PRZEDMOWA

Podstawą podręcznika są wykłady z mechaniki ogólnej prowadzone na
kierunku mechanika i budowa maszyn Politechniki Poznańskiej zarówno na
dziennych studiach magisterskich, jak i zaocznych inżynierskich. Podręcznik
może być również przydatny dla studentów studiujących mechanikę na innych
kierunkach studiów, takich jak transport, zarządzanie i marketing oraz
pokrewnych.
Materiał ujęto w siedmiu rozdziałach w takiej kolejności, aby był możliwie
łatwy do przyswojenia przez studentów pierwszego i drugiego roku studiów.
W rozdziale pierwszym przedstawiono cel przedmiotu i podano prawa
Newtona. Rozdział drugi jest poświęcony przypomnieniu podstawowych
wiadomości z matematyki dotyczących rachunku wektorowego. Należy tutaj
zwrócić uwagę, że studiowanie mechaniki bez znajomości rachunku wektorowego
jest trudne lub wręcz niemożliwe. Pozostałe rozdziały zawierają w kolejności
statykę, środki ciężkości, kinematykę, momenty bezwładności i dynamikę. Taka
kolejność jest podyktowana tym, aby statyka wyprzedzała zazębiającą się z
mechaniką ogólną wytrzymałość materiałów.
Autor zdaje sobie sprawę, że nie przedstawił całego materiału objętego
programem studiów z mechaniki ogólnej, zwłaszcza na studiach magisterskich, i
dlatego niektóre ważne działy pominięte w obecnym wydaniu lub przedstawione
skrótowo będą wymagały uzupełnienia z podręczników podanych w literaturze.
Studiowanie mechaniki polega nie tylko na opanowaniu zasadniczych
twierdzeń i ich dowodów, ale przede wszystkim na umiejętności zastosowania
nabytej wiedzy teoretycznej do rozwiązywania konkretnych zagadnień
technicznych, jakie stawia przed inżynierem współczesna technika. Dlatego aby
opanować przedmiot, równolegle ze studiowaniem teorii czytelnik powinien
samodzielnie rozwiązywać zadania zamieszczone w odpowiednich zbiorach.
Autor

dziękuje mgr. Jackowi Pollakowi za cenne uwagi merytoryczne i

redakcyjne wniesione do podręcznika przed oddaniem go do druku.

Autor

Poznań, 1998 r.

1.1. Cel i przedmiot mechaniki

Mechanika ogólna jest wykładana na uczelniach technicznych na kierunku
mechanika i budowa maszyn oraz na innych kierunkach, takich jak transport,
zarządzanie i marketing, inżynieria materiałowa. Celem nauczania tego przedmiotu
jest z jednej strony pogłębienie ogólnego wykształcenia studenta z zakresu nauk
ścisłych, a

z drugiej uzyskanie podstaw teoretycznych do studiowania

wytrzymałości materiałów, drgań mechanicznych czy teorii maszyn i
mechanizmów.
Mechanika jako nauka jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu
mechanicznego ciał materialnych. Prawa mechaniki są prawami ogólnymi i
odnoszą się do wszystkich ciał materialnych. Jednak w wielu przypadkach ciała
rzeczywiste występujące w przyrodzie zastępujemy modelami uproszczonymi
(wyidealizowanymi) ze względu na posiadaną wiedzę matematyczną albo ze
względu na wymaganą dokładność do celów praktycznych. Ustalaniem ogólnych
praw ruchu takich uproszczonych modeli ciał rzeczywistych, zwanych modelami
mechanicznymi, zajmuje się mechanika ogólna. Modelami tymi są: punkt
materialny, układ punktów materialnych i bryła sztywna.
Punkt materialny jest to ciało materialne, którego wymiary geometryczne mogą
być zaniedbane w porównaniu z innymi wymiarami występującymi w danym
zagadnieniu. Innymi słowy jest to punkt geometryczny obdarzony masą.
Układ punktów materialnych jest to zbiór punktów materialnych.
Bryła sztywna jest to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie ulegają
zmianie pod działaniem sił.

Tradycyjnie mechanikę ogólną dzielimy na statykę, kinematykę i dynamikę.

Statyka zajmuje się stanem spoczynku ciał materialnych. Stan taki występuje
wtedy, kiedy wszystkie siły działające na ciała materialne się równoważą albo gdy
istnieją przeszkody uniemożliwiające ruch tych ciał pod działaniem sił.
Kinematyka zajmuje się ruchem ciał materialnych bez uwzględniania przyczyn
wywołujących ten ruch. Wynika z tego, że kinematyka zajmuje się
matematycznym opisem ruchu bez uwzględniania praw fizycznych.
Dynamika zajmuje się ruchem ciał materialnych pod wpływem sił działających
na te ciała.

Statykę można rozpatrywać jako szczególny przypadek dynamiki, kiedy siły

działające na ciało materialne znajdują się w równowadze.
Jak

już powiedziano, mechanika zajmuje się badaniem ruchu mechanicznego

ciał materialnych. O ruchu mechanicznym, tj. o zmianie położenia ciał
materialnych, możemy mówić, jeżeli przyjmiemy układ odniesienia, względem
którego będziemy określać zmianę ich położenia w czasie.
W mechanice klasycznej ruch odnosimy do nieruchomego (bezwzględnego)
układu odniesienia. Podstawą mechaniki klasycznej są prawa Newtona. Newton
sformułował je przy założeniu, że istnieje absolutnie nieruchomy układ
odniesienia. Można wykazać [2], że prawa Newtona są słuszne również w

układach odniesienia poruszających się ruchem prostoliniowym jednostajnym
względem absolutnie nieruchomego układu odniesienia. Takie układy nazywamy
układami inercjalnymi, bezwładnościowymi albo Galileusza.
Na potrzeby astronomii za układ nieruchomy przyjmuje się układ o początku
w środku Słońca i o osiach skierowanych w kierunku trzech tzw. gwiazd stałych.
Doświadczalnie stwierdzono, że w zagadnieniach technicznych w większości
przypadków układami odniesienia, w których prawa Newtona dają dostatecznie
dokładne wyniki, są układy związane z Ziemią.

1.2. Prawa Newtona

Omawianie praw Newtona wymaga wprowadzenia pojęcia siły, które w
mechanice jest pojęciem pierwotnym. Siły określamy jako wzajemne
oddziaływania ciał. Oddziaływania te mogą występować na skutek bezpośredniego
stykania się ciał lub na odległość, np. pod wpływem sił ciężkości. Aby określić
działanie siły, należy znać nie tylko jej wartość liczbową, ale i kierunek, w którym
ona działa. Wynika z tego, że siła jest wielkością wektorową. W obowiązującym w
Polsce międzynarodowym układzie jednostek SI jednostką siły jest niuton (1 N).
Jest to siła, która masie 1 kg nadaje przyśpieszenie 1 m/s

. W układzie tym

jednostkami podstawowymi są metr (m), kilogram masy (kg) oraz sekunda (s), a
siła jest jednostką pochodną. W technicznym układzie jednostek jednostką siły jest
kilogram siły (kG), który wraz z długością (m) i czasem (s) należy do jednostek
podstawowych.
Podane

niżej prawa Newtona mają taką formę, jaką się im współcześnie

najczęściej nadaje.

Pierwsze prawo. Punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub
działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym po linii prostej.

powyższego prawa wynika, że jeżeli na punkt materialny nie działają żadne

siły, to nie może on sam zmienić swego stanu ruchu (nie może ruszyć z miejsca,
zatrzymać się ani zmienić swojego ruchu jednostajnie prostoliniowego). Tę cechę
punktu materialnego nazywamy bezwładnością, a pierwsze prawo Newtona
prawem bezwładności.

Drugie prawo. Przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły
działającej na ten punkt i ma kierunek siły.
Jeżeli siłę działającą na punkt materialny oznaczymy przez F, a jego
przyśpieszenie przez a, to drugie prawo Newtona możemy przedstawić w postaci
równania wektorowego:

(1.1)

Występujący w tym równaniu współczynnik proporcjonalności m nazywamy masą.
Dla

wyjaśnienia fizycznego znaczenia masy załóżmy, że na dwa punkty

materialne o masach m

i m

działają siły o tych samych wartościach liczbowych F.

Na podstawie równania (1.1) możemy zapisać związek między wartościami siły F
i przyśpieszenia a

i a

skąd otrzymujemy:

(a)

Widzimy zatem, że wartości przyśpieszenia są odwrotnie proporcjonalne do mas,
czyli im większa jest masa punktu, tym mniejsze jest jego przyśpieszenie, a tym
samym mniejsza zdolność do zmiany stanu ruchu. Własność tę nazywamy
bezwładnością, a za jej miarę przyjmujemy masę. Jednostką masy jest w układzie
SI kilogram masy (kg), a w układzie technicznym jednostka pochodna wyrażona za
po-
mocą jednostek podstawowych tego układu i nie ma nazwy. Jest ona równa
1 kG·m

-1

·s

Zależność (a) może posłużyć do wyznaczenia masy ciała materialnego.
Załóżmy, że znamy masę m

jednego ciała, a chcemy wyznaczyć masę m

drugiego ciała. Z proporcji (a) otrzymujemy wzór na szukaną masę:

Widzimy, że wyznaczenie masy wymaga pomiaru przyśpieszenia a

i a

obu ciał

materialnych. Masę wyznaczoną tą metodą nazywamy masą bezwładną.
Inny sposób wyznaczania masy polega na ważeniu. Wiadomo, że ciężar ciała G
jest równy iloczynowi masy ciała m i wartości liczbowej przyśpieszenia
ziemskiego g:

Załóżmy, że znamy, tak jak poprzednio, masę m

, a chcemy wyznaczyć masę m

Ciężary obu mas określają wzory:

m g

Z powyższych wzorów wynika proporcja:

a stąd

Wynika z tego, że masę ciała wyznacza się przez porównanie ciężarów ciała
ważonego i ciała wzorcowego (odważnika). Masę wyznaczoną tą metodą
nazywamy masą grawitacyjną.
Obie metody wyznaczania masy są równoważne i dają ten sam wynik, jednak w
powszechnym użyciu masę ciała określamy przez ważenie, ponieważ wyznaczanie
przyśpieszenia jest znacznie trudniejsze.

Trzecie prawo. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych
mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty i są przeciwnie
skierowane.

Prawo to nosi nazwę prawa akcji i reakcji. Ma ono charakter ogólny i nie
zależy od sposobu wywierania siły

− dotyczy zarówno ciał stykających się, jak i

ciał działających na siebie z odległości. Jeżeli układ materialny składa się z więcej
niż dwóch punktów, to trzecie prawo Newtona stosuje się do każdej pary punktów
materialnych.

Czwarte prawo. Jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to
każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak
jedna siła równa wektorowej sumie danych sił

Prawo to nosi nazwę zasady superpozycji. Pozwala ono zastąpić kilka sił
działających na punkt materialny jedną siłą.

Piąte prawo. Każde dwa punkty materialne o masach m

przyciągają się

z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości

r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

F k

m m

(1.2)

Powyższe prawo nosi nazwę prawa powszechnego ciążenia lub prawa
grawitacji

, a współczynnik proporcjonalności k jest stałą grawitacji.

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

Wielkości fizyczne występujące w mechanice i innych działach fizyki można
podzielić na skalary i wektory. Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać
tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są masa, czas, temperatura, objętość i inne.
Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby.
Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać wartość,
kierunek
w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby określić wektor, należy znać:

a) wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem,
b) kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania),
c) zwrot,
d) punkt przyłożenia.

Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania
wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy: wektory
zaczepione, wektory przesuwne lub ślizgające się oraz wektory swobodne.
Wektory zaczepione wymagają do ich określenia podania wszystkich czterech
cech. Wektorów takich nie można przemieszczać ani przesuwać.
Wektory przesuwne są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania.
Takie wektory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą.
Wektory swobodne są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy
do ich linii działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie
przemieszczać, równolegle do kierunku jego działania.
Graficznie wektory przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego jak na
rys. 2.1. Długość odcinka określa moduł wektora, kierunek – kierunek wektora
(linię działania), a strzałka – zwrot wektora. Wektory będziemy oznaczać
pogrubionymi literami – jedną literą albo dwoma, oznaczającymi początek i koniec
wektora:

Moduł wektora będziemy oznaczać tak jak skalary albo za pomocą symbolu
wartości bezwzględnej:

A .

Moduł jest na ogół wielkością mianowaną i jego wartość liczbowa zależy od
przyjętych jednostek fizycznych.
Dwa wektory swobodne przedstawiające tę samą wielkość wektorową są
równe, jeżeli mają równe moduły, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne
były

równe, muszą ponadto leżeć na jednej prostej, a wektory zaczepione muszą być
przyłożone w jednym punkcie. Równość wektorów a i b zapisujemy tak jak
równość liczb, czyli

a b

= .

W wyniku pomnożenia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b
równoległy do wektora a o module k razy większym od modułu wektora a. Zwrot
wektora b będzie zależał od znaku skalara k. Jeżeli k > 0, to zwrot wektora b jest
zgodny ze zwrotem wektora a, a przeciwny, gdy k < 0 (rys. 2.2). Wektor b
będziemy zapisywać:

= k .

(2.1)

Rys. 2.1. Graficzne przedstawienie wektora

k!0

Rys. 2.2. Wektory równoległe

Rzutem

wektora

= AB na dowolną oś l nazywamy odcinek

, którego

początek i koniec są rzutami początku i końca wektora a na oś l (rys. 2.3).

′ ′

A B

Z rysunku 2.3 wynika, że rzut wektora a na oś l jest równy iloczynowi modułu

wektora pomnożonemu przez kosinus kąta zawartego między kierunkiem wektora
a osią.

′

Rys. 2.3. Rzut wektora na oś

( )

cos

′

(2.2)

Łatwo spostrzec, że jeżeli zwrot wektora i zwrot osi są zgodne oraz kąt

α jest ostry,

to znak rzutu jest dodatni.

Często do określenia kierunku w przestrzeni używamy tzw. wektora
jednostkowego, którego moduł jest równy jedności i jest liczbą bezwymiarową.
Mając dowolny wektor, można utworzyć wektor jednostkowy o kierunku tego
wektora przez podzielenie wektora przez jego moduł. Wektor jednostkowy
będziemy oznaczać literą e z indeksem dolnym oznaczającym kierunek. Wektor
jednostkowy o kierunku i zwrocie wektora a, pokazany na rys. 2.1, otrzymamy ze
wzoru:

= .

(2.3)

przekształceniu powyższego wzoru widzimy, że każdy wektor można

zapisać w postaci iloczynu jego modułu i wektora jednostkowego:

= a

(2.4)

W celu analitycznego przedstawiania wektorów należy wprowadzić odpowiedni
układ współrzędnych. Najczęściej przyjmujemy kartezjański prostokątny układ
współrzędnych o osiach x, y, z i wektorach jednostkowych i, j, k o kierunkach osi
współrzędnych zwanych wersorami. W dalszym ciągu będziemy wyłącznie
stosować prawoskrętne układy współrzędnych charakteryzujące się tym, że jeżeli
obrócimy oś x w kierunku osi y, to oś z jest skierowana zgodnie z regułą śruby
prawoskrętnej (rys. 2.4a). Na rysunku 2.4b przedstawiono układ lewoskrętny.

Rys. 2.4. Prostokątne układy współrzędnych: a) prawoskrętny, b) lewoskrętny

Rys. 2.5. Składowe wektora w kartezjańskim układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych prostokątnych o osiach x, y, z i wersorach

odpowiednio i, j, k dowolny wektor a można rozłożyć na trzy składowe: a

i, a

k o kierunkach osi układu współrzędnych (rys. 2.5). Wektor a możemy zapisać

analitycznie w postaci sumy trzech wektorów składowych (por. p. 2.2):

(2.5)

powyższym wzorze a

, a

są współrzędnymi wektora równymi

rzutom wektora a na osie układu współrzędnych x, y, z. Jeżeli wektor a tworzy z
osiami x, y, z odpowiednio kąty

α, β, γ, to jego współrzędne (rzuty) zgodnie ze

wzorem (2.2) wyrazimy następująco:

cos

(2.6)

Gdy znane są współrzędne wektora, to jego moduł określa wzór:

(2.7)

a kosinusy kątów, zwane kosinusami kierunkowymi, wyznaczonymi przez kierunki,
jakie wektor a tworzy z osiami x, y, z, wyrażają zależności:

cos

(2.8)

2.2. Suma i różnica wektorów

Wektory swobodne można dodawać i odejmować geometrycznie (wykreślnie)
oraz analitycznie. Dodawanie geometryczne dwóch wektorów a i b polega na

−b

c = a + b

d = a − b

Rys. 2.6. Dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów

zastosowaniu reguły równoległoboku. Wektory przenosimy równolegle tak, aby
ich początki znalazły się w dowolnym punkcie O, i budujemy na tych wektorach
równoległobok OACB pokazany na rys. 2.6. Sumą dodawanych wektorów a i b
nazywamy wektor c równy przekątnej równoległoboku:

Różnicę dwóch wektorów a

− b otrzymamy przez dodanie do wektora a

wektora różniącego się od wektora b tylko zwrotem, czyli wektor przeciwny (

− b):

( )

d a

a b

= + −

= − .

Odejmowanie dwóch wektorów przedstawiono na rys. 2.6 linią przerywaną.
Z rysunku wynika, że sumę dwóch wektorów przedstawia jedna przekątna, a
różnicę druga.
Większą liczbę wektorów można sumować, stosując regułę równoległoboku do
kolejnych wektorów. Jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzystać z metody
wieloboku wektorów.
Gdy mamy n wektorów a

, a

, . . . , a

, to do końca pierwszego wektora

przykładamy początek drugiego, a

do końca drugiego początek trzeciego.

Postępując w ten sposób z kolejnymi wektorami, otrzymujemy konstrukcję
przedstawioną na rys. 2.7. Sumą n wektorów, zwaną sumą geometryczną,
nazywamy wektor a łączący początek pierwszego wektora z końcem ostatniego:

. . . a

∑

(2.9)

Rys. 2.7. Dodawanie n wektorów

Omówioną konstrukcję nazywamy wielobokiem wektorów. Jeżeli koniec
ostatniego wektora pokrywa się z początkiem pierwszego, to suma wektorów jest
równa zeru: a = 0. Mówimy wtedy, że wielobok jest zamknięty. W przeciwnym
razie, tj. gdy a

Czytelnikowi pozostawiamy wykazanie, że do dodawania wektorów stosuje się
prawo przemienności:

oraz łączności

(

) (

)

Aby analitycznie dodać n wektorów, musimy je wyrazić za pomocą

współrzędnych z przyjętego układu współrzędnych:

(

)

Po podstawieniu tego wzoru do równania (2.9) otrzymamy:

(

)

∑

k=1

∑

Po oznaczeniu w tym równaniu współrzędnych wektora a przez a

, a

mamy:

∑

Z obustronnego porównania wyrazów występujących przy odpowiednich
wersorach otrzymujemy wzory na współrzędne wektora będącego sumą wektorów:

∑

(2.10)

Otrzymane

wyniki

są zgodne z treścią znanego twierdzenia Charles’a, że rzut

sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów
na tę oś.

2.3.1. Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar
równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między
nimi.·

Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego

Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez

α (rys. 2.8), a operację mnożenia

skalarnego przez a·b, to otrzymamy:

cos

⋅

(2.11)

uwzględnieniu we wzorze (2.11) zależności (2.2) iloczyn skalarny możemy

przedstawić jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modułu
drugiego.

(

)

(

)

( )

a b

⋅ =

a b

b a

a Rz b

bRz a

cos

(2.12)

Iloczyn skalarny jest równy zeru (poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0), gdy
cosD = 0. Wynika stąd warunek prostopadłości (ortogonalności) dwóch wektorów:

a b

⋅ =

⊥

gdy

(2.13)

faktu,

że funkcja kosinus jest funkcją parzystą [cos

α = cos(–α)], wynika, że

do iloczynu skalarnego stosuje się prawo przemienności:

⋅

Iloczyn skalarny podlega również prawu rozdzielności mnożenia skalarnego
względem dodawania:

(

)

a b c

a b a c

⋅ +

= ⋅ + ⋅ .

