Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. in
ż
. Jan Maciej Ko
ś
cielny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
2. Opis matematyczny układów liniowych
Poj
ę
cia podstawowe
2
Modele s
ą
koniecznym warunkiem realizacji zada
ń
sterowania a tak
ż
e innych zada
ń
: optymalizacji,
diagnostyki procesów oraz budowy wirtualnych
Model – zobrazowanie zachowania si
ę
obiektu (procesu)
sensorów i symulatorów procesu
Pozyskanie modeli stanowi zwykle zasadnicz
ą
cz
ęść
nakładów na realizacj
ę
tych zada
ń
Klasyfikacja modeli
3
Klasyfikacja modeli:
• Modele fizyczne – model obiektu w odpowiedniej
skali
• Modelem analogowe (maszyny analogowe)
• Modele matematyczne (modelowanie i symulacja
komputerowa)
komputerowa)
Definicja modelu matematycznego obiektu
4
Model - matematyczny zapis wi
ążą
cy warto
ś
ci
sygnału, który okre
ś
lamy jako wyj
ś
cie z obiektu i
znanych sygnałów, które posiadaj
ą
wpływ na
warto
ś
ci tego wyj
ś
cia.
5
Klasyfikacja modeli matematycznych
• Rodzaje modeli ze wzgl
ę
du na
ź
ródło wiedzy o obiekcie:
– Modele fenomenologiczne (analityczne)
uzyskiwane w wyniku matematycznego opisu
zwi
ą
zków fizyko-chemicznych
– Uzyskiwane na podstawie danych pomiarowych
(empiryczne)
– Modele uzyskiwane na podstawie wiedzy eksperckiej
– Modele uzyskiwane na podstawie wiedzy eksperckiej
Klasyfikacja modeli matematycznych
6
• Rodzaje modeli ze wzgl
ę
du na wła
ś
ciwo
ś
ci dynamiczne:
– Modele statyczne (nie uwzgl
ę
dniaj
ą
ce przebiegu
czasu w sposób jawny)
– Modele dynamiczne, oddaj
ą
ce oprócz
charakterystyk statycznych równie
ż
dynamiczne
zachowania modelowanego systemu
w dziedzinie czasu
w dziedzinie czasu
w dziedzinie cz
ę
stotliwo
ś
ci
Identyfikacja obiektów
Identyfikacja obiektów: okre
ś
lenie modelu obiektu na
podstawie bada
ń
eksperymentalnych
Potrzeba identyfikacji - trudno
ś
ci ustalenia opisu
matematycznego obiektów metodami analitycznymi
Linearyzacja układów nieliniowych
Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj s
ą
układami nieliniowymi.
Dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza si
ę
ich
linearyzacj
ę
, co pozwala na sformułowanie przybli
ż
onego opisu
liniowego, wa
ż
nego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najcz
ęś
ciej
nominalnym lub u
ś
rednionym warunkom pracy układu).
• Metody analizy obiektów oraz projektowania układów automatycznej
regulacji s
ą
dla układów liniowych znacznie bardziej rozwini
ę
te ni
ż
dla
układów nieliniowych
• W wielu zastosowaniach wystarczy posługiwa
ć
si
ę
opisem liniowym,
szczególnie, gdy obiekt funkcjonuje w otoczeniu punktu pracy.
• Brak jest metod rozwi
ą
zywania dowolnych nieliniowych równa
ń
ró
ż
niczkowych
Przykład
1
12
12
1
1
2gL
S
F
dt
dL
A
α
−
=
U
F
L
1
y
Charakterystyka statyczna
1
12
12
2gL
S
F
α
=
punkt pracy
F
y
u
Opis matematyczny układów liniowych
Ogólna posta
ć
równania ró
ż
niczkowego układu liniowego:
gdzie: y- sygnał wyj
ś
ciowy, u-sygnał wej
ś
ciowy, a
i
, b
i
- współczynniki stałe
u
b
dt
u
d
b
dt
u
d
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
K
K
i
i
y, u – s
ą
odchyłkami od punktu pracy
ZASADA SUPERPOZYCJI
y(u
1
+u
2
)=y(u
1
)+y(u
2
)
gdzie: y(u
i
) oznacza odpowied
ź
układu y na wymuszenie u
i
;
oraz y(0)=0
Układy liniowe
Układ liniowy – układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji.
