14 BO 2 1 PP Generowanie Liczb Losowych 2008 s p [v9]

GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
o wybranych
ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
Prezentacja materiałów pomocniczych do wykładu
adam.kadzinski@put.poznan.pl
Plik: 1_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
(1) PODSTAWOWE ZASADY I PODSTAWY TEORETYCZNE GENEROWANIA
LICZB LOSOWYCH
Ogólna zasada generowania liczb losowych
Generowanie liczb losowych o zadanym nierównomiernym rozkładzie prawdopodobie stwa polega na
generowaniu ci gu liczb o rozkładzie równomiernym na przedziale )#0;1*# i przekształceniu go w ci g liczb
o zadanym rozkładzie nierównomiernym.
Rozkład równomierny Rozkład
na przedziale )#0;1*# zadany
f(x) p(x)
1
1 0
x1 x2 x1 x2
xi 1 x xi x
0
Metoda
przekształcania
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
2/26
(2) PODSTAWOWE ZASADY I PODSTAWY TEORETYCZNE GENEROWANIA
LICZB LOSOWYCH
Podstawa teoretyczna generowania liczb losowych
1,0
r3 b
Schemat ideowy
Ń (a;b)
r4
n
r2 a
r1
{ri},i = 1,2,& , n
r5
0,0
Je eli ci g {ri},i = 1,2,& ,n liczb losowych jest ci giem o rozkładzie równomiernym na przedziale
)#0;1*# a (a;b) jest cz ci przedziału )#0;1*#, oraz Ń = Ń(a,b) jest liczb elementów sko czonego podci gu
ci gu {ri},i = 1,2,& , n le cych w przedziale (a;b), to prawdziwa jest zale no ć graniczna:
Ń(a,b) b a
= = b a,
lim
n 1 0
n "
tzn.
je eli ci g {ri} ma w przedziale domkni tym )#0;1*# rozkład równomierny, to graniczna cz sto ć
wzgl dna przyjmowania przez wyrazu ci gu {ri} warto ci z przedziału (a;b) b d cego podprzedziałem
przedziału )#0;1*#, jest równa długo ci przedziału (a;b).
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
3/26
(3) PODSTAWOWE ZASADY I PODSTAWY TEORETYCZNE GENEROWANIA
LICZB LOSOWYCH
Podstawy teoretyczne metody odwracania dystrybuanty
Je eli
{ri}, i = 1,2,&
jest ci giem liczb losowych o rozkładzie równomiernym na przedziale )#0;1*#, to ci g
1
{xi}, i = 1,2,& taki, e xi = F (ri ), i = 1,2,& ,
jest ci giem liczb losowych o rozkładzie prawdopodobie stwa z dystrybuant F.
F(x)
1,0
r3
ri
r2
r1
x
x4 x1 x2 xi x3
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
4/26
(4) PODSTAWOWE ZASADY I PODSTAWY TEORETYCZNE GENEROWANIA
LICZB LOSOWYCH
Metoda odwracania dystrybuanty a dystrybuanta
1. 2.
F(x) F(x)
1,0 1,0
r3 r3
ri ri
r2 r2
r1 r1
r4
x x
x4 x3 x4 x2 x3
x1 x2 xi
F(x)
x1 xi
1,0
3. r3
ri
r2
r1
r4
x
x1 xi x3
x4 x2
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
5/26
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE )#0;1*#
Po co te liczby?