Dowód tej własności wynika bezpośrednio z przytoczonego w poprzednim punkcie
twierdzenia Charles’a oraz z zależności (2.2):

(

)

(

)

( )

[

]

( )

⋅

Jeżeli pomnożymy równanie (2.11) przez dowolny skalar k, to otrzymamy

prawo łączności mnożenia iloczynu skalarnego przez skalar:

( ) ( )

( )

cos

⋅

Wektor

pomnożony skalarnie przez siebie jest równy kwadratowi modułu:

a a

⋅ = a a cos0 = a .

(2.14)

podanych

wyżej rozważań wynika, że iloczyn skalarny – poza wzorem (2.13)

– ma takie same własności jak iloczyn algebraiczny liczb.
Gdy mamy dowolny wektor a oraz oś l określoną przez wektor jednostkowy e

(rys. 2.3), to na podstawie równania (2.12) rzut tego wektora na oś l wyraża wzór:

( )

cos

⋅

(2.15)

Z zależności tej będziemy często korzystać przy obliczaniu współrzędnych wektora
w danym układzie współrzędnych.
Obecnie podamy zależności między wersorami i, j, k prostokątnego układu
współrzędnych. Na podstawie wzorów (2.14) i (2.13) otrzymujemy:

⎭

⎬

⎫

⋅

(2.16)

Gdy

wektory

a i b zapiszemy analitycznie za pomocą ich współrzędnych

w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z:

⎭

⎬

⎫

(2.17)

to ich iloczyn skalarny na podstawie wzorów (2.16) można wyrazić przez
współrzędne:

a b

⋅ =

a b

(2.18)

Porównanie wzorów (2.11) i (2.18) pozwala obliczyć kąt między wektorami:

cos

(2.19)

Z tego wzoru wynika, że aby dwa wektory były ortogonalne, ich współrzędne
muszą spełniać zależność:

a b

= 0.

(2.20)

2.3.2. Iloczyn wektorowy

Iloczynem

wektorowym

dwóch wektorów

nazywamy wektor

prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory, którego moduł jest równy
iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez sinus kąta zawartego
między nimi (rys. 2.9)

⎭

⎬

⎫

sin

(2.21)

−c = b x a

c = a x b

Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego

Zwrot

wektora

c jest tak dobrany, że wektory a, b, c tworzą układ

prawoskrętny, czyli zwrot wektora c określa reguła śruby prawoskrętnej.

Z określenia modułu iloczynu wektorowego oraz z rys. 2.9 wynika, że jest on

równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b.

Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że poza przypadkami, gdy

a = 0 lub b = 0, jest on równy zeru,

kiedy sin

α = 0, czyli dla α = 0 albo α = π, co oznacza, iż wektor a jest równoległy

do wektora b. Zatem warunek równoległości ma postać:

(2.22)

Jeżeli w iloczynie wektorowym wektory a i b zamienimy miejscami, to wektory
b, a, c będą tworzyły układ lewoskrętny. Aby ponownie otrzymać układ

prawoskrętny, należy zmienić zwrot wektora c na przeciwny, jak na rys. 2.9, czyli
gdy

−

Widzimy zatem, że do iloczynu wektorowego nie stosuje się prawo przemienności:

−

(2.23)

Można wykazać [6, 9], że iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielności
mnożenia wektorowego względem dodawania:

(

)

(2.24)

Do iloczynu wektorowego stosuje się również prawo łączności mnożenia przez
dowolny skalar k:

( )

( ) (

)

(2.25)

Powyższa równość wynika bezpośrednio z porównania modułów powyższych
iloczynów wektorowych.
Iloczyny wektorowe wersorów i, j, k prostokątnego prawoskrętnego układu
współrzędnych x, y, z wynikają bezpośrednio ze wzoru (2.22) oraz z definicji
iloczynu wektorowego

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

(2.26)

Obecnie wyrazimy iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów a i b za
pomocą ich współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Po
podstawieniu zależności (2.17) do wzoru na iloczyn wektorowy mamy:

(

) (

)

Po wykonaniu działań, wykorzystaniu zależności (2.26) oraz pogrupowaniu
wyrazów przy poszczególnych wersorach powyższy wzór przyjmie postać:

(

)

(

)

(

)

−

(2.27)

Wyrażenie po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem wyznacznika

(2.28)

W celu obliczenia współrzędnych

iloczynu wektorowego należy

wektor c zapisany analitycznie:

c c c

podstawić do równania (2.27).

Z porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymamy:

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

)

(2.29)

2.3.3. Iloczyny złożone trzech wektorów

W poprzednich dwóch punktach omówiliśmy iloczyn skalarny oraz iloczyn
wektorowy dwóch wektorów. Wektory te mogły być w szczególności sumą kilku
wektorów. Obecnie podamy określenia iloczynów podwójnych złożonych z trzech
wektorów. Będzie to iloczyn mieszany trzech wektorów oraz podwójny iloczyn
wektorowy trzech wektorów. Ograniczymy się przy tym tylko do określenia tych
iloczynów oraz podania podstawowych zależności niezbędnych do przekształceń
wzorów wektorowych w dalszych rozdziałach. Dowody na podane niżej
przekształcenia można znaleźć w literaturze [6, 9, 11].

Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b i c nazywamy iloczyn skalarny
jednego z tych wektorów, np. wektora a, przez wektor będący iloczynem
wektorowym dwóch pozostałych:

( )

⋅

(2.30)

Z podanej definicji wynika, że iloczyn mieszany jest skalarem.
W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo objętości
równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b i c. Z podanej interpretacji
geometrycznej wynika, że gdy wektory te leżą w jednej płaszczyźnie, to iloczyn
mieszany jest równy zeru.
Wartość iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, jeżeli w iloczynie tym
będziemy zmieniać cyklicznie kolejność wyrazów:

( )

(

)

⋅

(2.31)

Jeżeli wektory występujące w iloczynie mieszanym przedstawimy analitycznie:

to iloczyn mieszany można zapisać w postaci wyznacznika utworzonego ze
współrzędnych wektorów:

(

)

⋅

(2.32)

Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów a, b i c jest wektorem
powstałym w wyniku wektorowego pomnożenia wektora a przez iloczyn
wektorowy wektora b i c:

( )

(2.33)

Powyższy wzór można rozwinąć do postaci bardziej przydatnej do
przekształceń wzorów wektorowych:

( ) ( ) ( )

⋅

−

⋅

(2.34)

2.4. Moment wektora względem punktu

Momentem wektora a względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn
wektorowy wektora r

= OA o początku w punkcie O i końcu w początku wektora

a przez wektor a (rys. 2.10). Moment wektora względem punktu będziemy
oznaczać w następujący sposób:

( )

(2.35)

Z podanej definicji wynika, że moment wektora względem punktu ma
własności wynikające z omówionego w p. 2.3.2 iloczynu wektorowego. Zatem
wektor M

(a) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny określonej przez

wektory r

i a i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. Albo inaczej, jego

zwrot jego jest taki, że dla obserwatora patrzącego z końca wektora momentu
wektor a wywołuje obrót wokół bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara.
Moment wektora względem punktu jest równy zeru, gdy wektor a = 0 lub wektory
r

i a są równoległe, albo linia działania wektora a przechodzi przez punkt O.

Obecnie zastanówmy się, jak zmieni się moment wektora względem punktu,
gdy wektor a przesuniemy wzdłuż linii jego działania. W tym celu obliczmy
moment wektora

przyłożonego w punkcie

′

, różniącego się od wektora a

tylko punktem przyłożenia, względem punktu O (rys. 2.10). Z definicji momentu
wektora względem punktu mamy:

( )

′

Na podstawie rys. 2.10 możemy napisać:

′

Po podstawieniu tej zależności do wzoru na moment wektora względem punktu
otrzymamy:

( )

(

)

M a

a AA

′ =

′ × ′ =

× +

′× ′.

Ponieważ

′ =

a , a iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na jednej

prostej jest równy zeru:

′× = 0 ,

otrzymujemy:

( )

M a

′ =

× =

Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora a względem punktu O nie
ulegnie zmianie, gdy wektor przesuniemy wzdłuż linii jego działania, czyli jest on
wektorem przesuwnym. Wartość momentu M

(a) będzie zależała od położenia

linii działania wektora, jego modułu oraz punktu, względem którego liczymy
moment.
Odległość punktu O od linii działania wektora a, oznaczonej na rys. 2.10 przez
h, będziemy nazywać ramieniem wektora.
Gdy

wektor

a przesuniemy do punktu

A ′′

(rys. 2.10), to moment tego wektora:

( )

′′

Z tego wzoru wynika, że moduł momentu jest równy iloczynowi modułu wektora
przez jego ramię:

( )

M a

a h

(2.36)

Moment wektora względem punktu można wyrazić za pomocą współrzędnych

wektora a danych w prostokątnym układzie współrzędnych (rys. 2.11). Jeżeli
wektory r

i a zapiszemy za pomocą ich współrzędnych:

(a)

″

′

Rys. 2.10. Moment wektora względem

punktu

(a)

Rys. 2. 11. Moment wektora względem

początku układu współrzędnych

to moment wektora a względem początku układu współrzędnych O na podstawie
wzorów (2.28) i (2.27) wyraża zależność:

( )

(

)

(

)

(

)

−

(2.37)

Po zapisaniu momentu w postaci:

( )

i podstawieniu do wzoru (2.37) otrzymamy wzory na współrzędne wektora M

(a):

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

(2.38)

2.5. Moment wektora względem osi

Zajmiemy

się obecnie zdefiniowaniem wielkości będącej miarą działania

obrotowego wektora względem osi. Wielkość tę nazywamy momentem wektora
względem osi. W tym celu przyjmiemy, że dany jest dowolny wektor a oraz oś l,
której kierunek jest określony przez wektor jednostkowy e

(rys. 2.12).

Momentem wektora a względem osi l nazywamy rzut na tę oś momentu tego
wektora względem dowolnego punktu O tej osi:

( )

[

]

( )

cos

(2.39)

′

(a)

⋅

Rys. 2.12. Moment wektora względem osi

Na podstawie wzoru (2.15) moment wektora względem osi możemy
przedstawić w postaci iloczynu skalarnego momentu wektora względem punktu i
wersora osi:

( )

⋅

Ponieważ moment wektora względem punktu jest równy iloczynowi
wektorowemu:

( )

moment wektora względem osi można zapisać w postaci iloczynu mieszanego:

(

)

⋅

. (2.40)

Tak zdefiniowany moment wektora względem osi jest skalarem. Definicja ta
jest wystarczająca, ponieważ wektor

( )

jest skierowany wzdłuż osi l, przeto

do jego opisu wystarczy podanie tylko jego wartości.
Aby podana na wstępie definicja momentu względem osi była jednoznaczna,
należy wykazać, że rzut na oś l momentu wektora a względem punktu O leżącego
na tej osi nie zależy od położenia punktu O na tej osi. W tym celu obliczymy
moment wektora a względem innego punktu

′

leżącego na osi l (rys. 2.12) i

dokonamy jego rzutu na tę oś:

( )

[

]

( )

a e

′

⋅ . (a)

Na podstawie rys. 2.12 wektor

′

O A możemy przedstawić jako sumę wektora

′

O O r

′

Po podstawieniu tej zależności do wzoru (a) oraz skorzystaniu z własności
iloczynu mieszanego otrzymamy:

( )

[

]

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

O O r

a e

O O a r

a e

O O a e

a e

O O a

a e

′

′ +

× ⋅ =

′ × +

× ⋅ =

′ × ⋅ +

× ⋅ =

× ′

⋅ +

× ⋅ .

Ponieważ wektory

są równoległe, ich iloczyn wektorowy jest równy

zeru: e

O O

′

× ′ = 0 , ostatecznie otrzymujemy:

( )

[

]

(

)

( )

[

]

a e

M a

′

× ⋅ =

czyli rzut na oś momentu wektora względem punktu na osi nie zależy od położenia
punktu na osi.
Z definicji momentu względem osi wynika, że będzie on równy zeru, jeżeli
moment M

(a) będzie równy zeru lub jego rzut na oś będzie równy zeru. Będzie

tak, gdy kierunek wektora a będzie przecinał oś l lub będzie do niej równoległy.
Z

określenia momentu wektora względem osi możemy zauważyć, że rzuty

momentu M

(a) wektora a względem początku układu współrzędnych

O (rys. 2.11) na osie prostokątnego układu współrzędnych są równocześnie
momentami tego wektora względem osi x, y, z. Na podstawie wzorów (2.38)
momenty wektora a względem osi x, y, z będą opisane równaniami:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

(2.41)

W oparciu o powyższe wzory można podać drugi sposób obliczania momentu
wektora względem osi. Na przykład z pierwszego wzoru wynika, że aby obliczyć
moment względem osi x, należy wektor a zrzutować na płaszczyznę yz, czyli
płaszczyznę prostopadłą do osi x, i obliczyć moment wektora, będącego rzutem
wektora na tę płaszczyznę, względem punktu O, czyli punktu przebicia
płaszczyzny yz przez oś x. Wartość tak obliczonego momentu jest momentem
wektora względem osi. Podobne wnioski wynikają z dwóch pozostałych wzorów
(2.41). Na podstawie powyższego można podać drugą definicję momentu wektora
względem osi.

Momentem

wektora

a względem osi l nazywamy moduł momentu wektora

równego rzutowi wektora

a na płaszczyznę prostopadłą do osi l względem punktu

przebicia płaszczyzny przez tę oś.
Przykład 2.1. Dany jest wektor:

−

, zaczepiony w punkcie A o

współrzędnych x = 2, y = 3, z = 5. Obliczyć momenty tego wektora względem
każdej osi układu współrzędnych.
Rozwiązanie. Zgodnie z podaną na wstępie definicją momentu wektora
względem osi obliczymy najpierw moment wektora względem początku O układu
współrzędnych. Współrzędne tego momentu będą – na podstawie wzorów (2.41) –
szukanymi momentami wektora a względem osi x, y, z. Ponieważ

na podstawie wzoru (2.37) otrzymujemy:

( )

−

Momenty wektora a względem osi układu współrzędnych są więc następujące:

−

Przykład ten można rozwiązać z wykorzystaniem drugiej definicji momentu
wektora względem punktu, podanej wyżej. Czytelnikowi pozostawiamy
rozwiązanie przykładu tą metodą.

2.6. Funkcje wektorowe

Z kursu matematyki znane są określenia funkcji zmiennych niezależnych oraz
zmiennych zależnych. Jeżeli znamy kształt funkcji zmiennej zależnej f = f(u, v, t),
to znając wartości liczbowe zmiennych niezależnych u, v, t, możemy wyznaczyć
wartość zmiennej zależnej f.
W analizie wektorowej spotykamy się z funkcjami, w których zmiennymi
niezależnymi i zmiennymi zależnymi mogą być zarówno skalary, jak i wektory.
Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy pewną wartość
liczbową, to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Analogicznie, jeżeli
każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy pewien wektor, to ten
obszar nazywamy polem wektorowym.

Najczęściej spotykamy się z trzema typami funkcji.

Skalar jako funkcja położenia. Po przyporządkowaniu każdemu punktowi

obszaru funkcji typu

ϕ = ϕ(r) (2.42)

będziemy mówić o polu skalarnym. Zmienną zależną jest tutaj skalar M, a zmienną

niezależną wektor r. Przykładami pola skalarnego są: rozkład temperatury w
dowolnym ośrodku, rozkład ciśnienia hydrostatycznego w nieruchomej cieczy lub
potencjał pola elektrycznego.
b) Wektor jako funkcja położenia. W tym przypadku zarówno zmienna zależna
u, jak i zmienna niezależna r są wektorami. Funkcję

u = u(r)

(2.43)

nazywamy polem wektorowym. Przykładami takiego pola są: pole przyśpieszeń
ziemskich, natężenie pola elektrostatycznego, rozkład prędkości w cieczy.
c) Wektor jako funkcja skalara. Funkcję taką możemy zapisać w następujący
sposób:

r = r(s).

(2.44)

Zmienna zależna r jest tutaj wektorem, a zmienna niezależna s skalarem. Jeżeli
wektor jest funkcją wielkości skalarnej, to jego współrzędne x, y, z w
prostokątnym układzie współrzędnych będą również funkcjami tego skalara:

( ) ( )

( )

(2.44a)

Zatem każdą funkcję można zapisać w postaci trzech funkcji skalarnych.

( )

(2.45)

Gdy za zmienną niezależną przyjmiemy czas t, to przykładami takich funkcji
wektorowych będą: położenie r(t), prędkość v(t) i przyśpieszenie poruszającego się
punktu a(t).

2.7. Pochodna funkcji wektorowej

Załóżmy, że mamy funkcję wektorową typu (2.44), w której zmienną
niezależną jest skalar. Przyrostowi zmiennej niezależnej s będzie towarzyszyć
zmiana wektora r(s). Jeżeli początki wszystkich wektorów r(s) przyłożymy w
jednym punkcie O, to ze zmianą zmiennej niezależnej s koniec tego wektora
zakreśli w przestrzeni pewną linię nazywaną hodografem funkcji wektorowej r(s)
(rys. 2.13). Niech wartościom s i s + 's odpowiadają wektory r(s) i r(s + 's), a

wektor 'r jest przyrostem wektora r(s) łączącym końce obu wektorów. Wówczas

pochodną funkcji wektorowej względem zmiennej niezależnej nazywamy granicę
stosunku przyrostu tej funkcji do przyrostu zmiennej niezależnej, gdy przyrost
zmiennej niezależnej dąży do zera:

(

) ( )

lim

∆

−

∆

→

∆

(2.46)

r(s)

r(s+

∆s)

∆r

∆

r
s

hodograf

Rys. 2.13. Ilustracja pchodnej funkcji wektorowej

Iloraz

∆r/∆s jest wektorem o zwrocie i kierunku wektora ∆r, czyli ma kierunek

cięciwy. Gdy

∆s dąży do zera, to cięciwa przechodzi w styczną. Zatem pochodna

wektora jest wektorem stycznym do hodografu.
Z przedstawionego określenia pochodnej funkcji wektorowej wynika, że z
formalnego punktu widzenia jest ona zdefiniowana podobnie do pochodnej funkcji
skalarnej. Wynika z tego, że do pochodnych sum i iloczynów dwóch wektorów
można stosować wzory wyprowadzone w analizie funkcji skalarnych. Dla dwóch
funkcji wektorowych a(s) i b(s) słuszne są następujące zależności:

(

)

(2.47)

( )

⋅

(2.48)

(

)

(2.49)

W ostatnim wzorze nie wolno zmieniać kolejności mnożenia, ponieważ iloczyn
wektorowy jest nieprzemienny.
Gdy k(s) jest funkcją skalarną, to pochodna iloczynu tej funkcji przez wektor

( )

(2.50)

Jeżeli zmienna niezależna s jest funkcją innego parametru s(l), to pochodną
wektora obliczamy podobnie do pochodnej skalarnej funkcji złożonej:

( )

[ ]

(2.51)

Mamy również:

const

gdy

(2.52)

Gdy funkcja wektorowa jest zapisana analitycznie w prostokątnym
nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z w postaci (2.44a), wtedy jej
pochodną po wykorzystaniu wzorów na różniczkowanie sumy (2.47) i iloczynu
funkcji (2.50) wyraża wzór:

Ponieważ wersory osi nieruchomego układu współrzędnych są wektorami stałymi,
mamy:

a stąd ostatecznie

(2.52)

Z powyższego wynika, że współrzędne pochodnej wektora są równe pochodnym
odpowiednich współrzędnych tego wektora.
Pochodne

wyższych rzędów funkcji wektorowych obliczamy analogicznie do

funkcji skalarnych.

3.1.1. Własności sił działających na ciało sztywne

Statyka zajmuje się badaniem sił działających na ciała znajdujące się w
spoczynku. Wtedy siły działające na ciało, które pozostaje w spoczynku, muszą się
równoważyć, czyli być w równowadze. I właśnie ustalanie warunków równowagi
będzie głównym zadaniem statyki.
Skutek mechaniczny wywołany przez działanie siły na ciało będzie w ogólnym
przypadku zależał od punktu przyłożenia siły. Skutek wywołany przez siłę będzie
polegał na zmianie ruchu ciała bądź jego odkształceniu. W przypadku ciała
sztywnego skutkiem działania siły na takie ciało może być jedynie zmiana jego
ruchu.
Niżej podamy najważniejsze własności sił, na których opiera się statyka.
Własności te nazywamy często aksjomatami lub zasadami statyki.

a) Przyłożenie dwóch sił P i P

′ do ciała sztywnego, równych co do modułu,

działających wzdłuż jednej prostej i o przeciwnych zwrotach (rys. 3.1), nie zmienia
stanu ruchu ciała (ciało w spoczynku pozostaje w spoczynku).

