CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
całki pojedyncze
CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
całki pojedyncze
Kwadratury interpolacyjne
3
Kwadratury interpolacyjne
Rozpatrujemy funkcję
f(x)
ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym
[a, b].
Przedział
[a, b]
dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,
wyróżniając na osi
x
zbiór punktów:
0
1
2
1
...
...
i
i
n
a x
x
x
x
x
x
b
+
=
< <
< < <
< <
=
Punkty
x
i
, i = 0, 1, ..., n
tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):
1
const
i
i
x
x
h
+
− = =
4
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
5
Kwadratury interpolacyjne
Z własności całki oznaczonej wynika, że:
1
0
1
0
( ) d
( ) d
n
i
i
x
b
x
n
i
x
a
x
f x
x
f x
x
+
=
−
=
=
=
¦
³
³
Oznaczenie:
1
( ) d
i
i
x
i
x
f x
x
+
σ =
³
6
Kwadratury interpolacyjne
Istota metody kwadratur interpolacyjnych
Przybliżenie funkcji podcałkowej
f(x)
w przedziale
[x
i
, x
i+1
]
lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem
interpolacyjnym
1
1
( ) d
( ) d
i
i
i
i
x
x
i
x
x
f x
x
W x
x
+
+
σ =
≈
∫
∫
W(x)
– wielomian interpolacyjny
7
Kwadratury interpolacyjne
Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość
całki w przedziale
[a, b]
Wielomian interpolacyjny
I. wzór Newtona
2
(
1)
( )
...,
2!
i
i
i
i
x x
q q
W x
y
q y
y
q
h
−
−
= + ∆ +
∆
+
=
Metoda prostokątów
9
Metoda prostokątów
Niech:
1
( )
,
[ ,
]
i
i
i
W x
y
x
x x
+
=
∈
Oznacza to:
f(x)
w przedziale
[x
i
, x
i+1
]
jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika
f(x)
na odcinku
[x
i
, x
i+1
]
zastępujemy linią poziomą
10
Metoda prostokątów
1
1
( ) d
d
i
i
i
i
x
x
i
i
x
x
f x
x
y x
+
+
σ =
≈
³
³
Wprowadzamy podstawienie:
1
1
, d
d ,
0,
1
i
i
i
x x
q
q
x
x x
q
x x
q
h
h
+
−
=
=
= =
=
=
Otrzymujemy:
1
1
0
d
d
i
i
x
i
i
i
i
x
y x h y q hy
+
σ =
=
=
³
³
11
Metoda prostokątów
1
1
0
0
( ) d
b
n
n
i
i
i
i
a
f x
x
h
y
−
−
=
=
=
σ =
¦
¦
³
Wzór prostokątów:
1
0
( ) d
b
n
i
i
a
f x
x h
y
−
=
=
¦
³
12
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
1
0
( ) d
b
n
i
i
a
f x
x h
y
−
=
=
¦
³
Wzór prostokątów z nadmiarem
(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):
1
( ) d
b
n
i
i
a
f x
x h
y
=
=
¦
³
13
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów
z niedomiarem
Metoda prostokątów
z nadmiarem
14
Metoda prostokątów
Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:
(
)
5
2
1
2 d
x
x
+
³
1
49
3
=
( ) d
b
a
f x
x
³
2
( )
2
f x
x
=
+
1
a
=
5
b
=
15
Metoda prostokątów
4
n
=
Ilość podprzedziałów:
Krok całkowania:
5 1
1
4
b a
h
n
−
−
=
=
=
0
1
0
2
0
3
0
4
0
1
1 1 2
2
1 2 1 3
3
1 3 1 4
4
1 4 1 5
a x
x
x
h
x
x
h
x
x
h
x
x
h
b
=
=
= + = + =
= +
= + ⋅ =
= +
= + ⋅ =
= +
= + ⋅ = =