f(x) F(x)
1,0
r3
1 ri
1 0
r2
r1
r4
x4 x1 x2 xi x3
x3 x
x x4 x1x2 xi
0 1
Mo liwo ci pozyskiwania liczb losowych
o rozkładzie równomiernym na przedziale )#0;1*#
! Tablice liczb losowych
!! Standardowe podprogramy bibliotek j zyków programowania lub aplikacji
!!! Inne algorytmy
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
6/26
(2) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA )#0;1*#
! Tablice liczb losowych
FRAGMENT TABLICY CYFR LOSOWYCH
98520 17767 14905 68607 22109 40558 60970 93433 50500 73998
50725
11805 05431 39808 27732 68248 29405 24201 52775 68851
83452 99634 06288 98083 13746 70078 18475 40610 68711 77817
76493
88685 40200 86507 58401 36766 67951 90364 29609 11062
99594 67348 87517 64969 91826 08928 93785 61368 23478 34113
65481 17674 17468 50950 58047 76974 73039 57186 40218 16544
80124 35635 17727 08015 45318 22374 21115 78253 14385 53763
77402
74350 99817 77214 43236 00210 45521 64237 96286 02655
69916
26803 66252 29148 36936 87203 76621 13990 94400 56418
09893 20505 14225 68514 46427 56788 96297 78822 54382 14598
91499 14523 68479 27686 46162 83554 94750 89923 37089 20048
36766 / 105 64969 / 105
80336 94598 26940 36858 70297 34135 53140 33340 42050 82341
44104 81949 85157 47954 32979 26575 57600 40881 22222 06413
12550 73742 11100 02040 12860 74697 96644 89439 28707 25813
63606 49329 16505 34484 40219 52563 43651 77082 07207 31790
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,36766 0,67951 0,90364 0,76493 0,29609 0,11062 0,99594 0,67348 0,87517 0,64969
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
7/26
(3) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE )#0;1*#
! Kalkulatory elektroniczne
0,215
0,855
0,667
0,357
RANDOM
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
8/26
(4) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE )#0;1*#
!! Standardowe podprogramy bibliotek j zyków programowania lub aplikacji
2.
1.
3.
Plik: 1 AK Generowanie Liczb Losowych 2007 s p [v6].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
9/26
GENERATOR LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE <0;1>
LLi = LP1 +2.LP2
i LP1 LP2 LP1 + 2.LP2 LLi = Zaokr(LLi ; 11)
- Zaokr.Do.Całk(LP1 + 2.LP2)
1 0,34567891234 0,56789123456 1,48146138146 0,48146138146 0,48146138146
2 0,56789123456 0,48146138146 1,53081399748 0,53081399748 0,53081399748
3 0,48146138146 0,53081399748 1,54308937642 0,54308937642 0,54308937642
4 0,53081399748 0,54308937642 1,61699275032 0,61699275032 0,61699275032
5 0,54308937642 0,61699275032 1,77707487706 0,77707487706 0,77707487706
6 0,61699275032 0,77707487706 2,17114250444 0,17114250444 0,17114250444
7 0,77707487706 0,17114250444 1,11935988594 0,11935988594 0,11935988594
8 0,17114250444 0,11935988594 0,40986227632 0,40986227632 0,40986227632
9 0,11935988594 0,40986227632 0,93908443858 0,93908443858 0,93908443858
START
10 0,40986227632 0,93908443858 2,28803115348 0,28803115348 0,28803115348
11 0,93908443858 0,28803115348 1,51514674554 0,51514674554 0,51514674554
12 0,28803115348 0,51514674554 1,31832464456 0,31832464456 0,31832464456
Wczytaj
13 0,51514674554 0,31832464456 1,15179603466 0,15179603466 0,15179603466
ILL
14 0,31832464456 0,15179603466 0,62191671388 0,62191671388 0,62191671388
15 0,15179603466 0,62191671388 1,39562946241 0,39562946241 0,39562946241
16 0,62191671388 0,39562946241 1,41317563870 0,41317563870 0,41317563870
17 0,39562946241 0,41317563870 1,22198073981 0,22198073981 0,22198073981
LP1 := 0,34567891234
18 0,41317563870 0,22198073981 0,85713711832 0,85713711832 0,85713711832
LP2 := 0,56789123456
19 0,22198073981 0,85713711832 1,93625497645 0,93625497645 0,93625497645
20 0,85713711832 0,93625497645 2,72964707123 0,72964707123 0,72964707123
21 0,93625497645 0,72964707123 2,39554911891 0,39554911891 0,39554911891
22 0,72964707123 0,39554911891 1,52074530906 0,52074530906 0,52074530906
i := 1
23 0,39554911891 0,52074530906 1,43703973703 0,43703973703 0,43703973703
24 0,52074530906 0,43703973703 1,39482478311 0,39482478311 0,39482478311
25 0,43703973703 0,39482478311 1,22668930325 0,22668930325 0,22668930325
LLi := LP1 + 2.LP2 - Zaokr.Do.Całk (LP1 + 2.LP2)
26 0,39482478311 0,22668930325 0,84820338962 0,84820338962 0,84820338962
LP := LLi
