Matematyczny opis krzepniecia odlewów

Bohdan MOCHNACKI, Józef S. SUCHY

MATEMATYCZNY OPIS

KRZEPNI CIA I STYGNI CIA

ODLEWU W FORMIE

KATEDRA MODELOWANIA PROCESÓW ODLEWNICZYCH

Kraków 2003

AUTORZY:

prof. dr hab. Bogdan MOCHNACKI – profesor zwyczajny Politechniki Cz stochowskiej,

dyrektor Instytutu Matematyki i Informatyki

prof. dr hab. in . Józef Szczepan SUCHY – profesor zwyczajny Akademii Górniczo –

Hutniczej

Krakowie,

kierownik

Katedry

Modelowania Procesów Odlewniczych Wydziału

Odlewnictwa

SPIS TRE CI

1. Wprowadzenie

2. Matematyczny opis krzepni cia i stygni cia metalu w formie

2.1. Opis procesu

2.2. Podstawy matematyczne opisu krzepni cia i stygni cia

2.2.1. Równanie energii

2.2.2. Pochodna materialna

2.2.3. Niestacjonarne ródłowe pole temperatury

2.2.4. Równanie energii dla strefy dwufazowej

2.2.5. Dobór zast pczej pojemno ci cieplnej

2.2.6. Przestrzenne ródłowe i bez ródłowe pola temperatury

2.2.7. Warunki brzegowe—pocz tkowe

2.2.8. Problem Stefana — warunek brzegowy Stefana

2.2.9. Opis matematyczny krzepni cia odlewu w formie

2.2.10. Model procesu ci głego odlewania

2.2.11. Konwencja entalpowa

2.2.12. Temperatura Kirchhoffa

2.2.13. Transport masy

1. WPROWADZENIE

Krzepni cie odlewów i mo liwo sterowania tym procesem to najistotniejszy etap

procesu wytwórczego. Nic wi c dziwnego, e jednym z najwa niejszych narz dzi do

nowoczesnego przygotowania produkcji s programy komputerowe symuluj ce przebieg

krzepni cia.

Aby kompetentnie posługiwa si tymi programami, nale y zna , przynajmniej w

zarysie, modele matematyczne słu ce do ich budowania.

Niniejszy skrypt jest opracowany na bazie ksi ki tych samych autorów

„Modelowanie

i symulacja procesów krzepni cia odlewów” wydanej przez PWN w roku 1993.

Zawiera ona szereg informacji na temat budowy algorytmów symulacyjnych.

Zawarty w skrypcie materiał ma pomóc studentom w opanowaniu przedmiotu

„krzepni cie i zasilanie odlewów”.

2. MATEMATYCZNY OPIS KRZEPNI CIA I STYGNI CIA

METALU W FORMIE

2.1. Opis procesu

Rozwa any system rzeczywisty obejmuje krzepn cy odlew wraz z form odlewnicz ,

otoczeniem i innymi oddziaływaniami zewn trznymi. Obserwowany proces rozpoczyna si od

wprowadzenia ciekłego metalu do kanałów układu wlewowego i wypełniania wn ki formy.

Zwi zane jest to z kontaktem ciekłego metalu z atmosfer , a nast pnie ciankami formy.

Podczas wypełniania wn ki formy nast puje wymiana ciepła pomi dzy powierzchni metalu a

ciankami formy (promieniowanie, przewodzenie), co w praktyce mo e prowadzi do sp kania

formy, a nast pnie powstania wad powierzchni odlewu. W tej fazie procesu du e znaczenie

maj warunki hydrodynamiczne. Zale one od samego metalu (jego lepko ci), a tak e od

układu wlewowego (pr dko przepływu, opory). W tym czasie w obj to ci odlewu i formy

generuje si pseudopocz tkowe pole temperatury, które ma istotne znaczenie dla wypełnienia

wn ki formy (mog powstawa np. niedolewy), a tak e dalszego stygni cia i krzepni cia

odlewu.

Po całkowitym wypełnieniu wn ki formy zanika konwekcja wymuszona w ciekłym

metalu, a układ stygnie nadal, odprowadzaj c do otoczenia ciepło - w tym wypadku ciepło

(entalpi ) przegrzania i utajone ciepło krystalizacji. W ciekłej cz ci odlewu nadal wyst puje

konwekcja (naturalna), spowodowana przez znaczne zazwyczaj na tym etapie krzepni cia

gradienty temperatury. Decyduj c rol zaczyna odgrywa krzepni cie odlewu, którego

przebieg zale ny jest od składu chemicznego stopu i intensywno ci przejmowania ciepła przez

form . Zmienia si geometria zakrzepłej cz ci odlewu i podobszaru cieczy oraz pole

temperatury, a w wyniku procesów segregacji pole st e składników stopu. Generuje si tak e

w krzepn cym odlewie pole napr e (cieplnych, fazowych i skurczowych). Krzepni cie

polega wi c na przechodzeniu odlewu ze stanu ciekłego w stan stały z odprowadzeniem ciepła

krystalizacji i entalpii przegrzania. Granica mi dzy podobszarami cieczy i ciała stałego

sprowadza si do jednej lub dwóch powierzchni. W tym drugim przypadku proces krzepni cia

zachodzi w strefie dwufazowej, czyli w obszarze zawartym mi dzy izotermami granicznymi

likwidusu i solidusu.

Krzepni ciu odlewu towarzyszy proces krystalizacji, czyli tworzenia si struktury

pierwotnej odlewu. Polega on na powstawaniu zarodków krystalizacji, ich wzro cie,

towarzysz cej temu segregacji, powstawaniu defektów struktury itd. Decyduj cym parametrem

jest tutaj stopie przechłodzenia ciekłego metalu, b d cy sil p dn procesu krystalizacji. W

wyniku przedstawionych tu procesów powstaje odlew o okre lonej strukturze, a ponadto w

wyniku skurczu metalu generuj si jamy skurczowe, mikro- i makrorzadzizny, powstaj te

p cherze gazowe i wtr cenia niemetaliczne.

Po całkowitym zakrzepni ciu odlewu stygnie on jeszcze przez pewien czas w formie.

Towarzysz temu przemiany fazowe w stanie stałym, powoduj ce dalsze przekształcenie

struktury odlewu.

Pewne specyficzne zjawiska zwi zane z procesem przepływu ciepła w układzie odlewu i

formy wi

si z kolei z ró nicami mi dzy ró nymi technologiami odlewania. I tak w

przypadku krzepni cia odlewu w kokili mi dzy odlewem i form generuje si szczelina

gazowa, istotnie zmieniaj ca warunki przepływu ciepła na zewn trznej powierzchni odlewu, a

np. analizuj c proces odlewania od rodkowego czy te odlewania w polu magnetycznym,

nale y uwzgl dni działanie zewn trznego pola sił.

Najbardziej istotnym procesem determinuj cym proces formowania odlewu jest transport

ciepła. Jak powszechnie wiadomo, istniej trzy podstawowe rodzaje przepływu ciepła:

przewodzenie, konwekcja, i promieniowanie. W zadaniach termodynamiki procesów

odlewniczych najcz ciej mamy do czynienia ze zło onym przepływem energii (np.

przewodzenie i konwekcja w ciekłej cz ci odlewu, promieniowanie i konwekcja na

zewn trznych powierzchniach odlewu i formy itd.).

Transportowi ciepła w obszarze krzepn cego i stygn cego metalu towarzysz procesy

transportu masy. Zjawiska zwi zane z ruchem masy (dyfuzja) odgrywaj istotn rol

w kształtowaniu wła ciwo ci u ytkowych odlewu. Tak wi c bardziej precyzyjne modele

matematyczne, opisuj ce krzepniecie metalu, dotycz nie tylko procesów cieplnych, ale

równie dyfuzji masy i wzajemnych sprz e mi dzy tymi zjawiskami.

Kolejnym elementem, towarzysz cym procesowi krzepni cia i stygni cia, s zjawiska

skurczowe. Skurcz odlewniczy powoduje zmian wymiarów liniowych odlewu w stosunku do

odpowiednich wymiarów modelu, według którego wykonano form . Skurcz ten mo e by

swobodny lub hamowany wskutek oporów formy oraz nierównomiernego stygni cia odlewu.

Nale y tak e odró ni skurcz zwi zany ze stygni ciem ciekłego metalu, skurcz przy krzepni ciu

oraz skurcz w stanie stałym. Ka dy odlew krzepnie i stygnie w formie o pewnych

wła ciwo ciach mechanicznych. Wpływa to na zmiany wymiarowe odlewu spowodowane

skurczem odlewniczym.

Wa nym elementem rozpatrywanego procesu s te napr enia powstaj ce w czasie

stygni cia odlewu, a b d ce wypadkowymi napr e cieplnych, fazowych i skurczowych.

Napr enia cieplne wynikaj z ró nic szybko ci stygni cia poszczególnych cz ci odlewu.

Napr enia fazowe wynikaj ze zmian obj to ci podczas przemian fazowych, a przykładem mo e

by grafityzacja eliwa lub przemiana elaza w elazo a. Wreszcie napr enia skurczowe

wynikaj ze wspomnianego mechanicznego hamowania skurczu wskutek oporu cz ci formy

odlewniczej. Je eli wygenerowane w ten sposób napr enia przekrocz w którym miejscu

odlewu wytrzymało stopu, wówczas prowadzi to do powstania rys i p kni , obni aj cych

warto u ytkow wytworu.

In ynier projektuj cy okre lon technologi wytwarzania odlewu dysponuje pewnymi

mo liwo ciami ingerencji w przebieg procesu krzepni cia i stygni cia odlewu - mi dzy innymi

przez wła ciwe zaprojektowanie naddatków technologicznych, ochładzalników wewn trznych i

zewn trznych, rozmieszczenie i wielko nadlewów, przyj cie optymalnej temperatury

zalewania i składu chemicznego stopu i wreszcie przez odpowiedni dobór masy formierskiej.

Proces projektowania technologii wytwarzania odlewu mo e by istotnie rozszerzony,

unowocze niony i ulepszony poprzez wykorzystanie mo liwo ci, jakie stwarza

wprowadzenie metod numerycznych do oblicze krzepni cia i stygni cia metalu w formie.

2.2. Podstawy matematyczne opisu krzepni cia i stygni cia

Pierwszym etapem prac zwi zanych z przybli onymi (lub dokładnymi) obliczeniami

przebiegu krzepni cia metalu w formie jest przyj cie okre lonego opisu matematycznego tego

procesu. Baz takiego opisu s równania ró niczkowe zwyczajne lub cz stkowe uzupełnione

odpowiednimi warunkami jednoznaczno ci. Tak wi c problemy wymiany ciepła i masy w

niejednorodnym układzie odlew—forma traktujemy jako zadania brzegowe-pocz tkowe z

ruchomymi granicami. Rozró nia przy tym b dziemy dwa podstawowe modele, a

mianowicie:

krzepni cie metalu w stałej temperaturze,

krzepni cie metalu w interwale temperatury,

przy czym problemy zwi zane z opisem matematycznym krzepni cia i stygni cia

przedstawimy do szczegółowo.

2.2.1. Równanie energii

W niniejszym podrozdziale wyprowadzimy fundamentalne w dziedzinie przepływu ciepla

równanie ró niczkowe nazywane równaniem energii, równaniem przewodnictwa, równaniem

dyfuzji czy te równaniem Fouriera-Kirchhoffa. Równanie to opisuje niestacjonarne lub

stacjonarne pola temperatury w pewnym obszarze , w którym ciepło przenoszone jest przez

przewodzenie (lub w bardziej ogólnym przypadku równie poprzez konwekcj ). Aby opis

matematyczny przepływu ciepła w obszarze był pełny, równanie energii nale y uzupełni tzw.

warunkami jednoznaczno ci (warunki brzegowe, pocz tkowe, geometryczne i fizyczne),

problemy te omówimy w dalszej cz ci rozdziału 2.

Nale y jeszcze podkre li , e równania ró niczkowe opisuj ce procesy dyfuzyjne (np. ruch

masy) s bardzo podobne do równania energii - podobne s równie sposoby ich

wyprowadzania.

Czy studiowanie szczegółowych rozwa a zwi zanych z dochodzeniem do ostatecznej

postaci równania energii jest dla Czytelnika tej ksi ki niezb dne? Otó wydaje si , e tak. Od

strony fizycznej wszystkie składniki tego równania zarówno dla bez ródłowych pól temperatury

(np. obszar formy odlewniczej), jak i dla pól ródłowych (np. obszar krzepn cego metalu) daj

si łatwo interpretowa , równanie energii jest niczym innym jak ró niczkow postaci bilansu

energii (I zasady termodynamiki), natomiast etapy po rednie sprowadzaj si do bilansowania

odpowiednio wybranych elementarnych obj to ci wyró nionych w i stanowi prawie gotowe

wzory do oblicze numerycznych z wykorzystaniem tzw. metody bilansów elementarnych.

Aby ułatwi Czytelnikowi ledzenie wywodów, b d cych przedmiotem niniejszego

rozdziału, przypomnimy podstawowe prawa dotycz ce przewodzenia ciepła.

Prawo Fouriera. Przewodzenie ciepła jest jednym z trzech sposobów jego transportu

(obok konwekcji i promieniowania). Polega ono na przekazywaniu energii przez drobiny lub

atomy bezpo rednio stykaj ce si ze sob . Przewodzenie ciepła wyst puje w ciałach stałych, a

równie w cieczach i gazach, z tym, e dla cieczy i gazów ł czy si ono z innymi sposobami

transportu ciepła. Podstawowym prawem opisuj cym proces przewodzenia ciepła w obszarze

jest prawo Fouriera

q(X, t) = - gradT(X, t).