′

Rys. 3.1. Układ równoważących się sił

wyniku

przyłożenia takich dwóch sił ciało sztywne zachowuje się tak, jak

gdyby nie działały na nie żadne siły. Taki układ sił przyłożony do ciała sztywnego
nazywamy równoważnym zeru.

b) Każdą siłę zewnętrzną przyłożoną do ciała sztywnego można przesunąć

wzdłuż jej linii działania, nie zmieniając przy tym stanu ruchu ciała.

′

Rys. 3.2. Przesunięcie siły działającej na ciało sztywne wzdłuż linii jej działania

Załóżmy, ze siła P jest przyłożona do ciała sztywnego w punkcie A, jak na

rys. 3.2a. Do dowolnego punktu B leżącego na linii działania tej siły przyłóżmy
dwie równoważące się siły P i P

′ = –P, czyli układ zerowy (rys. 3.2b). Widzimy,

że siły P i P

′ przyłożone odpowiednio w punktach A i B tworzą układ zerowy,

zatem można je pominąć. W efekcie zostaje nam jedynie siła P przyłożona w
punkcie B.
Z przeprowadzonego wywodu wynika, że siła zewnętrzna działająca na ciało
sztywne jest wektorem przesuwnym.

c) Do każdego układu sił działających na ciało sztywne można dodać bez

zmiany stanu jego ruchu kilka sił o wspólnym punkcie przyłożenia, których suma
wektorowa (geometryczna) jest równa zeru.

d) Stan ruchu ciała nie ulegnie zmianie, jeżeli kilka sił zaczepionych w jednym

punkcie zastąpimy ich sumą geometryczną, i odwrotnie, gdy jedną siłę zastąpimy
przez kilka sił, których suma geometryczna jest równa tej sile.

Każdy układ sił zewnętrznych działających na ciało sztywne można zastąpić
układem równoważnym, czyli powodującym ten sam skutek mechaniczny.
Poszukiwanie układów równoważnych danemu układowi sił będzie ważnym
zadaniem statyki. Stosowanie wymienionych w punktach a, b, c i d własności sił
działających na ciało sztywne do przekształceń dowolnego układu sił
zewnętrznych nazywamy przekształceniami elementarnymi. Celem przekształceń
elementarnych będzie poszukiwanie prostszych układów sił równoważnych
danemu układowi. W szczególnym przypadku układ sił można sprowadzić do
jednej siły, którą będziemy nazywać wypadkową.

Jeżeli za pomocą przekształceń elementarnych można dany układ sił sprowadzić
(zredukować) do układu równoważnego składającego się tylko z jednej siły, to siłę
tę nazywamy wypadkową rozważanego układu sił.

Przekonamy

się, że nie każdy układ sił można zredukować do układu

równoważnego składającego się tylko z jednej siły, czyli nie każdy układ sił będzie
miał wypadkową.

3.1.2. Warunek konieczny równowagi dowolnego układu materialnego

Rozważmy układ składający się z dowolnej liczby punktów materialnych.
W szczególnym przypadku może to być ciało sztywne (bryła sztywna), albowiem
każde ciało materialne możemy myślowo podzielić na elementy, z których każdy
można traktować w przybliżeniu jako punkt materialny. Jeżeli liczbę elementów
będziemy zwiększać nieograniczenie, a wymiary elementów będą dążyć do zera, to
ciało materialne możemy rozpatrywać jako graniczny przypadek układu punktów
materialnych.
Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać
siły, które dzieli się na dwie zasadnicze grupy: siły zewnętrzne i siły wewnętrzne.
Siłami zewnętrznymi będziemy nazywać siły, z jakimi na punkty rozważanego
układu działają inne punkty i ciała materialne nie należące do naszego układu. Z
kolei do sił wewnętrznych będziemy zaliczać siły wzajemnego oddziaływania
punktów materialnych należących do rozpatrywanego układu.
Z

powyższego podziału wynika, że jest on względny i zależy od tego, jaki układ

sił rozpatrujemy. Na rysunku 3.3 przedstawiono układ n punktów materialnych A

(k = 1, 2, . . . , n) i zaznaczono działające na poszczególne punkty siły zewnętrzne
P

, które mogą być wypadkowymi wszystkich sił zewnętrznych działających na

dany punkt, oraz siły wewnętrzne wzajemnego oddziaływania między punktami.
Gdy siłę, z jaką punkt A

działa na punkt A

oznaczymy przez F

, a siłę, z jaką

punkt A

oddziałuje na punkt A

przez F

, to zgodnie z trzecim prawem Newtona

−

(3.1)

Rys. 3.3. Siły działające na punkty układu materialnego (P

– siły zewnętrzne,

–

siły

wewnętrzne)

Przechodząc do wyprowadzenia ogólnego warunku równowagi rozpatrywanego
układu materialnego, możemy powiedzieć, że układ ten będzie w równowadze
wtedy, gdy każdy z jego punktów będzie w równowadze. Aby poszczególne
punkty naszego układu były w równowadze, muszą się one poruszać w inercjalnym
układzie współrzędnych ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostawać w
spoczynku. W statyce interesuje nas oczywiście stan spoczynku.
Aby

punkt

był w równowadze zgodnie z pierwszym prawem Newtona, suma

wszystkich sił działających na ten punkt musi być równa zeru. Warunek taki musi
być spełniony dla każdego punktu k = 1, 2, 3, . . . , n.

,...

lub w skrócie

∑

≠

)

(

(3.2)

Po dodaniu stronami wszystkich n równań otrzymamy:

∑∑

∑

≠

(a)

Podwójna suma występująca w tym równaniu jest sumą wszystkich sił
wewnętrznych występujących w naszym układzie. Ponieważ zgodnie ze wzorem
(3.1) siły te występują parami wzdłuż jednej prostej, ich suma musi być równa
zeru.

∑∑

≠

(3.3)

Zatem równanie (a) upraszcza się do postaci:

∑

(3.4)

Powyższe równanie jest koniecznym, ale nie dostatecznym, warunkiem
równowagi dowolnego układu materialnego, które można wypowiedzieć w formie
poniższego twierdzenia.

Aby dowolny układ materialny mógł być w równowadze

, suma wszystkich sił

zewnętrznych działających na niego musi być równa zeru.

Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie musi być prawdziwe.

3.2.1. Określenie i podział więzów

Ciałem swobodnym nazywamy ciało, które ma nieograniczoną swobodę ruchu.
Jednak zwykle ciało materialne nie może zajmować dowolnego miejsca w
przestrzeni lub poruszać się dowolnie ze względu na obecność innych ciał. Mamy
wtedy do czynienia z ciałem nieswobodnym, a ograniczenie jego swobody
nazywamy więzami. Innymi słowy, więzami nazywamy warunki, które nakładają
ograniczenia na ruch ciała lub jego położenie w przestrzeni. Jeżeli ograniczenia te
dotyczą ruchu ciała (prędkości, przyśpieszenia), to mamy do czynienia z więzami
kinematycznymi; natomiast gdy ograniczenia dotyczą położenia ciała w przestrzeni,
to takie więzy nazywamy więzami geometrycznymi. W statyce będziemy mieli do
czynienia z więzami geometrycznymi.
Jeżeli przykładowo punkt materialny może się poruszać dowolnie po pewnej
płaszczyźnie, to płaszczyzna ta stanowi więzy geometryczne dla tego punktu.
Ze

względu na ograniczenie swobody ciała materialnego (punktu, bryły)

działanie więzów może być dwojakiego rodzaju. Gdy punkt materialny musi stale
pozostawać na wspomnianej wyżej płaszczyźnie, to więzy nałożone na ten punkt
nazywamy więzami obustronnymi. Jeżeli ten sam punkt będzie mógł znajdować się
na płaszczyźnie lub nad nią, to płaszczyzna ta będzie stanowiła dla tego punktu
więzy jednostronne. Gdy punkt będzie się znajdował na płaszczyźnie, to mówimy,
że więzy są czynne (więzy działają), a gdy nad płaszczyzną, to więzy są nieczynne
(nie działają).
Więzy, które wynikają z bezpośredniego kontaktu rozpatrywanego ciała z
powierzchniami innych ciał, nazywamy potocznie podporami. Siły, z którymi
więzy (podpory) oddziałują na dane ciało w miejscu styku, nazywamy reakcjami
więzów (podpór).
Reakcje

więzów będziemy nazywać siłami biernymi, a siły obciążające ciało

siłami czynnymi.
W statyce będziemy się zajmować głównie ciałami całkowicie
unieruchomionymi za pomocą podpór. Każda z podpór może tylko częściowo
ograniczać swobodę ruchu ciała i dlatego do jego całkowitego unieruchomienia
należy zastosować kilka podpór. Wtedy niezależnie od tego, jakie siły przyłożymy,
w podporach powstaną takie reakcje, które utrzymają ciało w równowadze.
Zastępowanie działania więzów na rozpatrywane ciało odpowiednimi siłami
reakcji nazywamy uwalnianiem od więzów. Stosujemy tutaj przytoczoną niżej
zasadę uwalniania od więzów:

Każde ciało sztywne można myślowo uwolnić od więzów, jeżeli zastąpi się
działanie więzów odpowiednimi reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako ciało
swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i reakcji więzów (sił
biernych).

Zgodnie z trzecim prawem Newtona (prawem akcji i reakcji) siła, z jaką
podpora działa na ciało, jest równa co do modułu i kierunku sile, z jaką ciało działa
na podporę, ale ma przeciwny zwrot.
Załóżmy, że ciało A opiera się o powierzchnię innego ciała B, jak na rys. 3.4.
W punkcie styku ciała A z powierzchnią ciała B działa reakcja R, której kierunek
jest nieznany i na ogół niemożliwy do przewidzenia z góry. Reakcję R rozkładamy
zwykle na dwie składowe

− składową normalną N do powierzchni stycznej

w miejscu styku i składową styczną T. Pierwszą z nich będziemy nazywać reakcją
normalną, a drugą siłą tarcia. Reakcja normalna N przedstawia nacisk wywierany
przez jedno ze stykających się ciał na drugie, a składowa styczna T wynika z
oddziaływania stycznego stykających się ciał spowodowanego tarciem.
Na rysunku 3.4 siły R

′, N′ i T′ oznaczają

oddziaływanie ciała A na ciało B. W stosunku do
reakcji R, N i T są one odpowiednio zgodne z
prawem akcji i reakcji.
Jeżeli stykające się powierzchnie są idealnie
gładkie, to siła tarcia T jest równa zeru i wtedy
działanie więzów sprowadza się tylko do reakcji
normalnej N. Takie więzy nazywamy więzami
bez tarcia lub więzami idealnymi. W
rzeczywistości nie ma powierzchni idealnie
gładkich, jednak gdy powierzchnie stykających
się ciał są dostatecznie gładkie, to siły tarcia
można pominąć jako małe w stosunku do innych
sił. To często pozwala na ustalenie kierunku
reakcji podpór bez znajomości sił czynnych.

′

Rys. 3.4. Ilustracja prawa akcji

i reakcji

3.2.2. Rodzaje więzów (podpór) idealnych i ich reakcje

Obecnie omówimy często spotykane podpory ciał sztywnych stosowane w
zagadnieniach technicznych. Będą to: przegub kulisty, przegub walcowy, podpora
przegubowa stała, podpora przegubowa przesuwna, utwierdzenie, zawieszenie na
wiotkich cięgnach, podparcie na prętach przegubowych, oparcie o gładką
powierzchnię.

Rys. 3.5. Przeguby: a) kulisty, b) walcowy

Przegub kulisty składa się z pręta o zakończeniu w kształcie kuli, która jest
osadzona w kulistym łożysku (rys. 3.5a). Podpora taka unieruchamia koniec pręta,
ale umożliwia jego obrót wokół dowolnej osi. Kierunek reakcji R powstającej w
przegubie kulistym jest nieznany, jednak przy braku tarcia będzie ona przechodzić
przez środek kuli. Zatem do jej określenia w przestrzeni należy znać trzy
współrzędne: R

, R

i R

. Widzimy, że podpora w postaci przegubu kulistego wnosi

do zagadnienia trzy niewiadome.
Przegub walcowy jest wykonany w postaci połączenia sworzniowego. Koniec
pręta jest osadzony na walcowym sworzniu przechodzącym przez kołowy otwór
wykonany w tym pręcie (rys. 3.5b). W przypadku braku tarcia reakcja sworznia R
na pręt będzie miała kierunek prostopadły do powierzchni styku, czyli jej kierunek
przejdzie przez oś sworznia. Reakcja ta będzie leżeć w płaszczyźnie prostopadłej
do osi sworznia. Do jej wyznaczenia są potrzebne dwie niewiadome: R

i R

Podpora przegubowa stała i przesuwna. Duże znaczenie praktyczne mają
podpory pokazane na rys. 3.6. Belka AB jest podparta na końcu A za pomocą
przegubu walcowego, który umożliwia obrót wokół osi przegubu, ale
zamocowanie przegubu do podłoża uniemożliwia przemieszczanie się końca A
belki w dwóch kierunkach. Taką podporę nazywamy podporą przegubową stałą
(nieprzesuwną). Gdy w przegubie nie ma tarcia, to linia działania reakcji R

przechodzi przez punkt A i do jej wyznaczenia należy znać współrzędne R

i R

lub wartość reakcji i kąt na chylenia.

Rys. 3.6. Podpory przegubowe: A – stała,

B – przesuwna

Rys. 3.7. Utwierdzenie

Koniec B belki jest podparty za pomocą przegubu walcowego

zaopatrzonego w rolki, które mogą się toczyć po poziomej płaszczyźnie.
Taką podporę nazywamy przegubową przesuwną. Gdy przyjmiemy, że opór
przy przesuwaniu takiej podpory jest bardzo mały, to linia działania reakcji
R

będzie prostopadła do płaszczyzny przesuwu. Podpora taka wnosi do

analizy sił jedną niewiadomą

− wartość reakcji R

Utwierdzenie polega na całkowitym unieruchomieniu np. belki przez

wmurowanie jej końca w ścianę, przyspawanie lub przykręcenie do ściany.
Podpora taka uniemożliwia przemieszczanie się utwierdzonego końca w dwóch
kierunkach i obrót wokół tego końca. W miejscu utwierdzenia A wystąpi reakcja
utwierdzenia R

i moment utwierdzenia M

(rys. 3.7).

Taka podpora wprowadza do zadania trzy niewiadome: R

, R

i M

Zawieszenie na wiotkich cięgnach. Jeżeli ciało materialne jest zawieszone

na nieważkich, idealnie wiotkich cięgnach, czyli takich, które nie mogą przenosić
żadnych sił poprzecznych, to reakcje S

, S

cięgien na ciało są skierowane wzdłuż

tych cięgien, zgodnie z rys. 3.8a.

Rys. 3.8. Ciało: a) zawieszone na wiotkich cięgnach, b) podparte na nieważkich prętach

przegubowych

Podparcie na prętach przegubowych polega na unieruchomieniu ciała
materialnego za pomocą prętów mających na obu końcach przeguby. Jeżeli
przyjmiemy, że ciężary prętów są pomijalnie małe i na pręty nie działają, poza
reakcjami w przegubach, żadne inne siły, to reakcje R

, R

będą działać

wzdłuż osi prętów, jak na rys. 3.8b. Wynika to z tego, że każdy z prętów jest w
równowadze pod działaniem dwóch sił, a dwie siły będą się równoważyć tylko
wtedy, gdy będą działać wzdłuż jednej prostej, mieć równe moduły i przeciwne
zwroty. Ponieważ znamy kierunki reakcji prętów, każdy pręt jest

równoważny

jednej niewiadomej, którą jest wartość
jego reakcji. W odróżnieniu od cięgna
pręt przegubowy może być zarówno
rozciągany, jak i ściskany.

Rys. 3.9. Oparcie pręta o gładką

powierzchnię i gładką krawędź

Oparcie o gładką powierzchnię. Na
rysunku 3.9 przedstawiono belkę AB
opartą końcem A o pionową gładką
ścianę, a w punkcie D o krawędź.
Ponieważ z założenia między belką a
podporami nie ma tarcia, reakcje w
punktach A i D będą prostopadłe do
odpowiednich powierzchni styku.
W punkcie A reakcja R

będzie prostopadła do ściany, a reakcja R

prostopadła do

belki.

3.3.1. Tarcie poślizgowe

Przy omawianiu więzów w p. 3.2.1 reakcję wynikającą z oddziaływania ciała A
na ciało B (rys. 3.4) rozłożyliśmy na składową normalną N i składową styczną T,
którą nazwaliśmy siłą tarcia. Następnie powiedzieliśmy, że jeżeli stykające się
powierzchnie są idealnie gładkie, siła tarcia jest równa zeru. Obecnie założymy, że
stykające się powierzchnie ciał są chropowate i zajmiemy się omówieniem reakcji
stycznej, czyli siły tarcia poślizgowego.
W tym celu rozpatrzymy ciało A spoczywające na poziomej płaszczyźnie B, jak
na rys. 3.10a. Siły czynne działające na ciało A zastąpimy siłą Q działającą w
kierunku normalnej i siłą P działającą w płaszczyźnie stycznej. Reakcję R
płaszczyzny B na ciało A również rozłożymy na składową normalną N i składową
styczną T, czyli siłę tarcia poślizgowego. Jeżeli ciało A znajduje się w spoczynku
(w równowadze), siły Q i N oraz P i T muszą się równoważyć:

T P

N Q

(a)

Gdy

siłę P będziemy zwiększać, to siła T będzie się zwiększać do pewnej

maksymalnej wartości. Po przekroczeniu przez siłę P tej granicznej wartości siły
tarcia ciało A zacznie się ślizgać po płaszczyźnie B i równowaga nie będzie już
możliwa. Maksymalną wartość siły tarcia, przy której równowaga jest jeszcze
możliwa, nazywamy graniczną siłą tarcia T

lub rozwiniętą siłą tarcia.

Rys. 3.10. Reakcje z uwzględnieniem tarcia (a) oraz ilustracja stożka tarcia (b)

Graniczna

wartość siły tarcia zależy od wielu czynników, nie wszystkie z nich

są rozpoznane w zadowalającym stopniu. Do celów praktycznych wykorzystujemy,
sformułowane przez Coulomba na podstawie doświadczeń, prawa tarcia.

Są one następujące:

1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości stykających się ze sobą powierzchni
i zależy od ich rodzaju.
2. Wartość siły tarcia ciała znajdującego się w spoczynku może się zmieniać od
zera do wartości granicznej, wprost proporcjonalnej do nacisku normalnego.
3. Gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest skierowana
przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od wartości granicznej.

Z drugiego prawa wynika, że siła tarcia ciała pozostającego w spoczynku,
w zależności od układu sił działających na ciało, może przyjmować dowolną
wartość w zakresie między zerem a wartością graniczną. Zatem siła tarcia spełnia
nierówność:

≤

(b)

gdzie T

jest graniczną siłą tarcia, taką że

(3.5)

Występujący w tym wzorze współczynnik proporcjonalności

jest

współczynnikiem tarcia statycznego

Siła tarcia ciała poruszającego się po chropowatej powierzchni jest skierowana
przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość określa wzór:

µ′

(3.6)

gdzie

jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.

′

Z rysunku 3.10a wynika, że całkowita reakcja R tworzy z kierunkiem normalnej
do powierzchni styku pewien kąt. Kąt ten wraz ze wzrostem siły tarcia będzie się
zwiększał i osiągnie maksymalną wartość przy granicznej wartości siły tarcia T

określonej wzorem (3.5). Ten maksymalny kąt, o jaki może się odchylić reakcja
całkowita R od normalnej N, nazywamy kątem tarcia

Z rysunku wynika, że

= tg

(3.7)

Jeżeli przedstawiona na rys. 3.10a siła styczna P będzie przyjmować wszystkie
możliwe kierunki, to reakcja R zakreśli stożek, którego osią jest prosta
pokrywająca się z reakcją normalną N.

Stożek ten nazywamy stożkiem tarcia (rys. 3.10b). Dla ciał, dla których

współczynnik tarcia ma jednakową wartość we wszystkich kierunkach (ciała
izotropowe), stożek tarcia będzie stożkiem kołowym.