27 0,22668930325 0,84820338962 1,92309608250 0,92309608250 0,92309608250
i := i + 1
LLi := Zaokr(LLi ;11)
28 0,84820338962 0,92309608250 2,69439555463 0,69439555463 0,69439555463
29 0,92309608250 0,69439555463 2,31188719175 0,31188719175 0,31188719175
30 0,69439555463 0,31188719175 1,31816993814 0,31816993814 0,31816993814
LP2 := LP
Wypisz
31 0,31188719175 0,31816993814 0,94822706803 0,94822706803 0,94822706803
LLi
32 0,31816993814 0,94822706803 2,21462407419 0,21462407419 0,21462407419
33 0,94822706803 0,21462407419 1,37747521640 0,37747521640 0,37747521640
LP1 := LP2
34 0,21462407419 0,37747521640 0,96957450698 0,96957450698 0,96957450698
35 0,37747521640 0,96957450698 2,31662423036 0,31662423036 0,31662423036
N
36 0,96957450698 0,31662423036 1,60282296770 0,60282296770 0,60282296770
i e" ILL
37 0,31662423036 0,60282296770 1,52227016577 0,52227016577 0,52227016577
38 0,60282296770 0,52227016577 1,64736329924 0,64736329924 0,64736329924
39 0,52227016577 0,64736329924 1,81699676425 0,81699676425 0,81699676425
T
40 0,64736329924 0,81699676425 2,28135682773 0,28135682773 0,28135682773
Wydruk liczb losowych
41 0,81699676425 0,28135682773 1,37971041971 0,37971041971 0,37971041971
LL1: 0,48146138146
42 0,28135682773 0,37971041971 1,04077766715 0,04077766715 0,04077766715
43 0,37971041971 0,04077766715 0,46126575401 0,46126575401 0,46126575401
LL2: 0,53081399748
44 0,04077766715 0,46126575401 0,96330917517 0,96330917517 0,96330917517
LL3: 0,54308937642
45 0,46126575401 0,96330917517 2,38788410436 0,38788410436 0,38788410436
&
46 0,96330917517 0,38788410436 1,73907738389 0,73907738389 0,73907738389
47 0,38788410436 0,73907738389 1,86603887213 0,86603887213 0,86603887213
48 0,73907738389 0,86603887213 2,47115512814 0,47115512814 0,47115512814
STOP
49 0,86603887213 0,47115512814 1,80834912841 0,80834912841 0,80834912841
50 0,47115512814 0,80834912841 2,08785338497 0,08785338497 0,08785338497
51 0,80834912841 0,08785338497 0,98405589836 0,98405589836 0,98405589836
52 0,08785338497 0,98405589836 2,05596518169 0,05596518169 0,05596518169
Plik: Generatory_BOB_i_RAJ_Przykłady_obl.xls Opr. Adam Kadziński
GENERATOR LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE <0;1>
BOB 100
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 7 7 0,070
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 17 10 0,100
0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 27 10 0,100 0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 42 15 0,150 0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 55 13 0,130 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 63 8 0,080 0,5-0,6
0,6 0,7 0,6-0,7 73 10 0,100 0,6-0,7
0,7-0,8
0,7 0,8 0,7-0,8 82 9 0,090
0,8-0,9
0,8 0,9 0,8-0,9 90 8 0,080
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 100 10 0,100
RAZEM 100 1,000
BOB 500
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 45 45 0,090
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 95 50 0,100 0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 147 52 0,104 0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 201 54 0,108 0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 255 54 0,108 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 301 46 0,092 0,5-0,6
0,6-0,7
0,6 0,7 0,6-0,7 351 50 0,100
0,7-0,8
0,7 0,8 0,7-0,8 404 53 0,106
0,8-0,9
0,8 0,9 0,8-0,9 451 47 0,094
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 500 49 0,098
RAZEM 500 1,000
BOB 5000
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 523 523 0,105
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 1032 509 0,102
0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 1515 483 0,097
0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 1991 476 0,095
0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 2515 524 0,105 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 3030 515 0,103 0,5-0,6
0,6 0,7 0,6-0,7 3558 528 0,106 0,6-0,7
0,7 0,8 0,7-0,8 4052 494 0,099 0,7-0,8
0,8 0,9 0,8-0,9 4532 480 0,096 0,8-0,9
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 5000 468 0,094
RAZEM 5000 1,000
Plik: Generatory_BOB_i_RAJ_Przykłady_obl.xls Opr. Adam Kadzi ski
GENERATOR LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE <0;1>
LLi = LPS . LPZ
.