Modele matematyczne układów liniowych s
ą
opisywane liniowymi
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
ró
ż
niczkowymi, np.:
u
u
,
y
y
y
2
5
0
2
2
+
=
+
+
&
&
&
&
&
Układ nieliniowy – układy w których nie jest zachowana zasada
superpozycji.
y(u
1
+u
2
)=y(u
1
)+y(u
2
)
Układ opisany równaniem liniowy, w którym y(0)
≠
0 tak
ż
e nie spełnia
zasady superpozycji , np. układ opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.
Charakterystyka statyczna
Charakterystyka statyczna układu – przedstawia zale
ż
no
ść
sygnału
wyj
ś
ciowego układu od sygnału wej
ś
ciowego w stanie ustalonym
Stan ustalony układu – wszystkie pochodne sygnału wej
ś
ciowego
i sygnału wyj
ś
ciowego s
ą
równe zero
u
y
Posta
ć
charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:
gdzie: u,y – wej
ś
cie, wyj
ś
cie z układu
u
a
b
y
0
0
=
Przekształcenie Laplace’a
Zast
ą
pienie równania ró
ż
niczkowego transmitancj
ą
operatorow
ą
,
przej
ś
cie z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienn
ą
zespolon
ą
)
(
)
(
s
f
t
f
⇔
ω
j
c
s
+
=
)]
(
[
)
(
t
f
L
s
f
=
∫
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
s
f
st
)]
(
[
)
(
t
f
L
s
f
=
)]
(
[
)
(
1
s
f
L
t
f
−
=
∫
+
−
=
jω
c
jω
c
st
ds
e
s
F
πj
f(t)
)
(
2
1
przekształcenie
Laplace’a
odwrotne
przekształcenie
Laplace’a
Opis matematyczny układów liniowych
Zast
ą
pienie równania ró
ż
niczkowego transmitancj
ą
operatorow
ą
:
u
b
dt
u
d
b
dt
u
d
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
K
K
)
0
(
)
0
(
)
(
1
1
+
−
+
−
−
−
−
=
n
n
n
n
y
y
s
s
y
s
y
d
L
K
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
1
b
s
b
s
b
s
u
a
s
a
s
a
s
y
m
m
m
m
n
n
n
n
+
+
+
⋅
=
+
+
+
⋅
−
−
−
−
K
K
)
0
(
)
0
(
)
(
1
1
+
−
+
−
−
−
−
=
n
n
n
n
y
y
s
s
y
s
dt
y
d
L
K
)
(s
y
s
dt
y
d
L
n
n
n
=
przy zerowych warunkach
pocz
ą
tkowych
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału
wyj
ś
ciowego do transformaty sygnału wej
ś
ciowego
przy zerowych warunkach pocz
ą
tkowych
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
1
b
s
b
s
b
s
u
a
s
a
s
a
s
y
m
m
m
m
n
n
n
n
+
+
+
⋅
=
+
+
+
⋅
−
−
−
−
K
K
m
n
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
u
s
y
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
≥
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
,
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
1
K
K
)
(
)
(
)
(
s
N
s
M
s
G
=
0
1
1
0
1
1
)
(
)
(
a
s
a
s
a
s
N
b
s
b
s
b
s
M
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
=
+
+
+
=
−
−
−
−
K
K
Wyznaczanie transmitancji operatorowej
Przykład 1: Wyznaczy
ć
transmitancj
ę
operatorow
ą
układu
opisanego równaniem ró
ż
niczkowym:
Wykorzystuj
ą
c operator ró
ż
niczkowania s mo
ż
na
powy
ż
sze równanie zapisa
ć
w postaci
u
y
dt
dy
3
2
=
+
1
2
3
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
(
)
1
2
(
)
(
3
)
(
)
(
2
+
=
=
=
+
=
+
s
s
u
s
y
s
G
s
u
s
y
s
s
u
s
y
s
sy
c
c
Opis elementów na schematach blokowych
Obiekty o jednym wej
ś
ciu i jednym wyj
ś
ciu:
u
y
G(s)
)
(
)
(
)
(
s
u
s
y
s
G
=
Obiekty wielowymiarowe:
..
.
..