(2.1)

Chwilowy lokalny strumie ciepła q (W/m

) jest proporcjonalny do lokalnego gradientu

temperatury w punkcie

Ω

∈

i w chwili t. Współczynnik proporcjonalno ci (W/mK)

nazywa si współczynnikiem przewodzenia ciepła (przewodno ci ciepln ) i zmienia si on

w bardzo szerokich granicach. I tak dla metali =30-50 (staliwo, eliwo), =300-400 (mied ,

srebro). Dla typowych mas formierskich =0,6-2,5, dla gazów jest wielko ci rz du 10

-2

Współczynnik przewodzenia ciepła jest z reguły funkcj temperatury, chocia fakt ten

cz sto pomijamy, bior c warto ci rednie w okre lonym interwale, natomiast dla ciał

anizotropowych przewodno cieplna jest tensorem (jest ró na w ró nych kierunkach). Teorie

przewodzenia ciepła dla przypadku ciał anizotropowych mo na znale w literaturze, natomiast

dla naszych potrzeb podej cie takie nie jest potrzebne m.in. z tej oczywistej przyczyny, e

w literaturze brak jest danych liczbowych umo liwiaj cych obliczenia krzepni cia i stygni cia

metali traktowanych jako ciała anizotropowe.

Gradient temperatury (K/m) w punkcie

Ω

∈

jest wektorem skierowanym normalnie

(prostopadle) do powierzchni izotermicznej, jak na rys. 2.1. Długo gradientu (moduł) jest

tym wi ksza im wi ksza (bardziej stroma) jest zmiana temperatury w otoczeniu punktu X.

> T

Rys. 2.1. Gradient temperatury i strumie ciepła

Gradient ma zwrot od temperatury ni szej do wy szej. Poniewa ciepło samoistnie płynie od

temperatury wy szej do ni szej, wi c znak ,,minus" w równaniu (2.1) jest oczywisty.

Strumie ciepła okre lony wzorem (2.1) jest wielko ci wektorow . Je eli obszar

zorientowano w układzie współrz dnych prostok tnych X={x, y, z}, to gradient temperatury

T=T(x, y, z) w chwili t

i w punkcie P

(;r

, y

, z

) jest wektorem o składowych

a strumie ciepła wektorem

∂

−

∂

−

∂

−

∂

••Przykład. Załó my, e w obszarze płaskim 0 x l stacjonarne pole temperatury T= T (x, y)

opisuje równanie T=100x

+200)'

+10x+5)'+30. Współczynnik przewodzenia jest stały

i wynosi 20 (W/mK). Obliczy gradient temperatury i strumie ciepła w rodku płyty. Mamy

T/ x=200x+10, T/ y=400y+5, czyli ( T/ x)

= 110, (dT/dy)

=205, a wi c grad T= [l10,

205], q=[-2200, -4100], natomiast |q|=4653 (W/m

) jest wielko ci strumienia przewodzonego

w tym punkcie.

Sposób obliczania gradientu temperatury w innych ni prostok tny układach współ-

rz dnych zostanie omówiony w dalszej cz ci niniejszego rozdziału.

W opisie matematycznym procesów wymiany ciepła w układzie odlew-forma

(w szczególno ci w warunkach brzegowych) pojawia si równie poj cie strumie ciepła

normalny do brzegu obszaru (por. rys. 2.2). Wielko ta wi e si bezpo rednio ze znanym z

kursu analizy matematycznej poj ciem pochodnej kierunkowej.

Rys. 2.2. Strumie ciepła normalny do brzegu

Jako przykład wyja niaj cy poj cie pochodnej kierunkowej rozwa my dwuwymiarowe

pole temperatury. Obrazem geometrycznym tego pola jest powierzchnia okre lona i ci gła

w obszarze rozci gni ta nad tym obszarem. Je eli w wybranym punkcie P

, y

)

poprowadzimy płaszczyzn styczn do powierzchni T(x, y), to pochodne cz stkowe

), T

) s współczynnikami kierunkowymi prostych przechodz cych przez P

le cych na płaszczy nie równoległych do osi x i y odpowiednio. Pochodna kierunkowa

natomiast jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodz cej przez P

i le cej

w płaszczy nie , a przy tym tworz cej z osiami układu k ty , (lub w przestrzeni , , ).

Oznaczymy t pochodn symbolem

Rys. 2.3. Cosinusy kierunkowe wektora n

Na rysunku 2.3 pokazano dwa le ce blisko siebie punkty na powierzchni T(x, y), k ty i

oraz odległo ci x, y. Pochodna temperatury w punkcie P

w kierunku n jest granic

ilorazu ró nicowego [ró nicowego [T(x

, y

)-T(x

, y

)]/ n przy x

, y

( n 0). Iloraz

ten przekształcimy w sposób nast puj cy

cos

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

(2.2)

W granicy x

, y

otrzymujemy

)

grad

(

cos

∂

, (2.3)

gdzie n=[cos

, cos

] jest wersorem (wektorem jednostkowym) w kierunku n

(

)

gradT

iloczynem skalarnym wersora n i gradientu temperatury w punkcie

Ω

∈

Z przedstawionych wy ej rozwa a wynika, e strumie ciepła w kierunku n jest

wielko ci skalarn i wynosi

)

(

grad

)

(

−

. (2.4)

Gdy strumie ciepła q

(X, t) jest jednakowy na całej rozpatrywanej powierzchni, której pole

wynosi F, to

∆

−

grad

(W), (2.5)

natomiast ilo ciepła, jaka przepłynie przez powierzchni F w czasie t, wynosi

∆

−

grad

(J). (2-6)

Niestacjonarne bez ródłowe przewodzenie ciepła

wyst puje w podobszarach formy

odlewniczej, w zakrzepłej cz ci odlewu (je eli pomin przemiany fazowe w stanie stałym),

w podobszarze ciekłego metalu (je eli pomin konwekcyjne mieszanie cieczy).

Ni ej rozwa a b dziemy zadanie jednowymiarowe. Pole temperatury jest funkcj dwóch

zmiennych T=T(x, t).

Rys. 2.4. Składniki bilansu energii dla elementu x.

Na rysunku 2.4 pokazano warstewk o szeroko ci x wyci t , z obszaru . Wska nikami „d”

i ,,w" wyró niono ciepło doprowadzone i odprowadzone z warstewki w czasie t.

Zgodnie z I zasad termodynamiki mo na zapisa :

∆

, (2.7)

gdzie E

jest przyrostem energii wewn trznej warstwy. Z równania (2.6) wynika, e

)

(

∆

∂

−

(2.8)

natomiast

∆

∂

−

∆

∂

−

)

(

)

(

. (2.9)

Zauwa my, e ostatnie równanie jest rozwini ciem funkcji T(x, t) w szereg Taylora w otoczeniu

punktu x wzgl dem współrz dnej przestrzennej z dokładno ci do pierwszych dwóch wyrazów

f(x+ x, t)=f(x, t)+df(x, t). Przyrost energii układu wynosi

(

) ( )

[

]

∆

−

∆

, (2.10)

gdzie c, - ciepło wła ciwe i g sto masy, V - obj to warstewki o szeroko ci x,

wyra enie w nawiasie jest zmian temperatury warstewki w czasie t. Wykorzystuj c

zale no ci (2.7) - (2.10), otrzymujemy

(

) ( )

( )

∆

∂

∆

∂

∆

−

∆

. (2.11)

Gdy t 0, to

( )

∆

∂

∆

∂

∆

∂

. (2.12)

Rozwa my trzy nast puj ce przypadki.

1. Płyta niesko czona. W tym przypadku F (por. rys. 2.4) jest stałe, natomiast

V= F

Wyró nion powierzchni

mo emy wył czy przed operator

ró niczkowania po prawej stronie równania energii i ostatecznie

( )

∂

. (2.13)

Zauwa my, e dla stałych warto ci parametrów termofizycznych c, , otrzymuje si

( )

∂

, (2.14)

gdzie a= /c jest współczynnikiem dyfuzji ciepła (współczynnikiem przewodzenia

temperatury).

2. Walec niesko czony. Dla walca niesko czonego F=2 xh, V= [(x+ x)

-x

]h,

gdzie h jest arbitralnie wyró nionym wymiarem wzdłu osi walca niesko czonego,

mamy

( )

(

)

( )

∆

∂

∆

∂

. (2.15)

Odrzucaj c x

jako wielko niesko czenie mał drugiego rz du i dziel c ostatnie

równanie przez 2 h x, otrzymujemy

( )

∂

. (2.16)

3. Powłoka kulista. Dla powłoki kulistej F=4 x

(

)

[

]

(

)

∆

−

∆

czyli

( )

(

)

( )

∆

∂

∆

∂

. (2.17)

Odrzucamy x

, dzielimy przez 4 x i ostatecznie

( )

∂

. (2.18)

Mo emy zauwa y , e równania (2.13), (2.16), (2.18) sprowadzaj si do postaci

( )

∂

(2.19)

gdzie m=0, l, 2 dotyczy odpowiednio geometrii płyty, walca i kuli. Dla stałych

parametrów c, , ostatnie równanie sprowadza si do

( )

∂

. (2.20)

Jednowymiarowe równania energii maj du e znaczenie w termodynamice procesów

odlewniczych, poniewa wiele odlewów o typowych kształtach mo na z du dokładno ci

aproksymowa bryłami typu płyta, walec, kula, przy czym fakt, e cianka odlewu nie jest

płyt niesko czon , a nadlew walcowy ma wymiary sko czone, nie ma - mimo pozorów -

du ego znaczenia. Wyniki dotycz ce np. oblicze czasu krzepni cia cianki czy te walca

sko czonego przy zało eniu ich niesko czonych wymiarów s wystarczaj co dokładne dla

potrzeb praktycznych, je eli tylko jeden z wymiarów ró ni si istotnie od pozostałych (np.

grubo płyty jest cztero - pi ciokrotnie mniejsza od szeroko ci i wysoko ci). Mo na w tym

miejscu odwoła si równie do znanych modeli Stefana i Schwarza, które dotycz

półprzestrzeni, a pewne wnioski wynikaj ce z rozwi za tych zada maj istotne znaczenie

dla praktyki.

2.2.2. Pochodna materialna

Załó my, e dla warstwy

przez któr ciepło jest przewodzone (zadanie 1D), dopływa

z pr dko ci =[u, 0,0] strumie materiału, którym wypełniony jest obszar (np. ciekły

metal - por. rys. 2.5).

Rys. 2.5. Składniki bilansu energii dla warstwy x

Do układu dopływa wi c dodatkowo strumie entalpii w ilo ci

= c uT(x, t) F t

(2.21)

Ciepło odprowadzone ze strumieniem czynnika wynosi

= c uT(x, t) F t + x t

(2.22)

Z warunku ci gło ci przepływu u F=idem, czyli

= c uT(x, t) F t + x t.

(2.23)

Uzupełniaj c lew i praw stron bilansu (2.7) składnikami kondukcyjnymi i bior c t O

otrzymujemy

( )

∆

∂

∆

∂

∆

∂

∆

∂

. (2.24)

Post puj c analogicznie jak poprzednio, dochodzimy do nast puj cych równa :

- dla płyty

( )

∂

(2.25)

- dla walca

( )

∂

(2.26)

- dla kuli

( )

∂

. (2.27)

Wyst puj ce w ostatnich trzech równaniach wyra enie T

nazywa si pochodn

materialn

i najcz ciej oznaczane jest symbolem DT(X ,t)/Dt. Mo na stosunkowo prosto

pokaza , e w ogólnym przypadku

( )

grad

∂

. (2.28)

I tak w układzie współrz dnych prostok tnych X={x, y, z], je li =[u

, u

]

( )

∂

. (2.29)

Jak wspomniano poprzednio, równania typu (2.25), (2.26), (2.27) opisuj procesy przepływu

ciepła w ciekłym metalu (ciekłym j drze krzepn cego odlewu, wlewka lub wlewka ci głego).

Z punktu widzenia zastosowania metod numerycznych (numerycznych analogonów równa

ró niczkowych) nie ma istotnych trudno ci z ich przybli onym rozwi zywaniem. Pojawia si

tu jednak pewien dodatkowy problem, a mianowicie wyznaczenie pola pr dko ci w ciekłej

cz ci odlewu. Wchodzimy tu na grunt równali hydrodynamiki (równania Naviera—Stokesa,

równania ci gło ci, odpowiednich warunków brzegowo—pocz tkowych). Zagadnienia te

wykraczaj zdecydowanie poza ramy problematyki, nad któr zamierzamy si skoncentrowa

i przedstawi Czytelnikowi w miar przyst pnej i zrozumiałej formie.

Istnieje szereg problemów in ynierskich, gdzie rozwi zanie sprz onego modelu

opisanego równaniami energii i hydromechaniki ma znaczenie fundamentalne (np. analiza

procesów cieplnych i hydraulicznych w maszynach przepływowych). W termodynamice

procesów odlewniczych (pomijaj c pewne wysoko zaawansowane badania podstawowe), a w

szczególno ci przy obliczeniach krzepni cia i stygni cia odlewów, zagadnienie to nie jest

najwa niejsze, mo na zreszt poda kilka znanych z literatury sposobów omini cia trudno ci

z rozwi zywaniem modelu sprz onego.

Jedn z takich mo liwo ci jest przyj cie w równaniu przewodnictwa dla obszaru

ciekłego metalu tzw. efektywnego współczynnika przewodzenia ciepła. W literaturze dominuje

pogl d, e współczynnik zast pczy

»7

, gdzie

jest przewodno ci ciepln ciekłego

metalu. Czy taki współczynnik obowi zuje dla całego podobszaru ciekłego metalu?

Intuicyjnie wydaje si , e nie. W obj to ci masywnych odlewów (wlewków lub wlewków

ci głych) mo na z pewno ci wyró ni podobszary silnego i słabego mieszania cieczy.

Uzupełnienie opisu matematycznego dodatkowym równaniem energii dla podobszaru

wyró nionego w ciekłym j drze nie komplikuje istotnie algorytmu symulacji numerycznej,

problemem jest natomiast okre lenie kształtu i wymiarów obszaru intensywnego mieszania.

Problem oblicze cieplnych procesu ci głego odlewania stali - COS (i innych metali)

tym si ró ni od modelowania innych technologii odlewniczych, e w opisie matematycznym

COS nie mo na pomin pochodnej materialnej. Pole pr dko ci , je eli nawet pomin

konwekcj , istnieje realnie i wynika z przemieszczania si wlewka przez urz dzenie do

ci głego odlewania. Jest to jednak pole jednoznacznie okre lone przez parametry

technologiczne procesu. Problemom modelowania procesu odlewania ci głego po wi cimy

osobny podrozdział.