i LPS LPZ LPS LPZ LLi = Zaokr(LLi ; 11)
- Zaokr.Do.Całk(LPS . LPZ)
1 31999 0,12345678501 3950,49366353499 0,49366353498999 0,49366353499
2 31999 0,49366353498999 15796,73945614470 0,73945614474178 0,73945614474
3 31999 0,73945614474178 23661,85717559220 0,85717559221666 0,85717559222
4 31999 0,85717559221666 27428,76177534100 0,76177534100134 0,76177534100
5 31999 0,76177534100134 24376,04913670190 0,04913670185488 0,04913670185
6 31999 0,04913670185488 1572,32532265421 0,32532265421469 0,32532265421
7 31999 0,32532265421469 10409,99961221580 0,99961221578997 0,99961221579
8 31999 0,99961221578997 31986,59129306310 0,5912930631311610 0,59129306313
9 31999 0,59129306313 18920,78672713400 0,7867271340219300 0,78672713402
START
10 31999 0,78672713402 25174,48156156780 0,4815615677507590 0,48156156775
11 31999 0,48156156775 15409,48860645660 0,4886064565507700 0,48860645655
12 31999 0,48860645655 15634,91800316810 0,9180031680734830 0,91800316807
13 31999 0,91800316807 29375,18337518340 0,1833751833764840 0,18337518338
Wczytaj
14 31999 0,18337518338 5867,82249286410 0,8224928640993310 0,82249286410
ILL
15 31999 0,82249286410 26318,94915831450 0,9491583144990730 0,94915831450
16 31999 0,94915831450 30372,11690565580 0,1169056558283050 0,11690565583
17 31999 0,11690565583 3740,86408084992 0,8640808499185370 0,86408084992
LPS := 31999
18 31999 0,86408084992 27649,72311654330 0,7231165432604030 0,72311654326
LPZ := 0,12345678501
19 31999 0,72311654326 23139,00626778960 0,0062677896348760 0,00626778963
20 31999 0,00626778963 200,56300052640 0,5630005263956260 0,56300052640
21 31999 0,56300052640 18015,45384413360 0,4538441336480900 0,45384413365
22 31999 0,45384413365 14522,55843260520 0,5584326052339750 0,55843260523
i := 1
23 31999 0,55843260523 17869,28493488200 0,2849348819581790 0,28493488196
24 31999 0,28493488196 9117,63128777978 0,6312877797754480 0,63128777978
25 31999 0,63128777978 20200,57766503460 0,5776650345651430 0,57766503457
26 31999 0,57766503457 18484,70344105000 0,7034410500200470 0,70344105002
LLi := LPS . LPZ - Zaokr.Do.Całk (LPS . LPZ)
27 31999 0,70344105002LPZ := LLi
22509,41015959150 0,4101595914689820 0,41015959147
28 31999 0,41015959147LLi := Zaokr(LLi ;11) 0,6967674159677700 0,69676741597
13124,69676741600
29 31999 0,69676741597 22295,86054355270 0,8605435526696970 0,86054355267
30 31999 0,86054355267 27536,53314187760 0,5331418776186180 0,53314187762
i := i + 1
31 31999 0,53314187762 17060,00694191820 0,0069419181672856 0,00694191817
Wypisz
32 31999 0,00694191817 222,13443943497 0,1344394349725920 0,13443943497
LLi
33 31999 0,13443943497 4301,92747968796 0,9274796879617500 0,92747968796
34 31999 0,92747968796 29678,42253508800 0,4225350880296900 0,42253508803
35 31999 0,42253508803 13520,70028186210 0,7002818620530890 0,70028186205
36 31999 0,70028186205 22408,31930383680 0,3193038367899130 0,31930383679
N
i e" ILL
37 31999 0,31930383679 10217,40347344040 0,4034734404413030 0,40347344044
38 31999 0,40347344044 12910,74662068130 0,7466206812532620 0,74662068125
39 31999 0,74662068125 23891,11517942310 0,1151794231263920 0,11517942313
T
40 31999 0,11517942313 3685,62636062142 0,6263606214197350 0,62636062142