.
u
1
u
2
u
m
y
1
y
2
y
n
MG(s)
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
22
21
1
12
11
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
G
s
MG
nm
n
n
m
m
K
M
M
M
M
K
K
m
k
n
i
s
u
s
y
s
G
k
i
ik
K
K
1
,
1
,
)
(
)
(
)
(
=
=
=
Wyznaczenie charakterystyki statycznej
z transmitancji operatorowej
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
s
u
s
sG
s
sy
t
y
y
s
s
t
→
→
∞
→
=
=
=
),
(
lim
),
(
lim
0
0
t
y
y
t
u
u
t
t
∞
→
∞
→
=
=
Na podstawie twierdzenia o warto
ś
ci ko
ń
cowej:
1
)
(
u
s
u
const
u
=
⇒
=
)
(
lim
0
0
0
s
G
u
y
s
→
=
Ko
ń
cowe równanie charakterystyki statycznej:
0
0
0
0
u
a
b
y
=
0
0
1
)
(
u
s
s
u
const
u
=
⇒
=
Własno
ś
ci układów
Wła
ś
ciwo
ś
ci dynamiczne – prezentacja przebiegu wielko
ś
ci wyj
ś
ciowej
y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)
Posta
ć
charakterystyki w typowym układzie współrz
ę
dnych:
Gdzie: u - sygnał wej
ś
ciowy
y - sygnał wyj
ś
ciowy
t - czas [s]
Metody wyznaczania odpowiedzi układu y(t)
Klasyczna:
• Zało
ż
y
ć
warunki pocz
ą
tkowe
• Rozwi
ą
za
ć
równanie ró
ż
niczkowe
u
b
dt
u
d
b
dt
u
d
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
K
K
Operatorowa:
)]
(
)
(
[
)
(
)]
(
[
)
(
1
1
s
u
s
G
L
t
f
s
y
L
t
f
−
−
=
=
Typowe wymuszenia
Skok jednostkowy
t
u
1(t)
=
0
)
(
1
)
(
t
t
u
dla t
≥
0
dla t < 0
=
⋅
0
)
(
1
)
(
t
u
t
u
st
dla t
≥
0
dla t < 0
Skok o warto
ść
stał
ą
Typowe wymuszenia
Impuls jednostkowy – Delta Diraca
t
u
0
∞
∞
=
=
0
)
(
)
(
t
δ
t
u
dla t
≠
0
dla t = 0
Wymuszenie liniowo narastaj
ą
ce
at
t
u
=
)
(
Typowe wymuszenia
•
Wymuszenie skokowe jednostkowe
u(t)=1(t)
•
Wymuszenie skokowe o warto
ść
stał
ą
u(t)=u
st
·1(t)
s
s
u
1
)
(
=
st
u
s
s
u
1
)
(
=
•
Wymuszenie w postaci impulsu
u(t)=
δ
(t) Delta Diraca
•
Wymuszenie liniowo narastaj
ą
ce
u(t)= a·t
1
)
(
=
s
u
2
)
(
s
a
s
u
=
Tablica transformat
Opis układów z u
ż
yciem współrz
ę
dnych stanu
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
u
t
u
t
u
t
U
p
M
)
(
1
t
x
wektor wej
ść
W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielko
ś
ci
okre
ś
lone s
ą
w postaci wektorów i oznaczaj
ą
:
Schemat obiektu
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
x
t
x
t
x
t
X
n
M
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
y
t
y
t
y
t
Y
q
M
wektor stanu
wektor wyj
ść
Obiekt
u
1
u
2
u
p
y
1
y
2
y
q
x
n
x
2
x
1
...
Współrz
ę
dne stanu
Współrz
ę
dne stanu – wielko
ś
ci charakteryzuj
ą
ce zachowanie si
ę
układu
dynamicznego
Wektor stanu układu dynamicznego – minimalny zbiór współrz
ę
dnych
stanu wystarczaj
ą
cy ł
ą
cznie ze znajomo
ś
ci
ą
wielko
ś
ci
wej
ś
ciowych do okre
ś
lenia zachowania si
ę
układu w przyszło
ś
ci.
Liczba współrz
ę
dnych stanu jest równa rz
ę
dowi równania ró
ż
niczkowego
opisuj
ą
cego obiekt
opisuj
ą
cego obiekt
Opis układów we współrz
ę
dnych stanu jest trudniejszy do interpretacji
fizycznej ni
ż
opis w postaci transmitancji i niemo
ż
liwy do bezpo
ś
redniego
okre
ś
lenia na drodze pomiarowej, ale wygodniejszy do celów modelowania
analogowego oraz projektowania układów wielowymiarowych.