Aby

ciało znajdowało się w spoczynku, reakcja całkowita R musi leżeć

wewnątrz stożka tarcia, a w przypadku tarcia całkowicie rozwiniętego na
powierzchni tego stożka.

3.3.2. Opór toczenia

doświadczenia wiemy, że podczas przetaczania ciężkiego walca po poziomej

płaszczyźnie występuje opór, który nazywamy oporem toczenia lub przez analogię
do tarcia poślizgowego tarciem tocznym. Niżej zajmiemy się wyjaśnieniem
przyczyny powstawania oporu toczenia jednego ciała po drugim.

Rys. 3.11. Ilustracja tarcia toczenia

Załóżmy, że sztywny walec o ciężarze G spoczywa na sztywnej poziomej
płaszczyźnie. Do walca przyłożymy poziomą siłę P odległą od płaszczyzny o h
(rys. 3.11a). Przy założeniu sztywności walca i płaszczyzny będzie się on stykał
wzdłuż tworzącej przechodzącej przez punkt A. W tym punkcie wystąpi reakcja
podłoża, którą rozłożono na normalną N i styczną T, czyli siłę tarcia. Jeżeli walec
znajduje się w spoczynku, to siły działające na niego, zgodnie z warunkiem (3.4),
muszą być w równowadze, tzn. ich suma geometryczna musi być równa zeru.
Prowadzi to do równości skalarnych:

T P i G

= .

(a)

Założymy ponadto, że siła P jest mniejsza od granicznej wartości siły tarcia (3.5):

≤

(b)

Oznacza to, że walec nie może się ślizgać po płaszczyźnie. Jednak z analizy układu
sił przedstawionych na tym rysunku wynika, że nie może on być w równowadze.

Łatwo zauważyć, że dla każdej wartości siły

i h

≠

0 siła ta, zgodnie ze

wzorem (2.36), daje moment względem punktu A, którego wartość jest różna od
zera:

( )

≠

(c)

W tej sytuacji najmniejsza siła P spowodowałaby obrót walca (toczenie), co jest
sprzeczne z zachowaniem się ciał rzeczywistych w podobnej sytuacji.
Z przedstawionych rozważań wynika, że oporu toczenia nie można wyjaśnić na
gruncie wyidealizowanego modelu ciała doskonale sztywnego. W rzeczywistości
jeżeli walec i podłoże są wykonane z rzeczywistych materiałów, to przy małej
wartości siły P toczenie walca nie wystąpi. Zacznie się on toczyć dopiero po
przekroczeniu przez moment siły P względem punktu A pewnej wartości
charakterystycznej dla materiałów walca i podłoża. Graniczną wartość momentu
Ph, przy której walec jest jeszcze w równowadze, nazywamy momentem oporu
toczenia

. Jest on miarą tarcia tocznego.

Zjawisko oporu toczenia jest spowodowane odkształcaniem się zarówno walca,
jak i płaszczyzny, na której on spoczywa. Wtedy styk walca i płaszczyzny nie
odbywa się wzdłuż tworzącej przechodzącej przez punkt A, lecz na ograniczonej
powierzchni wynikającej ze wzajemnych odkształceń w miejscu styku walca i
powierzchni. Reakcja normalna N jest wtedy wypadkową nacisków normalnych
występujących na płaszczyźnie styku i działających na walec i jest przesunięta o
pewną odległość w stosunku do punktu A w kierunku możliwego toczenia się (rys.
3.11b).
Aby równowaga walca była zachowana, moment siły P względem punktu A
musi być zrównoważony momentem reakcji N względem tego punktu:

( )

(d)

Moment

( )

N nie może wzrastać nieograniczenie, lecz tylko do pewnej

maksymalnej wartości. W przypadku granicznym jest on proporcjonalny do reakcji
normalnej:

( )

max

(3.8)

Występujący w tym wzorze współczynnik proporcjonalności f nazywamy
współczynnikiem tarcia tocznego

albo ramieniem tarcia tocznego. Współczynnik

ten ma wymiar długości i jest podawany w centymetrach.

Aby walec nie zaczął się toczyć, musi być spełniony warunek:

lub

max

≤

(3.9)

Walec

będzie w spoczynku, gdy wartość poziomej siły P nie przekroczy

najmniejszej z wartości określonej warunkami (b) i (3.9). Gdy f/h < , walec
zacznie się toczyć, zanim nastąpi poślizg. Zwykle f/h jest znacznie mniejsze od
współczynnika tarcia

µ .

3.4.1. Wypadkowa zbieżnego układu sił

Przestrzenny układ sił

Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania przecinają się
w jednym punkcie, nazywanym punktem zbieżności (rys. 3.12a). Ponieważ siły
działające na ciało sztywne można przesuwać wzdłuż linii ich działania, można je
uważać za siły przyłożone do jednego punktu (rys. 3.12b). W konsekwencji
otrzymaliśmy układ sił P

(k = 1, 2, 3, . . . , n) przyłożonych w jednym punkcie.

Rys. 3.12. Przestrzenny zbieżny układ sił

W punkcie 3.1.1 powiedzieliśmy, że siły przyłożone w jednym punkcie można
zastąpić jedną siłą równoważną, czyli wypadkową. Zatem wypadkowa zbieżnego
układu sił jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił, a linia jej działania
przechodzi przez punkt zbieżności:

∑

(3.10)

W celu obliczenia współrzędnych wypadkowej w punkcie zbieżności O
(rys. 3.12b) wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych x, y, z i wyrazimy
wszystkie siły P

oraz wypadkową W za pomocą współrzędnych w tym układzie:

⎭

⎬

⎫

(a)

Po podstawieniu tych wzorów do zależności (3.10) otrzymamy:

∑

Z obustronnego porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymujemy
wzory na współrzędne wypadkowej:

∑

(3.11)

Powyższe wzory można było napisać bezpośrednio na podstawie twierdzenia, że
rzut sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów wszystkich wektorów
na tę oś (twierdzenie Charles’a).
Po wyznaczeniu współrzędnych wypadkowej można wyznaczyć jej wartość
liczbową (moduł) oraz kosinusy kierunkowe ze wzorów:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

cos

(3.12)

gdzie

α, β i γ są kątami, które wypadkowa W tworzy odpowiednio z osiami x, y i

Płaski układ sił

Płaskim układem sił zbieżnych będziemy nazywać układ sił

(k = 1, 2,

. . . ,

n), których linie działania leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym
punkcie.
Podobnie jak w przypadku przestrzennego układu sił zbieżnych, siły te można
przesunąć do punktu zbieżności i traktować jak siły przyłożone do jednego punktu
(rys. 3.13a). Wypadkowa W płaskiego układu sił zbieżnych będzie leżeć w
płaszczyźnie działania sił i będzie przechodzić przez punkt zbieżności. Będzie ona
równa sumie geometrycznej sił składowych:

∑

(3.13)

Wypadkową płaskiego układu sił zbieżnych można wyznaczyć sposobem
geometrycznym i analitycznym.

Rys. 3.13. Wyznaczanie wypadkowej płaskiego zbieżnego układu sił za pomocą

wieloboku sił

Sposób geometryczny polega na zbudowaniu wieloboku sił, w którym
z dowolnego punktu

(rys. 3.13b) odkładamy równolegle siłę

′

, a z jej końca

równolegle siłę

, a następnie kolejne siły aż do

. Wektor

W łączący początek

siły

i koniec siły

jest sumą geometryczną sił składowych. Otrzymany wektor

W przyłożony w punkcie O (rys. 3.13a) jest wypadkową układu sił zbieżnych.
Dla analitycznego obliczenia wypadkowej przyjmiemy w punkcie zbieżności O
(rys. 3.13a) układ współrzędnych o osiach x i y leżących w płaszczyźnie sił. Wtedy
współrzędne P

wszystkich sił

będą tożsamościowo równe zeru:

. W tej

sytuacji wzory na współrzędne wypadkowej płaskiego układu sił zbieżnych
otrzymamy ze wzorów (3.11) po podstawieniu do nich

≡ 0

= 0

∑

(3.14)

Z kolei moduł wypadkowej oraz kąt

α, który ona tworzy z osią x, obliczymy ze

wzorów:

(3.15)

3.4.2. Warunki równowagi zbieżnego układu sił

Przestrzenny układ sił

Gdy

wypadkowa

W przestrzennego układu sił zbieżnych jest równa zeru, układ

sił będzie w równowadze. Prowadzi to do wektorowego warunku równowagi w
postaci:

∑

(3.16)

Aby przestrzenny układ sił zbieżnych był w równowadze, warunkiem
koniecznym jest, by suma wektorowa tego układu sił była równa zeru.

Wypadkowa W omawianego układu sił będzie równa zeru, jeżeli jej
współrzędne w przyjętym układzie współrzędnych będą równe zeru. Stąd na
podstawie wzorów (3.11) można napisać trzy skalarne równania równowagi:

∑

= 0.

(3.17)

Powyższe warunki równowagi można wypowiedzieć słownie.

Aby przestrzenny układ sił zbieżnych był w równowadze, warunkiem
koniecznym i wystarczającym jest, by suma rzutów tych sił na każdą oś układu
współrzędnych była równa zeru.
Z

równań równowagi (3.17) wynika, że w przypadku zbieżnego przestrzennego

układu sił możemy wyznaczyć trzy niewiadome, ponieważ dysponujemy trzema
równaniami.

Przykład 3.1. Wspornik składa się z trzech nieważkich prętów AB, AC i AD
połączonych przegubowo w węźle A, jak na rys. 3.14. Końce B, C i D tych prętów
są połączone również za pomocą przegubów do pionowej ściany. Pręty AB i AC
leżą w płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany i tworzą z nią kąty

Pręt AD tworzy z tą ścianą kąt

i również leży w płaszczyźnie prostopadłej

do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, jeżeli do węzła A jest przyłożona siła Q,
leżąca w płaszczyźnie pionowej prostopadłej do ściany i odchylona od poziomu o
kąt

. Tarcie w przegubach pominąć.

α = 60

β = 30

γ = 45

Rys. 3.14. Wyznaczenie sił w prętach zbiegających się w węźle A

Rozwiązanie. Oddziaływanie prętów AB, AC i AD na węzeł A zastąpimy
odpowiednio siłami S

, S

i S

. Zatem węzeł ten jest w równowadze pod

działaniem czterech sił zbieżnych: S

, S

i Q. Po wprowadzeniu w punkcie A

prostokątnego układu współrzędnych x, y, z i wykorzystaniu równań równowagi
(3.17) otrzymamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

cos

sin

cos

−

∑

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy:

(

)

(

)

cos

sin

cos

−

Znak minus przy sile S

oznacza, że w rzeczywistości zwrot tej siły jest przeciwny

do przyjętego na rysunku. Pręty AB i AC są rozciągane, a pręt AD ściskany.

Płaski układ sił

Podobnie jak w przypadku przestrzennego zbieżnego układu sił, płaski układ sił
zbieżnych będzie w równowadze, gdy jego wypadkowa W będzie równa zeru.
Zatem wektorowy warunek równowagi będzie miał formalnie postać identyczną z
równaniem (3.16):

∑

Powyższemu warunkowi na podstawie wzorów (3.14) będą odpowiadały
równoważne dwa równania równowagi:

∑

(3.18)

Aby

płaski układ sił zbieżnych był w równowadze, warunkiem koniecznym

i wystarczającym jest, by sumy rzutów tych sił na dwie osie układu współrzędnych
były równe zeru.
Zatem

przy

rozwiązywaniu zagadnień dotyczących sił zbieżnych leżących

w jednej płaszczyźnie dysponujemy dwoma równaniami i tyle niewiadomych
możemy wyznaczyć.
Z rysunku 3.13b widzimy, że gdy wypadkowa jest równa zeru, to koniec siły P

znajduje się w początku siły

, czyli wielobok sił jest zamknięty.

Na rysunku 3.15a przedstawiono płaski układ n sił przyłożonych do punktu O
pewnego ciała. Siły te są w równowadze, ponieważ tworzą wielobok zamknięty
pokazany na rys. 3.15b. Powyższe rozważania pozwalają na sformułowanie
wykreślnego (geometrycznego) warunku równowagi.

Aby płaski układ sił zbieżnych był w równowadze, zbudowany z nich

wielobok sił musi być wielobokiem zamkniętym.

′

Rys. 3.15. Równowaga płaskiego zbieżnego układu sił

3.4.3. Twierdzenie o trzech siłach

W wielu przypadkach ciało sztywne jest w równowadze pod działaniem trzech
nierównoległych sił leżących w jednej płaszczyźnie. Wtedy w rozwiązywaniu
zagadnień praktycznych jest pomocne tzw. twierdzenie o trzech siłach.

Rys. 3.16. Ilustracja twierdzenia o trzech siłach

Jeżeli ciało sztywne jest w równowadze pod działaniem trzech nierównoległych
sił leżących w jednej płaszczyźnie, to linie działania tych sił muszą przecinać się w
jednym punkcie, a siły tworzyć trójkąt zamknięty.

W celu udowodnienia powyższego twierdzenia założymy, że do ciała
sztywnego znajdującego się w równowadze są przyłożone trzy nierównoległe siły
P

, P

i P

, których linie działania leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 3.16a). Linie

działania sił P

i P

przecinają się w punkcie O. Po przesunięciu tych sił do punktu

przecięcia możemy je zastąpić wypadkową:

W tej sytuacji ciało jest w równowadze pod działaniem dwóch sił: Q i P

. Zatem

siły Q i P

muszą się równoważyć, czyli muszą być równe co do wartości

liczbowych, mieć przeciwne zwroty i muszą działać wzdłuż jednej prostej. Wynika
z tego, że linia działania siły P

musi przechodzić także przez punkt przecięcia sił

i P

. Ponadto wielobok sił zbudowany z sił P

, P

i P

musi być trójkątem

zamkniętym (rys. 3.16b).

Przykład 3.2. Jednorodny pręt AB o ciężarze G i długości l jest oparty końcem
B o gładką pionową ścianę, a koniec A tego pręta jest zamocowany w stałej
podporze przegubowej (rys. 3.17a). Wyznaczyć reakcję ściany oraz reakcję
podpory przegubowej, jeżeli odległość podpory od ściany wynosi c.

l/2

Rys. 3.17. Układ sił działających na pręt

Rozwiązanie. Pręt AB jest w równowadze pod działaniem trzech sił: ciężkości
G przyłożonej w środku ciężkości C oraz reakcji ściany R

i podpory przegubowej

. Ponieważ ściana jest gładka (brak tarcia), reakcja R

jest do niej prostopadła.

Linie działania siły ciężkości G pręta i reakcji ściany R

przecinają się w punkcie

O (rys. 3.17b). Zgodnie z twierdzeniem o trzech siłach przez ten punkt musi
przechodzić linia działania reakcji R

. Znamy zatem kierunki wszystkich sił

działających na pręt, co pozwala narysować zamknięty trójkąt sił (rys. 3.17c). Kąt
α jest kątem, jaki tworzy reakcja R

z siłą G. Ponieważ trójkąt sił jest trójkątem

prostokątnym, otrzymujemy:

cos

(a)

Gdyby

trójkąt sił nie był trójkątem prostokątnym, do obliczenia wartości reakcji

należałoby zastosować twierdzenie sinusów.

trójkąta ADO (rys. 3.17b) mamy:

( ) ( )

( )

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

cos

(b)

Z trójkąta ABE wynika, że

−

Po uwzględnieniu tej zależności we wzorach (b) otrzymujemy:

cos

−

(c)

Po podstawieniu tych wartości do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:

−

(d)

Przedstawiona metoda

rozwiązania jest nazywana metodą geometryczną.

Zadanie to można rozwiązać metodą analityczną, polegającą na wykorzystaniu
równań równowagi (3.18). Po wprowadzeniu układu współrzędnych xy w punkcie
E (rys. 3.17b) i zrzutowaniu sił na osie tego układu otrzymujemy równania
równowagi:

cos

sin

−

∑

Powyższe dwa równania po wyznaczeniu kąta

α z twierdzenia o trzech siłach

pozwalają na wyznaczenie wartości reakcji

3.5. Twierdzenie o momencie wypadkowej

Moment wypadkowej układu sił względem dowolnego punktu jest równy sumie
momentów sił składowych względem tego samego punktu.

Twierdzenie to jest znane pod nazwą twierdzenia Varignona.

Udowodnimy je na przykładzie n sił P

(k = 1, 2, 3, . . . , n) przyłożonych

w punkcie A (rys. 3.18).

W punkcie 3.4.1 powiedzieliśmy,

że

wypadkowa zbieżnego układu sił jest równa sumie
wektorowej wszystkich sił:

Rys. 3.18. Ilustracja do twierdz-
nia o momencie wypadkowej

∑

i jest również przyłożona do punktu A. Moment

względem dowolnego punktu O wypadkowej W
zgodnie z definicją momentu wektora względem

punktu (2.35) możemy zapisać jako

( )

Z drugiej strony sumę momentów wszystkich sił rozpatrywanego układu sił
względem tego samego punktu O wyraża zależność:

( )

∑

...

Występujący w tej sumie wektor r

jest stały we wszystkich składnikach sumy.

Zatem na podstawie prawa rozdzielności mnożenia wektorowego względem
dodawania (2.24) można go wyciągnąć przed znak sumy:

( )

∑

Podane na początku tego punktu twierdzenie udowodniliśmy na przykładzie
zbieżnego układu sił. Twierdzenie to ma jednak charakter ogólny i dotyczy
dowolnego ukladu sił, który ma wypadkową. Wynika to z podanego w p. 3.1.1
określenia wypadkowej. Powiedziano tam również, że wypadkowa jest siłą
równoważną danemu układowi sił, czyli powodującą ten sam skutek mechaniczny.
Zatem jej moment względem dowolnego punktu musi być równy sumie momentów
wszystkich sił, równoważnych wypadkowej, względem tego samego punktu.

3.6. Para sił

Linie

działania dwóch sił mogą zajmować względem siebie różne położenia w

przestrzeni. Mogą się pokrywać, przecinać, być równoległe lub wichrowate.
Jeżeli linie działania się pokrywają, czyli dwie siły działają wzdłuż jednej
prostej, to przy równych modułach i przeciwnych zwrotach są równoważne zeru, w
przeciwnym razie dają się sprowadzić do wypadkowej.
Gdy linie działania dwóch sił przecinają się, to mamy do czynienia
z omówionym w p. 3.4.1 układem sił zbieżnych, które można sprowadzić do
równoważnej im wypadkowej.
Dwie

siły równoległe, z wyjątkiem sił o równych modułach i przeciwnych

zwrotach, również można zastąpić wypadkową [7, 11].
Siły wichrowate można zawsze sprowadzić do jednej siły i pary sił [9].
Wspomnieliśmy wyżej, że dwóch sił równoległych o równych modułach i
przeciwnych zwrotach nie można sprowadzić do wypadkowej. Obecnie zajmiemy
się takim układem sił.
Na rysunku 3.19 przedstawiono dwie siły równoległe

P P

′ o równych

modułach

i przeciwnych zwrotach

= ′

= − ′ . Taki układ nazywamy parą

sił

. Widzimy zatem, że siły tworzące parę sił nie mają wypadkowej, ponieważ ich

suma jest równa zeru, ale nie równoważą się, gdyż działając na ciało materialne,
będą powodować jego obrót.
Obliczymy teraz moment pary sił względem dowolnego punktu O. Będzie on
równy sumie momentów sił P P

′ względem tego punktu:

( )

′

Po podstawieniu do tego wzoru zależności wynikającej z rysunku:

′

oraz

′

−

otrzymamy:

A′A

′

M>0

Rys. 3.19. Para sił

( )

( ) (

)

( )

−

′

Widzimy, że moment pary sił jest równy momentowi jednej siły względem
dowolnego punktu leżącego na linii działania drugiej siły:

′

(3.19)

Zatem moment pary sił nie zależy ani od punktu O, względem którego go
obliczamy, ani od położenia punktów A i A

′ na liniach działania sił

ponieważ siły można przesuwać wzdłuż linii ich działania. Moment pary sił M jest
więc wektorem swobodnym, ponieważ nie jest związany z żadnym punktem ani z
żadną prostą. Dlatego we wzorze (3.19) przy wektorze M pominięto indeks.