41 31999 0,62636062142 20042,91352481010 0,9135248101083560 0,91352481011
Wydruk liczb losowych
42 31999 0,91352481011 29231,88039865730 0,8803986572893340 0,88039865729
LL1: 0,49366353499
43 31999 0,88039865729 28171,87663460140 0,8766346013871950 0,87663460139
LL2: 0,73945614474
44 31999 0,87663460139 28051,43060978890 0,4306097888620570 0,43060978886
LL3: 0,85717559222
45 31999 0,43060978886 13779,08263379700 0,0826337969629094 0,08263379696
&
46 31999 0,08263379696 2644,19886901614 0,1988690161379050 0,19886901614
47 31999 0,19886901614 6363,60964739684 0,6096473968354990 0,60964739684
48 31999 0,60964739684 19508,10705133910 0,1070513391168790 0,10705133912
STOP
49 31999 0,10705133912 3425,53580040100 0,5358004010049630 0,53580040100
50 31999 0,53580040100 17145,07703175780 0,0770317577989772 0,07703175780
51 31999 0,07703175779898 2464,93921780947 0,93921780947130 0,93921780947
52 31999 0,93921780947130 30054,03068527220 0,03068527218420 0,03068527218
Plik: Generatory_BOB_i_RAJ_Przykłady_obl.xls Opr. A. Kadziński
GENERATOR LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE <0;1>
RAJ 100
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 12 12 0,120
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 22 10 0,100
0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 25 3 0,030
0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 32 7 0,070 0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 45 13 0,130 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 54 9 0,090 0,5-0,6
0,6 0,7 0,6-0,7 63 9 0,090 0,6-0,7
0,7-0,8
0,7 0,8 0,7-0,8 76 13 0,130
0,8-0,9
0,8 0,9 0,8-0,9 89 13 0,130
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 100 11 0,110
RAZEM 100 1,000
RAJ 500
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 52 52 0,104
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 106 54 0,108
0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 146 40 0,080
0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 192 46 0,092 0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 244 52 0,104 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 293 49 0,098 0,5-0,6
0,6 0,7 0,6-0,7 351 58 0,116 0,6-0,7
0,7-0,8
0,7 0,8 0,7-0,8 396 45 0,090
0,8-0,9
0,8 0,9 0,8-0,9 454 58 0,116
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 500 46 0,092
RAZEM 500 1,000
RAJ 5000
xd xg xd-xg nsk ni pi 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,0 0,1 0,0-0,1 507 507 0,101
0,0-0,1
0,1 0,2 0,1-0,2 1019 512 0,102
0,1-0,2
0,2 0,3 0,2-0,3 1508 489 0,098
0,2-0,3
0,3 0,4 0,3-0,4 1988 480 0,096
0,3-0,4
0,4 0,5 0,4-0,5 2475 487 0,097 0,4-0,5
0,5 0,6 0,5-0,6 2970 495 0,099 0,5-0,6
0,6 0,7 0,6-0,7 3512 542 0,108 0,6-0,7
0,7 0,8 0,7-0,8 4037 525 0,105 0,7-0,8
0,8 0,9 0,8-0,9 4530 493 0,099 0,8-0,9
0,9-1,0
0,9 1,0 0,9-1,0 5000 470 0,094
RAZEM 5000 1,000
Plik: Generatory_BOB_i_RAJ_Przykłady_obl.xls Opr. A. Kadzi ski
(1) GENEROWANIA LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE (a;b)
Do generowania liczb losowych o rozkładzie równomiernym na przedziale (a;b) zastosować mo na
generator pozyskany metod odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie.