Równania stanu i wyj
ść
Ogólna posta
ć
równania stanu:
z n warunkami pocz
ą
tkowymi:
=
=
10
0
1
2
1
2
1
1
1
)
(
)
(
);
;
,
,
,
;
,
,
,
(
)
(
p
n
t
dx
x
t
x
t
u
u
u
x
x
x
f
dt
t
dx
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
K
K
=
=
0
0
2
1
2
1
)
(
);
;
,
,
,
;
,
,
,
(
)
(
n
n
p
n
n
n
x
t
x
t
u
u
u
x
x
x
f
dt
t
dx
K
K
Ogólna posta
ć
równania wyj
ść
:
=
=
)
;
,
,
,
;
,
,
,
(
)
(
)
;
,
,
,
;
,
,
,
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
t
u
u
u
x
x
x
g
t
y
t
u
u
u
x
x
x
g
t
y
p
n
q
q
k
n
K
K
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
K
K
Zlinearyzowane równania stanu
Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego
punktu pracy), równania przyjmuj
ą
wówczas posta
ć
:
t
t
f
u
u
f
u
u
f
u
u
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
dt
t
dx
p
p
n
n
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
)
(
K
K
t
t
g
u
u
g
u
u
g
u
u
g
x
x
g
x
x
g
x
x
g
y
p
p
n
n
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
K
K
...
...
Układ niestacjonarny
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
U
t
D
t
X
t
C
t
Y
t
U
t
B
t
X
t
A
t
X
+
=
+
=
&
Równania stanu układów liniowych stacjonarnych
Układ stacjonarny - o parametrach niezale
ż
nych od czasu
D
B
C
∫∫∫∫
)
(t
U
)
(t
Y
)
(t
X
•
)
(t
X
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
DU
t
CX
t
Y
t
BU
t
AX
t
X
+
=
+
=
&
B
A
C
∫∫∫∫
Obiekt
u
1
u
2
u
p
y
1
y
2
y
q
x
n
x
2
x
1
...
przy czym:
A – macierz układu stopnia n
×
n
B – macierz wej
ść
stopnia n
×
p
C – macierz wyj
ść
stopnia q
×
n
D – macierz transmisyjna układu stopnia q
×
p
Przestrze
ń
stanów
Zbiór wszystkich mo
ż
liwych warto
ś
ci wektora stanu X(t) w chwilach t
tworzy przestrze
ń
stanów układu (przestrze
ń
fazow
ą
).
Zbiór warto
ś
ci wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu
tworzy w tej przestrzeni krzyw
ą
, zwan
ą
trajektori
ą
stanu układu
(trajektori
ą
fazow
ą
).
x
2
x
3
x
2
x
1
Przykład wyznaczania równa
ń
stanu
u
b
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
0
0
1
2
2
=
+
+
u
b
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
0
0
1
2
2
+
−
−
=
Współrz
ę
dne stanu
Równania stanu
y
x
=
u
b
x
a
x
a
x
x
x
0
1
0
2
1
2
2
1
+
−
−
=
=
&
&
1
x
y
=
Równanie wyj
ść
1
2
1
x
dt
dy
x
y
x
&
=
=
=
Przykład wyznaczania równa
ń
stanu
u
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
n
n
n
n
n
0
0
1
1
1
=
+
+
+
−
−
−
K
u
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
n
n
n
n
n
0
0
1
1
1
+
−
−
−
=
−
−
−
K
Współrz
ę
dne stanu
Równania stanu
1
2
1
=
=
=
x
dt
dy
x
y
x
&
u
b
x
a
x
a
x
x
x
x
x
n
n
n
0
1
0
1
3
2
2
1
...
+
−
−
−
=
=
=
−
K
&
&
&
1
x
y
=
Równanie wyj
ść
1
1
1
2
2
2
3
1
2
...
−
−
−
=
=
=
=
=
=
n
n
n
n
x
dt
y
d
x
x
dt
y
d
x
x
dt
x
&
&
&
Przykład wyznaczania równa
ń
stanu
u
b
x
a
x
a
x
x
x
x
x
n
n
n
0
1
0
1
3
2
2
1
...
+
−
−
−
=
=
=
−
K
&
&
&
Równania stanu
−
−
−
−
=
−
1
2
1
0
...
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
n
a
a
a
a
A
=
o
b
B
0
...
0
0
1
x
y
=
Równanie wyj
ść
[
]
0
...
