CAŁKOWANIE

NUMERYCZNE

całki pojedyncze

Kwadratury interpolacyjne

3

Kwadratury interpolacyjne

Rozpatrujemy funkcję

f(x)

ciągłą i ograniczoną w przedziale

domkniętym

[a, b].

Przedział

[a, b]

dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,

wyróżniając na osi

x

zbiór punktów:

0

1

2

1

...

...

i

i

n

a x

x

x

x

x

x

b

+

=

< <

< < <

< <

=

Punkty

x

i

, i = 0, 1, ..., n

tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):

1

const

i

i

x

x

h

+

− = =

4

Kwadratury interpolacyjne

Kwadratury interpolacyjne

5

Kwadratury interpolacyjne

Z własności całki oznaczonej wynika, że:

1

0

1

0

( ) d

( ) d

n

i

i

x

b

x

n

i

x

a

x

f x

x

f x

x

+

=

−

=

=

=

¦

³

³

Oznaczenie:

1

( ) d

i

i

x

i

x

f x

x

+

σ =

³

6

Kwadratury interpolacyjne

Istota metody kwadratur interpolacyjnych

Przybliżenie funkcji podcałkowej

f(x)

w przedziale

[x

i

, x

i+1

]

lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem

interpolacyjnym

1

1

( ) d

( ) d

i

i

i

i

x

x

i

x

x

f x

x

W x

x

+

+

σ =

≈

∫

∫

W(x)

– wielomian interpolacyjny

7

Kwadratury interpolacyjne

Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość

całki w przedziale

[a, b]

Wielomian interpolacyjny

I. wzór Newtona

2

(

1)

( )

...,

2!

i

i

i

i

x x

q q

W x

y

q y

y

q

h

−

−

= + ∆ +

∆

+

=

Metoda prostokątów

9

Metoda prostokątów

Niech:

1

( )

,

[ ,

]

i

i

i

W x

y

x

x x

+

=

∈

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[x

i

, x

i+1

]

jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika

f(x)

na odcinku

[x

i

, x

i+1

]

zastępujemy linią poziomą

10

Metoda prostokątów

1

1

( ) d

d

i

i

i

i

x

x

i

i

x

x

f x

x

y x

+

+

σ =

≈

³

³

Wprowadzamy podstawienie:

1

1

, d

d ,

0,

1

i

i

i

x x

q

q

x

x x

q

x x

q

h

h

+

−

=

=

= Ÿ =

=

Ÿ =

Otrzymujemy:

1

1

0

d

d

i

i

x

i

i

i

i

x

y x h y q hy

+

σ =

=

=

³

³

11

Metoda prostokątów

1

1

0

0

( ) d

b

n

n

i

i

i

i

a

f x

x

h

y

−

−

=

=

=

σ =

¦

¦

³

Wzór prostokątów:

1

0

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

−

=

=

¦

³

12

Metoda prostokątów

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

0

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

−

=

=

¦

³

Wzór prostokątów z nadmiarem

(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):

1

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

=

=

¦

³

13

Metoda prostokątów

Metoda prostokątów

z niedomiarem

Metoda prostokątów

z nadmiarem

14

Metoda prostokątów

Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:

(

)

5

2

1

2 d

x

x

+

³

1

49

3

=

( ) d

b

a

f x

x

³

2

( )

2

f x

x

=

+

1

a

=

5

b

=

15

Metoda prostokątów

4

n

=

Ilość podprzedziałów:

Krok całkowania:

5 1

1

4

b a

h

n

−

−

=

=

=

0

1

0

2

0

3

0

4

0

1

1 1 2

2

1 2 1 3

3

1 3 1 4

4

1 4 1 5

a x

x

x

h

x

x

h

x

x

h

x

x

h

b

=

=

= + = + =

= +

= + ⋅ =

= +

= + ⋅ =

= +

= + ⋅ = =

2

0

0

2

1

1

2

2

2

2

3

3

2

5

4

( ) 1

2 3

( ) 2

2 6

( ) 3

2 11

( ) 4

2 18

( ) 5

2 27

y

f x

y

f x

y

f x

y

f x

y

f x

=

= + =

=

=

+ =

=

= + =

=

=

+ =

=

= + =

16

Metoda prostokątów

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

3

0

0

n

i

i

i

i

h

y

h

y

−

=

=

=

¦

¦

0

1

2

3

(

)

h y

y

y

y

=

+ + +

1 (3 6 11 18)

= ⋅ + + +

38

=

Wzór prostokątów z nadmiarem:

4

1

1

n

i

i

i

i

h

y

h

y

=

=

=

¦

¦

1

2

3

4

(

)

h y

y

y

y

=

+ + +

1 (6 11 18 27)

= ⋅ + + +

62

=

Metoda trapezów

18

Metoda trapezów

Niech:

1

( )

,

[ ,

]

i

i

i

i

W x

y

q y

x

x x

+

= + ∆

∈

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[

x

i

,

x

i+1

]

jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych

składników

19

Metoda trapezów

1

1

( ) d

(

) d

i

i

i

i

x

x

i

i

i

x

x

f x

x

y

q y

x

+

+

σ =

=

+ ∆

³

³

(

)

1

1

0

1

(

) d

2

i

i

i

i

i

y

q y

q

h y

y

+

σ =

+ ∆

=

+

³

Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:

20

Metoda trapezów

1

1

1

0

0

( ) d

2

b

n

n

i

i

i

i

i

a

y

y

f x

x

h

−

−

+

=

=

+

§

·

=

σ =

¨

¸

©

¹

¦

¦

³

Wzór trapezów:

1

0

1

( ) d

2

b

n

n

i

i

a

y

y

f x

x h

y

−

=

+

ª

º

=

+

«

»

¬

¼

¦

³

21

Metoda trapezów

Metoda trapezów

22

Metoda trapezów

Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając

ze wzoru trapezów:

(

)

5

2

1

1

2 d

49

3

x

x

+

=

³

Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:

4

n

=

Punkty

x

i

i wartości funkcji w tych punktach

y

i

są identyczne

jak w poprzednim przykładzie

23

Metoda trapezów

1

3

0

0

4

1

1

2

2

n

n

i

i

i

i

y

y

y

y

h

y

h

y

−

=

=

+

+

ª

º

ª

º

+

=

+

=

«

»

«

»

¬

¼

¬

¼

¦

¦

0

4

1

2

3

2

y

y

h

y

y

y

+

ª

º

=

+ + +

«

»

¬

¼

3 27

1

6 11 18

2

+

ª

º

= ⋅

+ + +

«

»

¬

¼

50

=