Wyja nienia wymaga wreszcie sprawa oblicze cieplnych dotycz cych przepływu

ciekłego metalu w kanałach doprowadzaj cych metal do formy (wlew główny, wlewy

rozprowadzaj ce, wlewy doprowadzaj ce). S to problemy, które w zasadzie opisuje si w

sposób prostszy bez potrzeby wprowadzania do rozwa a równa fizyki matematycznej.

Sposoby oblicze in ynierskich dla zada typu ,,przepływ czynnika w kanale", nawet je eli w

czasie przepływu narasta (zgodnie z pewnym prawem) warstwa zakrzepła przy ciance

kanału, s elementarne, i informacje zawarte w dost pnych podr cznikach w pełni wystarcz

do samodzielnych oblicze układów wlewowych.

2.2.3. Niestacjonarne ródłowe pole temperatury

Je eli w obszarze , w którym zachodzi proces przepływu ciepła, wyst puj punktowe,

liniowe, powierzchniowe lub obj to ciowe ródła ciepła (dodatnie lub ujemne), to pole

temperatury w tym obszarze nazywa si polem ródłowym. Typowym przykładem obszaru

ródłowego mo e by pr t paliwowy reaktora j drowego lub - aby nie szuka tak daleko —

przewodnik przez, który płynie pr d. W termodynamice procesów odlewniczych równania dla

pól ródłowych s jedn z cech charakterystycznych opisu matematycznego, przy czym

rozwa a si ródła obj to ciowe (w przypadku metali krzepn cych w interwale temperatury)

lub ródła powierzchniowe (dla czystych metali lub stopów krzepn cych w stałej

temperaturze). W obu przypadkach obecno ródeł wi e si z wydzielaniem utajonego

ciepła krzepni cia.

W zale no ci od potrzeb ciepło utajone b dziemy odnosi do jednostki masy L (J/kg) lub

obj to ci L

(J/m

Ni ej b dziemy zajmowa si ródłami obj to ciowymi q

problem ródeł powierz-

chniowych zostanie przedstawiony w podrozdziale po wi conym zagadnieniu Stefana.

Wrócimy znowu do jednowymiarowego problemu przewodzenia ciepła, tzn. bilansu

energii dla warstewki o szeroko ci

Ciepło doprowadzone i odprowadzone od warstewki

opisuj jak poprzednio zale no ci (2.8) i (2.9). Zmiana energii wewn trznej układu jest sum

spadku entalpii zwi zanego ze stygni ciem materiału i ciepła wynikaj cego z działania ródeł

wewn trznych, czyli

(

) ( )

[

]

∆

−

∆

−

∆

(2.30)

Znak plus lub minus przy składniku q

V t

(J) jest spraw do pewnego stopnia umown .

Tutaj zało ono, e rozpatrujemy wydzielanie si ciepła utajonego przy przej ciu od stanu

ciekłego do stanu stałego. Pierwszy składnik, tzn. c

T V (J),

jest przy stygni ciu ujemny.

Poniewa z warstewki nale y odprowadzi ciepło, zwi zane zarówno ze stygni ciem jak i

krzepni ciem metalu, wi c oba składniki musz si sumowa (by tego samego znaku).

Bilans energii w postaci

(

) ( )

( )

∆

∂

∆

∂

∆

−

∆

, (2.31)

przy t 0 oraz odpowiednio (jak na rys. 2.4) przyj tych V i F prowadzi do równania

ró niczkowego

( )

∂

. (2.32)

Problemy teorii cieplnej procesów odlewniczych ró ni si od typowych zada dotycz cych

ródłowych pól temperatury przede wszystkim zasadniczym dla teorii i praktyki

obliczeniowej faktem przemieszczania si ródeł (powierzchniowych lub obj to ciowych)

wraz z upływem czasu. Wchodzimy zatem w zakres zada brzegowo—pocz tkowych o

ruchomych granicach (moving boundary problems), które s niestety du o trudniejsze od

zada klasycznych. Nie nale y wi c si dziwi , e pierwsze efektywne rozwi zanie

analityczne problemu krzepni cia uzyskano dopiero pod koniec XIX wieku, rozwi zania

numeryczne w latach pi dziesi tych (Eyres, Schniewind), a np. prace dotycz ce

wykorzystania metody brzegowych równa całkowych do symulacji krzepni cia pojawiły si

w latach osiemdziesi tych.

Jak wspomniano wy ej, w tym miejscu zajmujemy si obj to ciowymi ródłami ciepła, a

wi c problemami opisu krzepni cia metalu, którego stan ciekły odpowiada temperaturom T>

stan stały temperaturom T< T

. W przedziale {T

,, T

}

odpowiadaj cym strefie

dwufazowej zachodzi proces krzepni cia i wydziela si utajone ciepło krystalizacji.

2.2.4. Równanie energii dla strefy dwufazowej

W niektórych pracach (kierujemy tu Czytelnika do publikacji W. Longi i zespołu

z Wydziału Odlewnictwa AGH) rozwa a si równanie energii w postaci (2.32). Składnik q,

nazywany jest funkcj ródła i wła ciwy jej dobór decyduje o poprawnym i zgodnym z

rzeczywistym przebiegiem procesu rozwi zaniem zagadnienia krzepni cia okre lonego

odlewu. Wprowadzenie do rozwa a tej funkcji pozwala równie analizowa procesy cieplne

i dyfuzyjne na poziomie mikroskopowym (krystalizacja), co ma istotne znaczenie w

niektórych badaniach podstawowych i stosowanych.

Autorzy proponuj nieco inne podej cie, które wydaje si nam bardziej dogodne (w

sensie konstrukcji algorytmów i procedur numerycznych dla typowych zada zwi zanych z

projektowaniem technologii odlewniczych) i które prowadzi do pojawienia si w równaniu

energii nowego parametru termofizycznego nazywanego zast pcz pojemno ci ciepln strefy

dwufazowej.

Załó my, e w warstewce x, której obj to wynosi V (rys. 2.6) zakrzepła w czasie t

obj to metalu, któr oznaczymy V

Ilo ciepła, które wydzieliło si na skutek tego procesu wynosi L V

. Tak wi c bilans

energii, w którym

(

) ( )

[

]

∆

−

∆

−

∆

prowadzi do nast puj cego równania

(

) ( )

( )

∆

∂

∆

∂

∆

−

∆

. (2.33)

Dzielimy ostatnie równanie przez V i oznaczamy V

/ V=S, czyli S jest udziałem

obj to ciowym ciała stałego w warstewce x strefy dwufazowej. Z definicji udziału

obj to ciowego fazy stałej w otoczeniu pewnego punktu z obszaru strefy dwufazowej wynika

natychmiast, e dla T= T

udział ten wynosi 0, za dla T= T

udział fazy stałej wynosi l. W

interwale temperatur krzepni cia funkcja S zmienia si w pewien sposób od warto ci S=0 do

S=1.

Rys. 2.6. Schemat strefy dwufazowej

Po wykorzystaniu wzorów okre laj cych V i F dla rozwa anych geometrii otrzymujemy

przy t 0

( )

∂

. (2.34)

Intuicyjnie jest rzecz oczywista, e S musi by funkcj temperatury: S=f(T). Poniewa

( )

( ) ( )

∂

(2.35)

wi c

( )

∂

−

. (2.36)

Parametr C=c—L dS/dT (]/kg-K) nazywa si zast pcz pojemno ci ciepln strefy

dwufazowej. Natomiast równanie (2.36) mo na zapisa w postaci

( )

∂

( )

∂

(2.37)

Formalnie rzecz bior c, ostatnie równanie jest bez ródłowe — ródła zostały uwzgl dnione w

zast pczej pojemno ci cieplnej. Przedstawione wy ej rozwa ania mo na jeszcze u ci li ,

je eli odró nimy redni g sto strefy dwufazowej od g sto ci

krzepn cego metalu,

wówczas

( )

∂

−

, (2.38)

przy czym wielko w nawiasie jest pojemno ci zast pcz odniesion do jednostki obj to ci.

2.2.5. Dobór zast pczej pojemno ci cieplnej

W podrozdziale niniejszym przedstawimy kilka hipotez dotycz cych funkcji opisuj cych

zast pcz pojemno ciepln strefy dwufazowej. Autorzy ksi ki nie s w stanie w sposób

jednoznaczny odpowiedzie na pytanie, które z opisanych w literaturze zale no ci s lepsze, a

które gorsze. W wielu wykonanych przez nasz zespół pracach testowali my ró ne hipotezy

(szczególnie dla staliwa) i mo emy stwierdzi , e wyniki oblicze numerycznych nie ró ni

si istotnie mi dzy sob .

1°. O funkcji S(T) wiadomo z cał pewno ci , e S(T

)=0 oraz S(T

)=1. Załó my, e na

odcinku (T

, T

) udział obj to ciowy ciała stałego w strefie dwufazowej zmienia si liniowo

od l do 0:

( )

−

Poniewa dS/dT=-1/(T

-T

wi c

−

. (2.39)

Jak wida , przyj cie zało enia (2.38) prowadzi do stałej warto ci pojemno ci zast pczej.

Składnik L/(T

- T

)

bywa nazywany spektralnym ciepłem krzepni cia (Wiejnik, Longa).

Je eli np. dla okre lonego gatunku staliwa c =735 J/kgK (warto rednia ciepła wła ciwego

cieczy i ciepła wła ciwego ciała stałego), T

= 1505

C, T

= 1470°C, L=270000 J/kg, to

C=8450 J/kgK i jest o rz d wy sze ni ciepło wła ciwe pozostałych obszarów odlewu (rys.

2.7). Skokowe zmiany pojemno ci cieplnej w pobli u izoterm granicznych mog stanowi

istotny problem w przypadku podejmowania prób znalezienia rozwi za analitycznych,

natomiast z punktu widzenia praktyki metod numerycznych takie nieci gło ci nie maj

wi kszego znaczenia.

2°. Załó my, e zast pcza pojemno cieplna zmienia si liniowo z temperatur (por. rys.

2.8), czyli

(

)

−

max

, (2.40)

gdzie c

,—

ciepło wła ciwe solidusu, c

max

— jak na rysunku 2.8. Ciepło oddane przy

krzepni ciu i stygni ciu jednostki masy strefy dwufazowej:

CdT

, (2.41)

a z drugiej strony to samo ciepło wynosi c(T

- T

)+L.

Porównuj c

ze sob zdefiniowane w

ten sposób efekty cieplne, otrzymujemy

(

)

(

)

−

max

, (2.42)

czyli parametr c

max

mo na obliczy z równania

(

)(

) (

)

−

max

. (2.43)

••

Przykład. Je eli c

=650, c

=735, T

= 1505, T

= 1470, L=270000, to c

max

16250, natomiast

c=650+445,67(T-1470). Mo na sprawdzi , e rednia całkowa pojemno zast pcza (w

przypadku funkcji liniowej równa zreszt redniej arytmetycznej) wynosi 8450 i jest

dokładnie taka sama jak pojemno obliczona na podstawie hipotezy 1° według równania

2.39.

Rys. 2.7. Rozkład C(T) dla hipotezy 1°

Rys. 2.8. Rozkład C(T) dla hipotezy 2"

Wzór (2.40), jak sprawdzili my, daje dobre wyniki przy symulacji krzepni cia staliwa,

a bior c pod uwag nasze ostatnie do wiadczenia z identyfikacja pojemno ci zast pczej

niektórych stopów metali nie elaznych, radzimy ograniczy jego zastosowanie do oblicze

krzepni cia odlewów wlewków staliwnych.

3°. Załó my, e zast pcz pojemno ciepln opiszemy parabol stopnia p (rys. 2.9)

(

)

−

. (2.44)

Zauwa my, e podobnie jak poprzednio, dla T=T

jest C=c

Z warunku

(

)

[

]

(

)

−

(2.45)

otrzymujemy

(

)

(

)

(

)

−

, (2.46)

gdzie c

jest spektralnym ciepłem krzepni cia (porównaj 1°) i ostatecznie

(

)

(

)

−

. (2.47)

••Przykład. Dla c

=650, c

=735, T

=1505, T

=1470, L=270000 (dane identyczne jak w

poprzednim przykładzie), mamy:

(

)

−

1470

7800

650

Pozostaje do wyja nienia problem warto ci liczbowej parametru p.

Rys. 2.9. Rozkład C(T) dla hipotezy 3°

Wyniki bada , polegaj cych na porównaniu krzywych stygni cia zmierzonych w

wybranych punktach staliwnego odlewu z wynikami symulacji numerycznej procesu

krzepni cia identycznego obiektu, wskazuj najlepsz zgodno wielko ci mierzonych i

obliczonych dla p =5 - 7.

Podkre lamy: wyniki te uzyskano dla staliwa w glowego i nie ma podstaw, aby

przenosi je na inne materiały.

Obliczymy jeszcze redni całkow pojemno ciepln , jaka wynika z przyj tej

hipotezy

−

CdT

. (2.48)

Podstawiaj c (T-T

)/(T

-T

)=q,

mamy dT=(T

-T

)dq

, wi c

(

)

(

)

[

]

CdT

−

(2.49)

czyli otrzymujemy dokładnie tak pojemno zast pcz , jak to wynika z hipotezy 1°.

Jak wiadomo, operowanie w obliczeniach cieplnych rednimi całkowymi parametrów

termofizycznych daje wyniki dokładne; dodatkowo tak zdefiniowane współczynniki

linearyzuj wzory, które nale y stosowa . Zgodno rednich pojemno ci zast pczych

w hipotezach 1°, 2°, 3° jest powodem, e obliczenia numeryczne nie s istotnie czułe na

przyj t hipotez . Czy wi c hipoteza l° jako najprostsza jest najlepsza? Niezupełnie.

Gwałtowne skoki pojemno ci cieplnej w pobli u izoterm granicznych powoduj okre lone

komplikacje algorytmu numerycznego. W hipotezie 1° musimy uwzgl dni dwie takie

nieci gło ci, natomiast w przypadkach 2° i 3° mamy do czynienia tylko z nieci gło ci w

pobli u izotermy T

2.2.6. Przestrzenne ródłowe i bez ródłowe pola temperatury

W podrozdziałach 2.2.l i 2.2.3 wyprowadzili my równania energii dla jedno-

wymiarowych (płyta, walec, kula) ródłowych i bez ródłowych pól temperatury.

