . 0 1 : 1 ; y y = 1 . / ( 1 + ( 5 * x x ) . ^ 2 ) ;
f o r n = 4 : 1 6 f o r n = 4 : 1 6
h = 2 / n ;
f o r i = 1 : n + 1 f o r i = 1 : n + 1
x ( n , i ) = - 1 + ( i - 1 ) * h ; x ( n , 1 : n + 1 ) = - s e q c h e b ( n + 1 , 2 ) ;
e n d e n d
y ( n , 1 : n + 1 ) = 1 . / ( 1 + ( 5 * x ( n , 1 : n + 1 ) ) . ^ 2 ) ; y ( n , 1 : n + 1 ) = 1 . / ( 1 + ( 5 * x ( n , 1 : n + 1 ) ) . ^ 2 ) ;
w = p o l y f i t ( x ( n , 1 : n + 1 ) , y ( n , 1 : n + 1 ) , n ) ; w = p o l y f i t ( x ( n , 1 : n + 1 ) , y ( n , 1 : n + 1 ) , n ) ;
a p r ( n , : ) = p o l y v a l ( w , x x ) ; a p r ( n , : ) = p o l y v a l ( w , x x ) ;
e n d e n d
W 3 - 9
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w y k Ba d 3
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
- 0 . 2
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
n = 5 , 6 , 7
W 3 - 1 0
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w y k Ba d 3
2
1
0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
n = 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2
W 3 - 1 1
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w y k Ba d 3
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
- 0 . 2
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
n = 5 , 6 , 7
W 3 - 1 2
I n s t y t u t A u t o m a t y k i P o l i t e c h n i k i Aó d z k i e j - M e t o d y N u m e r y c z n e w y k Ba d 3
1 . 2
1
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0
- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1
n = 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2
W 3 - 1 3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
metody numeryczne w3Metody numeryczne w3Metody numeryczne w11metody numeryczne i w1metody numeryczne i w2barcz,metody numeryczne, opracowanie wykładuMetody numeryczne7metody numeryczne w1metody numeryczne cw 1Metody numeryczne macierzeMetody numeryczne aproksymacja3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznychMetody numeryczne w6METODY NUMERYCZNE CZESC PIERWSZAwięcej podobnych podstron