2
0
0
2
1
1
2
2
2
2
3
3
2
5
4
( ) 1
2 3
( ) 2
2 6
( ) 3
2 11
( ) 4
2 18
( ) 5
2 27
y
f x
y
f x
y
f x
y
f x
y
f x
=
= + =
=
=
+ =
=
= + =
=
=
+ =
=
= + =
16
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
1
3
0
0
n
i
i
i
i
h
y
h
y
−
=
=
=
¦
¦
0
1
2
3
(
)
h y
y
y
y
=
+ + +
1 (3 6 11 18)
= ⋅ + + +
38
=
Wzór prostokątów z nadmiarem:
4
1
1
n
i
i
i
i
h
y
h
y
=
=
=
¦
¦
1
2
3
4
(
)
h y
y
y
y
=
+ + +
1 (6 11 18 27)
= ⋅ + + +
62
=
Metoda trapezów
18
Metoda trapezów
Niech:
1
( )
,
[ ,
]
i
i
i
i
W x
y
q y
x
x x
+
= + ∆
∈
Oznacza to:
f(x)
w przedziale
[
x
i
,
x
i+1
]
jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych
składników
19
Metoda trapezów
1
1
( ) d
(
) d
i
i
i
i
x
x
i
i
i
x
x
f x
x
y
q y
x
+
+
σ =
=
+ ∆
³
³
(
)
1
1
0
1
(
) d
2
i
i
i
i
i
y
q y
q
h y
y
+
σ =
+ ∆
=
+
³
Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:
20
Metoda trapezów
1
1
1
0
0
( ) d
2
b
n
n
i
i
i
i
i
a
y
y
f x
x
h
−
−
+
=
=
+
§
·
=
σ =
¨
¸
©
¹
¦
¦
³
Wzór trapezów:
1
0
1
( ) d
2
b
n
n
i
i
a
y
y
f x
x h
y
−
=
+
ª
º
=
+
«
»
¬
¼
¦
³
21
Metoda trapezów
Metoda trapezów
22
Metoda trapezów
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając
ze wzoru trapezów:
(
)
5
2
1
1
2 d
49
3
x
x
+
=
³
Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:
4
n
=
Punkty
x
i
i wartości funkcji w tych punktach
y
i
są identyczne
jak w poprzednim przykładzie
23
Metoda trapezów
1
3
0
0
4
1
1
2
2
n
n
i
i
i
i
y
y
y
y
h
y
h
y
−
=
=
+
+
ª
º
ª
º
+
=
+
=
«
»
«
»
¬
¼
¬
¼
¦
¦
0
4
1
2
3
2
y
y
h
y
y
y
+
ª
º
=
+ + +
«
»
¬
¼
3 27
1
6 11 18
2
+
ª
º
= ⋅
+ + +
«
»
¬
¼
50
=
Wzór Simpsona
25
Wzór Simpsona
Niech:
2
1
(
1)
( )
,
[ ,
]
2!
i
i
i
i
i
q q
W x
y
q y
y
x
x x
+
−
= + ∆ +
∆
∈
Oznacza to:
f(x)
w przedziale
[
x
i
,
x
i+1
]
jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych
składników
26
Wzór Simpsona
Przedział
[
a, b]
dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.
Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:
(
)
2
0
2
0
0
0
0
0
1
2
(
1)
d
4
2!
3
x
x
q q
h
y
q y
y
x
y
y
y
−
§
·
σ =
+ ∆ +
∆
=
+
+
¨
¸
©
¹
³
27
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona:
(
)
0
1
2
3
2
1
( ) d
4
2
4
... 2
4
3
b
n
n
n
a
h
f x
x
y
y
y
y
y
y
y
−
−
≈
+
+
+
+ +
+
+
³
28
Wzór Simpsona
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając
ze wzoru Simpsona:
(
)
5
2
1
1
2 d
49
3
x
x
+
=
³
(
)
0
1
2
3
2
1
( ) d
4
2
4
... 2
4
3
b
n
n
n
a
h
f x
x
y
y
y
y
y
y
y
−
−
=
+
+
+
+ +
+
+
=
³
(
)
0
1
2
3
4
4
2
4
3
h
y
y
y
y
y
=
+
+
+
+
=
(
)
1
3 4 6 2 11 4 18 27
3
=
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
1
49
3
=
Kwadratury Gaussa
30
Kwadratury Gaussa
Rozpatrujemy funkcję
f(x)
ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym
[
a, b].