Ni ej podamy bardziej ogóln posta tych równa , w szczególno ci ich rozszerzenie na

zadania dwu- i trójwymiarowe (2D i 3D). Korzysta b dziemy z twierdzenia dotycz cego

zamiany całki powierzchniowej skierowanej na całk obj to ciow . Zale no ta nazywana

twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego jest nast puj ca:

( )

Ω

div

, (2.50)

gdzie N(X)=[P(X), Q(X), R(X)] jest polem wektorowym, d =[ds·cos , ds·cos , ds·cos ]

wektorem normalnym do powierzchni w punkcie X€ skierowanym na zewn trz, div(·) -

operatorem dywergencji. W układzie prostok tnym X={x, y, z]

( )

∂

div

. (2.51)

••Przykład. Obliczy

gdzie N = [x, y, z], natomiast jest zewn trzn powierzchni

sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1. Mamy:

(

Q(X)=y, R(X)=z, P

= Q

, R

=1,

czyli

Ω

3dV

Rozwa a b dziemy obszar ograniczony brzegiem - rys. 2.10. Ciepło oddane do

otoczenia (lub innego obszaru) przez element powierzchni s wynosi

( )

∆

−

∆

grad

, (2.52)

natomiast całe ciepło oddane przez powierzchni

( )

[

]

Ω

∆

−

∆

−

grad

div

grad

. (2.53)

Jak wida , wykorzystali my w tym miejscu twierdzenie Gaussa—Ostrogradskiego.

Rys. 2.10. Obszar ciała stałego ograniczony powierzchni

Zmiana energii w elementarnej obj to ci V, w której wydziela si ciepło q

(W/m

), jest

sum spadku entalpii zwi zanej ze stygni ciem i „działaniem" ródeł

(

) ( )

[

]

∆

−

∆

−

∆

. (2.54)

Zmian energii wewn trznej obszaru obliczamy, całkuj c (2.54) po całej obj to ci

(

) ( )

[

]

{

}

Ω

∆

−

∆

. (2.55)

Z bilansu energii otrzymujemy

(

) ( )

( )

[

]

grad

div

−

∆

−

∆

Ω

, (2.56)

sk d w granicy przy t 0

Ω

∈

( )

[

]

∂

grad

div

. (2.57)

Ostatnie równanie opisuje ródłowe pola temperatury w obszarze przestrzennym,

izobarycznym, w którym ciepło przenoszone jest tylko przez przewodzenie. Je eli natomiast

ci nienie p

w obszarze jest funkcj współrz dnych i czasu oraz mamy do czynienia

równie z przepływem materii, to

Ω

∈

( )

[

]

( )

grad

div

grad

∂

(2.58)

Jest to jedno z najbardziej ogólnych praw termokinetyki (równanie Fouriera-Kirchhoffa).

Równanie energii dla strefy przej ciowej. W bilansie energii składnik Q

przekształcamy nast puj co

(

) ( )

[

]

(

) ( )

[

]

( )

[

]

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

−

∆

(2.59)

sk d

( )

grad

div

−

∆

−

∆

Ω

. (2.60)

W ostatnim równaniu, podobnie jak w podrozdziale 2.2.4, wykorzystano I zasad

termodynamiki, składnikami bilansu s : ciepło oddane przez powierzchni oraz zmiana

entalpii zwi zana z krzepni ciem i stygni ciem. Po przyrównaniu do zera funkcji

podcałkowej przy t 0

( )

[

]

( )

∂

grad

div

, (2.61)

co jak wiadomo z podrozdziałów poprzednich, mo na zapisa w postaci

( )

[

]

grad

div

∂

−

. (2.62)

Gradient i dywergencja w typowych układach współrz dnych.

l. Układ współrz dnych prostok tnych X={x, y, z} (rys. 2.11)

grad

∂

gdzie e

, e

— ortonormalna baza wektorów jednostkowych.

∂

div

Dla stałej warto ci :

(

)

∂

grad

div

Dla zmiennej warto ci :

(

)

∂

grad

div

2. Układ współrz dnych walcowych X={ , , z} — rys. 2.11.

grad

∂

( )

∂

div

Dla stałej warto ci

(

)

∂

grad

div

Dla zmiennej warto ci :

(

)

∂

grad

div

3. Układ współrz dnych sferycznych X={ , , } — rys. 2.11.

sin

grad

∂

( )

(

)

∂

sin

div

Dla stałej warto ci

(

)

∂

sin

grad

div

Dla zmiennej warto ci

(

)

∂

sin

grad

div

Rys. 2.11. Typowe układy współrz dnych

Zebrane wy ej wzory b d wykorzystywane przy konstrukcji algorytmów numerycznych

przybli onego rozwi zywania zada brzegowo-pocz tkowych dla obszarów zorientowanych

w ró nych układach współrz dnych.

2.2.7. Warunki brzegowe—pocz tkowe

Jak ju wspomniano, pełny opis matematyczny przepływu ciepła w obszarze wymaga

uzupełnienia równania energii (lub układu tych równa ) tak zwanymi warunkami jedno-

znaczno ci.

1. Warunki geometryczne. Przez pojecie to rozumiemy geometri rozpatrywanego obiektu,

podział obszaru niejednorodnego na podobszary, podział brzegu obszaru na elementy, którym

przyporz dkowuje si okre lone warunki brzegowe, orientacj obiektu w odpowiednim

układzie współrz dnych.

2. Warunki fizyczne. Warunki fizyczne w zagadnieniach przepływu ciepła to zbiór

parametrów termofizycznych podobszarów (c, , ), które mog by stałe lub by funkcjami

temperatury, jak równie zast pcza pojemno cieplna strefy dwufazowej, temperatury

graniczne itp.

3. Warunki pocz tkowe. Warunki pocz tkowe opisuj pole temperatury w podobszarach

układu w chwili przyj tej jako t=0. W typowych zadaniach termodynamiki procesów

odlewniczych z reguły przyjmuje si , e temperatura metalu wypełniaj cego form T(Xt)=T

zal

a temperatura formy T(Xt)=T

, gdzie T

zal

, T

- temperatura zalewania, temperatura

pocz tkowa formy.

4. Warunki brzegowe. Na rysunku 2.12 pokazano niejednorodny obszar =

(np. odlew

- forma), na którego brzegu wyró niono fragmenty

III

Rys. 2.12. Brzeg obszaru i jego podział

Je eli na brzegu

∆Γ zadana jest temperatura

∆Γ

∈

,: T(X,t)=T

(X,t).

(2.63)

to warunek brzegowy w postaci (2.63) nazywany jest warunkiem brzegowym I rodzaju.

Przyj cie okre lonej temperatury na brzegu jest z punktu widzenia teorii zało eniem bardzo

wygodnym, natomiast z punktu widzenia praktyki raczej sztucznym.

Je eli na brzegu

dany jest strumie ciepła normalny do brzegu (por. wzór (2.4))

∆Γ

∈

( )

grad

−

, (2.64)

to na rozwa anym fragmencie brzegu przyj to warunek brzegowy II rodzaju.

W szczególno ci w osiach (na powierzchniach) symetrii cieplnej przyjmuje si q

(X,t)=0.

Zanim przejdziemy do omówienia innych typów warunków brzegowych, nale y

przypomnie kilka praw determinuj cych przepływ ciepła na granicy obszar — otoczenie.

Prawo Newtona. Prawo Newtona okre la wielko strumienia ciepła oddawanego od

powierzchni ciała do otoczenia (płynu omywaj cego powierzchni ). Jednostkowy strumie

jest proporcjonalny do ró nicy temperatur mi dzy powierzchni a płynem

(

)

∞

−

, (2.65)

gdzie T jest temperatur otoczenia. Współczynnik proporcjonalno ci (W/m

K) nazywa si

współczynnikiem wnikania ciepła. Współczynnik wnikania mo e si zmienia w bardzo

szerokich granicach, w zale no ci od rodzaju przepływu płynu, parametrów termofizycznych

itd.

W teorii cieplnej procesów odlewniczych mamy najcz ciej do czynienia ze zjawiskiem

wnikania ciepła od zewn trznej powierzchni formy oraz od zewn trznych, pozostaj cych w

kontakcie z otoczeniem, fragmentów odlewu (np. boczna i górna powierzchnia wlewnicy i

nadstawki oraz głowa wlewka). Warunki konwekcyjnej wymiany ciepła odpowiadaj tu z

reguły warunkom konwekcji swobodnej. Równanie kryterialne, pozwalaj ce obliczy

konwekcyjny współczynnik wnikania ciepła ma w takim przypadku posta

(

)

(2.66)

gdzie Gr - liczba Grashofa, Pr - liczba Prandtla, Nu - liczba Nusselta. Liczby kryterialne

obliczamy z nast puj cych zale no ci:

βθ

, (2.67)

gdzie: l - wymiar charakterystyczny (m), =l/T

- rednia temperatura cianki i płynu (K),

=T- T - ró nica temperatur powierzchni cianki i płynu, g=9,81 (m/s

), v -współczynnik

lepko ci kinematycznej płynu (m

/s), a= / c - współczynnik przewodzenia temperatury dla

płynu (m

/s), - konwekcyjny współczynnik wnikania (W/m

K). Parametry płynu okre la si

dla temperatury T

. Stałe C i A w równaniu kryterialnym (2.66) wynosz :

Gr Pr < 5 10

C=1,18

A=0,125

5 10

Gr Pr 2 10

C=0,54

A=0,25

Gr Pr 2 10

C=0,135

A=0,33

•• Przykład. Wlewek po striperowaniu (po usuni ciu wlewnicy) stygnie w powietrzu o

temperaturze 300 K. rednia temperatura powierzchni wlewka wynosi 500 K. Wysoko

wlewka H=2. Obliczy redni współczynnik wnikania.

Za wymiar charakterystyczny

przyjmuje si wysoko pionowej płyty, czyli l=2. Dla temperatury T

=400K znajdujemy w

tablicach Pr=0,685, =0,034, =26,4 10

-6

, GrPr=9,81 8 200 0,685/400(26,4•10

-6

)

=38,6 10

Dla C=0,135, A=0,33: Nu=455, natomiast =7,73. Zauwa my, e dla A= 1/3 wymiar liniowy

l nie ma wpływu na warto .

Wy sze warto ci współczynnika wnikania wyst puj w procesie odlewania ci głego.

Powierzchnia wlewka w strefie chłodzenia wtórnego omywana jest wod doprowadzan

systemem dysz umieszczonych mi dzy rolkami dociskowymi i prowadz cymi.

Współczynniki wnikania (w tym równie zast pczy współczynnik w strefie chłodzenia

pierwotnego, czyli w krystalizatorze) s rz du 10

Promienisty współczynnik wymiany ciepla. Je eli układ oddaje ciepło bezpo rednio do

otoczenia i nie jest opromieniowywany przez inne ciała, to strumie ciepła oddanego przez

radiacj do otoczenia wynosi

−

∞

100

, (2.68)

gdzie - emisyjno powierzchni, C

- stała promieniowania ciała doskonale czarnego:

=5,67 (W/m

). Je eli przyj z definicji q=

(T- T ), to promienisty współczynnik

wymiany ciepła wynosi

∞

−

100

(2.69)

lub po przekształceniach

(

)

∞

−

100

. (2.70)

•• Przykład. Współczynnik radiacyjny dla układu wlewek-otoczenie przy T=500K,

T =300K, =0,8 wynosi

=10

-4

0,8 5,67 800 (5

)= 12,34.

Zast pczy współczynnik wymiany ciepła jest sum składowej konwekcyjnej

i radiacyjnej:

ˆ = +

, natomiast ciepło oddane przez promieniowanie i konwekcj od jednostki

powierzchni ciała O do otoczenia wynosi

(

)

∞

−

. (2.70)

Nale y tu podkre li , e współczynnik promienisty ro nie silnie z temperatur

powierzchni i np. w procesie wymiany ciepła mi dzy powierzchni wlewnicy i otoczeniem

zaczyna w pewnym momencie dominowa .

Problem oblicze strumienia ciepła q wyemitowanego lub zaabsorbowanego przez

obszar zaczyna si komplikowa w przypadku powierzchni wymieniaj cych ciepło przez

promieniowanie (np. układ kilku wlewnic na jednej płycie). Nale y wówczas (w ogólnym

przypadku) sporz dzi tzw. bilans jasno ci dla układu wielopowierzchniowego, a nast pnie z

wzoru Eckerta obliczy ciepło pobrane przez element powierzchni s

, obszaru

Szczególnym przypadkiem (który zreszt cz sto zdarza si w praktyce) jest promienista

wymiana ciepła w układzie dwóch powierzchni. Typowym przykładem mo e by tu przepływ

ciepła mi dzy zewn trzn powierzchni wlewka i wewn trzn powierzchni wlewnicy po

wygenerowaniu si szczeliny gazowej. Mo na wykaza , e w takim przypadku obowi zuje

wzór (2.68) i wynikaj ce z niego zale no ci (2.69), (2.70), z tym, e w miejsce emisyjno ci

wprowadza si emisyjno zast pcz układu dwupowierzchniowego:

1-2

, natomiast T jest

temperatur wewn trznej powierzchni wlewnicy. W układzie dwóch równoległych

płaszczyzn warto

1-2

; okre lona jest wzorem

−

(2.72)

i chocia w zasadzie układ odlew-szczelina— forma jest raczej tzw.układem Christiansena

(np. dwa współ rodkowe walce), to poniewa powierzchnia zewn trzna odlewu i wewn trzna

formy s praktycznie takie same, wi c wzór (2.71) jest wystarczaj co dokładny. Na

zako czenie chcemy podkre li , e problem oblicze wymiany ciepła mi dzy brzegiem

obszaru i otoczeniem jest zadaniem nieliniowym, a wi c odpowiedni warunek brzegowy, do

którego niedługo dojdziemy, jest te nieliniowy. Tak wi c zadania brzegowe—pocz tkowe w

termodynamice procesów odlewniczych s nieliniowe nie tylko z powodu zmiennych

parametrów termofizycznych w równaniach ró niczkowych i ruchomych granic (tzw.

nieliniowo ci równa ) — s równie nieliniowe z punktu widzenia warunków brzegowych.