Odwracanie dystrybuanty metod graficzn
1 xi a
f (xi ) = , dla xi " (a;b) F(xi ) = , dla xi " (a;b)
b a b a
f(x) F(x)
1,0
ri
1
0,5
b a
0,0
x xi b
x
a b a
1 b a
xi = a + ri �" (b a)
= , gdzie i = 1,2,... (1)
ri xi a
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
12/26
(2) GENEROWANIA LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE RÓWNOMIERNYM NA PRZEDZIALE (a;b)
Do generowania liczb losowych o rozkładzie równomiernym na przedziale (a;b) zastosować mo na
generator pozyskany metod odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie.
Odwracanie dystrybuanty metod analityczn
Niech dystrybuant zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym na przedziale (a;b) przedstawia
zale no ć postaci:
xi a
F(xi ) = , gdzie xi " (a;b) i = 1,2,... . (2)
b a
Je eli zało y si , e dystrybuanta przyjmować b dzie warto ci ri (i=1,2,...) nale ce do rozkładu
równomiernego na przedziale )#0;1*#, to mamy:
xi a
ri = , gdzie i = 1,2,... , (3)
b a
a st d otrzymuje si :
xi a = ri �" (b a), gdzie i = 1,2,... , (4)
a na tej podstawie ostateczna postać matematyczna generatora liczb losowych o rozkładzie
równomiernym na przedziale (a;b) przedstawia si nast puj co:
xi = a + ri �" (b a)
, gdzie i = 1,2,... (5)
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
13/26
GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE WYKAADNICZYM
Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy je eli funkcj g sto ci prawdopodobie stwa i dystrybuant
przedstawiaj nast puj ce formuły matematyczne oraz ich reprezentacje graficzne:
f (xi ) = �"e �"xi , dla xi e" 0 F(xi ) = 1 e �"xi , dla xi e" 0
f(x) F(x)
1,0
ri

x
xi
x
Do generowania liczb losowych o rozkładzie wykładniczym zastosować mo na formuł pozyskan
metod analitycznego odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie (schemat ideowy takiej
metody pokazano na rysunku).
Je eli zało y si , e dystrybuanta rozkładu wykładniczego przyjmować b dzie warto ci ri (i=1,2,...)
nale ce do rozkładu równomiernego na przedziale )#0;1*#, to mamy:
ri = 1 e �"xi , ln(1 ri ) = ln(e �"xi ) ln(1 ri ) = �" xi , gdzie i = 1,2,... ,
a na tej podstawie ostateczna postać matematyczna generatora liczb losowych o rozkładzie wykładniczym
przedstawia si nast puj co:
1
xi = �" ln(1 ri )
, gdzie i = 1,2,... . (1)

Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
14/26
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE WEIBULLA
Zmienna losowa ma rozkład Weibulla je eli funkcj g sto ci prawdopodobie stwa i dystrybuant
przedstawiaj pokazane dalej formuły matematyczne oraz ich reprezentacje graficzne.
f(x)
0< ą < 1
ą = 1
ą
� �"xi
ą
f (xi ) = ą �" � �" xi 1 �"e dla xi e" 0 ą > 1
x
F(x)
1,0
0< ą < 1
ą
� �"xi
ą = 1
F(xi ) = 1 e dla xi e" 0
ą > 1
x
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
15/26
(2) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE WEIBULLA
Do generowania liczb losowych o rozkładzie Weibulla zastosować mo na formuł pozyskan metod
analitycznego odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie (schemat ideowy takiej metody
pokazano na rysunku).
