CAŁKOWANIE

NUMERYCZNE

całki pojedyncze

Kwadratury interpolacyjne

3

Kwadratury interpolacyjne

Rozpatrujemy funkcję

f(x)

ciągłą i ograniczoną w przedziale

domkniętym

[a, b].

Przedział

[a, b]

dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,

wyróżniając na osi

x

zbiór punktów:

0

1

2

1

...

...

i

i

n

a x

x

x

x

x

x

b

+

=

< <

< < <

< <

=

Punkty

x

i

, i = 0, 1, ..., n

tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):

1

const

i

i

x

x

h

+

− = =

4

Kwadratury interpolacyjne

Kwadratury interpolacyjne

5

Kwadratury interpolacyjne

Z własności całki oznaczonej wynika, że:

1

0

1

0

( ) d

( ) d

n

i

i

x

b

x

n

i

x

a

x

f x

x

f x

x

+

=

−

=

=

=

¦

³

³

Oznaczenie:

1

( ) d

i

i

x

i

x

f x

x

+

σ =

³

6

Kwadratury interpolacyjne

Istota metody kwadratur interpolacyjnych

Przybliżenie funkcji podcałkowej

f(x)

w przedziale

[x

i

, x

i+1

]

lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem

interpolacyjnym

1

1

( ) d

( ) d

i

i

i

i

x

x

i

x

x

f x

x

W x

x

+

+

σ =

≈

∫

∫

W(x)

– wielomian interpolacyjny

7

Kwadratury interpolacyjne

Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość

całki w przedziale

[a, b]

Wielomian interpolacyjny

I. wzór Newtona

2

(

1)

( )

...,

2!

i

i

i

i

x x

q q

W x

y

q y

y

q

h

−

−

= + ∆ +

∆

+

=

Metoda prostokątów

9

Metoda prostokątów

Niech:

1

( )

,

[ ,

]

i

i

i

W x

y

x

x x

+

=

∈

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[x

i

, x

i+1

]

jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika

f(x)

na odcinku

[x

i

, x

i+1

]

zastępujemy linią poziomą

10

Metoda prostokątów

1

1

( ) d

d

i

i

i

i

x

x

i

i

x

x

f x

x

y x

+

+

σ =

≈

³

³

Wprowadzamy podstawienie:

1

1

, d

d ,

0,

1

i

i

i

x x

q

q

x

x x

q

x x

q

h

h

+

−

=

=

= Ÿ =

=

Ÿ =

Otrzymujemy:

1

1

0

d

d

i

i

x

i

i

i

i

x

y x h y q hy

+

σ =

=

=

³

³

11

Metoda prostokątów

1

1

0

0

( ) d

b

n

n

i

i

i

i

a

f x

x

h

y

−

−

=

=

=

σ =

¦

¦

³

Wzór prostokątów:

1

0

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

−

=

=

¦

³

12

Metoda prostokątów

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

0

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

−

=

=

¦

³

Wzór prostokątów z nadmiarem

(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):

1

( ) d

b

n

i

i

a

f x

x h

y

=

=

¦

³

13

Metoda prostokątów

Metoda prostokątów

z niedomiarem

Metoda prostokątów

z nadmiarem

14

Metoda prostokątów

Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:

(

)

5

2

1

2 d

x

x

+

³

1

49

3

=

( ) d

b

a

f x

x

³

2

( )

2

f x

x

=

+

1

a

=

5

b

=

15

Metoda prostokątów

4

n

=

Ilość podprzedziałów:

Krok całkowania:

5 1

1

4

b a

h

n

−

−

=

=

=

0

1

0

2

0

3

0

4

0

1

1 1 2

2

1 2 1 3

3

1 3 1 4

4

1 4 1 5

a x

x

x

h

x

x

h

x

x

h

x

x

h

b

=

=

= + = + =

= +

= + ⋅ =

= +

= + ⋅ =

= +

= + ⋅ = =

2

0

0

2

1

1

2

2

2

2

3

3

2

5

4

( ) 1

2 3

( ) 2

2 6

( ) 3

2 11

( ) 4

2 18

( ) 5

2 27

y

f x

y

f x

y

f x

y

f x

y

f x

=

= + =

=

=

+ =

=

= + =

=

=

+ =

=

= + =

16

Metoda prostokątów

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

3

0

0

n

i

i

i

i

h

y

h

y

−

=

=

=

¦

¦

0

1

2

3

(

)

h y

y

y

y

=

+ + +

1 (3 6 11 18)

= ⋅ + + +

38

=

Wzór prostokątów z nadmiarem:

4

1

1

n

i

i

i

i

h

y

h

y

=

=

=

¦

¦

1

2

3

4

(

)

h y

y

y

y

=

+ + +

1 (6 11 18 27)

= ⋅ + + +

62

=

Metoda trapezów

18

Metoda trapezów

Niech:

1

( )

,

[ ,

]

i

i

i

i

W x

y

q y

x

x x

+

= + ∆

∈

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[

x

i

,

x

i+1

]

jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych

składników

19

Metoda trapezów

1

1

( ) d

(

) d

i

i

i

i

x

x

i

i

i

x

x

f x

x

y

q y

x

+

+

σ =

=

+ ∆

³

³

(

)

1

1

0

1

(

) d

2

i

i

i

i

i

y

q y

q

h y

y

+

σ =

+ ∆

=

+

³

Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:

20

Metoda trapezów

1

1

1

0

0

( ) d

2

b

n

n

i

i

i

i

i

a

y

y

f x

x

h

−

−

+

=

=

+

§

·

=

σ =

¨

¸

©

¹

¦

¦

³

Wzór trapezów:

1

0

1

( ) d

2

b

n

n

i

i

a

y

y

f x

x h

y

−

=

+

ª

º

=

+

«

»

¬

¼

¦

³

21

Metoda trapezów

Metoda trapezów

22

Metoda trapezów

Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając

ze wzoru trapezów:

(

)

5

2

1

1

2 d

49

3

x

x

+

=

³

Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:

4

n

=

Punkty

x

i

i wartości funkcji w tych punktach

y

i

są identyczne

jak w poprzednim przykładzie

23

Metoda trapezów

1

3

0

0

4

1

1

2

2

n

n

i

i

i

i

y

y

y

y

h

y

h

y

−

=

=

+

+

ª

º

ª

º

+

=

+

=

«

»

«

»

¬

¼

¬

¼

¦

¦

0

4

1

2

3

2

y

y

h

y

y

y

+

ª

º

=

+ + +

«

»

¬

¼

3 27

1

6 11 18

2

+

ª

º

= ⋅

+ + +

«

»

¬

¼

50

=

Wzór Simpsona

25

Wzór Simpsona

Niech:

2

1

(

1)

( )

,

[ ,

]

2!

i

i

i

i

i

q q

W x

y

q y

y

x

x x

+

−

= + ∆ +

∆

∈

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[

x

i

,

x

i+1

]

jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych

składników

26

Wzór Simpsona

Przedział

[

a, b]

dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.

Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:

(

)

2

0

2

0

0

0

0

0

1

2

(

1)

d

4

2!

3

x

x

q q

h

y

q y

y

x

y

y

y

−

§

·

σ =

+ ∆ +

∆

=

+

+

¨

¸

©

¹

³

27

Wzór Simpsona

Wzór Simpsona:

(

)

0

1

2

3

2

1

( ) d

4

2

4

... 2

4

3

b

n

n

n

a

h

f x

x

y

y

y

y

y

y

y

−

−

≈

+

+

+

+ +

+

+

³

28

Wzór Simpsona

Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając

ze wzoru Simpsona:

(

)

5

2

1

1

2 d

49

3

x

x

+

=

³

(

)

0

1

2

3

2

1

( ) d

4

2

4

... 2

4

3

b

n

n

n

a

h

f x

x

y

y

y

y

y

y

y

−

−

=

+

+

+

+ +

+

+

=

³

(

)

0

1

2

3

4

4

2

4

3

h

y

y

y

y

y

=

+

+

+

+

=

(

)

1

3 4 6 2 11 4 18 27

3

=

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

1

49

3

=

Kwadratury Gaussa

30

Kwadratury Gaussa

Rozpatrujemy funkcję

f(x)

ciągłą i ograniczoną w przedziale

domkniętym

[

a, b].

Pierwszy krok:

Sprowadzenie całki

do postaci znormalizowanej:

( ) d

b

a

f x

x

³

1

1

( ) d

F

−

ξ ξ

³

31

Kwadratury Gaussa

Normalizacja

Podstawienia:

2

2

b a b a

x

+

−

=

+

ξ

d

d

2

b a

x

−

=

ξ

1

,

1

x a

x b

ξ = − Ÿ =

ξ = Ÿ =

32

Kwadratury Gaussa

1

1

1

1

( ) d

d

( ) d

2

2

2

b

a

b a

b a b a

f x

x

f

F

−

−

−

+

−

§

·

=

+

ξ ξ =

ξ ξ

¨

¸

©

¹

³

³

³

Czyli:

( )