Ma to okre lone konsekwencje dla metod rozwi zywania tych zada , poniewa w takich

przypadkach metody analityczne okazuj si nieskuteczne. Tak wi c coraz powszechniejsze

wykorzystanie metod numerycznych w naukach technicznych nie jest przej ciow mod , ale

jedyn drog prowadz c do uzyskania efektywnych rozwi za wielu problemów praktyki

in ynierskiej.

Opór cieplny przewodzenia, opór przenikania ciepła. Jednowymiarowe stacjonarne i

bez ródłowe pole temperatury w płycie o grubo ci L opisuje równanie ró niczkowe w postaci

d[( dT/dx)]=0 (por. np. wzór (2.13)). Przyjmijmy nast puj ce warunki brzegowe x=0:

T=T

, x=L, T=T

(warunki I rodzaju) - rys. 2.13. Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy

T=Cx+C

(2.73)

gdzie jest rednim całkowym współczynnikiem przewodzenia w przedziale (T

, T

) lub po

prostu przewodno ci ciepln (gdy =idem).

Stałe C i C

wyznaczamy z warunków brzegowych: C

= T

, C= (T

-T

)/L strumie

ciepła q= dT/dx mo na obliczy , wstawiaj c stałe całkowania do ostatniego równania.

Po zró niczkowaniu temperatury wzgl dem współrz dnej otrzymujemy ogólnie znan

zale no dla cianki płaskiej w postaci

−

(2.74)

gdzie R=L/ jest oporem przewodzenia ciepła. Zauwa my, e ostatnie równanie jest

analogiczne do prawa Ohma.

Rys. 2.13. Stacjonarne pole temperatury w płycie

Rys. 2.14. Przegroda dwuwarstwowa

Je eli obszar jest niejednorodny i składa si np. z dwóch warstw o przewodno ciach

i grubo ciach L

, L

(rys. 2.14), to z warunku ci gło ci strumienia ciepła mamy

−

czyli

−

przy czym podobne rozumowanie mo na przeprowadzi dla n warstw. Po dodaniu ostatnich
dwóch równa

−

(2.75)

Tak wi c dla płyty wielowarstwowej i przepływu ciepła prostopadłego do warstw

obowi zuje reguła szeregowego ł czenia oporów cieplnych. Mo na równie łatwo wykaza

(co dla naszych rozwa a nie ma istotnego znaczenia), e zast pczy opór cieplny dla tych

samych warstw, gdyby ciepło płyn ło wzdłu płyty, obliczamy identycznie jak dla poł czenia

równoległego.

Strumie ciepła oddany od powierzchni obszaru do otoczenia wynika z prawa

Newtona q= (T - T )=(T - T )/R , gdzie R =1/ jest oporem cieplnym wnikania.

Rozumuj c identycznie jak poprzednio, tzn. q=(T

–T

)/R

, q=(T

- T )/ R , dochodzimy do

poj cia oporu przenikania R

=R+ R i q=(T

–T

)/R

Warunek brzegowy III rodzaju. Warunki IV rodzaju. Warunek III rodzaju jest najbardziej

naturalnym warunkiem, jaki mo na przyj na fragmentach

III

, obszaru s siaduj cych z

otoczeniem. Warunek brzegowy III rodzaju jest matematyczn postaci zapisu ci gło ci

strumienia ciepła przy przenikaniu przez

III

(analogicznie jak równanie, które

wykorzystywano w punkcie poprzednim), a mianowicie

III

∆Γ

∈

( )

(

)

∞

−

grad

(2.76)

lub

III

∆Γ

∈

( )

∞

−

grad

. (2.77)

Je eli obszar nie jest jednorodny (np. zło enie podobszarów

, na rysunku 2.12), to

na brzegu

zadaje si tzw. warunek brzegowy IV rodzaju w postaci:

∆Γ

∈

( )

( ) ( )

( )

grad

−

, (2.78)

który jest równie warunkiem ci gło ci strumienia ciepła, natomiast R

, jest oporem cieplnym

styku. Gdy R

=0 (kontakt idealny), to musi by T

; i wtedy

∆Γ

∈

( )

−

grad

. (2.79)

W przypadku warunku z kontaktem idealnym pole temperatury jest ci głe na granicy

podobszarów.

Rys. 2.15. Podobszar cieczy, strefy dwufazowej i ciała stałego w krzepn cym odlewie

Teoretycznie rzecz bior c, nawet bardzo gładkie powierzchnie poł czone ze sob i poddane

du ym ci nieniom nie pozostaj w idealnym kontakcie cieplnym, w praktyce jednak warunek

(2.79) przyjmuje si do cz sto - m.in. przy obliczeniach krzepni cia odlewów w masach

formierskich, mi dzy podobszarami formy, w pocz tkowych etapach krzepni cia wlewka we

wlewnicy lub odlewu w kokili (do chwili nazywanej ,,czasem odej cia").

Je eli

(t),

(t) s chwilowymi poło eniami izoterm likwidusu i solidusu w obszarze

odlewu (rys.2.15), czyli granicami mi dzy ciecz i stref dwufazow oraz stref dwufazow i

zakrzepł cz ci odlewu, to przepływ ciepła przez te powierzchnie opisuje warunek z

kontaktem idealnym (tu warunek ten jest cisły)

( )

∈

( )

−

grad

(2.80)

oraz

( )

∈

( )

−

grad

. (2.81)

Na rysunku 2.16 pokazano rozwi zanie numeryczne (metoda elementów brzegowych)

dotycz ce krzepni cia wlewka we wlewnicy. Czas odej cia wlewnicy od wlewka przyj to

200 s. Wida , e jeszcze dla czasu t=180 s pole temperatury w układzie jest funkcj ci gł ,

natomiast dla czasów wi kszych pojawia si skokowa zmiana temperatury na granicy wlewek

- wlewnica. Jest to efektem pojawienia si szczeliny gazowej i zmiany warunku (2.79) na

(2.78).

Wykorzystuj c prezentowane wyniki, mo emy jeszcze wykona nast puj ce

obliczenia. Po czasie 15 min temperatury powierzchni wlewka i wlewnicy wynosiły 1373 K i

773 K odpowiednio, natomiast po czasie 90 min: 1450 K i 950 K. Współczynnik wymiany

ciepła obliczony z zale no ci (2.70) wynosi (15 min)=211, (90 min)=285. Współczynnik

konwekcyjny w do w skiej szczelinie mo emy pomin . Tak wi c strumie ciepła oddany

od wlewka do wlewnicy: q(l5 min) = 126,6 kW/m

, q(90 min) = 142,5 kW/m

. Równocze nie

ciepło oddawane jest przez przewodzenie. Współczynnik przewodzenia powietrza w

rozpatrywanych przedziałach temperatury jest rz du 0,065-0,075, szeroko szczeliny po

czasie 15 min s=l—8 mm, po czasie 90 min s=7,5-50 mm. cisłe obliczenia czasu odej cia

i kinetyki narastania szczeliny s bardzo trudne. Przyjmijmy orientacyjnie, e s(15 min)

=0,004 m, s(90 min) =0,025 m, wtedy ciepło przewodzone dla r=15 min wynosi q=10,5

kW/m

, a dla t=90 min, q=1,4 kW/m

. Jak wida z tego przykładu, składowa kondukcyjna

przepływu ciepła przez szczelin jest istotnie mniejsza od składowej konwekcyjnej i

radiacyjnej. Jest to z punktu widzenia oblicze cieplnych zjawisko niezwykle korzystne,

poniewa przy obliczaniu oporu cieplnego szczeliny (modelowaniu warunku brzegowego IV

rodzaju z oporem) nale y tylko zapami ta sam fakt istnienia szczeliny, natomiast jej

parametry geometryczne (lokalna grubo ) nie maj dla oblicze cieplnych wi kszego

znaczenia.

Podsumowuj c informacje zawarte w tym podrozdziale przypominamy, e przy

obliczeniach cieplnych dotycz cych krzepni cia i stygni cia odlewu w formie mamy do

czynienia z czterema typami warunków brzegowych. Znajomo temperatury lub strumienia

ciepła na brzegu obszaru (problem Dirichleta i Neumanna) odpowiada warunkom I, II

rodzaju, równania ci gło ci strumienia ciepła na granicy obszar-otoczenie lub obszar—obszar

to warunki III rodzaju (Newtona) i IV rodzaju. W tym ostatnim przypadku odró niamy

kontakt idealny lub kontakt z oporem cieplnym na styku podobszarów.

Rys. 2.16. Przykład rozwi zania numerycznego z warunkiem IV rodzaju

2.2.8. Problem Stefana — warunek brzegowy Stefana

W drugiej połowie XIX wieku podj to (udane zreszt ) próby analitycznego rozwi zania

problemu identyfikacji niestacjonarnego pola temperatury w obszarach z ruchomymi

brzegami (Neumann, Lamé, Clapeyron, Stefan).

Przedmiotem rozwa a był obszar (półprzestrze ) ograniczony płaszczyzn , na której

przyj to warunek brzegowy I rodzaju T(0,t)=T

, gdzie T

jest temperatur przemiany

fazowej (np. krzepni cia). Jest to zadanie z tzw. ostrym frontem krzepni cia.

W chwili t>0 w obszarze mo na wyró ni dwa zmienne w czasie podobszary:

(t)-ciecz

oraz

(t)- ciało stałe. Niestacjonarne pole temperatury w podobszarach opisano układem

liniowych równa parabolicznych

( )

Ω

∈

( )

∂

(2.82)

( )

Ω

∈

( )

∂

W chwili t=0 temperatura w obszarze =

(0) wynosi T

zal

, równocze nie T( ,

t)=T

zal

Na granicy rozdziału faz x= przyjmuje si nast puj cy warunek brzegowy

( )

∂

−

∂

−

, (2.83)

b d cy ró niczkow postaci bilansu energii dla krzepn cej w czasie dt warstewki

rozwa anego obszaru. Na rysunku 2.17 pokazano chwilowe poło enie podobszarów

(t) i

(t), na których styku wydziela si ciepło przemiany fazowej.

Rys. 2.17. Model Stefana

Ilo ciepła doprowadzona od strony cieczy do powierzchni rozdziału faz przez

powierzchni F prostopadła do kierunku x wynosi

( )

∆

∂

∆

−

. (2.84)

Z kolei ciepło odprowadzone od powierzchni rozdziału do obszaru ciała stałego

( )

∆

∂

∆

−

. (2.85)

Zmiana energii układu zwi zana z zakrzepni ciem warstewki o szeroko ci x

∆

. (2.86)

Tak wi c z bilansu energii otrzymujemy nast puj c zale no

( )

∆

∂

∆

−

∆

∂

∆

−

. (2.87)

Po podzieleniu ostatniego równania przez F r, w granicy t 0 otrzymuje si warunek

(2.83) nazywany warunkiem Stefana.

Przyj ło si równie , e zadania zwi zane z obliczeniami procesu krzepni cia zalicza si do

grupy zada (problemów) Stefana.

Zadanie opisane równaniami (2.82) i (2.83) mo e by rozwi zane metodami anali-

tycznymi. Niestacjonarne pole temperatury w podobszarach układu opisane jest funkcjami

Gaussa erf(z) (error functions).

Mimo bardzo du ych uproszcze geometrycznych i fizycznych rozwi zanie Stefana

ma pewne znaczenie praktyczne. Przede wszystkim jedno z najbardziej znanych i najszerzej

stosowanych w odlewnictwie praw, tzw. prawo pierwiastkowe =K

1/2

( — grubo warstwy

zakrzepłej, K - stała krzepni cia), wynika bezpo rednio z rozwi zania analitycznego zadania

Stefana.

Uogólnieniem rozwi zania problemu krzepni cia półprzestrzeni jest rozwi zanie

Schwarza. Układ równa (2.82) uzupełniono analogicznym równaniem dotycz cym

półniesko czonej formy, która styka si z półniesko czonym płaskim odlewem. Dla x=0 w

miejsce warunku T(0, t)=T

< T

. przyj to warunek idealnego kontaktu (2.79). Udało si

równie w sposób cisły rozwi za zadanie, dla którego przyj to warunek odpowiadaj cy

kontaktowi nieidealnemu (opór cieplny mi dzy obszarami odlewu i formy musi zmienia si

jednak w ci le okre lony sposób). Model Schwarza stanowi istotne rozszerzenie modelu

Stefana, mimo i dotyczy nadal zada jednowymiarowych i obszarów półniesko czonych.

Czytelników bardziej zainteresowanych tymi problemami odsyłamy do ksi ek W. Longi, w

których przedstawiono bardzo szczegółowe omówienie metod analitycznych.

Mo liwo ci pewnej ilo ciowej analizy krzepni cia odlewów, czy to na podstawie

rozwi za Stefana, Schwarza, czy te Wiejnika, dotycz w zasadzie zada z ostrym frontem

(np. krzepni cie czystych metali). Fakt ten spowodował, e problemy dotycz ce krzepni cia

metalu w interwale temperatury starano si sprowadzi do zada z warunkiem Stefana.

Jednym ze sposobów ucieczki przed trudno ciami adaptacji rozwi za analitycznych dla

przypadku typowych stopów krzepn cych w przedziale temperatury jest wprowadzenie do

rozwa a tzw. zast pczej temperatury krystalizacji. Wielko ta wynika z nast puj cych

rozwa a . Całk iloczynu temperatury i zast pczej pojemno ci cieplnej strefy dwufazowej w

granicach (T

, T

) mo na na podstawie uogólnionego twierdzenia o warto ci redniej zapisa

w postaci

( )

(

)

[

]

TdT

−

, (2.88)

gdzie T - temperatura rednia, która nazwiemy zast pcz temperatur krzepni cia, natomiast

ostatnia równo wynika z wzoru (2.41). Po podzieleniu przez c(T

-T

)+L otrzymujemy

( )

(

)

TdT

−

(2.88)

•• Przykład. Dla hipotezy (2.39): C= c +L/(T

-T

) otrzymujemy

(

)

(

)

TdT

−

czyli temperatura zast pcza jest redni arytmetyczn temperatur T

i T

Warunek brzegowy Stefana mo na uogólni na zadania dwu— i trójwymiarowe. W

takim przypadku bilans energii sporz dzony dla krzepn cej warstewki prowadzi do bardziej

ogólnej postaci warunku (2.83), a mianowicie

( )

∈

( )

−

grad

, (2.90)

gdzie

jest lokaln pr dko ci przyrostu warstwy zakrzepłej w kierunku normalnym do

granicy rozdziału faz

(t).