0
0
1
=
C
[ ]
0
=
D
D
B
A
C
∫∫∫∫
)
(t
U
)
(t
Y
)
(t
X
)
(t
X&
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
Metoda bezpo
ś
rednia
n
n
n
n
n
m
m
m
m
s
s
a
s
a
s
a
s
b
s
b
s
b
s
b
s
u
s
y
s
G
−
−
−
−
−
−
⋅
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
K
K
1
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
m
m
n
m
m
s
a
s
a
s
a
s
b
s
b
s
b
s
b
s
u
s
y
s
G
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
K
K
)
(
)
(
0
1
1
1
1
s
u
s
b
s
b
s
b
s
b
s
y
n
n
n
m
m
n
m
m
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
K
1
)
(
)
(
0
1
1
1
1
n
n
n
s
a
s
a
s
a
s
u
s
E
−
−
−
−
+
+
+
+
=
K
)
(
]
[
)
(
0
1
1
1
1
s
E
s
b
s
b
s
b
s
b
s
y
n
n
n
m
m
n
m
m
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
K
)
(
1
)
(
0
1
1
1
1
0
1
1
s
u
s
a
s
a
s
a
s
b
s
b
s
b
s
b
s
y
n
n
n
m
m
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
=
K
K
)
(
]
[
)
(
)
(
0
1
1
1
1
s
E
s
a
s
a
s
a
s
u
s
E
n
n
n
−
−
−
−
+
+
+
−
=
K
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
)
(
]
[
)
(
0
1
1
1
1
s
E
s
b
s
b
s
b
s
b
s
y
n
n
n
m
m
n
m
m
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
K
)
(
]
[
)
(
)
(
0
1
1
1
1
s
E
s
a
s
a
s
a
s
u
s
E
n
n
n
−
−
−
−
+
+
+
−
=
K
)
(s
E
m
b
1
b
)
(s
u
)
(s
y
)
(s
E
+
s
1
s
1
s
1
1
−
−
n
a
2
−
−
n
a
)
(
1
s
E
s
−
)
(
2
s
E
s
−
0
a
−
0
b
+
+
+
+
)
(s
E
s
n
−
)
(s
y
s
dt
y
d
L
n
n
n
=
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
)
(s
u
)
(s
y
)
(s
E
+
s
1
s
1
s
1
1
−
−
n
a
2
−
−
n
a
)
(
1
s
E
s
−
)
(
2
s
E
s
−
0
b
m
b
1
b
+
+
+
+
+
)
(s
E
s
n
−
)
(s
E
s
n
m
−
1
x
2
x
n
x
u
x
a
x
a
x
a
x
x
x
x
x
n
n
n
+
−
−
−
−
=
=
=
−
1
2
1
1
0
3
2
2
1
...
...
&
&
&
1
2
1
1
0
...
+
+
+
+
=
m
m
x
b
x
b
x
b
y
m
n
a
−
−
0
a
−
Przykład
2
2
2
6
5
2
2
)
3
)(
2
(
)
1
(
2
)
(
)
(
)
(
−
−
⋅
+
+
+
=
+
+
+
=
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
u
s
y
s
G
6
5
1
2
2
)
(
)
(
2
1
2
1
−
−
−
−
+
+
+
=
s
s
s
s
s
u
s
y
)
6
5
1
)
(
)(
2
2
(
)
(
2
1
2
1
−
−
−
−
+
+
+
=
s
s
s
u
s
s
s
y
)
(s
u
6
5
1
)
(
)
(
2
1
−
−
+
+
=
s
s
s
u
s
E
)
(
)
6
5
1
)(
(
2
1
s
u
s
s
s
E
=
+
+
−
−
)
(
)
6
5
)(
(
)
(
2
1
s
u
s
s
s
E
s
E
=
+
+
−
−
)
(
)
6
5
(
)
(
)
(
2
1
s
E
s
s
s
u
s
E
−
−
+
−
=
)
(
)
2
2
(
)
(
2
1
s
E
s
s
s
y
−
−
+
=
Przykład
)
(
)
6
5
(
)
(
)
(
2
1
s
E
s
s
s
u
s
E
−
−
+
−
=
)
(
)
2
2
(
)
(
2
1
s
E
s
s
s
y
−
−
+
=
)
(s
u
)
(s
y
)
(s
E
+
s
1
s
1
2
2
+
)
(s
u
s
s
5
−
6
−
2
+
+
+
+
1
x
2
x
u
x
x
x
x
x
+
−
−
=
=
2
1
2
2
1
5
6
&
&
2
1
2
2
x
x
y
+
=
−
−
=
5
6
1
0
A
=
1
0
B
[
]
2
2
=
C
[ ]
0
=
D
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
Metoda równoległa
)
(
)
(
1
1
∑
∑
+