P P

′

Wektor momentu pary sił M jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a
jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Moduł momentu pary sił na
podstawie wzoru (3.36) możemy zapisać jako

(3.20)

gdzie h nazywamy ramieniem pary sił.
Wartość momentu pary sił będziemy uważać za dodatnią, jeżeli patrząc od
strony strzałki momentu M, para sił wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do
kierunku ruchu wskazówek zegara; w przeciwnym razie przyjmujemy wartość
ujemną.

zakończenie tego punktu podamy bez dowodów podstawowe własności pary

sił [7, 11].

1. Dwie pary sił leżące w tej samej

płaszczyźnie

(rys. 3.20) są równoważne,

gdy mają równe momenty

= P

2. Parę sił można przesuwać do

dowolnej płaszczyzny równoległej do jej
płaszczyzny działania

3. Pary sił działające w jednej

płaszczyźnie można zastąpić parą
wypadkową o

momencie M, którego

wartość jest równa sumie algebraicznej
wartości momentów poszczególnych par

′

Rys. 3.20. Dwie równoważne pary sił

leżące w jednej płaszczyźnie

∑

(3.21)

4. Układ n par sił o różnych płaszczyznach działania i o momentach M

można

zastąpić parą równoważną o momencie równym sumie geometrycznej momentów
par składowych

∑

(3.22)

Ostatnia własność pozwala sformułować warunek równowagi par sił
działających na ciało sztywne w różnych płaszczyznach.
Aby pary sił działające na ciało sztywne w różnych płaszczyznach znajdowały
się w równowadze, suma geometryczna momentów tych par musi być równa zeru.

Warunkowi temu odpowiada wektorowy warunek równowagi:

∑

. (3.23)

3.7.1. Redukcja dowolnego układu sił do siły i pary sił

Dowolnym

układem sił będziemy nazywać układ sił o liniach działania

dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni. W tym punkcie zajmiemy się
sprowadzeniem (redukcją) takiego układu sił do najprostszej postaci, czyli do
najprostszego układu sił równoważnego danemu układowi sił.
Załóżmy, że mamy dowolny układ n sił P

o punktach przyłożenia A

(k = 1, 2 ,

. . . , n), jak na rys. 3.21. W celu redukcji tego układu przyjmijmy dowolny punkt O
nazywany biegunem redukcji. Położenie sił P

w stosunku do bieguna redukcji

niech określają wektory r

W biegunie redukcji przyłóżmy n sił P

oraz n sił o przeciwnych zwrotach:

. Takie postępowanie nie wpłynie na zmianę skutków

mechanicznych, ponieważ układ 2n sił przyłożonych w punkcie O jest
równoważny zeru. W konsekwencji otrzymaliśmy n sił P

′ = −

zbieżnych w biegunie

redukcji O oraz n par sił

przyłożonych odpowiednio w punktach A

′

i O o

momentach równych momentowi siły P

względem bieguna O, czyli

( )

M P

= ×

-P

Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Wiadomo,

że układ n sił zbieżnych w biegunie redukcji O można zastąpić jedną

siłą W, równą ich sumie geometrycznej (wzór 3.10), również przechodzącą przez
punkt zbieżności. Podobnie układ n par sił możemy zastąpić jedną parą
równoważną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par
składowych (wzór 3.22). Możemy zatem zapisać:

( )

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

∑

(3.24)

Siłę W nazywamy wektorem głównym, a moment M

momentem głównym.

Definicje wektora głównego i momentu głównego możemy ująć słownie:
Wektorem głównym układu sił nazywamy sumę geometryczną wszystkich sił
przyłożoną w dowolnie obranym biegunie redukcji

∑

(3.25)

Momentem głównym układu sił względem bieguna redukcji O nazywamy sumę
geometryczną momentów wszystkich sił względem tego bieguna:

∑

(3.26)

Na podstawie powyższych rozważań możemy stwierdzić, co następuje:

Dowolny

układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem

równoważnym składającym się z jednej siły

W przyłożonej w dowolnie obranym

biegunie redukcji

O oraz pary sił o momencie M

W celu obliczenia współrzędnych wektora głównego W i momentu głównego
M

przyjmiemy w biegunie redukcji O prostokątny układ współrzędnych x, y, z

(rys. 3.21). Ponadto założymy, że w tym układzie są znane współrzędne

sił P oraz współrzędne

wektorów

, P

i z

, y

(

)

= 1, 2, . . . , n

określających punkty przyłożenia tych sił.
Po oznaczeniu współrzędnych wektora głównego przez W

podstawie twierdzenia o rzucie sumy współrzędne te będą równe sumie rzutów
wszystkich sił na poszczególne osie układu współ rzędnych:

i W

, W

∑

(3.27)

Po oznaczeniu współrzędnych momentu głównego przez

uwzględnieniu wzorów (2.41) współrzędne te będą równe sumie momentów
wszystkich sił względem odpowiednich osi układu współrzędnych:

, i M

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

−

∑

)

(3.28)

Otrzymane skalarne wzory (3.27) i (3.28) są równoważne wektorowym wzorom
(3.25) i (3.26).
Aby dwa dowolne układy sił były wzajemnie równoważne, warunkiem
koniecznym i wystarczającym jest, aby ich wektory główne i momenty główne
względem tego samego bieguna redukcji były równe.

3.7.2. Twierdzenie o momencie głównym

Ze wzoru (3.25) wynika, że wektor główny nie zależy od wyboru bieguna

redukcji O, czyli wektor główny jest niezmiennikiem układu sił w operacji zmiany
bieguna redukcji. Moment główny wraz ze zmianą bieguna redukcji ulegnie
zmianie zgodnie z następującym twierdzeniem, znanym jako twierdzenie o
momencie głównym:
Moment

główny dowolnego układu sił względem dowolnego bieguna O

równy momentowi głównemu względem innego dowolnego bieguna O
powiększonemu o moment wektora głównego przyłożonego w biegunie O względem
bieguna O

′.

W celu udowodnienia tego twierdzenia przyjmijmy, że dany jest dowolny układ
n sił P

przyłożonych w punktach A

(k = 1, 2, . . . , n), którego moment główny

względem bieguna redukcji O jest dany wzorem (3.26). Zastanówmy się, jak
zmieni się moment główny, jeżeli biegun redukcji przeniesiemy do punktu O

′ (rys.

3.22).

′A

′O

Rys. 3.22. Ilustracja do twierdzenia o momencie głównym

Zgodnie z definicją moment główny względem nowego bieguna redukcji O

′

wyraża wzór:

∑

′

Po podstawieniu do tego wzoru zależności wynikającej z rys. 3.22:

′

otrzymamy:

(

)

∑

′

Po uwzględnieniu, że pierwsza suma po prawej stronie tego równania jest
wektorem głównym

W (wzór 3.35), a druga momentem głównym M

względem

bieguna O (wzór 3.36), otrzymujemy dowód twierdzenia o momencie głównym:

′

(3.29)

3.7.3. Warunki równowagi dowolnego układu sił

W punkcie 3.7.1 udowodniono, że dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne
można sprowadzić do układu prostszego, składającego się z wektora głównego W przyłożonego w
biegunie redukcji O i pary sił o momencie M

, zwanym momentem głównym, względem tego

bieguna. Wielkości te, zgodnie ze wzorami (3.24), można ująć w następujący sposób:

∑

(3.30)

powyższych zależności wynika, że układ sił będzie równoważny zeru, gdy zarówno wektor

główny, jak i moment główny będą równe zeru:

0 oraz

= 0.

(3.31)

Z porównania wzorów (3.30) i (3.31) wynikają dwa następujące wektorowe warunki równowagi:

∑

(3.32)

Warunki te można wyrazić słownie:

Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, by suma
sił i suma ich momentów względem dowolnego punktu były równe zeru.

Wiadomo,

że dowolne wektory będą równe zeru, jeżeli ich współrzędne w przyjętym układzie

współrzędnych będą równe zeru. Zatem, aby wektory (3.30) były równe zeru, ich współrzędne
wyrażone wzorami (3.27) i (3.28) muszą być równe zeru. Stąd otrzymujemy sześć równań równowagi:

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

∑

(3.33)

Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu
współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych

osi muszą być równe zeru.

Z otrzymanych równań równowagi (3.33) wynika, że w zagadnieniach dotyczących równowagi
ciała sztywnego poddanego działaniu dowolnego układu sił możemy wyznaczyć sześć niewiadomych.
W przypadku większej liczby niewiadomych mamy do czynienia z zagadnieniem statycznie
niewyznaczalnym, którego nie można rozwiązać na gruncie statyki ciała sztywnego.
Równania równowagi (3.33) dotyczą dowolnego przestrzennego układu sił i jako takie zawierają w
sobie warunki równowagi prostszych układów sił. Przykładowo dla przestrzennego zbieżnego układu
sił omówionego w p. 3.4 moment główny względem punktu zbieżności będzie równy zeru, czyli
równania momentów będą tożsamościowo spełnione, a zatem otrzymamy tylko trzy równania
równowagi w postaci (3.16) i (3.17).

3.7.4. Redukcja dowolnego układu sił do skrętnika

Wiadomo z p. 3.7.1, że dowolny układ sił można zastąpić układem
równoważnym składającym się z wektora głównego W przyłożonego w dowolnym
biegunie O oraz pary sił o momencie M

. W punkcie 3.7.2 powiedziano, że wektor

główny po zmianie bieguna redukcji na inny (np. O

′) nie ulegnie zmianie,

natomiast moment główny zmieni się zgodnie z twierdzeniem o momencie
głównym wg wzoru (3.29).

O O W

′

+ ′ ×

. (a)

Pomnóżmy skalarnie obie strony powyższego równania przez wektor główny
W:

(

)

W M

W O O W

⋅

′ ×

′

(b)

Iloczyn mieszany występujący po prawej stronie tego równania jest równy zeru,
ponieważ zgodnie z zależnością (2.31) możemy napisać:

(

)

(

)

W O O W

O O W W

⋅

′ ×

= ′ ⋅

= 0 .

Równanie (b) przybierze zatem postać:

W M

⋅

′

p = const. (3.34)

Widzimy,

że iloczyn skalarny wektora głównego i momentu głównego jest

wielkością stałą, niezależną od wyboru bieguna redukcji. Wielkość p występującą
w równaniu (3.34) nazywamy parametrem układu sił.
Jeżeli kąty między wektorami W i M

oraz między W i M

oznaczymy

odpowiednio przez

α i α′, jak na rys. 3.23, to równanie (3.34) możemy zapisać w

poniższej postaci:

const

cos

α′

′

albo

′

′ =

cos

const

. (3.35)

Iloczyny

′

cos

α są rzutami momentów głównych

kierunek wektora głównego. Zatem z równania (3.35) wynika, że rzut momentu
głównego na kierunek wektora głównego również nie zależy od wyboru bieguna

′

α′

Rys. 3.23. Rzut momentu głównego na kierunek

wektora głównego

redukcji i jest wielkością stałą, czyli jest obok wektora głównego drugim
niezmiennikiem układu

sił.

Wykażemy teraz, że można znaleźć taki biegun redukcji S, że moment M

będzie równoległy do wektora głównego W (rys. 3.24). Taki układ sił będziemy
nazywać skrętnikiem.

Skrętnikiem nazywamy układ składający się z siły

W i pary sił o momencie M

równoległym do siły

Dla

wyznaczenia

momentu

(momentu skrętnika) oraz położenia punktu S,

czyli wektora OS, przyjmiemy, że dany jest wektor główny W i moment główny
M

względem dowolnego bieguna O (rys. 3.24).

Na podstawie równania (3.34) i rys. 3.24 możemy napisać:

W M

⋅

W M

stąd moduł momentu

⋅

W M

. (3.36)

Po pomnożeniu tego wzoru przez wektor jednostkowy o kierunku wektora
głównego W otrzymamy wzór na moment M

(

)

W M

⋅

. (3.37)

Rys. 3.24. Redukcja przestrzennego układu sił do skrętnika

Moment M

możemy również wyznaczyć z twierdzenia o momencie głównym

przez podstawienie we wzorze (3.29) S zamiast O

′:

SO W

. (3.38)

W celu wyznaczenia wektora OS, czyli położenia punktu S, porównamy
stronami wzory (3.37) i (3.38):

(

)

SO W

W M

⋅

Po przeniesieniu momentu M

na prawą stronę i sprowadzeniu do wspólnego

mianownika możemy napisać:

(

)

(

)

SO W

W W M

M W W

⋅

−

⋅

Licznik po prawej stronie jest rozwinięciem podwojonego iloczynu wektorowego
(2.34). Po odpowiednim przestawieniu wyrazów po lewej stronie mamy
ostatecznie:

(

)

W OS

W M

. (3.39)

Łatwo sprawdzić, że ogólne rozwiązanie tego równania wektorowego ma
postać:

(

)

W M

, (3.40)

gdzie

λ jest dowolną wielkością skalarną tak dobraną, aby iloczyn λW miał

wymiar długości.
Otrzymane równanie (3.40) jest wektorowym równaniem prostej l
przechodzącej przez punkt S i równoległej do wektora głównego W. Prostą tę
nazywamy osią centralną układu sił lub osią skrętnika.
Po wprowadzeniu w punkcie O (rys. 3.24) układu współrzędnych x, y, z i
oznaczeniu współrzędnych punktu S w tym układzie przez

wektorowe

równanie osi centralnej (3.40) możemy przedstawić w postaci trzech
parametrycznych równań skalarnych:

, y

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

(3.41)

Obecnie rozpatrzymy szczególne przypadki układów sił sprowadzonych do
skrętnika.

a) Gdy wektor główny W

= 0 i moment M

= 0 , to ze wzoru (3.38) wynika,

że moment główny jest także równy zeru, M

= 0 , czyli układ sił jest

równoważny zeru (wzory 3.31).

b) Jeżeli wektor

a moment

= 0,

≠ 0 , to ze wzoru (3.38) otrzymujemy

, czyli najprostszym układem, do jakiego można sprowadzić dany

układ, jest para sił.

= 0

c) Jeżeli

, to układ można sprowadzić do jednej siły W

działającej wzdłuż osi centralnej, czyli do wypadkowej. W tym przypadku ze
wzoru (3.37) wynika bezpośrednio, że iloczyn skalarny wektora głównego W i
momentu głównego

jest równy zeru. Oznacza to, że moment główny jest

prostopadły do wektora głównego. Zatem analityczny warunek istnienia
wypadkowej ma postać:

≠ 0, a

W M

⋅

0 . (3.42)

d) Jeżeli

, to skrętnik jest najprostszym układem, do jakiego

można zredukować dany układ sił.

≠ 0 i

≠ 0

3.8.1. Redukcja płaskiego układu sił

Przez

płaski dowolny układ sił będziemy rozumieć układ sił leżących w jednej

płaszczyźnie o kierunkach nie przecinających się w jednym punkcie. W dalszym
ciągu przyjmiemy, że mamy dany dowolny układ sił P

(k = 1, 2, . . . , n)

przyłożonych w punktach A

leżących w płaszczyźnie xy (rys. 3.25).

Postępując podobnie jak w przypadku dowolnego przestrzennego układu sił,
płaski układ sił można zredukować do układu równoważnego składającego się
z jednej siły W przyłożonej w dowolnie obranym biegunie redukcji O i pary sił
o momencie M

. Otrzymamy wzory wektorowe:

∑

. (3.43)

Wzory te są zewnętrznie
identyczne ze wzorami (3.24) na
wektor główny i moment główny
dowolnego układu sił, ale liczba
ich współrzędnych będzie inna.
Ponieważ siły leżą w płaszczyźnie
xy, wektor główny W będzie miał
dwie współrzędne, gdyż trzecie
współrzędne sił P

będą zawsze

równe zeru,

. Jeżeli

natomiast jako biegun redukcji O
przyjmiemy początek układu
współrzędnych x, y (rys. 3.25), to
moment główny M

≡

będzie

zawsze prostopadły do płaszczyzny xy, czyli będzie miał jedną współrzędną.
Wynika to z tego, że zgodnie z definicją iloczynu wektorowego moment każdej z
sił P

względem punktu O musi być prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej

przez wektory r

i P

. Do analogicznych wniosków dojdziemy po podstawieniu do

wzorów (3.27) i (3.28)

i z

0 . Otrzymamy wtedy współrzędne wektora

głównego W i momentu głównego M

Rys. 3. 25. Redukcja dowolnego płaskiego układu

sił

(

)

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

−

∑

(3.44)

Z trzeciego wzoru (3.44) oraz z przedstawionych wyżej rozważań wynika, że do
określenia momentu głównego wystarczy podanie jednej liczby (moduł opatrzony

znakiem), czyli moment płaskiego układu sił można traktować podobnie jak skalar.
W tej sytuacji mówiąc o momencie głównym w płaskim układzie sił, będziemy
mieć na myśli tylko jego wartość algebraiczną.

3.8.2. Szczególne przypadki płaskiego układu sił

Układ równoważny wypadkowej

W punkcie 3.7.4 udowodniliśmy, że jeżeli moment główny M

jest prostopadły

do wektora głównego W (3.42), to układ sił można zredukować do jednej siły
wypadkowej działającej wzdłuż osi centralnej. W poprzednim punkcie
wykazaliśmy, że warunek ten jest zawsze spełniony. Wynika z tego, że jeżeli
wektor główny płaskiego układu sił jest różny od zera,

≠ 0

, to układ ten można

zastąpić wypadkową.
W celu wyznaczenia linii działania wypadkowej załóżmy, że płaski układ sił P

(k = 1, 2, . . . , n) został zredukowany do początku O układu współrzędnych x, y
(rys. 3.26) do wektora głównego W i momentu głównego M

o wartości M

∑

, M

. (3.45)

Moment

można zastąpić parą sił –W i W przyłożonych odpowiednio

w punktach O i A. W wyniku
takiego działania otrzymaliśmy
dwie siły –W i W przyłożone w
punkcie O oraz jedną siłę
przyłożoną w

punkcie A i

działającą wzdłuż prostej l. Siły
–W i W przyłożone w punkcie
O tworzą układ zerowy, zatem
układ sił został sprowadzony do
jednej siły W przyłożonej w
punkcie A. Siłę tę, działającą
wzdłuż prostej l, nazywamy
wypadkową płaskiego układu
sił

Rys. 3.26. Redukcja płaskiego układu sił do

wypadkowej

uwzględnieniu, że moment wypadkowej W względem dowolnego punktu

jest równy sumie momentów wszystkich sił względem tego samego punktu, oraz
oznaczeniu współrzędnych punktu A przyłożenia wypadkowej W przez x i y,
otrzymamy na podstawie trzeciego wzoru (3.44) zależność na moment
wypadkowej względem początku O układu współrzędnych:

−

Występujące w tym wzorze wielkości W

, W

i M

są wielkościami znanymi,

określonymi wzorami (3.44), przeto jest to równanie prostej l, wzdłuż której działa
wypadkowa W. Równanie to przedstawimy w postaci kierunkowej:

W
W

−

. (3.46)

Moduł wypadkowej

, (3.47)

a kąt D, jaki wypadkowa tworzy z osią x, określa wzór:

tg =

W
W

. (3.48)

Gdy wektor główny jest różny od zera,

≠ 0 , a moment główny jest równy

zeru,

, układ sił redukuje się do wypadkowej przechodzącej przez biegun

redukcji.

= 0

Na zakończenie omówienia wyznaczania wypadkowej zauważmy istotną
różnicę między wektorem głównym i wypadkową. Zarówno wektor główny, jak i
wypadkowa są równe sumie geometrycznej wszystkich sił, ale wektor główny jest
wektorem swobodnym, a wypadkowa jest siłą o ściśle określonej linii działania.

Układ równoważny parze sił

Jeżeli wektor główny płaskiego układu sił jest równy zeru,

= 0

, a moment

główny jest różny od zera, M

≠ 0 , to taki układ sił można zastąpić jedną parą sił

o momencie równym sumie momentów wszystkich sił względem dowolnego
punktu O:

∑

. (3.49)

Ponieważ parę sił można dowolnie przesuwać w jej płaszczyźnie działania (p. 3.6),
wartość momentu głównego

nie będzie zależna od położenia bieguna redukcji

O na płaszczyźnie działania sił.

Układ równoważny zeru

Jeżeli wektor główny i moment główny są równocześnie równe zeru, czyli

, to układ sił jest w równowadze. Przypadek ten będzie

rozpatrzony w następnym punkcie.