2

2

2

b a

b a b a

F

f

−

+

−

§

·

ξ =

+

ξ

¨

¸

©

¹

33

Kwadratury Gaussa

Przykład
Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:

5

2

1

(

2) d

x

x

+

³

2

2

b a b a

x

+

−

=

+

ξ

5 1 5 1

2

2

x

+

−

=

+

ξ

3 2

= + ξ

d

d

2

b a

x

−

=

ξ

5 1

d

d

2

x

−

=

ξ

2d

=

ξ

34

Kwadratury Gaussa

5

2

1

(

2) d

x

x

+

³

(

)

{

}

1

2

1

3 2

2 2 d

−

ª

º

=

+ ξ + ⋅

ξ

¬

¼

³

1

2

1

8

24

22 d

−

ª

º

=

ξ + ξ +

ξ

¬

¼

³

2

( ) 8

24

22

F

ξ = ξ + ξ +

35

Kwadratury Gaussa

Znormalizowaną funkcję podcałkową

F

(

ξ)

w przedziale

[-1, 1]

przybliża się wielomianem stopnia

2n-1

2

2

1

0

1

2

2

1

( )

...

n

n

F

a

a

a

a

−

−

ξ = + ξ + ξ + +

ξ

Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:

1

1

1

( ) d

( )

n

i

i

i

F

F

w

=

−

ξ ξ ≈

ξ

¦

³

ξ

i

– odcięte tzw. punktów Gaussa,

ξ

i

∈[-1, 1]

w

i

– współczynniki nazywane wagami

n

– ilość punktów Gaussa

36

Kwadratury Gaussa

0.34785
0.65214
0.65214
0.34785

- 0.86113
- 0.33998

0.33998
0.86113

4

1.00000
1.00000

- 0.57735

0.57735

2

w

i

ξ

i

n

Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości

n

37

Kwadratury Gaussa

Przykład
Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów
kwadraturami Gaussa dla

n

= 2

.

Funkcja podcałkowa po normalizacji:

2

( ) 8

24

22

F

ξ = ξ + ξ +

38

Kwadratury Gaussa

2

1

1

2

2

1

1

( )

( )

( )

( )

n

i

i

i

i

i

i

F

w

F

w

F

w

F

w

=

=

ξ

=

ξ

=

ξ

+ ξ

¦

¦

2

2

1

1

1

2

2

2

8

24

22

8

24

22

w

w

ª

º

ª

º

= ξ + ξ +

⋅ + ξ + ξ +

⋅

=

¬

¼

¬

¼

2

2

8( 0.57735)

24( 0.57735) 22 1

8(0.57735)

24(0.57735) 22 1

ª

º

=

−

+

−

+

⋅ +

¬

¼

ª

º

+

+

+

⋅

¬

¼

49.33328

=

39

Kwadratury Gaussa

Przykład

Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku

n = 2

.

2

3

0

1

2

3

( )

F

a

a

a

a

ξ = + ξ + ξ + ξ

Powyższą funkcję całkujemy w przedziale

[-1, 1]

:

1

1

2

3

0

1

2

3

1

1

( ) d

d

F

a

a

a

a

−

−

ª

º

ξ ξ =

+ ξ + ξ + ξ

ξ =

¬

¼

³

³

1

2

3

4

0

1

2

3

1

1

1

1

2

3

4

a

a

a

a

−

ª

º

=

ξ +

ξ +

ξ +

ξ

«

»

¬

¼

0

2

2

2

3

a

a

=

+

∗

40

Kwadratury Gaussa

1

1

1

2

2

1

( ) d

( )

( )

F

F

w

F

w

−

ξ ξ =

ξ

+ ξ

=

³

(

) (

)

2

3

2

3

0

1 1

2 1

3 1

1

0

1 2

2 2

3 2

2

a

a

a

a

w

a

a

a

a

w

=

+ ξ + ξ + ξ

+

+ ξ + ξ + ξ

=

∗∗

(

)

(

) (

)

2

2

3

3

0

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

2

2

3

2a

a

w

w a

w

w a

=

+ ξ + ξ

+ ξ

+ ξ

+ ξ

+ ξ

41

Kwadratury Gaussa

Porównujemy współczynniki przy

a

0

,

a

1

,

a

2

,

a

3

ze wzorów

∗

i

∗∗

1

2

1 1

2

2

2

2

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

2

0

2
3

0

w

w

w

w

w

w

w

w

­

+

=

°

°

°ξ + ξ

=

°

®

°ξ + ξ

=

°

°

°ξ

+ ξ

=

¯

skąd:

1

2

1

2

1

1

0.57735

0.57735

w

w

=

=

ξ ≈ −

ξ ≈