W literaturze dotycz cej zada brzegowo-pocz tkowych o ruchomych granicach (Moving

Boundary Problems) rozwa a si równie proces nadtapiania. Załó my, e powierzchnia ciała

stałego pozostaje w kontakcie z otoczeniem, którego temperatura jest wy sza od temperatury

topnienia ciała. W takim przypadku (rys. 2.18) na ruchomym brzegu formułuje si warunek

brzegowy b d cy pewn odmian klasycznego warunku Stefana. Składniki bilansu energii s

w takim przypadku nast puj ce:

( )

[

]

( )

∆

∂

∆

−

∆

−

∞

(2.91)

Pierwszy ze składników jest ciepłem wymienianym mi dzy powierzchnia nadtapianego

obszaru i ciecz (np. kulka z lodu zanurzona w wodzie o temperaturze wy szej ni 0°C, przy

czym wprowadzenie w miejsce wody innego płynu nie zmienia pierwszego z równa (2.91)).

Drugi składnik to ciepło przewodzone od bilansowanej warstewki do wn trza obszaru, a

trzeci -zmiana jej energii wewn trznej. W granicy t 0 otrzymujemy

( )

[

]

( )

∂

−

∞

. (2.92)

Je eli uwzgl dni dodatkowo składow radiacyjn przepływu ciepła mi dzy otoczeniem oraz

obszarem

(t) (w niektórych przypadkach jest to niezb dne), to

( )

[

]

( )

100

∂

−

∞

(2.93)

Rys. 2.18. Model procesu nadtapiania

W niektórych pracach cytuje si warunek brzegowy dla przypadku, gdy przepływ ciepła

mi dzy ciecz a namarzaj cym ciałem stałym zachodzi i przez przewodzenie, i przez

konwekcje (ruch masy). Wówczas

( )

∈

( )

[

]

( )

grad

−

∞

(2.94)

Uwzgl dnienie procesu segregacji w pobli u frontu krzepni cia wymaga dalszej modyfikacji

warunku Stefana, ale ma ona znaczenie raczej formalne.

2.2.9. Opis matematyczny krzepni cia odlewu w formie

Je eli form wypełnia metal krzepn cy w interwale temperatury, to obszar krzepn cego

odlewu

jest zło eniem trzech zmieniaj cych si w czasie podobszarów

(t), m=1, 2, 3 —

ciecz, strefa dwufazowa, ciało stałe.

Wprowadzamy funkcj S(X, t) identyfikuj c podobszary układu (por. rys. 2.17) w chwili t

( )

formy

podobszaró

dla

Ω

≤

(2.95)

Jak wida , w obszarze odlewu S jest jak poprzednio udziałem obj to ciowym ciała stałego w
otoczeniu punktu

Ω

∈

. Dla podobszarów odlewu i formy wprowadzimy poj cie

zast pczej pojemno ci cieplnej okre lonej wzorem C

-LdS/dT (jak (2.36)). Poniewa

dS/dT=0 dla m 2, wi c

≥

≤

−

. (2.96)

Tak wi c pole temperatury w układzie

, przy zało eniu, e podobszary s izobaryczne,

izotropowe i pomijamy konwekcj w ciekłym metalu, opisuje nast puj cy układ równa

ró niczkowych:

( )

[

]

gradT

div

∂

, m=1, 2, 3...,M (2.97)

uzupełniony warunkami brzegowymi w postaci

- warunków (2.80) i (2.81) na ruchomych brzegach

(t),

warunków (2.78) lub (2.79) na powierzchni granicznej odlew - forma,

- warunku (2.76) na zewn trznych powierzchniach odlewu i formy pozostaj cych w

kontakcie z otoczeniem,

- warunku (2.79) mi dzy podobszarami formy
oraz warunkiem pocz tkowym T(X, t)=T

zal

dla

Ω

∈

, T(X, t)=T

dla

Ω

∈

W niektórych przypadkach w opisie mog pojawi si warunki I rodzaju (np. na

peryferiach formy, gdy mo emy przyj , e jej temperatura w czasie trwania procesu

praktycznie nie zmienia si i b dzie równa T

)

lub II rodzaju (w szczególno ci w postaci q

na liniach lub powierzchniach symetrii cieplnej).

Modyfikacja opisu podstawowego.

Przedstawiony wy ej opis matematyczny mimo

przyj tych uproszcze oraz pomini cia procesów przepływu masy (segregacja

makroskopowa), nie umo liwia rozwi zania metodami analitycznymi. Nie jest on te łatwy

do rozwi zania metodami numerycznymi, przy czym podstawow trudno stanowi sprawa

identyfikacji podobszarów, tzn. znajdowanie dokładnego przebiegu powierzchni granicznych

i T

, w chwili t. Znajomo chwilowych poło e tych powierzchni (zadanie 3D, czyli

zadanie trójwymiarowe) lub cz ciej linii (zadanie 2D czyli dwuwymiarowe) jest niezb dna

do poprawnej aproksymacji warunków (2.80) i (2.81). Dokładna identyfikacja chwilowych

poło e tych powierzchni jest w zasadzie mo liwa. W literaturze podaje si kilka algorytmów

identyfikuj cych lepiej lub gorzej poło enia linii granicznych, ale s to z reguły algorytmy

bardzo skomplikowane i cz sto niezbyt przekonywaj ce, co wi cej, według naszego

rozeznania zb dne z punktu widzenia potrzeb praktyki (z wyj tkiem by mo e pewnych

specjalnie ukierunkowanych bada podstawowych).

Modyfikacja opisu matematycznego procesów przepływu ciepła w krzepn cym i

stygn cym metalu, która przedstawimy ni ej, nie wymaga dokładnego okre lania poło e

izoterm solidusu i likwidusu, przez co wydaje si bardzo dogodna i efektywna przy

konstrukcji stosunkowo prostych algorytmów numerycznych symuluj cych proces

krzepni cia i stygni cia odlewu.

Załó my, e iloczyn C

0 0

oraz współczynnik przewodzenia

metalu wypełniaj cego

form b dziemy definiowa nast puj co

(

)

−

≤

, (2.98)

oraz e C

0 0

jak równie

s funkcjami ci głymi. Zało enie to wymaga oczywi cie

okre lonego wygładzenia (smoothing) parametrów termofizycznych, a w szczególno ci

iloczynu C

0 0

który zmienia si bardzo istotnie w pobli u izoterm solidusu i likwidusu. Dwa

sposoby wygładzenia tego parametru pokazano na rysunku 2.19.

Współczynnik przewodzenia zdefiniowany nast puj co:

(

)

≤

−

(2.99)

jest oczywi cie funkcj ci gł .

Ci gło parametrów C

0 0

w analizowanym przedziale temperatury (tzn. temperatura

zalewania - temperatura otoczenia) z matematycznego punktu widzenia oznacza formalne

ujednorodnieniewielofazowego obszaru odlewu (ciecz, strefa dwufazowa, ciało stałe).

Rys. 2.19. Wygładzanie zast pczej pojemno ci w pobli u izoterm granicznych

Rozpatrujemy wi c pewien homogeniczny obszar o okre lonych parametrach termofi-

fizycznych i zamiast układu równa okre laj cych procesy cieplne w cieczy, strefie

dwufazowej i cz ci zakrzepłej mamy jedno równanie, a mianowicie

Ω

∈

( )

[

]

gradT

div

∂

(2.100)

bez potrzeby wprowadzania warunków na powierzchniach

(t) i T

(t).

W obliczeniach numerycznych mo na uzyska efektywne rozwi zanie równie bez

wygładzania parametrów podobszarów i wystarczy, aby te parametry (ciepło wła ciwe,

g sto masy i przewodno cieplna) były okre lone i ograniczone w przedziale temperatura

zalewania - temperatura otoczenia.

Przedstawiony wy ej sposób formalnego ujednorodnienia obszaru odlewu nie jest,

niestety, mo liwy w przypadku zada z ostr granic rozdziału faz (warunkiem Stefana). Opis

matematyczny przepływu ciepła sprowadza si w tym przypadku do układu dwóch równa

przewodnictwa dla podobszarów cieczy i ciała stałego

( )

[

]

gradT

div

∂

, m=1, 2, (2.101)

warunku (2.83) oraz wynikaj cych z cech geometrycznych i cieplnych okre lonej technologii

odlewniczej pozostałych warunków jednoznaczno ci.

Tak wi c rozwi zanie numeryczne zadania prostszego (tylko dwa podobszary i jedna

ruchoma granica) jest w sumie trudniejsze, ni zadania z trzema podobszarami i dwoma

granicami. Nale y jednak podkre li , e równie dla zada z ostr granic rozdziału faz

opracowano kilka bardzo pomysłowych algorytmów, które przedstawiono w podr czniku

„Modelowanie i symulacja krzepni cia odlewów”.

2.2.10. Model procesu ci głego odlewania

Opis matematyczny procesu ci głego odlewania ró ni si od modelu omówionego w

punkcie poprzednim przede wszystkim dodatkowymi składnikami w równaniach energii,

które wynikaj z faktu przemieszczania si wlewka przez urz dzenie do ci głego odlewania.

Dla przykładu b dziemy rozpatrywa wlewek prostok tny, odlewany na urz dzeniu

pionowym. Wlewek przemieszcza si w kierunku osi z z pr dko ci u ( ci lej pole pr dko ci)

w obszarze: =[0, O, u] - rys. 2.20.

Załó my dodatkowo, e rozwa any wlewek wytwarzany jest z metalu krzepn cego w

interwale temperatury i e stosujemy konwencj formalnego ujednorodnienia obszaru

Równanie energii, opisuj ce proces wymiany ciepła w obj to ci wlewka, jest równaniem

przewodnictwa z pochodn materialn

( )

∂

. (2.102)

gdzie X={x, y, z}, natomiast warunki brzegowe na bocznej powierzchni wlewka przyjmuje

si w postaci warunków II lub III rodzaju.

Na górnej powierzchni wlewka (zwierciadło ciekłego metalu) mo na przyj warunek

brzegowy I rodzaju (temperatur zalewania) lub III rodzaju (ze współczynnikiem

obliczanym jak w pkt. 2.2.7). Na arbitralnie przyj tej dolnej powierzchni ograniczaj cej

obszar

(w rejonie strefy chłodzenia ko cowego) zakłada si q

=0, czyli warunek

adiabatyczno ci.

Rys. 2.20. Prostok tny wlewek ci gły

Warunek pocz tkowy sprowadza si do przyporz dkowania temperatury zalewania pewnej

warstwie ciekłego metalu bezpo rednio nad dr giem rozruchowym zamykaj cym od dołu

krystalizator w czasie rozruchu instalacji. Mo na te zało y , e całemu obszarowi wlewka

ci głego w chwili t=0 przyporz dkowuje si temperatur zalewania (co oczywi cie z tech-

nologicznego punktu widzenia jest kompletn fikcj ), ale bior c pod uwag , e w zadaniach

dotycz cych odlewania ci głego z reguły poszukuje si rozwi za granicznych dotycz cych

pól pseudoustalonych, zało enie takie jest mo liwe do przyj cia. Jak bowiem wiadomo,

rozwi zanie graniczne nie zale y od warunku pocz tkowego, a tylko od zało onych

warunków geometrycznych i brzegowych.

W warunkach niezakłóconej pracy urz dzenia do ci głego odlewania, a wi c przy stałej

pr dko ci wyci gania, stałej temperaturze zalewania i ustalonych warunkach wymiany ciepła

na bocznej powierzchni wlewka — w rozwa anym obszarze generuje si pseudostacjonarne
pole temperatury, tzn. temperatura w punkcie

Ω

∈

jest tylko funkcj współrz dnej

geometrycznej i mimo

e wlewek przemieszcza si przez urz dzenie, to izotermy,

powierzchnie rozdziału faz, pola st e itd. pozostaj dla obserwatora nieruchome.

Podsumowuj c, nale y stwierdzi , e rozwi zanie równania (2.102) z odpowiednimi

warunkami brzegowymi b dzie asymptotycznie (a praktycznie do szybko) zmierza do

rozwi zania pseudoustalonego — bez wzgl du na warunek pocz tkowy, jaki zało ymy dla

chwili t=0.

Wynika st d równie mo liwo zast pienia równania (2.102) równaniem prostszym:

( )

∂

, (2.103)

które wynika z poprzedniego, je eli zało y T/ t=0.

Liczne badania do wiadczalne wykazuj , e składowa kondukcyjna przepływu ciepła

w kierunku ruchu wlewka jest pomijalnie mała (ciepło przewodzone wzdłu osi wlewka

ci głego stanowi ok. 5% ciepła przewodzonego od osi wlewka do powierzchni bocznych),

czyli ostatnie równanie mo na bez zbytniego uszczerbku dla dokładno ci modelu

matematycznego upro ci do postaci

( )

∂

. (2.104)

Otrzymujemy w ten sposób równanie paraboliczne typowe dla nieustalonego przepływu

ciepła, w którym rol czasu przejmuje współrz dna z, natomiast iloczyn pojemno ci cieplnej i

g sto ci przemno ony jest przez pr dko wyci gania u.

Dosy ciekawym i efektywnym w symulacji numerycznej wariantem modelu procesu

ci głego odlewania jest metoda w druj cego przekroju poprzecznego.

Zapiszmy mianowicie równanie (2.102) w układzie współrz dnych zwi zanych z

przemieszczaj cym si wlewkiem: x'=x, y'=y, z'=z-ut. Zakładamy jak poprzednio,

przewodzenie ciepła w kierunku ruchu wlewka mo na pomin . Jak łatwo sprawdzi w

nowym równaniu ró niczkowym gubimy składnik zawieraj cy pochodn temperatury po

współrz dnej

( )

∂

, (2.105)

a wi c składnik typowy dla pochodnej materialnej, a równanie (2.104) jest równaniem

przewodnictwa dla obszarów 2D zorientowanych w prostok tnym układzie współrz dnych.