= 0 i

= 0

Przykład 3.3. Na płytę w kształcie kwadratu o boku a = 1 m działają cztery
siły: N

250

200

150

100

(rys. 3.27), przy czym

, E =

. Obliczyć wartość liczbową wypadkowej oraz linię jej działania.

Rozwiązanie. Współrzędne wektora głównego obliczymy z pierwszych dwóch
wzorów (3.44):

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−

≈

−

≈

−

∑

302

sin

147

cos

(a)

Zgodnie z drugim wzorem (3.45) moment główny względem początku O układu
współrzędnych

155

sin

cos

⋅

−

≈

−

∑

(b)

Ponieważ współrzędne wektora głównego są równe współrzędnym
wypadkowej, moduł wypadkowej

(

)

(

)

−

+ −

≈

147

302

336 N .

Rys. 3.27. Analityczne wyznaczenie wypadkowej płaskiego układu sił

Równanie linii działania wypadkowej otrzymamy przez podstawienie obliczonych
wartości (a) i (b) do równania (3.46).

−

,05x

,05 .

Otrzymana prosta l jest nakreślona na rys. 3.27. Odcina ona na osi odciętych
odcinek

, a na osi rzędnych odcinek

= 0,51m

= 1,05m

3.8.3. Warunki równowagi płaskiego układu sił

końcu poprzedniego punktu powiedziano, że jeżeli wektor główny W

i moment główny

dowolnego płaskiego układu sił są równocześnie równe

zeru, to układ sił jest w równowadze. Zatem wektorowe warunki równowagi
możemy zapisać następująco:

∑

= 0

. (3.50)

Po przyrównaniu do zera współrzędnych wektora głównego (3.44) otrzymamy trzy
równania równowagi:

∑

(3.51)

Należy tutaj zaznaczyć, że punkt O, względem którego obliczamy sumę
momentów danych sił, nie musi być początkiem przyjętego układu współrzędnych,
lecz może być punktem obranym całkowicie dowolnie. Po uwzględnieniu
powyższej uwagi równaniom równowagi (3.51) można nadać taką treść:

Aby

płaski dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na

dwie osie układu współrzędnych i suma momentów tych sił względem dowolnego
punktu płaszczyzny działania sił muszą być równe zeru.

Można udowodnić [7, 11], że zamiast równań równowagi w postaci dwóch
równań rzutów i jednego równania momentów (3.51) można zastosować albo dwa
równania momentów względem dwóch punktów A i B oraz jedno równanie
rzutów, albo trzy równania momentów względem trzech punktów A, B i C.
Wymienione warunki równowagi podamy bez dowodu.
Pierwszy

sposób:

∑

k=1

. (3.52)

Płaski układ sił jest w równowadze, jeżeli sumy momentów wszystkich sił
względem dwóch punktów są równe zeru i suma rzutów tych sił na dowolną oś
nieprostopadłą do prostej łączącej te dwa punkty jest równa zeru.

Drugi

sposób:

∑

. (3.53)

Płaski układ sił jest w równowadze, jeżeli sumy momentów wszystkich sił
względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej są równe zeru.

Udowodnienie warunków równowagi w postaci (3.52) i (3.53) pozostawiamy
Czytelnikowi.
Wybierając równania równowagi do rozwiązania zagadnień praktycznych,
należy kierować się tym, aby w każdym równaniu występowała jak najmniejsza
liczba niewiadomych. Upraszcza to znacznie obliczenia rachunkowe.

Przykład 3.4. Belka AB o ciężarze G = 10 kN jest utwierdzona na końcu A

i obciążona momentem M = 20 kN

(rys. 3.28a). Do końca B jest przymocowana wiotka linka, która jest przerzucona
przez idealny krążek (bez tarcia) i obciążona ciężarem P = 5 kN. Obliczyć reakcje
w podporze A, jeżeli b = 2 m i D = 30

b/2

Rys. 3.28. Rozkład sił w belce wspornikowej

Rozwiązanie. Ponieważ koniec A jest utwierdzony, podpora – zgodnie z
omówionymi w p. 3.2.2 rodzajami więzów

− wnosi do zadania trzy niewiadome:

dwie współrzędne

oraz moment utwierdzenia

. Ze względu na to,

że linka jest wiotka i że pomijamy tarcie w krążku, na koniec B będzie działać siła
P. Zatem po uwolnieniu od więzów na belkę będą działać siły przedstawione na
rys. 3.28b.
Obciążenie ciągłe zastąpiono siłą skupioną

i R

Q qb

= 2

. Trzy niewiadome

, R

M wyznaczymy z trzech równań równowagi w postaci dwóch

równań rzutów sił na osie x i y oraz sumy momentów względem punktu A.

(

)

Pcos

G Q Psin

M Gb Q b

Psin

∑

∑
∑

= −

− − −

−

= 0,

= 0.

Po rozwiązaniu tego układu równań mamy:

kNm

sin30

cos30

−

Wartość reakcji

( )

2 5 3

9 5

10 44

N .

Przykład 3.5. Belka AD składa się z dwóch części AC i CD połączonych
przegubem C. Koniec A jest podparty stałą podporą przegubową, a na końcu D
znajduje się przesuwna podpora przegubowa. Część belki AC opiera się w punkcie
B na przesuwnej podporze przegubowej (rys. 3.29a). Belka jest obciążona siłami
skupionymi P

= 6 kN i P

= 5 kN oraz momentem M = 30 kNm. Wyznaczyć

reakcje podpór A, B i D oraz oddziaływanie w przegubie C, jeżeli b = 2 m,

α =

. Pominąć ciężar własny belki oraz tarcie w przegubach.

Rozwiązanie. W podanym przykładzie mamy do czynienia z układem dwóch
brył związanych i aby rozwiązać to zadanie, musimy rozdzielić belkę w przegubie
C na dwa podukłady i rozpatrywać równowagę każdego podukładu. Będziemy
mieli wtedy do dyspozycji po trzy równania równowagi dla każdej części belki.
Jeżeli liczba niewiadomych reakcji wynikających z podparcia belki będzie równa
sześć, to układ będzie statycznie wyznaczalny.

b/2

Rys. 3.29. Rozkład sił w belce przegubowej

W naszym przypadku kierunek reakcji R

w przegubie nie jest znany, wiadomo

tylko, że linia działania tej reakcji musi przejść przez środek przegubu, czyli przez
punkt A. Reakcję tę rozłożymy na dwie składowe R

i R

wzdłuż osi

prostokątnego układu współrzędnych (rys. 3.29b). Podobnie musimy postąpić z
oddziaływaniem w przegubie C, czyli wiemy tylko, że siła R

oddziaływania

jednej części belki na drugą przechodzi przez środek przegubu C. Rozłożymy ją
również na składowe R

i R

. Kierunki reakcji R

i R

są znane, ponieważ linie

działania tych reakcji są prostopadłe do płaszczyzny, po której mogą się przesuwać
podpory B i D. W omawianym przykładzie reakcje te będą miały kierunek
pionowy, a więc prostopadły do osi belki. Mamy zatem sześć niewiadomych R

Ay,

, R

i R

, czyli tyle, ile równań daje nam statyka.

Równania równowagi dla lewej części belki:

(

)

sin

cos

−

∑

Równania równowagi dla prawej części belki:

b R b

∑

= −

−

= −

0 5

+ R =

= 0.

Mamy

zatem

układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu

tego układu otrzymamy:

sin

kN,

4,24

cos

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Wartość reakcji

(

) (

)

2
Ay

2
Ax

−

Znak minus przy reakcjach R

i R

oznacza, że mają one zwroty przeciwne do

założonych na rys. 3.29b.

Przykład 3.6. Układ przedstawiony na rys. 3.30a składa się z dwóch belek AB i
BC połączonych ze sobą przegubem B. Belka AB jest utwierdzona w punkcie A, a
belka BC jest podparta podporą przesuwną w punkcie D. Na końcu C belki BC

Rys. 3.30. Rozkład sił w belce przegubowej

spoczywa klocek o ciężarze P. Do klocka jest przymocowana wiotka linka,
przerzucona przez idealny krążek i obciążona ciężarem Q. Linka tworzy z

poziomem kąt

α, a współczynnik tarcia między klockiem i belką wynosi µ.

Wyznaczyć minimalną wartość ciężaru klocka P

min

, aby była zachowana

równowaga (aby klocek nie zsunął się z belki), a następnie dla tego przypadku
wyznaczyć reakcje w podporach A i D oraz oddziaływanie w przegubie B.
Wymiary belki wnoszą b, c i d. Pominąć ciężary własne belek, tarcie w przegubach
oraz wysokość klocka.

Rozwiązanie. W celu rozwiązania powyższego zadania rozdzielimy układ
przedstawiony na rys. 3.30a na trzy podukłady: klocek, belkę AB oraz belkę BC, a
następnie rozpatrzymy równowagę każdego z nich. Na rysunku 3.30b
przedstawiono wymienione podukłady uwolnione od więzów i zaznaczono siły
działające na te podukłady. Na klocek działają siły czynne P i Q oraz reakcja belki,
którą rozłożono na siłę tarcia T i siłę normalną N.
Po zaniedbaniu wymiarów klocka układ sił na niego działający możemy uważać
za zbieżny. Na belkę AB w końcu A działa reakcja R

, którą rozłożono na dwie

składowe R

i R

, oraz moment utwierdzenia M

. Oddziaływanie belki BC na

belkę AB za pośrednictwem przegubu B również rozłożono na składowe R

i R

Na belkę BC działa siła w przegubie B rozłożona, podobnie jak w przypadku belki
AB, na składowe R

i R

. W podporze D działa na tę belkę reakcja R

o znanym

kierunku. Działanie klocka na koniec C belki BC zastąpiono siłą tarcia T i reakcją
normalną N.
W pierwszej kolejności, zgodnie z treścią zadania, musimy wyznaczyć
minimalną wartość ciężaru klocka P

min

zapewniającą jego równowagę.

Równania równowagi klocka w postaci rzutów sił na osie x i y są następujące:

(a)

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

∑

sin

cos

Minimalną wartość siły P otrzymamy, przyjąwszy, że siła tarcia ma wartość ma-
ksymalną, czyli:

Po uwzględnieniu wzoru z pierwszego równania (a) mamy:

T Q

cos ,

cos

α . (b)

Po podstawieniu wzoru na N do drugiego równania (a) otrzymamy szukaną
wartość siły ciężaru

sin

cos

min

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

. (c)

Równania równowagi dla belki AB mają postać:

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−

∑

(d)

a równania równowagi dla belki BC są następujące:

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−

∑

(e)

Ponieważ T i N są już znanymi wielkościami określonymi wzorami (b), w
równaniach (d) i (e) mamy sześć niewiadomych. Zatem po rozwiązaniu tego
układu równań otrzymamy:

(

)

cos

−

Wartości reakcji

i siły oddziaływania

w przegubie B obliczymy z

poniższych wzorów:

(

)

(

)

cos

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

3.9.1. Środek układu sił równoległych

Załóżmy, że mamy przestrzenny układ n sił równoległych P

przyłożonych

w punktach A

(k = 1, 2, . . . , n), jak na rys. 3.31. Jeżeli wektor główny W tego

układu sił będzie różny od zera, to układ sił można zredukować do wypadkowej.
Wypadkowa, jak wiadomo, jest równa wektorowi głównemu, ale ma ściśle
określoną linię działania, zwaną
osią centralną. W dalszym ciągu
zajmiemy się wyznaczeniem linii
działania wypadkowej W, a
dokładniej wyznaczymy
położenie punktu C,
przez który ona przechodzi
(rys. 3.31).

Rys. 3.31. Środek układu sił równoległych

Niech kierunek w przestrzeni
rozważanego układu sił określa
wektor jednostkowy e równoległy
do kierunku sił. Wtedy każdą siłę
P

możemy zapisać w postaci

iloczynu modułu siły P

opatrzonego znakiem i wektora
jednostkowego e:

P e

. (a)

Po uwzględnieniu tej zależności wektor główny układu sił równoległych możemy
przedstawić w postaci:

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟

∑

. (b)

Jeżeli przyjmiemy dowolny biegun redukcji O i oznaczymy wektory wodzące
punktów zaczepienia sił przez r

(k = 1, 2, . . . , n), to po uwzględnieniu wzoru (a)

moment główny względem tego bieguna

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ ×

∑

. (c)

W celu wyznaczenia położenia punktu C opisanego wektorem wodzącym r

obliczymy moment główny względem tego punktu. Na podstawie twierdzenia o
momencie głównym (3.29) moment główny M

wyraża wzór:

CO W

Po uwzględnieniu, że

, oraz wzorów (b) i (c) otrzymamy:

= −

e r

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ × −

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ =

−

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ ×

∑

. (d)

Ponieważ przez punkt C przechodzi wypadkowa W, moment główny M

względem tego punktu musi być równy zeru. Zatem wzór (d) przekształca się w
równanie:

−

⎛
⎝

⎜

⎞
⎠

⎟ × =

∑

0 . (e)

Aby powyższe równanie było spełnione dla dowolnego kierunku wektora
jednostkowego e, wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru:

−

∑

0 .

Stąd położenie punktu C określa wzór wektorowy:

∑

. (3.54)

Można udowodnić [16], że jeżeli wszystkie siły P

obrócimy o ten sam kąt, nie

zmieniając ich punktów przyłożenia, to wypadkowa tego obróconego układu sił
równoległych również przejdzie przez punkt C.
Punkt C, przez który przechodzi wypadkowa układu sił równoległych o
określonych punktach przyłożenia, niezależnie od ich kierunku, nazywamy
środkiem układu sił równoległych

przyjęciu w biegunie O początku prostokątnego układu współrzędnych x, y,

z i wyrażeniu wektorów r

i r

we wzorze za pomocą ich współrzędnych:

z porównania wyrazów występujących przy tych samych wersorach otrzymamy
wzory na współrzędne punktu C:

x P

y P

z P

k k

∑

. (3.55)

Wyprowadzone

wyżej wzory na środek układu sił równoległych wykorzystamy

do określenia współrzędnych środków ciężkości ciał materialnych, albowiem
najczęstszym przykładem sił równoległych są siły ciężkości.

3.9.2. Warunki równowagi układu sił równoległych

Układ sił równoległych jest szczególnym przypadkiem dowolnego układu sił.
Z tego względu warunki równowagi przestrzennego układu sił równoległych
wyznaczymy na podstawie warunków równowagi dowolnego układu sił (3.33). W
tym celu założymy, że siły są równoległe do osi z prostokątnego układu
współrzędnych x, y, z. W tej sytuacji rzuty wszystkich sił na osie x i y będą
tożsamościowo równe zeru. Analogicznie momenty wszystkich sił względem osi z,
jako osi równoległej do wszystkich sił, będą również równe zeru. Wówczas sześć
równań równowagi upraszcza się do trzech, tzn. równania rzutów na oś z oraz
równań momentów względem osi x i y:

= 0,

k=1

∑

. (3.56)

Z otrzymanych równań równowagi wynika, że zagadnienie dotyczące
równowagi przestrzennego układu sił równoległych będzie statycznie wyznaczalne,
jeżeli będą w nim trzy niewiadome.
W przypadku układu sił równoległych leżących w jednej płaszczyźnie, np. xy,
i równoległych do osi y sumy rzutów wszystkich sił na oś x będą tożsamościowo
równe zeru. Zatem trzy równania równowagi płaskiego dowolnego układu sił
(3.51) redukują się do równania rzutów sił na oś y i równania momentów
względem dowolnego punktu O:

∑

(3.57)

Równania równowagi w postaci jednego równania rzutów i jednego równania
momentów (3.57) można zastąpić dwoma równaniami momentów względem
dwóch punktów A i B nie leżących na prostej równoległej do linii działania sił:

= 0,

= 0

∑

. (3.58)

4.1. Środek ciężkości i środek masy

Rozpatrzmy

układ n punktów materialnych o masach m

(k = 1, 2, . . . , n), na

które działają siły ciężkości G

(rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem

punktu odniesienia O określają wektory wodzące r

, jak na rysunku. Wiadomo, że

siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez
przyśpieszenie ziemskie, G

= m

g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej.

Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach
technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły
ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił
ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt
ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.
Skoro

siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka

ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek
układu sił równoległych. Wektor wodzący r

środka ciężkości C układu punktów

materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:

∑

. (4.1)

Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych
otrzymamy ze wzorów (3.55):

x G

y G

z G

∑

(4.2)

We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:

∑

W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest
bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach

∆m

i ciężarach

∆G

(rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2)

∆G

zamiast G

otrzymamy

wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:

∑

∆

, (4.3)

z G

∑

∆

. (4.4)

Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe

∆m

∆G

Rys. 4.2. Wyznaczanie środka

ciężkości dowolnej bryły

Dokładny wzór na promień wodzący r

środka ciężkości C otrzymamy, biorąc

granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do
nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy
otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka
ciężkości C

lim

→∞

∑

∫

∆

. (4.5)

Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami:

xdG

ydG

zdG

∫

, y

∫

. (4.6)

Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli
przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym
układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać:

G g m i dG g dm

gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych
zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory:

∫

, (4.7)

xdm

ydm

zdm

∫

, y

∫

(4.8)

Określają one położenie środka masy bryły. W przypadku układu punktów
materialnych środek masy będzie określony przez analogiczne wzory, z tym że
miejsce całek zajmą sumy:

∑

, (4.9)

x m

y m

z m

∑

. (4.10)

Ze wzorów (4.7

−4.10) wynika, że przy przyjętych założeniach w jednorodnym

polu sił ciężkości środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Z tego względu
mówiąc o środku ciężkości, możemy mieć na myśli środek masy i odwrotnie.
Trzeba jednak pamiętać, przy jakich założeniach te dwa punkty się pokrywają.

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

Bryłą jednorodną nazywamy ciało materialne, w którym masa jest
rozmieszczona równomiernie w całej jego objętości. Dla takich ciał zarówno
gęstość, jak i ciężar właściwy są wielkościami stałymi. Jeżeli ciężar właściwy
oznaczymy przez

γ, a objętość bryły przez V, to całkowity ciężar oraz ciężar

elementu objętości bryły możemy wyrazić wzorami:

= γ

, dG = dV .

Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) oraz (4.6) i skróceniu przez stały
czynnik

γ otrzymamy:

∫

, (4.11)

xdV

ydV

zdV

∫

, y

∫

. (4.12)

Obszarem całkowania jest tutaj cała objętość bryły V.
Z otrzymanych wzorów wynika, że położenie środka ciężkości (środka masy)
brył jednorodnych zależy tylko od ich kształtu geometrycznego.
W

wyznaczaniu

środków ciężkości pomocne jest następujące twierdzenie,

którego dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli bryła jednorodna ma płaszczyznę, oś lub środek symetrii, to środek
ciężkości tej bryły będzie leżał na płaszczyźnie, osi lub w środku symetrii.

Przykład 4.1.

Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego ostrosłupa

foremnego o podstawie kwadratu o boku b i wysokości h (rys. 4.3).

Rozwiązanie. Ponieważ oś z jest osią symetrii, środek ciężkości będzie leżał na
tej osi, czyli

. Wystarczy zatem wyznaczyć jedną współrzędną

z trzeciego wzoru (4.12).

Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa

zdV

∫

. (a)

W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa:

b h

. (b)

W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy
na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do
podstawy xy, o boku b

i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu

b dz

Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku:

h z

−

, stąd

(

)

b
h

h z

− .

Mamy więc:

(

)

−

. (c)

Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy
szukaną współrzędną środka ciężkości:

(

)

b
h

h z z dz

b h

−

∫

4.2.2. Środek ciężkości powierzchni jednorodnej

Takie

bryły, jak cienkie płyty, blachy, powłoki itp., których grubość jest

znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami, będziemy nazywali

powierzchniami materialnymi. Jeżeli
ciężar jednostki powierzchni jest stały,
to powierzchnię taką nazywamy
powierzchnią jednorodną. Gdy ciężar
jednostki powierzchni oznaczymy
przez

, powierzchnię całkowitą

przez F, a powierzchnię elementarną
przez dF (rys. 4.4), to możemy napisać:

Rys. 4.4. Wyznaczanie położenia

środka ciężkości powierzchni

= γ

dG =

Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.6) i po skróceniu licznika
i mianownika przez

otrzymamy wzory na współrzędne środka

ciężkości powierzchni jednorodnej:

const

zdF

ydF

xdF

∫

(4.13)

Występujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi
na całą powierzchnię F.
Jeżeli powierzchnia jednorodna jest figurą płaską i leży na płaszczyźnie np. xy,
to współrzędna

oraz

= 0

xdF

ydF

∫

, y

. (4.14)

Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (4.14) nazywamy środkiem
ciężkości figury płaskiej.