Pierwszy krok:
Sprowadzenie całki
do postaci znormalizowanej:
( ) d
b
a
f x
x
³
1
1
( ) d
F
−
ξ ξ
³
31
Kwadratury Gaussa
Normalizacja
Podstawienia:
2
2
b a b a
x
+
−
=
+
ξ
d
d
2
b a
x
−
=
ξ
1
,
1
x a
x b
ξ = − =
ξ = =
32
Kwadratury Gaussa
1
1
1
1
( ) d
d
( ) d
2
2
2
b
a
b a
b a b a
f x
x
f
F
−
−
−
+
−
§
·
=
+
ξ ξ =
ξ ξ
¨
¸
©
¹
³
³
³
Czyli:
( )
2
2
2
b a
b a b a
F
f
−
+
−
§
·
ξ =
+
ξ
¨
¸
©
¹
33
Kwadratury Gaussa
Przykład
Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:
5
2
1
(
2) d
x
x
+
³
2
2
b a b a
x
+
−
=
+
ξ
5 1 5 1
2
2
x
+
−
=
+
ξ
3 2
= + ξ
d
d
2
b a
x
−
=
ξ
5 1
d
d
2
x
−
=
ξ
2d
=
ξ
34
Kwadratury Gaussa
5
2
1
(
2) d
x
x
+
³
(
)
{
}
1
2
1
3 2
2 2 d
−
ª
º
=
+ ξ + ⋅
ξ
¬
¼
³
1
2
1
8
24
22 d
−
ª
º
=
ξ + ξ +
ξ
¬
¼
³
2
( ) 8
24
22
F
ξ = ξ + ξ +
35
Kwadratury Gaussa
Znormalizowaną funkcję podcałkową
F
(
ξ)
w przedziale
[-1, 1]
przybliża się wielomianem stopnia
2n-1
2
2
1
0
1
2
2
1
( )
...
n
n
F
a
a
a
a
−
−
ξ = + ξ + ξ + +
ξ
Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:
1
1
1
( ) d
( )
n
i
i
i
F
F
w
=
−
ξ ξ ≈
ξ
¦
³
ξ
i
– odcięte tzw. punktów Gaussa,
ξ
i
∈[-1, 1]
w
i
– współczynniki nazywane wagami
n
– ilość punktów Gaussa
36
Kwadratury Gaussa
0.34785
0.65214
0.65214
0.34785
- 0.86113
- 0.33998
0.33998
0.86113
4
1.00000
1.00000
- 0.57735
0.57735
2
w
i
ξ
i
n
Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości
n
37
Kwadratury Gaussa
Przykład
Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów
kwadraturami Gaussa dla
n
= 2
.
Funkcja podcałkowa po normalizacji:
2
( ) 8
24
22
F
ξ = ξ + ξ +
38
Kwadratury Gaussa
2
1
1
2
2
1
1
( )
( )
( )
( )
n
i
i
i
i
i
i
F
w
F
w
F
w
F
w
=
=
ξ
=
ξ
=
ξ
+ ξ
¦
¦
2
2
1
1
1
2
2
2
8
24
22
8
24
22
w
w
ª
º
ª
º
= ξ + ξ +
⋅ + ξ + ξ +
⋅
=
¬
¼
¬
¼
2
2
8( 0.57735)
24( 0.57735) 22 1
8(0.57735)
24(0.57735) 22 1
ª
º
=
−
+
−
+
⋅ +
¬
¼
ª
º
+
+
+
⋅
¬
¼
49.33328
=
39
Kwadratury Gaussa
Przykład
Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku
n = 2
.
2
3
0
1
2
3
( )
F
a
a
a
a
ξ = + ξ + ξ + ξ
Powyższą funkcję całkujemy w przedziale
[-1, 1]
:
1
1
2
3
0
1
2
3
1
1
( ) d
d
F
a
a
a
a
−
−
ª
º
ξ ξ =
+ ξ + ξ + ξ
ξ =
¬
¼
³
³
1
2
3
4
0
1
2
3
1
1
1
1
2
3
4
a
a
a
a
−
ª
º
=
ξ +
ξ +
ξ +
ξ
«
»
¬
¼
0
2
2
2
3
a
a
=
+
∗
40
Kwadratury Gaussa
1
1
1
2
2
1
( ) d
( )
( )
F
F
w
F
w
−
ξ ξ =
ξ
+ ξ
=
³
(
) (
)
2
3
2
3
0
1 1
2 1
3 1
1
0
1 2
2 2
3 2
2
a
a
a
a
w
a
a
a
a
w
=
+ ξ + ξ + ξ
+
+ ξ + ξ + ξ
=
∗∗
(
)
(
) (
)
2
2
3
3
0
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
3
2a
a
w
w a
w
w a
=
+ ξ + ξ
+ ξ
+ ξ
+ ξ
+ ξ
41
Kwadratury Gaussa
Porównujemy współczynniki przy
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
ze wzorów
∗
i
∗∗
1
2
1 1
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
2
0
2
3
0
w
w
w
w
w
w
w
w
+
=
°
°
°ξ + ξ
=
°
®
°ξ + ξ
=
°
°
°ξ
+ ξ
=
¯
skąd:
1
2
1
2
1
1
0.57735
0.57735
w
w
=
=
ξ ≈ −
ξ ≈