Nale y je rozwi za przy warunku pocz tkowym T(X', 0)=T

zal

, natomiast warunki

brzegowe na obwodzie przekroju wlewka s funkcj czasu. Je eli t

jest czasem

przebywania przekroju poprzecznego w krystalizatorze, to dla 0 t t

na jego obwodzie

obowi zuj warunki charakteryzuj ce przepływ ciepła w krystalizatorze (np. odpowiednie

strumienie ciepła). Dla kolejnego interwału t

, odpowiadaj cego czasowi przebywania

przekroju wlewka w pierwszym sektorze strefy chłodzenia wtórnego nale y przyj warunki

dla pierwszego sektora itd.

Formalnie rzecz bior c, wyró niony przekrój wlewka został zatrzymany, natomiast

zmienne w czasie warunki brzegowe na jego obwodzie symuluj przemieszczanie si

przekroju poprzecznego przez urz dzenie. Mo emy jeszcze zauwa y , e rozwi zuj c zadanie

2D otrzymujemy trójwymiarowe pole temperatury i analogicznie dla zadania

jednowymiarowego (np. o x orientujemy prostopadle do krótszego boku wlewka) dostajemy

pole temperatury w płaszczy nie {x, z} — ka demu wyró nionemu czasowi t mo emy

bowiem przyporz dkowa odpowiedni współrz dn z=ut.

Wszystkie omówione wy ej równania dotyczyły prostok tnych wlewków wytwarzanych

na urz dzeniach pionowych (przy odpowiednim ,,obróceniu" układu współrz dnych równie

wlewków odlewanych poziomo). Opis matematyczny przepływu ciepła w obj to ci

pionowego wlewka okr głego jest analogiczny do przedstawionego wy ej - nale y tylko

operator div( gradT) zapisa we współrz dnych walcowych.

Je eli natomiast rozpatrujemy wlewki prostok tne wytwarzane na urz dzeniach

radialnych (jest to jedna z najbardziej popularnych technologii wytwarzania

wielkogabarytowych wlewków stalowych, to w układzie współrz dnych zorientowanym jak

na rysunku 2.21 równanie energii jest nast puj ce:

( )

∂

(2.106)

przy czym =u/R, natomiast R jest promieniem krzywizny osi wlewka.

W układzie współrz dnych r'=r, ’= - t, z'=z otrzymujemy równanie bez składnika T

(w druj cy przekrój).

Wlewki okr głe odlewane na urz dzeniach łukowych nale y orientowa w

toroidalnym (a wi c raczej nietypowym) układzie współrz dnych, rys. 2.22.

Opis matematyczny ci głego odlewania czystych metali (np. mied lub aluminium) wymaga

jak wiadomo wprowadzenia warunku brzegowego Stefana, który w tym przypadku ma nieco

inn w stosunku do klasycznego posta .

Na rysunku 2.23 pokazano przekrój podłu ny wlewka ci głego z zaznaczon izoterm T

Pr dko wyci gania oznaczono u, jej rzut na kierunek normalny do powierzchni rozdziału

faz w punkcie X oznaczono liter , natomiast pr dko przyrostu frontu krzepni cia w

kierunku normalnym liter w. Warunek brzegowy Stefana w procesie odlewania ci głego ma

posta nast puj c :

Rys. 2.21. Prostok tny łukowy wlewek ci gły

Rys. 2.22. Okr gły łukowy wlewek ci gły

( )

∈

( )

(

)

( )

−

grad

(2.107)

Zauwa my,

e gdyby wlewek zatrzyma , to wobec u=0 mamy =0 i otrzymujemy warunek

(2.83).

Rys. 2.23. Granica rozdziału faz w obszarze wlewka ci głego

Je eli model scalony zbudowano na podstawie metody w druj cego przekroju poprzecznego,

to wobec zało enia o bardzo małym strumieniu ciepła przewodzonego w kierunku przesuwu

wlewka, dochodzimy do klasycznego warunku Stefana dla zadania 2D, a mianowicie (por.

rys. 2.23 b)

( )

∈

( )

∂

−

grad

, (2.108)

z tym, e nowe poło enie frontu

(t+

t) odpowiada de facto przekrojowi poprzecznemu

le cemu o

∆

ni ej ni wyj ciowy.

Dla zadania pseudoustalonego (tu równie pomijali my przewodzenie ciepła w kierunku

przesuwu wlewka):

∈

( )

−

grad

, (2.109)

gdzie r=F(z) jest równaniem powierzchni (linii) opisuj cej poło enie frontu krzepni cia w

obj to ci (przekroju podłu nym) wlewka - rys. 2.24.

Rys. 2.24. Podział brzegu i podobszary wlewka (zadanie pseudostacjonarne)

•• Przykład. Model matematyczny dla miedzianego okr głego wlewka pionowego (zadanie

osiowo — symetryczne jak na rys. 2.24), przy zadanym strumieniu ciepła w krystalizatorze

q=q

(z) i współczynniku wymiany ciepła na powierzchni pod krystalizatorem =

(z), przy

oczywistym zało eniu, e T

zal

, oraz e rozpatrujemy zadanie pseudostacjonarne, jest

nast puj cy:

Ω

∈

( )

∂

, m=1, 2,

∈

( )

∂

−

∂

∈

( )

∞

∈

( )

∂

∈ :

( )

∂

−

∈

( )

( ) ( )

[

]

∞

−

∂

−

sym

∈

( )

∂

2.2.11. Konwencja entalpowa

Konwencja entalpowa (enthalpy convention) polega na takim przekształceniu równania

energii oraz odpowiednich dla rozpatrywanego zadania warunków jednoznaczno ci, e w

opisie matematycznym procesów cieplnych w miejsce temperatury pojawia si parametr

kaloryczny nazywany entalpia. Podej cie takie stosowane było wielokrotnie w pracach

zwi zanych z klasycznymi zadaniami przepływu ciepła, jest ono równie do popularne w

termodynamice procesów odlewniczych. Historycznie rzecz bior c, wprowadzenie entalpii do

oblicze krzepni cia i stygni cia metalu w formie wi e si z nazwiskami Sajranta i Slacka. Z

nowszych prac na szczególne wyró nienie zasługuje cykl artykułów Bergera, Cimenta i

Rogersa, w których na podstawie opisu krzepni cia w konwencji entalpowej przedstawiono

bardzo efektywny algorytm oblicze nazwany przez Autorów metod przemiennej fazy

(Altemating Phase Truncation Method).

Entalpi fizyczn odniesion do jednostki obj to ci definiujemy jako

)

(

)

(

)

(

, (2.110)

gdzie T

jest dowolnie przyj tym poziomem odniesienia (np. T

=0). Gdy c i s stałe, to

H(T)=c (T-T

). Poniewa

∂

)

(

)

(

)

(

)

(

, (2.111)'

wi c lewa strona równania energii zapisana w konwencji entalpowej ma posta H/ t lub

DH/Dt. Z kolei ka dy ze składników równania Fouriera mo emy przekształci jak ni ej:

∂

⋅

∂

, (2.112)

Wykorzystano tu twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej: dT/dH= 1/c , oznaczono

/c =a, przy czym w rozwa anym przypadku a=a(T)=a(H). Ostatecznie równanie energii

zapisane w konwencji entalpowej ma posta

[

]

gradH(X,

div

gradH(X,

H(X,

⋅

∂

(2.113)

i w sensie formalnym jest takie samo jak równanie Fouriera. Tak wi c numeryczne aspekty

rozwi zywania zada wykorzystuj cych entalpi s podobne jak w równaniach klasycznych.

Jak

łatwo

sprawdzi ,

strumie

normalny

brzegu

wynosi

( )

gradH

⋅

−

. W zwi zku z powy szym typowe warunki brzegowe w konwencji

entalpowej (por. rys. 2.12) s nast puj ce:

∆Γ

∈

( )

(2.114)

∆Γ

∈

( )

grad

−

(2.115)

III

∆Γ

∈

( )

[

]

∞

−

grad

(2.116)

Warunek brzegowy III rodzaju stanowi w pewnym stopniu pi t Achillesa konwencji

entalpowej. Je eli iloczyn c jest warto ci stał , to wobec

[

]

∞

−

(2.117)

mamy T-T =(H-H )/c , czyli

( )

(

)

∞

−

grad

, (2.118)

gdzie

= /c i otrzymujemy wzór analogiczny do (2.76).

Je eli jednak iloczynu c nie mo emy wył czy przed całk , to sprawa si komplikuje. Z

(2.117) wynika, e

(

)

∞

−

, (2.119)

przy czym jest rednim całkowym iloczynem ciepła wła ciwego i g sto ci w przedziale

∞

W warunku brzegowym

( )

(

)

∞

−

grad

(2.120)

pojawia si dodatkowa nieliniowo , która w realizacji numerycznej wymaga zastosowania

pewnych procedur iteracyjnych.

Bardziej efektywne wydaje si inne podej cie. Zachowajmy w warunku III rodzaju
temperatur otoczenia, a temperatur T zast pmy entalpi . Poniewa H(T) jest funkcj ci le
monotoniczn , co wynika z jej definicji, wi c istnieje funkcja do niej odwrotna T=T(H).
Dalszy sposób konstrukcji warunku III rodzaju przedstawimy na przykładzie.

•• Przykład. Przyjmijmy, e =10, T =20, natomiast c =16•10

dla 100<T<200 oraz

c =20•10

dla 100<T<200. Jako poziom odniesienia zało ymy T

=0 (temperatura w

stopniach Celsjusza), przyjmijmy równie , e temperatura powierzchni nie przekracza 200°C.

Dla powy szych danych

( )

⋅

−

⋅

≤

⋅

100

Wyznaczymy teraz funkcj odwrotn do funkcji H(T), która b dzie równie funkcj okre lon

przedziałami. Z punktu widzenia rachunkowego jest to operacja bardzo prosta, nale y

bowiem z ostatniego równania obliczy temperatur i okre li granice przedziałów entalpii

odpowiadaj cych przedziałom temperatury od 0 do 100 oraz T> 100. W omawianym

przykładzie

( )

⋅

≤

⋅

−

Warunek (2.115) przyjmuje wi c posta

( )

(

)

⋅

≤

−

⋅

−

grad

i jest analogonem (czyli odpowiednikiem) typowego warunku III rodzaju.

Konwencja entalpowa dla obszarów niejednorodnych z warunkami IV rodzaju nie jest

raczej stosowana, zdecydowanie prostsze s algorytmy bazuj ce na zapisie mieszanym, tzn.

entalpowo - temperaturowym.

Ostatnim elementem modelu scalonego zapisanego w konwencji entalpowej jest funkcja

przyporz dkowuj ca obliczonym warto ciom entalpii odpowiednie temperatury (jak w

ostatnim przykładzie). Przejdziemy wi c do omówienia zale no ci H=H(T) dla zada

zwi zanych z krzepni ciem i stygni ciem metalu w formie.

Krzepniecie metalu w interwale temperatury. Wrócimy jeszcze raz do definicji

pojemno ci cieplnej odniesionej do jednostki obj to ci metalu

≤

−

. (2.121)

Entalpi krzepn cego i stygn cego metalu odniesion , do jednostki obj to ci okre lamy jako

)

(

)

(

)

(

. (2.122)

•• Przykład. Przyjmijmy, e dla stali w glowej 0,35%C T

= 1470, T

=1500, c

1 1

=5900000,

3 3

=4900000, c

=750, p

=7300, L=270000 dla strefy dwufazowej obowi zuje hipoteza

opisana wzorem (2.39), a wi c C

2 2

=71,175 10

(J/m'). Załó my jeszcze, e obliczenia

b dziemy prowadzi w układzie jednostek [kJ, dm,

C, s], wówczas

≤

1470

1500

1470

135

1500

Entalpi krzepn cego staliwa (rys. 2.27) opisuje linia łamana (przyj to T

=0), natomiast

współczynnik (T) jest przedziałami stały (współczynnik przewodzenia dla wszystkich

podobszarów odlewu przyjmiemy taki sam i równy 35 (W/m K)). W rozwa anym przykładzie

−

488

97427

175

)

(

00071

00005

00059

)

1500

1470

≤

Otrzymane wy ej zale no ci mo na, jak wspomniano poprzednio, w odpowiedni sposób

wygładzi

1470 1500

Rys. 2.25. Wykres entalpia - temperatura (krzepni cie w przedziale temperatury)

Krzepniecie metalu w stałej temperaturze. W takim przypadku entalpia odniesiona do

jednostki obj to ci wynosi

)

(

)

(

)

(

)

(

, (2.123)

gdzie (T)=0 dla T<T

, (T)=1 dla T>T

L (J/m

) - utajone ciepło krzepni cia (por. rys.

2.26).

Rys. 2.26. Wykres entalpia - temperatura (krzepni cie w stałej temperaturze)

Model scalony dla problemu Stefana sprowadza si do układu dwóch równa energii

(2.113) dla cieczy i ciała stałego, warunków brzegowych na zewn trznej powierzchni

odlewu, warunku pocz tkowego i warunku na ruchomej granicy rozdziału faz

−

∈

(X,

gradH

(X,

gradH

(t)

, (2.124)

gdzie A

, A

s prawostronn i lewostronn granic entalpii w punkcie T

Na zako czenie tej cz ci rozwa a przedstawimy za ksi k J. Szarguta Obliczenia cieplne

pieców przemysłowych wykres entalpia - skład chemiczny (rys. 2.27) dla stopów Fe—C

(staliwo, eliwo). Dla okre lonej zawarto ci w gla mo na na podstawie tego wykresu w

prosty sposób znale relacje mi dzy entalpi i temperatur , która jest nieodzowna przy

formułowaniu entalpowego modelu procesów cieplnych w odlewie.

Rys. 2.27. Wykres entalpowy dla stopów Fe-C

2.2.12. Temperatura Kirchhoffa
Temperatura Kirchhoffa (Kirchhoffs Temperature) nazywamy funkcj U(T) zdefiniowan

nast puj co

)

(

)

(

(2.125)

Wynika st d, e (T)=dU(T)/dT. Typowy składnik prawej strony równania energii mo na

zapisa w postaci

∂

⋅

∂

)

(

)

(

)

(

(2.126)

i wyra enie div( gradT) sprowadza si do div(gradU).