=
=
n
i
i
n
i
c
s
k
s
G
s
G
1
s
1
k
1
c
−
1
x
+
+
1
s
1
s
2
k
n
k
2
c
−
n
c
−
)
(s
u
2
x
n
x
)
(s
y
+
+
+
+
+
+
+
∑
=
+
−
=
i
i
i
i
i
i
x
k
y
u
x
c
x&
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
Metoda równoległa – bieguny urojone
)
(
2
i
i
i
i
d
s
c
s
k
s
G
+
+
=
1
s
c
−
)
(s
u
i
x
1
i
+
x
)
(s
y
+
+
+
1
s
i
d
−
i
c
−
i
i
i
i
i
i
i
x
x
u
x
d
x
c
x
=
+
−
−
=
+
+
1
1
&
&
1
s
1
2
−
2
−
1
x
2
x
+
+
+
+
3
4
2
2
)
3
)(
2
(
)
1
(
2
)
(
)
(
)
(
+
+
+
−
=
+
+
+
=
=
s
s
s
s
s
s
u
s
y
s
G
Przykład
1
s
4
3
−
)
(s
u
2
x
)
(s
y
+
+
+
u
x
x
u
x
x
+
−
=
+
−
=
2
2
1
1
3
2
&
&
2
1
4
2
x
x
y
+
−
=
Wyznaczanie równa
ń
stanu z transmitancji
Metoda iteracyjna
∏
∏
=
=
+
+
=
=
n
i
i
i
n
i
i
c
s
b
s
s
G
s
G
1
1
)
(
)
(
)
(
1
i
i
i
i
b
s
c
s
c
s
b
s
+
+
=
+
+
)
(s
u
)
(s
y
1
s
1
b
1
c
−
1
x
+
+
1
s
n
b
n
c
−
n
x
+
+
i
i
i
i
i
i
i
i
x
b
x
y
u
x
c
x
+
=
+
−
=
&
&
)
2
(
2
)
3
(
1
)
3
)(
2
(
)
1
(
2
)
(
)
(
)
(
+
+
+
=
+
+
+
=
=
s
s
s
s
s
s
s
u
s
y
s
G
Przykład
)
(s
u
)
(s
y
1
s
1
3
−
1
x
+
+
1
s
2
2
-
2
x
+
+
1
y
u
x
x
x
u
x
x
+
−
−
=
+
−
=
2
1
2
1
1
2
2
3
&
&
2
2x
y
=
u
x
x
x
y
u
x
x
+
−
=
+
=
+
−
=
1
1
1
1
1
1
2
3
&
&
2
1
2
2
2
2
x
y
y
x
x
=
+
−
=
&
Transmitancja na podstawie równa
ń
stanu
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
DU
t
CX
t
Y
t
BU
t
AX
t
X
+
=
+
=
&
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
DU
s
CX
s
Y
s
BU
s
AX
s
sX
+
=
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
BU
s
X
A
sI
s
BU
s
AX
s
sX
=
−
=
−
)
(
]
)
(
[
)
(
1
s
U
D
B
A
Is
C
s
Y
+
−
=
−
D
B
A
Is
C
s
U
s
Y
s
G
+
−
=
=
−
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
s
BU
A
sI
s
X
s
BU
s
X
A
sI
−
−
=
=
−
Przykład
=
1
0
2
1
A
=
1
0
B
[ ]
0
1
=
C
[ ]
0
=
D
D
B
A
Is
C
s
U
s
Y
s
G
+
−
=
=
−
1
)
(
)
(
)
(
)
(
[ ]
−
=
−
1
0
1
0
2
1
0
0
0
1
)
(
1
s
s
s
G
[ ]
2
2
)
1
(
2
1
0
1
1
0
)
1
(
2
1
1
0
1
)
(
−
=
−
−
−
=
s
s
s
s
s
G
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
PA2 opis matemat
PA2 opis matemat
PA2 opis matemat
PA2 opis matemat (2)
opis zgloszenia patnetowego [tryb zgodności]
(Microsoft PowerPoint Matematyka Farmacja [tryb zgodno 234ci])
2012 KU W5 tryb dzienny moodle tryb zgodnosci
(W7a Stale do kszta t na zimno cz I [tryb zgodno ci])
2 Sieci komputerowe 09 03 2013 [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP tryb zgodnosci
ATMOSFERA [tryb zgodnosci]a id Nieznany
(Rachunkowosc podatkowa wyklad 4 5 [tryb zgodności])
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
OUN2009 [tryb zgodno
Bankowosc materialy 14 [tryb zgodnosci]
MikroI 9 [tryb zgodnosci]
więcej podobnych podstron