Je eli zało y si , e dystrybuanta rozkładu Weibulla przyjmować b dzie warto ci ri (i=1,2,...) nale ce
do rozkładu równomiernego na przedziale )#0;1*#, to mamy:
ą
� �"xi
ri = 1 e , gdzie i = 1,2,... , (1)
F(x)
1,0
i kolejno
ą
ą
� �"xi
� �"xi
1 ri = e , gdzie i = 1,2,... ,
ri
F(xi ) = 1 e
ą
� �"xi
�ł
ln(1 ri ) = ln�łe
�ł �ł, gdzie i = 1,2,... ,
�ł łł
ą
ln(1 ri ) = � �" xi , gdzie i = 1,2,... ,
xi x
a st d ostatecznie
1
ńł 1 �łą
xi = �"ln(1 ri )żł
�ł
, gdzie i = 1,2,... . (2)
�
ół �ł
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
16/26
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE NORMALNYM
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE NORMALNYM
f(x)
�(0,1)
xi2

1
2
f~ (xi ) = �"e
(xi �)2
x

2 �(�,�)
1 2
2�
f (xi ) = �"e
� �" 2
�
0 x
F(x)
xi ( z � )2
�(�,�)
�(0,1) 1 2
2�
F ( xi ) = e dz

1,0
� �" 2
"
ri
1
xi z2
xi = F (ri )
1
x �
2 ~
F~ (xi ) = e dz
x =
x
2
�
"
~
x = x �"� + �
xi
�
0 x
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
17/26
(2) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE NORMALNYM �(0,1)
FRAGMENT TABLICY CYFR LOSOWYCH
10097 32533 76520 13586 34673 54876 80959 09117 39292 74945
74296 24037
37542 04805 64894 24805 20636 10402 00822 91665
08422 68953 19645 09303 23209 02560 15953 34764 35080 33606
23209 / 105 = 0,23209
99019 02529 09376 70715 38311 31165 88676 74397 04436 27659
12807 99970 80157 36147 64032 36653 98951 16877 12171 76833
u 1
�"x2
1
2
F(u) = �" dx
e
Dystrybuanta rozkładu N(0;1)
2�"
"
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414
-0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465
-0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591
-0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827
-0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207
0,30854
-0,5 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760
-0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510
-0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476
-0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673
-0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109
-1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786
lub
=ROZKAAD.NORMALNY.S.ODW(0,23209) 0,73198
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
18/26
(3) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE NORMALNYM �(0,1)
Liczby losowe o rozkładzie normalnym
f(x)
�(0,1) pozyskuje si z k (k ") liczb losowych yj
o rozkładzie równomiernym na przedziale )#0;1*#
�(0,1)
przekształconych zgodnie z zale no ci
k
k
y
"
j
xi2
2

j =1
~
1
xi =
2
1 f~ (xi ) = �"e
x
2
k
�ł �ł2
�ł �ł
0
12
�ł łł x
Zauwa ono, e dogodn warto ci k jest 12 (k =12) i wtedy
12
12
y
"
j
12
2
j=1
~
~
xi = y 6,0
xi = a st d ostatecznie
"
j
1
j=1
�ł12 �ł2
�ł �ł
12
�ł łł
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
19/26
(4) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE NORMALNYM �(�,�)
Liczby losowe o rozkładzie normalnym
f(x)
�(�,�) pozyskuje si wykorzystuj c zale no ć na
(xi �)2
standaryzacj zmiennej losowej o rozkładzie

1 2
normalnym postaci
2�
f (xi ) = �" e
� �" 2
xi �
~
xi =
�(�,�)
�
oraz formuł generatora liczb losowych o
rozkładzie normalnym standaryzowanym �(0,1).
Na tej podstawie mamy
0 �
x
~
xi = xi �"� + �
12
~
xi = y 6,0
"
j
j=1
a st d ostatecznie
12
�ł �ł
�ł
xi = y 6,0�ł �"� + �
"
j
�ł �ł
j=1
�ł łł
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
20/26
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ SKOKOWEJ
Do generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej skokowej stosuje si generator
pozyskany metod odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie.