Tak wi c wprowadzenie funkcji U(T) zlinearyzuje operator div( gradT) — równanie

opisuj ce stacjonarne pole temperatury staje si równaniem liniowym. St d te temperatura

Kirchhoffa jest poj ciem bardzo u ytecznym w przypadku oblicze ustalonych pól

temperatur. Mo na te j wykorzysta do opisu matematycznego stanów niestacjonarnych,

w tym problemów krzepni cia.

Rozpatrywa b dziemy procesy cieplne w obj to ci krzepn cego w przedziale (T

metalu opisane równaniem formalnie ujednorodniaj cym C

0 0

=div(

gradT)- lew stron

tego równania zapiszemy w konwencji entalpowej, a praw z wykorzystaniem temperatury

Kirchhoffa:

( )

[

]

gradU

div

∂

. (2.126)

Poniewa H=H(T) oraz U=U(T) s funkcjami temperatury, przy czym zarówno H jak i U s

funkcjami cisłe monotonicznymi, mo na wi c w sposób jednoznaczny okre li zale no

H= (U) - co wyja nimy na nast puj cym przykładzie.

•• Przykład. Niech

( )

≥

−

≤

100

gdzie H (kJ/dm

), T(°C), natomiast (T)=0,003 + 10

-6

T (kW/dm-K).

Dla T

=0: U=0,003T+5 10

-7

. Obliczymy st d T, czyli rozwi emy równanie

kwadratowe 5 10

-7

+0,003T-U=0. Jak łatwo sprawdzi

(

)

−

czyli

( )

(

)

(

)

≥

−

≤

−

305

2000

305

1600

Pochodna funkcji (U)wzgl dem U wynosi

( )

≥

≤

305

2000

305

1600

Potrzeba okre lenia pochodnej (U) stanie si za chwil oczywista. Zauwa my, e

( )

( ) ( )

∂

, (2.128)

czyli równanie energii dla krzepn cego i stygn cego odlewu ma posa

( ) ( )

( )

[

]

grad

div

∂

. (2.129)

Analityczne wyznaczenie funkcji (U) i jej pochodnej jest z reguły niemo liwe.

Ciepło wła ciwe, g sto i przewodno cieplna (jako funkcje temperatury) okre lonych

materiałów s zebrane w tablicach (np. stare, ale bardzo szczegółowe tablice Teplofizi eskie

svojstva ves estv, Moskva (1956)). Funkcje H(T) i U(T) okre lamy metodami przybli onego

całkowania (np. metod trapezów) i otrzymujemy dyskretne zbiory ich warto ci (rys. 2.28).

Rys. 2.28. Konstrukcja funkcji (U). Krzepni cie w przedziale temperatury

Dla wybranych warto ci T

otrzymujemy pary liczb (U

), które determinuj (w postaci

dyskretnej) przebieg funkcji (U). Pochodn tej funkcji mo na wyznaczy numerycznie.

Konstrukcja modelu scalonego wymaga równie odpowiedniego przebudowania

warunków brzegowych i pocz tkowych:

- warunki I rodzaju przekształca si natychmiastowo

∆Γ

∈

( )

(2.130)

- warunki II rodzaju; nale y zauwa y , e wyra enie typu

T mo na zapisa jako

dU/dT

T,=

U, czyli q

=-grad U(X, t), tak wi c

∆Γ

∈

( )

grad

−

(2.131)

- warunki

III rodzaju

III

∆Γ

∈

( )

(

)

∞

−

gradU

(2.132)

Powtórzymy teraz rozumowanie, jakie przeprowadzili my przy omawianiu konwencji

entalpowej w podrozdziale poprzednim. Mamy

( )

(

)

∞

−

∞

(2.133)

Dla =idem:

= , a dla = (T):

jest rednim całkowym współczynnikiem przewodzenia

w przedziale

T ,

∞

. Warunek brzegowy (2.76) przyjmuje posta

( )

(

)

∞

−

gradU

, (2.133)

gdzie

= /

. Jak wida trudno ci z poprawnym wykorzystaniem tego warunku s

podobne jak przy konwencji entalpowej.

Rozwa my jeszcze mo liwo wprowadzenia temperatury Kirchhoffa do opisu problemu

Stefana. Na rysunku 2.29 pokazano zale no H=H(T) dla metalu krzepn cego w stałej

temperaturze, funkcj U(T) oraz skonstruowan na ich podstawie funkcj (U). Jak wida dla

U=U

. funkcj t charakteryzuje nieci gło typu „skok sko czony" i pochodna (U) nie jest

w tym punkcie okre lona.

Rys. 2.29. Konstrukcja funkcji (U). Krzepni cie w stałej temperaturze

Przez odpowiednie wygładzanie przebiegu funkcji (U )- por. rys. 2.29 mo emy otrzyma

funkcj ró niczkowaln w całym przedziale okre lono ci.

2.2.13. Transport masy

W poprzednich rozdziałach pokazano celowo konstruowania modeli scalonych

krzepni cia odlewu obejmuj cych tak e elementy odpowiadaj ce transportowi masy w

analizowanym układzie. Nale y wi c w modelu takim uwzgl dni m. in. procesy dyfuzyjne

ce do wyrównania potencjałów chemicznych (a z pewnym przybli eniem mo na

powiedzie , e składu chemicznego) w obj to ci odlewu. Procesy te wynikaj

ze zjawisk

zachodz cych w skali atomowej. Ich opis powstał na podstawie teorii dyslokacji i rachunku

defektów siatki oraz jej parametrów dla ciał stałych krystalicznych. Poniewa zasadnicze

własno ci cieczy i ciała stałego s zbli one, przeniesiono ten opis równie na ciekłe metale i

stopy, zakładaj c, e maj one quasi-krystaliczn struktur .

Niniejsza praca koncentruje si na makroskopowym opisie zjawisk zachodz cych w

odlewie, dlatego te pominiemy szczegóły wyprowadzenia praw dyfuzji oraz metody

okre lania współczynnika dyfuzji.

Decyduj ce znaczenie dla dalszych rozwa a b dzie miało równanie wi

ce gradient

st enia z jego zmianami w czasie, zwane drugim prawem Ficka

(

)

grad

div

∂

, (2.135)

gdzie z - st enie składnika stopowego, D - współczynnik dyfuzji. Najcz ciej przyjmuje si ,

e współczynnik dyfuzji ma stał warto w całym podobszarze i wówczas równanie to

przekształci mo na do postaci

(

)

grad

div

∂

. (2.136)

Jest to wi c równanie podobne do opisu przepływu ciepła, przedstawionego w

poprzednich podrozdziałach (zarówno dla zada liniowych jak i nieliniowych). Mo na

zauwa y , e du e znaczenie dla oblicze ma okre lenie wielko ci współczynnika dyfuzji

danego składnika stopowego. Wymiarem tego współczynnika jest cm

/s. Wi kszo danych

cytowanych w literaturze dotyczy stanu stałego. Znacznie trudniej uzyska informacje o

wielko ci konkretnego współczynnika dyfuzji w przypadku ciekłych metali i stopów. Istnieje

jednak szereg zale no ci umo liwiaj cych stosunkowo łatwe (cho niekoniecznie dokładne)

okre lenie współczynnika dyfuzji. Jedn z nich jest, oparte na zało eniach Stokesa, równanie

Einsteina

, (2.137)

gdzie k=l,3803

-23

J/K - stała Boltzmanna, r - promie dyfunduj cej cz stki (atomu lub

jonu dyfunduj cego składnika stopu), - współczynnik lepko ci dynamicznej, n -

współczynnik zale ny od stosunku rozmiarów dyfunduj cej cz steczki do rozmiarów

jednostek strukturalnych o rodka, w którym dyfuzja si odbywa. Współczynnik n przyjmuje

najcz ciej warto 4, cho istniej pewne rozbie no ci w jego ocenie.

Procesy dyfuzyjne zachodz w całym obszarze odlewu. Jednak w praktyce mo na ograniczy

obliczenia do cienkiej warstwy przylegaj cej do frontu krystalizacji (krzepni cia). Poza t

warstw lepko cieczy zmniejsza si tak bardzo, e decyduj c rol odgrywaj jedynie

procesy konwekcyjne, wyrównuj ce skład chemiczny.

Dyfuzja w stanie stałym nie jest zazwyczaj uwzgl dniana w modelu scalonym rozwa anego

procesu, gdy jej intensywno jest w stosunku do intensywno ci dyfuzji w cieczy znikoma.

Przykładowo, gdy współczynnik dyfuzji Zn w Al w stanie ciekłym wynosi D=6•10

-5

/s, to

w stanie stałym (500°C) wynosi on tylko D= 2!10

-9

/s. Mo na wi c przyjmowa , e

rozkład składników wynikaj cy z procesów zachodz cych w cieczy i na froncie krzepni cia

nie zostanie zaburzony do momentu zakrzepni cia całego obszaru odlewu.

Warunki brzegowo-pocz tkowe.

Równanie dyfuzji opisuje tendencj do niejedno-

rodno ci składu chemicznego stopu. Czym spowodowane s niejednorodno ci uruchamiaj ce

mechanizm dyfuzji? Wynikaj one głównie z ró nicy składu chemicznego fazy stałej i ciekłej

w otoczeniu frontu krzepni cia. Najkorzystniejszym sposobem opisu tej zale no ci jest

wprowadzenie jednego współczynnika, zwanego współczynnikiem rozdziału. Takie

postawienie problemu jest mo liwe w opisie krystalizacji oraz w pewnych przypadkach

modelu krzepni cia, kiedy to w odlewie wyró nia si jedynie podobszary cieczy i ciała

stałego (brak strefy dwufazowej). Równowagowy (w warunkach równowagi faz stałej i

ciekłej) współczynnik rozdziału mo na, z pewnym przybli eniem, zapisa jako iloraz st enia

faz stałej i ciekłej w bliskim otoczeniu frontu

. (2.138)

Wprowadza si tak e współczynnik rozdziału na froncie krzepni cia (w warunkach ró nych

od równowagi)

, (2.139)

gdzie

— st enie cieczy w fazie ciekłej, na froncie krzepni cia, natomiast efektywny

współczynnik rozdziału (równie w warunkach ró nych od równowagi)

lsr

, (2.140)

gdzie z

lsr

- rednie st enie w fazie ciekłej.

Najcz ciej wykorzystywanym sposobem okre lenia współczynnika k

jest wyznaczenie jego

warto ci na podstawie wykresu równowagi danego stopu. Je eli st enie stopu bliskie jest

eutektycznemu, nale y spodziewa si zmian współczynnika podczas procesu. Podobne

trudno ci pojawiaj si w przypadku st enia perytektycznego.

Warunek brzegowy dla równania dyfuzyjnego transportu masy na tak opisanym froncie

krzepni cia, przy dodatkowym zało eniu o jego płasko ci, ma posta

( )

∈

( )

(

)

( )

grad

−

. (2.141)

Zale no ta wynika z ci gło ci strumienia składnika segreguj cego po stronie fazy stałej i

ciekłej. Strumie po stronie cieczy wynosi bowiem

( )

∈

( )

grad

−

, (2.142)

natomiast po stronie fazy stałej

( )

∈

( )

−

. (2.143)

Porównuj c zale no ci (2.142) i (2.143), otrzymuje si warunek brzegowy (2.141).

Uwzgl dnienie istnienia strefy dwufazowej powoduje znaczn komplikacj opisu

matematycznego transportu masy w tym podobszarze odlewu.

Na drugim kra cu układu (w gł bi fazy ciekłej) zakłada si warunek I rodzaju, przy

czym st enie na tej powierzchni mo e by stale lub zmienia si z upływem czasu — zale y

to od sposobu modelowania procesu w ciekłej cz ci odlewu. Warunek ze stałym st eniem

mo na sformułowa w przypadku odlewu o du ych wymiarach albo dla niektórych

technologii krystalizacji kierunkowej. Je eli układ traktujemy jako ograniczony i obliczanie

transportu masy poprzez dyfuzj prowadzi si w obszarze warstwy dyfuzyjnej — zgodnie z

teori Burtona—Slichtera- Prima, a poza ni przyjmuje si równomierny rozkład st e ,

wówczas warunek na powierzchni odległej o " (grubo warstwy dyfuzyjnej) od frontu

krzepni cia jest równie warunkiem I rodzaju, ale st enie na brzegu w rozpatrywanej chwili

wynika z bilansu masy składnika w układzie. Wynika ono z całkowania funkcji opisuj cych

rozkład st enia w całym obszarze odlewu: w fazie stałej, w warstwie dyfuzyjnej i w cieczy.

Układ równa uzupełnia warunek pocz tkowy, najcz ciej w postaci zało enia o

jednakowym st eniu w całej obj to ci odlewu w stanie ciekłym w chwili przyj tej jako t=0.

Sprz enie modelu dyfuzji z procesami cieplnymi determinuj cymi krzepni cie i

stygni cie odlewu mo e by realizowane na kilka sposobów. Niektóre modele sprz one

konstruuje si na gruncie termodynamiki procesów nierównowagowych, ale wi kszo

rozwi za uzyskuje si w sposób mniej zło ony, rozpatruj c odr bnie równanie

przewodnictwa i odr bnie równanie dyfuzji masy, natomiast wzajemne oddziaływania mi dzy

polem temperatury a segregacj uwzgl dnia si po rednio.

Szczegóły na temat konstrukcji takich modeli znale mo na w cytowanej ksi ce

„Modelowanie i symulacja krzepni cia odlewów”.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 Matematyczny opis zmienności
Opis zawodu Matematyk, Opis-stanowiska-pracy-DOC
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
2002m matematyczno przyrodniczy standard poznaj zainteresowania opis
calkowanie 1 opis matematyczny Nieznany
Opis - MuPAD Pro, Matematyka, fizyka etc, MuPad Pro 3.1.1 i Cabri geometre 2
02 Opis matematyczny układów liniowych
Podstawy matematyki finansowej opis funkcji
PA2 opis matemat
Opis - Cabri geometre 2, Matematyka, fizyka etc, MuPad Pro 3.1.1 i Cabri geometre 2
PA2 opis matemat
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
Opis rozdziału VI książki „Dziecięca matematyka” p Edyty Gruszczyk Kolczyńskiej
PA2 opis matemat
02 Opis matematyczny układów liniowych
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]

więcej podobnych podstron