Dalej pokazano ide generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej skokowej
(rys. 1).
p(x) F(x)
p(x) F(x)
1,0
ri
0,0
x1 x2 x3 x4 x5 x x
x1 x2 x4 x5
xi =x3
Idea generowania liczb losowych o rozkładzie
empirycznym zmiennej skokowej
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
21/26
(2) PRZYKAADY GENEROWANIA LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ SKOKOWEJ
p(x) F(x)
F(x)
1,0
1,0
ri
1.
ri
0,0 0,0
x1 x2 x3 x4 x5 x x x
x1 x5 x1 x2
x3 x4 x3 x4
xi =x2 xi =x5
p(x) F(x) F(x)
1,0 1,0
2.
ri
ri
0,0 0,0
x1 x2 x3 x4 x5 x x1 x2 x4 x5 x x
x2 x3 x4 x5
xi =x3 xi =x1
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
22/26
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
(1) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ CI GAEJ
O ROZKAADZIE EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ CI GAEJ
Do generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej ci głej stosuje si generator
Do generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej ci głej stosuje si generator
pozyskany metod odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie.
pozyskany metod odwracania dystrybuanty zmiennej losowej o tym rozkładzie.
Dalej pokazano ide generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej ci głej (rys. 1).
Dalej pokazano ide generowania liczb losowych o rozkładzie empirycznym zmiennej ci głej (rys. 1).
1,00
1,00
F (x )
p (x )
0,80 0,80
0,60 0,60
ri
0,40
0,40
0,20 0,20
0,00 0,00
x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4
xi=?
[xk+1, F(xk+1)]
1,00 1,00
F (x )
p (x )
0,80 0,80
0,60
ri 0,60
0,40 0,40
Schemat ideowy
Schemat ideowy
0,20 0,20 generowania liczb losowych
generowania liczb losowych
o rozkładzie empirycznym
o rozkładzie empirycznym
0,00 0,00
xk
xk xk+1 xk+1 zmiennej ci głej
zmiennej ci głej
[xk, F(xk)]
xi
xk+1 xk
xi = xk + �"(ri F(xk ))
F(xk+1) F(xk )
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
23/26
(2) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH
O ROZKAADZIE EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ CI GAEJ
Z trójk tów, które mo na zauwa yć na rysunku obok wynika, e
[xk+1, F(xk+1)]
1,00
F(xk +1) F(xk ) ri F(xk ) F (x )
0,80
tgą = , tgą = (1)
xk +1 xk xi xk
ri 0,60
0,40
0,20
0,00
Porównuj c stronami równania (1) otrzymuje si :
xk
xk+1
[xk, F(xk)]
xi
F(xk +1) F(xk ) ri F(xk )
= , (2)
xk +1 xk xi xk
a st d ostateczna postać modelu matematycznego generatora liczb losowych o rozkładzie empirycznym
zmiennej ci głej, przedstawia si nast puj co:
xk +1 xk
xi = xk + �"(ri F(xk ))
, gdzie i = 1,2,... . (3)
F(xk +1) F(xk )
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
24/26
(3) GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O ROZKAADZIE
EMPIRYCZNYM ZMIENNEJ CI GAEJ PRZYKAADY
1,00 1,00
1,00 1,00
F (x ) F (x )
F (x )
p (x )
0,80
0,80 0,80
ri 0,80
0,60 0,60
0,60
ri 0,60
0,40 0,40
0,40 0,40
0,20
0,20 0,20
ri 0,20
0,00 0,00
0,00 0,00
x1 x2 x3 x4
x1 x2
x1 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x2 x3 x4
xi
xi
xi
x3 x2
xi = x2 + �"(ri F(x2 ))
F(x3) F(x2 )
x2 x1
xi = x1 + �"(ri F(x1))
F(x2 ) F(x1)
x4 x3
xi = x3 + �"(ri F(x3))
F(x4 ) F(x3)
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
25/26
NOTATKI
Plik: 2_AK_Generowanie_Liczb_Losowych_2007_s_p_[v9].doc
A. KADZI SKI, GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH O WYBRANYCH ROZKAADACH PRAWDOPODOBIE STWA
26/26

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Generowanie liczb pseudolosowych w C
Tablica jednowymiara liczb losowych
BO II stacjonarne wykład nr 08
BO II stacjonarne wykład nr 08
PP 08
TI 03 08 14 T pl(1)
PP 08
Plakat JELENIA GORA Przyjazdy wazny od 13 12 15 do 14 03 08
biologia 08 pp
Tygodnik Prawa Pracy z 14 sierpnia 08 (nr 159)
WSM 14 08 pl(1)
PP 08
08 14

więcej podobnych podstron