4.2.3. Środek ciężkości linii jednorodnej

W zastosowaniach technicznych często spotykamy bryły, takie jak druty, pręty,
liny itp., których dwa wymiary są znikomo małe w porównaniu z długością. Bryły
te nazywamy liniami materialnymi,
tzn. przyjmujemy, że cała masa jest
rozłożona wzdłuż linii środków
przekrojów poprzecznych. Jeżeli
ciężar jednostki długości jest stały, to
taką linię nazywamy linią
jednorodną.
Po oznaczeniu ciężaru jednostki
długości przez

, a długości linii

AB (rys. 4.5) przez L ciężar
całkowity linii i ciężar elementu
długości będą wyrażały wzory:

Rys. 4.5. Wyznaczanie położenia
środka ciężkości linii jednorodnej

= γ

, dG =

dL .

Postępując analogicznie jak w przypadku powierzchni jednorodnej ze wzorów
(4.6), otrzymamy wzory na współrzędne środka ciężkości C linii jednorodnej:

xdL

ydL

zdL

∫

, y

∫

(4.15)

gdzie L jest długością linii.

4.3. Twierdzenia Pappusa-Guldina

wyznaczania

środków ciężkości jednorodnych linii płaskich i jednorodnych

figur płaskich stosuje się dwa twierdzenia Pappusa-Guldina. Podamy je bez
dowodów, a ich zastosowanie zilustrujemy prostymi przykładami. Zaznajomienie
się z dowodami podanych niżej twierdzeń pozostawiamy Czytelnikowi.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni F, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości

L dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe
długości linii pomnożonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej
środek ciężkości:

= 2π

, (4.16)

gdzie

jest odległością środka ciężkości linii od osi obrotu.

Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina

Objętość bryły

V, powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi

leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni
figury pomnożonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek
ciężkości:

= 2π

, (4.17)

przy czym

jest tutaj odległością środka ciężkości figury od osi obrotu.

Przykład 4.2.

Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku

ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6.

Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do

wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego

Rozwiązanie. Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek
ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta
prostego zawartego między osią x i y, współrzędne

środka ciężkości C

będą równe:

. Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy

współrzędną

, korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy

obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o
powierzchni

x i y

= 2

π .

Długość łuku

= π

Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie:

stąd

Przykład 4.3.

Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej

przedstawionej na rys. 4.7.

r/2

Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do

wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej

Rozwiązanie. Do wyznaczenia współrzędnych

środka ciężkości

przedstawionej na rysunku figury płaskiej zastosujemy drugie twierdzenie
Pappusa--Guldina. Współrzędną

wyznaczymy przez obrócenie figury wokół

osi x, a współrzędną

przez obrót wokół osi y. Przy obrocie figury wokół osi x

otrzymamy bryłę o objętości równej różnicy półkuli o promieniu r i kuli o promie-
niu 0,5r.

x i y

−

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

Pole figury

− ⎛

⎝⎜

⎞
⎠⎟

2 2

Po podstawieniu obliczonych wartości V i F do wzoru (4.17) otrzymamy:

stąd

Przy obrocie figury wokół osi y otrzymamy bryłę o objętości

′ =

. (a)

Wielkość

jest różnicą objętości V

′

półkuli o promieniu r i połowy torusa

o objętości V

, powstałego z obrotu półkuli o promieniu 0,5r wokół osi y:

′ =

−

Do obliczenia objętości V

połowy torusa również zastosujemy drugie twierdzenie

Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast h

wstawimy 0,5r.

2 3

2 2 2

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

π r

Zatem

(

)

′ =

−

16 3

2 3

π r

Po podstawieniu tej wartości oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru
(a) otrzymamy równanie:

(

)

16 3

−

a stąd

(

)

−

16 3

4.4. Momenty statyczne mas

Załóżmy, że mamy układ n punktów materialnych o masach m

, których

położenie względem dowolnego punktu O określają promienie wodzące r

(rys.

4.1). Rozkład mas tego układu materialnego względem przyjętego punktu O
charakteryzują momenty pierwszego rzędu, nazywane momentami statycznymi.

Momentem statycznym S układu punktów materialnych względem dowolnego
punktu O nazywamy sumę iloczynów mas m

przez ich promienie wodzące r

∑

. (4.18)

Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego
wzoru wektora r

zapisanego za pomocą współrzędnych prostokątnych:

z k

wektor S wyrazi wzór:

∑

x m

y m

z m

(4.19)

Współrzędne tego wektora nazywamy momentami statycznymi względem
płaszczyzn

yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez

S i S

x m

y m

∑

(4.20)

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej
płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej
płaszczyzny

Aby otrzymać moment statyczny bryły względem punktu, dzielimy bryłę

na n elementów o masach 'm

(rys. 4.2). Jeżeli założymy, że liczba elementów n

dąży do nieskończoności, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy
całkę rozciągniętą na całą masę m. Moment statyczny bryły względem początku
układu O wyraża wzór:

→∞

∑

∫

lim

∆

∫

. (4.21)

Z kolei momenty statyczne bryły względem poszczególnych płaszczyzn
prostokątnego układu współrzędnych będą dane wzorami:

xdm

ydm

zdm

∫

(4.22)

Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promień wodzący r

środka

masy (ciężkości) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na współrzędne środka
masy wynika, że całki występujące w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) są
momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny
względem początku układu współrzędnych O, a w drugim są to momenty statyczne
względem płaszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promień wodzący
r

środka masy C i jego współrzędne x

, y

, z

możemy wyrazić za pomocą

momentów statycznych:

, (4.23)

, y

(4.24)

Znając położenie środka masy C bryły lub układu materialnego, odpowiednie
momenty statyczne możemy wyznaczyć z powyższych wzorów. Otrzymamy
wtedy:

m , (4.25)

(4.26)

Wzory (4.25) i (4.26) zostały wyprowadzone dla bryły, jednak do

analogicznych wzorów dojdziemy, prowadząc podobne rozważania dla układu
punktów materialnych. Stąd wynikające z tych wzorów wnioski będą dotyczyły
również momentów statycznych układu punktów materialnych. Oto one:

a) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem

dowolnego punktu jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej
w środku masy (ciężkości) względem tego punktu.

b) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem

dowolnej płaszczyzny jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej
skupionej w środku masy (ciężkości) względem tej płaszczyzny.

c) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem środka

masy (ciężkości) jest równy zeru.

d) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem

płaszczyzny przechodzącej przez środek masy (ciężkości) jest równy zeru.
Analogicznie do momentów statycznych mas (masowych momentów
statycznych) wprowadza się pojęcie momentów statycznych objętości brył,
powierzchni i linii. Momenty statyczne objętości, powierzchni i linii względem
płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych są całkami występującymi
odpowiednio w licznikach wzorów (4.12), (4.13) i (4.15).
Na szczególną uwagę zasługują
momenty statyczne powierzchni figur
płaskich względem osi, ponieważ mają
duże zastosowanie w wytrzymałości
materiałów. Całki występujące w
licznikach wzorów są momentami
statycznymi figury płaskiej względem
osi y i x (rys. 4.8):

x dF

y dF

∫

, S

. (4.27)

Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na współrzędne środka ciężkości figury
płaskiej można zapisać w następujący sposób:

, y

. (4.28)

Stąd gdy znamy współrzędne środka ciężkości, możemy wyznaczyć momenty
statyczne:

y F,

, (4.29)

gdzie F jest polem całkowitym powierzchni figury płaskiej

Rys. 4.8. Wyznaczanie położenia

środka

5.1. Uwagi ogólne

Jak

już powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje się ruchem ciał

materialnych bez uwzględniania przyczyn (sił) ten ruch wywołujących, czyli
kinematyka zajmuje się wyłącznie matematycznym opisem ruchu bez
uwzględniania praw fizycznych.
Ruchem mechanicznym ciała nazywamy zmianę jego położenia w czasie
względem innego ciała uważanego za nieruchome. Wynika z tego, że rozpatrując
ruch jakiegoś ciała, należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała
będziemy go opisywać. Ciało, względem którego rozpatrujemy ruch, będziemy
uważać za nieruchome i nazwiemy je ciałem odniesienia. Dla analitycznego opisu
ruchu z ciałem tym możemy sztywno związać prostokątny układ współrzędnych,
który nazwiemy układem odniesienia. Wtedy położenie dowolnego punktu
w przestrzeni określimy za pomocą trzech współrzędnych prostokątnych.
Z

powyższego wynika, że ruch jest pojęciem względnym i że jego charakter

będzie zależał od układu odniesienia, względem którego rozpatrujemy ruch ciała.
Najczęściej za nieruchomy układ odniesienia przyjmujemy milcząco układ
związany z Ziemią i względem niego badamy ruch innych ciał.
Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej względem Słońca takie założenie nie
wystarczy i za układ nieruchomy należy przyjąć układ związany ze Słońcem.
Jak

już mówiliśmy, w kinematyce będziemy się zajmować badaniem zmian

położenia ciał z upływem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy,
że czas jest niezależny od wyboru układu odniesienia i że jest taki sam dla
wszystkich punktów przestrzeni i nie zależy od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas
nazywamy czasem absolutnym, który w przybliżeniu odzwierciedla rzeczywisty
czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, błąd związany z
takim przybliżeniem nie ma praktycznego znaczenia dla prędkości małych w
porównaniu z prędkością światła.
Ruch

ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy w każdej chwili czasu

określić położenie i ruch dowolnego punktu tego ciała. W pierwszej kolejności
zajmiemy się kinematyką punktu, a następnie bryły.

5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu

Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do
określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem
nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i
końcu w rozważanym punkcie M.

hodograf wektora
wodzącego

wektor
wodzący

Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego

Wektorową funkcję czasu

( )

r r

= t (5.1)

nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:

( ) ( ) ( ) ( )

r r

x t

y t

z t

(5.2)

lub równoważnych trzech równań skalarnych

( )

x x t

y y t

z z t

. (5.3)

Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi
równaniami ruchu.

Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t

położenie punktu M

wyznacza

wektor wodzący r

= r(t

), a w chwili t

= t

∆t punkt zajmuje położenie M

wyznaczone przez wektor wodzący r

= r(t

), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po

upływie czasu

∆t = t

– t

wektor wodzący uzyskał przyrost

∆r = r

– r

. Iloraz

∆r/∆t jest wektorem współliniowym z wektorem ∆r, czyli jest skierowany wzdłuż
cięciwy M

. Jeżeli przyrost czasu

∆t będzie dążył do zera, to w granicy

otrzymamy pochodną wektora r względem czasu:

lim

t 0

∆

→

nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

(5.4)

∆r

∆

r
t

Rys. 5.2. Prędkość punktu

Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M

dąży do punktu M

, to cięciwa M

dąży

do stycznej do toru w punkcie M

. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do

toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.
Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna

dz
dt

. (5.5)

Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z

(5.6)

i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:

(5.7)

Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu
odpowiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:

. (5.8)

W czasie ruchu punktu M jego prędkość

v w ogólnym przypadku ruchu zmienia

zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M,
odpowiadających chwilom t

i t

= t

∆t, wektory prędkości oznaczymy

odpowiednio przez

i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się

w jednym punkcie O

(rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie

∆t = t

– t

uzyskała przyrost

∆v = v

–

. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy

hodografem prędkości

∆v

∆

v
t

hodograf prędkości

Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu

Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor

∆v/∆t

o kierunku przyrostu prędkości

∆v. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to

w granicy otrzymamy pochodną prędkości

v względem czasu, nazywaną

przyśpieszeniem

a punktu M:

lim

t 0

∆

→

Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu

. (5.9)

Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v.
W

prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy

zapisać w następujący sposób:

. (5.10)

W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):

k . (5.11)

Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane
zależnościami:

d x

d y

d z
dt

. (5.12)

powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w

nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi
względem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem
czasu odpowiednich współrzędnych tego punktu.
Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:

(5.13)

5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie

współrzędnych

W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości v i
przyśpieszenia a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie
takiego postępowania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i
jak zmieniają się moduły i kierunki wektorów prędkości v i przyśpieszenia a w
funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie
przyjmijmy w punkcie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s,
n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do
krzywej w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu
współrzędnych będą określone odpowiednio wersorami e

, e

i e

. Tak

zdefiniowane wersory e

, e

i e

wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L

prawoskrętny układ współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym.

r(l)

Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych

Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l
mierzonej wzdłuż toru:

( )

r r

= l , (5.14)

to wersory te są opisane wzorami:

, (5.15)

gdzie

ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M.

W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy
punkt M i drugi M

′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była

niewielka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego

∆r i

przyrostu drogi

∆l

lim

∆

→

to otrzymamy pochodną wektora wodzącego r względem drogi l. Moduł tej
pochodnej jest równy jedności, ponieważ gdy

∆l będzie dążyć do zera, to długość

cięciwy MM

′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l:

lim

l 0

∆

→

1 .

Zatem pochodna wyrażona wzorem:

jest równa wersorowi stycznej e

do toru w punkcie M.

r(l+

∆l)

∆e

∆r

r(l)

′

Rys. 5.5. Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej

Aby

udowodnić słuszność wzoru na wersor normalnej e

w punkcie M,

wykreślamy styczną s oraz jej wersor e

i normalną n, a w punkcie M

′ wersor

stycznej

i normalną n

′. Punkt przecięcia osi n′ i n oznaczymy przez N.

Widzimy, że wersor

′

podczas przemieszczania się z punktu M do M

′ doznał

przyrostu

∆e

. Jeżeli zbudujemy wektor będący ilorazem przyrostu

∆e

i długości

łuku

∆l i wyznaczymy granicę tej wielkości przy ∆l dążącym do zera, to

otrzymamy drugą pochodną wektora wodzącego

r względem drogi l:

lim

l 0

∆

→

. (a)

Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli
punkt M

′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆e

i wersorem

będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że

iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:

e e

⋅ = 1.

Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:

⋅

= 0 lub e

⋅

dl
dt

0 ,

a po podzieleniu przez dl/dt

⋅

= ⋅

0 .

powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi

jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s.
Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r
względem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów

∆r

trójkąt e

∆e

i trójkąt N M M

′ są podobne. Możemy zatem napisać:

′

∆

Wiadomo także, że gdy

∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie

dążyć do długości łuku

∆l, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem

w postaci:

∆

a po obliczeniu granicy tej równości mamy:

lim

l 0

∆

→

ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:

lim

′→

′ =

M N

jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w
rozpatrywanym punkcie.
Ostatecznie

moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l

jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną
w rozważanym punkcie:

r =

. (5.16)

Wersor osi normalnej e

otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku

normalnej przez jego moduł (5.16):

Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość v i przyśpieszenie a punktu M
przedstawimy wektor wodzący r(t) w postaci funkcji złożonej: r(t) = r[l(t)].
Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej
mamy:

dl
dt

W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem e

osi

stycznej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu:

dl
dt

. (5.17)

Zatem prędkość przedstawia wzór:

= v

. (5.18)

Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru.
Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu.
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy:

dl
dt

Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej:

otrzymujemy wzór na przyśpieszenie punktu M w naturalnym układzie
współrzędnych:

(5.19)

lub

a a

= +

. (5.20)

Z otrzymanego wzoru wynika, że przyśpieszenie w rozważanym układzie
współrzędnych s, n, b ma dwie składowe: styczną a

i normalną a

(skierowaną do

środka krzywizny) i leży w płaszczyźnie ściśle stycznej sn. Moduły tych
składowych są następujące:

(5.21)

a wartość przyśpieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:

. (22)

Ze wzorów (5.21) widać, że przyśpieszenie styczne a

jest miarą zmiany

prędkości i jest równe zeru, gdy moduł prędkości będzie stały, z kolei
przyśpieszenie normalne a

jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym

przyśpieszenie normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej płaskiej znane są kierunki składowych
przyśpieszenia albo ich wyznaczenie nie nastręcza większych trudności, ponieważ
wektory obu składowych przyśpieszenia będą leżały w płaszczyźnie ruchu.
W przypadku ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych
składowych przyśpieszenia mogą się pojawić trudności natury matematycznej.

Przykład 5.1. Punkt porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami
ruchu:

= −

−

, y =

t .

Wyznaczyć równanie toru, prędkość, przyśpieszenie styczne normalne i całkowite
oraz promień krzywizny dla czasu t

= 0,5 s. Przyjąć wymiary w metrach, a czas

w sekundach.
Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu należy z równań ruchu
wyeliminować parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:

(

)

9
4

= −

− .

Równanie to przedstawia parabolę.
Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze
wzoru (5.8).

= −

, v

( )

2
y

2
x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):

= −

, a

m s

+ =

64 0

Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):

⋅

2 64

( )

a t

m s

1
2

6 4

⋅

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

= ,

W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do
postaci:

−

Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych
otrzymamy przyśpieszenie normalne w chwili :

( )

a t

m s

6 4

4 8

−

Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):
Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w
prostokątnym układzie współrzędnych:

= − −

−

2 3

, y = 3

t ,

gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru,
promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor
oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić
na rysunku.

Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez

i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:

− 2

1
2

2 .

Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na

płaszczyźnie

Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciętych odcinek OA = 4 m i na osi
rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla

chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu: x

= , y = 3

. Ponieważ

promień krzywizny jest równy nieskończoności (

∞

), przyśpieszenie normalne

jest równe zeru:

Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak
jak w poprzednim przykładzie.

Prędkość:

(

)

(

)

= −

3 1 4

1 4

, v

(a)

(

)

(

)

(

2
y

2
x

)

. (b)

Przyśpieszenie:

= −

, a

m s

6 5

Przyśpieszenie styczne:

m s

= =

⋅ =

5 4 6 5

/ .

Z otrzymanych wyników widzimy, że punkt M porusza się po prostej ze stałym

przyśpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
Prędkości w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i
(b) t = 0.

= −

, v

/ s .

Przykład 5.3. Trzpień AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimośrodu w kształcie
tarczy kołowej o promieniu r tak, że cały czas pozostaje z nim w kontakcie. Oś
obrotu mimośrodu przechodzi przez punkt O oddalony od środka tarczy C o OC =
e. Mimośród obraca się wokół osi obrotu ze stałą prędkością kątową

Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t

ω π

−

= 0,5 s, jeżeli oś

trzpienia pokrywa się z osią x tak jak na rysunku.

Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy
ułożyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b
możemy napisać:

(

)

OA OD DA e

−

cos + r

cos

sin

cos

sin

Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB

Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania,

otrzymamy równanie ruchu punktu A:

−

cos t

sin

π . (a)

Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem
czasu:

−

sin

cos

sin

( )

sin

−

(b)

Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu
wyrazów otrzymamy przyśpieszenie:

( )

(

)

( )

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

sin

cos

. (c)

Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t

= 0,5 s otrzymamy wartość prędkości

i przyśpieszenia dla tego czasu:

( )

−

5.3.1. Zmiana układów odniesienia

każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch

tej bryły w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy

się zajmować głównie
wzajemnym ruchem układów
współrzędnych. Znając ruch
układu współrzędnych

′ ′ ′

x y z

, ,

(rys. 5.8) sztywno

związanego z bryłą (układu
ruchomego) względem
nieruchomego układu
odniesienia x, y, z, będziemy
mogli obliczyć prędkość
i przyśpieszenie wszystkich
punktów bryły. W dalszej ko-
lejności wyprowadzimy
zależności geometryczne
pomiędzy tymi układami
współrzędnych.

′

O′

′

Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami

współrzędnych

W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego
samego punktu M.

W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu

układów współrzędnych. Wersory

′ ′ ′

i j k

, ,

ruchomego układu współrzędnych

zapiszemy w układzie nieruchomym x, y, z:

′ ′ ′

x y z

, ,

( ) ( ) ( )

⋅′

′

. (a)

Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora
odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią

a osiami x, y, z, które oznaczymy

′i

′

x x

x y

x z

′

, ,

′

(

)

(

)

( )

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

⋅′

′

⋅′

′

⋅′

′

cos

(b)

Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie
z wersorami

′ ′

j k

otrzymamy wzory:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

(5.23)

Widzimy,

że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w

układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych
zestawionych w poniższej tabeli.

x y z
i j k
x

′ i′

′x

′y

′z

′ j′

′x

′y

′z

′

′ p

′x

′y

′z

Między tymi dziewięcioma kosinusami kierunkowymi istnieje sześć zależności.

Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

′

⋅′

′

⋅′

′

⋅′

′

⋅′

′

⋅′

′

⋅′

′

(5.24)

Dla wyznaczenia położenia układu współrzędnych

′ ′ ′

x y z

, ,

względem układu x,

y, z wystarczy podać 6 wielkości:

a) trzy współrzędne wektora

(

)

′

b) trzy niezależne kosinusy kierunkowe.

Obecnie wyznaczymy współrzędne wektora wodzącego r punktu M w układzie
x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, że wektor wodzący r tego punktu możemy zapisać
jako sumę dwóch wektorów:

r r

+ ′

′

. (5.25)

Wektor

jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych.

Zapiszemy go analitycznie w układzie współrzędnych x, y, z:

′

. (5.26)

Wektor

jest wektorem wodzącym punktu M w układzie

′

′ ′ ′

x y z

, ,

. Można go

wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

z k . (5.27)

Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:

r r

+ ′ =

+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

′

(5.28)

Po zrzutowaniu powyższego wektora na osie układu współrzędnych x, y, z oraz
wykorzystaniu zależności (b) otrzymamy jego współrzędne w tym układzie
współrzędnych:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

(5.29)

W podobny sposób można wyrazić współrzędne wektora r w układzie

′ ′ ′

x y z

, ,

Analogicznie

można zapisać dowolny wektor c dany w jednym układzie

współrzędnych w drugim.

5.3.2. Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
ogólnym

Dla rozpatrzenia kinematyki bryły przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie,
dwa układy współrzędnych prostokątnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i
początku w punkcie O, a drugi o osiach

′ ′ ′

x y z

, ,

i początku w dowolnym punkcie

(biegunie)

, poruszający się razem z bryłą (rys. 5.8).

′

Wektor

wodzący dowolnego punktu M bryły w nieruchomym układzie

współrzędnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sumą dwóch wektorów

,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1:

′

r r

+ ′

′

Wiadomo z kinematyki punktu, że prędkość punktu jest pochodną wektora
wodzącego r względem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukaną prędkość punktu M
wyraża zależność:

′

d t

. (5.30)

Pochodna

wektora

r względem czasu jest prędkością punktu

′

O :

′

(a)

Po zróżniczkowaniu względem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

. (b)

Ponieważ wektor jest wektorem łączącym dwa punkty bryły sztywnej, więc
jego moduł jest stały,

′

′ =

const , a co za tym idzie, jego współrzędne

są

wielkościami stałymi niezależnymi od czasu. Zatem ich pochodne względem czasu
są równe zeru.

′ ′

x y z

, ,

′

′ = ′ = ′ = 0.

Wzór (b) przyjmuje więc postać:

′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

(c)

Występujące w tym wzorze pochodne względem czasu wersorów

′ ′

i j k

, ,

′ układu

ruchomego są miarą zmiany ich kierunków w czasie, ponieważ ich moduły są stałe.
Można wykazać [9], że pochodne te można wyrazić za pomocą wzorów:

′

(5.31)

Wektor

ω jest prędkością kątową charakteryzującą zmiany kierunków osi

w czasie. W ruchomym układzie współrzędnych prędkość kątową

ω można

wyrazić za pomocą współrzędnych:

′

′ ,

′

′+

′

k . (d)

Po podstawieniu zależności (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:

(

)

(

) (

)

(

′

)

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie z zależnością (5.27), jest wektorem

. Zatem

′

. (e)

Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór
na prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu ogólnym.

′

. (5.32)

Z otrzymanego wzoru wynika, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest
równa sumie prędkości

dowolnie obranego bieguna

′

O , przyjętego za

początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego

prędkości kątowej

ω i promienia wodzącego

′

r punktu M w ruchomym układzie

współrzędnych.

Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:

a) Prędkość punktu

zależy od wyboru tego punktu.

′

b) Prędkość kątowa

ω nie zależy od wyboru punktu ′

O , lecz jedynie od zmiany

kierunków osi

w czasie.

′ ′

x y z

, ,

′

c) Mimo zmiany punktu

′

O prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważ

zmieni się również odpowiednio wyrażenie

′

zróżniczkowaniu względem czasu wzoru na prędkość (5.32) otrzymamy

przyśpieszenie punktu M:

′

(f)

Po oznaczeniu przyśpieszenia początku

′

O ruchomego układu współrzędnych

przez

′

(g)

oraz przyśpieszenia kątowego przez

d ω

(h)

i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie końcową postać:

(

)

′

. (5.33)

Wzór ten można przedstawić w nieco innej postaci po rozpisaniu występującego
w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zależnością (2.34):

(

)

′

⋅

′

r′

−

. (5.34)

Ze wzorów na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) wynika, że aby

wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M bryły, należy znać
cztery wielkości wektorowe charakteryzujące ruch ogólny bryły:

a) prędkość

i przyśpieszenie a jednego z punktów bryły

(bieguna),

′

b) prędkość kątową

ω i przyśpieszenie kątowe bryły ε.

Wyprowadzone w tym punkcie wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego
punktu bryły w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w następnych
punktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czyli
postępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego.

5.3.3. Ruch postępowy

Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno
związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia
początkowego.

powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych

przedstawionego na rys. 5.8 będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek.
Podobnie wektor

nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem

będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu:

′ ′ ′

x y z

, ,

′ = ′

O M

const,

′

więc jego pochodna

we wzorze (5.30) będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły
wyraża zależność:

′

. (5.35)

Po zróżniczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przyśpieszenie.

′

. (5.36)

Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu postępowego wynikają
następujące wnioski:

a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same

prędkości

i przyśpieszenia

w tej samej chwili czasu.

′

b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.
c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego

punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O´,

( )

′

t .

5.3.4. Ruch obrotowy

Ruch

bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeżeli istnieje jedna prosta związana

z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku.

Załóżmy, że osią obrotu jest oś .
Dla ułatwienia rozważań przyjmiemy
układ współrzędnych związany z
bryłą tak, aby oś

′

z pokrywała się z

osią z układu nieruchomego oraz aby
jego początek

′

O znajdował się w

punkcie O, jak na rys. 5.9.
Ponieważ wersor k

′= const, co

wynika z pokrywania się osi z osią
obrotu, jego pochodna względem
czasu jest równa zeru. Zatem z
wyrażenia:

′

wynika, że wektor

ω leży na osi

obrotu. Z osią obrotu pokrywa się również wektor przyśpieszenia kątowego

ε. W

tej sytuacji wektory te można zapisać w następujący sposób:

′

z=z

′

O=O

′

r=r

′

Rys. 5.9. Ruch obrotowy bryły sztywnej

wokół stałej osi obrotu

oraz

′

. (5.37)

Jeżeli kąt między osiami stałą x i ruchomą

′

x oznaczymy przez

ϕ, to zależność

ϕ = ϕ(t) jest równaniem ruchu obrotowego bryły wokół stałej osi. Można wykazać
[9], że pochodna względem czasu kąta obrotu

ϕ jest modułem prędkości kątowej, a

druga pochodna modułem przyśpieszenia kątowego:

. (5.38)

Z rysunku 5.9 widać, że promień wodzący

punktu M jest równy r ,

ponieważ

. Tym samym

′

′ =

′

0 . Uwzględniwszy

powyższe zależności we wzorach na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) punktu
w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego
punktu bryły w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu:

′

, (5.39)

(

)

′

. (5.40)

Przyśpieszenie można zapisać w postaci:

(

)

′

⋅

′

r′

−

. (5.41)

Dla ilustracji wektory prędkości przedstawimy na rys. 5.10.

ω x (ω x r′)

r=r

′

ε x r′

ω(ω.r′)

′

v =

ω x r′

⋅

Rys. 5.10. Składowe prędkości i przyśpieszenia w ruchu obrotowym bryły

Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 możemy
sformułować następujące wnioski:

a) Prędkość jest prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu l

i punkt M, czyli jest styczna do okręgu zakreślonego przez punkt M.

b) Przyśpieszenie punktu M ma dwie składowe: styczną do toru punktu M,

równą

′

, nazywaną przyśpieszeniem stycznym, i normalną, równą

(

)

′

, prostopadłą do

′

, czyli skierowaną do środka krzy-

wizny toru punktu M, nazywaną przyśpieszeniem normalnym lub dośrodkowym.

c) Przyśpieszenie normalne można rozłożyć na składową równoległą do osi

obrotu

(

)

′

⋅

i składową skierowaną do obranego punktu O równą

r′

−

Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w środku okręgu zakreślonego przez punkt
M, wtedy składowa przyśpieszenia normalnego równoległa do osi obrotu będzie
równa zeru,

, a przyśpieszenie normalne

. W tym

(

)

′

⋅ r

′

−

przypadku moduły prędkości, przyśpieszenia stycznego i normalnego wyrażają
proste wzory:

′

(5.42)

Przykład 5.4. Ciężar A zamocowany do linki nawiniętej na mały obwód
kołowrotu (rys. 5.11) porusza się w dół ruchem postępowym prostoliniowym

według równania:

, przy czym t

jest wyrażony w sekundach, a x w
centymetrach. Obliczyć prędkość i
przyśpieszenie punktu M leżącego na
obwodzie dużego koła kołowrotu.
Promienie kołowrotu wynoszą: R = 60
cm, r = 20 cm.

= 15

Rozwiązanie. Prędkość liniowa
ciężaru A

t cm s

= 30

= ⋅

2 15

Prędkość kątową kołowrotu obliczymy
na podstawie pierwszego wzoru (5.42):

−

Rys. 5.11. Wyznaczenie prędkości i

przyśpieszenia punktu M w ruchu

Prędkość liniowa punktu M

Przyśpieszenie liniowe ciężaru A jest pochodną jego prędkości względem czasu:

cm s

= 30

Przyśpieszenie kątowe kołowrotu obliczymy na podstawie drugiego wzoru (5.42):

−

Przyśpieszenie liniowe punktu M jest sumą wektorową składowej stycznej i nor-
malnej:

n
M

s
M

Wartości tych składowych obliczymy z drugiego i trzeciego wzoru (5.42):

n
M

s
M

135

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Moduł przyśpieszenia punktu M

( ) ( )

t cm

2 4

135

45 4 9

/ s

5.3.5. Ruch śrubowy

W punkcie 5.3.2 wykazano, że prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu
ogólnym jest sumą dwóch składowych:

a) prędkości

, która jest prędkością punktu O

′ (bieguna),

′

b) prędkości

wynikającej z ruchu obrotowego bryły z prędkością kątową

wokół tego bieguna.

′

Po zmianie bieguna

na inny nie zmieni się prędkość kątowa

, zmianie

ulegnie natomiast prędkość bieguna

oraz kąt

α zawarty pomiędzy wektorami

(rys. 5.12). W związku z tym nasuwa się pytanie, czy istnieje taki biegun

redukcji C, w którym kąt D będzie równy zeru, czyli wektor v

′

będzie równoległy

do wektora prędkości kątowej

ω.

Wykażemy, że dla wszystkich
punktów C leżących na prostej l
wektory te będą do siebie
równoległe.

Znajdowanie takich punktów

C, dla których w każdej chwili
czasu wektor v

jest równoległy

do wektora

, nazywamy

sprowadzaniem ruchu ogólnego
bryły do ruchu śrubowego.

′

Punkt C leży na prostej l
równoległej do wektora , nazywanej chwilową osią ruchu śrubowego.

′

O′

′

Rys. 5.12. Ruch śrubowy bryły

Dla wyznaczenia prędkości ruchu śrubowego v

i położenia chwilowej osi l

ruchu śrubowego,

, założymy, że znane są wektory

. Prędkość

punktu C zgodnie z równaniem (5.32) możemy wyrazić wzorem:

′ = ′

′

. (5.43)

Po pomnożeniu powyższego wzoru skalarnie przez

otrzymamy:

(

)

⋅

′

⋅

′

. (a)

Jeżeli iloczyn mieszany występujący w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze
wzorem (2.31), to zauważymy, że jest on równy zeru.

(

)

(

)

⋅

′

⋅

′

W tej sytuacji równanie (a) upraszcza się do postaci

⋅

′

Ponieważ wektory po lewej stronie tego równania są równoległe, na podstawie
definicji iloczynu skalarnego można napisać:

⋅

′

. (b)

Stąd moduł prędkości v

punktu C

⋅

′

/ω. (5.44)

Prędkość v

punktu C otrzymamy po pomnożeniu powyższego wzoru przez

wektor jednostkowy

ω/ω o kierunku osi l

(

)

⋅

′

/ω

. (5.45)

W celu wyznaczenia wektora

porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na

prędkość v

′

. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:

(

)

⋅

′

/ω

Po przeniesieniu prędkości

na prawą stronę i sprowadzeniu do wspólnego

mianownika mamy:

′

[

(

)

−

⋅

′

]

/ω

lub

′

[

(

)

(

)

⋅

−

⋅

′

]

/ω

W porównaniu ze wzorem (2.34) łatwo zauważyć, że wyrażenie występujące
w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem
podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to możemy zapisać w taki
sposób:

′

[

(

)

O′

]

/ω

. (5.46)

powyższym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma

′

. Łatwo

zauważyć, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać:

(

)

′

/ω

λ , (5.47)

gdzie

λ jest dowolną wielkością dodatnią lub ujemną.

Wzór ten opisuje położenie wszystkich punktów C leżących na prostej
równoległej do prędkości kątowej

. Jest to więc szukane równanie chwilowej osi

l ruchu śrubowego w układzie ruchomym (związanym z bryłą). W układzie
współrzędnych

równanie to możemy zapisać w postaci trzech

równoważnych parametrycznych równań skalarnych:

′ ′ ′

x y z

, ,

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

λω

−

′

λω

−

′

λω

−

′

(5.48)

Na rysunku 5.12 widzimy, że położenie każdego punktu C chwilowej osi ruchu
śrubowego w układzie nieruchomym wyznacza promień wodzący r, który można
przedstawić w postaci sumy wektorów

. Po uwzględnieniu wzoru (5.47)

wektorowe równanie chwilowej osi ruchu śrubowego w układzie nieruchomym
będzie miało postać:

′

(

)

′

/ω

λ . (5.49)

Temu równaniu w układzie nieruchomym będą odpowiadały trzy parametryczne
równania. W tym celu wektory występujące w równaniu (5.49) należy wyrazić
w układzie współrzędnych x, y, z:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

λω

−

λω

−

λω

−

′

(5.50)

Wykazaliśmy tym samym, że ruch ogólny bryły można w dowolnej chwili
sprowadzić do ruchu śrubowego zdefiniowanego na wstępie tego punktu. Ruch ten
jest sumą dwóch ruchów prostych:

a) obrotowego z prędkością kątową

ω wokół chwilowej osi ruchu śrubowego,

b) postępowego z prędkością v

wzdłuż tej osi.

ω x CM

Rys5.13. Złożenie ruchu ogólnego bryły z ruchu obrotowego wokół chwilowej osi ruchu
śrubowego i ruchu postępowego wzdłuż tej

osi

Jeżeli zamiast dowolnego bieguna

′

O obierzemy biegun redukcji C leżący na

chwilowej osi l ruchu śrubowego (rys. 5.13), to prędkość v dowolnego punktu M
bryły będzie sumą dwóch wzajemnie prostopadłych składowych: po-stępowej v

obrotowej

Analizując ruch śrubowy bryły, możemy rozróżnić dwa przypadki:
a) v

(t)

≠ 0; wtedy najprostszym ruchem bryły jest chwilowy ruch śrubowy; nie

będziemy się tu nim zajmować;

b) v

(t) = 0; wtedy

− jak to widać na rys. 5.12 i 5.13 − ruch bryły sprowadza się

do chwilowego obrotu wokół osi l, którą będziemy nazywać chwilową osią obrotu.

5.3.6. Chwilowe osie obrotu

Jak

już powiedziano wyżej, jeżeli ruch śrubowy bryły sprowadza się do

przypadku, w którym w każdej chwili prędkość v

(t) = 0, to jej ruch chwilowy jest

obrotem wokół chwilowej osi obrotu. Jeżeli założymy, że ruch ogólny bryły
opisuje prędkość

bieguna

′

O oraz prędkość kątowa

ω, to ze wzoru (5.44)

wynika zależność:

⋅

′

/ω

= 0

Zatem iloczyn skalarny

w każdej chwili ruchu musi być równy zeru:

v i

O′

( ) ( )

⋅

′

, (5.51)

stąd wniosek, że aby ruch bryły sprowadzał się do chwilowych obrotów, wektory
te muszą być w każdej chwili prostopadłe.
Chwilowa oś obrotu zmienia
swoje położenie w czasie. Wzorami
określającymi położenie chwilowej
osi obrotu względem ruchomego
układu współrzędnych (bryły) są
wzory (5.47) lub (5.48), a względem
układu nieruchomego wzory (5.49)
lub (5.50). Jeżeli chwilowa oś nie
przemieszcza się w czasie, to ruch
bryły jest omówionym już w p. 5.3.4
ruchem obrotowym wokół stałej osi
obrotu.
Jeżeli dla dowolnej chwili t
wykreślimy dwie pokrywające się chwilowe osie obrotu – l w układzie stałym i
w układzie ruchomym (w bryle)

− to po czasie ∆t osie te przestaną się pokrywać, a

chwilowymi osiami obrotu będą inne dwie proste l

′l

l′

(rys.

5.14).

Przemieszczające się w czasie ruchu bryły chwilowe osie obrotu zakreślą dwie
powierzchnie prostokreślne:

Rys. 5.14. Chwilowe osie obrotu.

Aksoidy

a) aksoidę stałą

σ, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi obrotu

w układzie nieruchomym,

b) aksoidę ruchomą

σ′, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi

obrotu w układzie ruchomym.

l′

Równania aksoid otrzymamy z równań chwilowej osi obrotu. W celu

otrzymania aksoidy stałej

σ należy do równań (5.49) lub (5.50) wstawić funkcje

czasu:

( )

′

(a)

wyrażone we współrzędnych układu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t
chwilowa oś zakreśli powierzchnię, którą nazwaliśmy aksoidą stałą

σ.

Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej

σ′. Należy w tym celu do

równań (5.47) albo (5.48) podstawić dwie z trzech funkcji (a), np.

wyrażone w ruchomym układzie współrzędnych

O′

′ ′ ′

x y z

, ,

W czasie ruchu bryły obie aksoidy są do siebie styczne wzdłuż chwilowej osi
obrotu l. Ponieważ wszystkie punkty leżące na tej osi mają prędkość równą zeru,

, ruch bryły można rozpatrywać jako ruch spowodowany toczeniem się bez

poślizgu aksoidy ruchomej

σ′ po aksoidzie nieruchomej σ.

zależności od rodzaju ruchu bryły chwilowe osie obrotu mogą zakreślić

różne powierzchnie (aksoidy):

a) stożkowe (utworzone z prostych przecinających się w jednym punkcie),

wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym,

b) walcowe (utworzone z prostych równoległych), wtedy ruch chwilowy jest

ruchem płaskim,

c) inne.

5.3.7. Ruch kulisty

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów
z nią związanych jest nieruchomy.

′

O = O

′

Rys. 5.15. Ruch kulisty bryły

sztywnej

Punkt

ten

nazywamy

środkiem ruchu kulistego. Wobec tego prędkość tego

punktu będzie stale równa zeru, czyli musi on w każdej chwili czasu leżeć
jednocześnie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu
kulistym są toczącymi się po sobie stożkami o wspólnym wierzchołku.

Dla uproszczenia rozważań początki O i

′

O układów współrzędnych

ruchomego

i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie

bryły (rys. 5.15). Przyjęcie takich układów sprawia, że wektor

będzie równy

zeru,

. W tej sytuacji równe zeru będą również prędkość

przyśpieszenie

punktu

′ ′

x y z

, ,

′

O′

′

′ =

′

O :

′

0 , (a)

a promień wodzący dowolnego punktu M bryły możemy zapisać tak:

r r

= ′ . (b)

uwzględnieniu zależności (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu

ogólnego bryły otrzymamy wzory na prędkość v i przyśpieszenie a dowolnego
punktu M bryły w ruchu kulistym:

, (5.52)

(

)

. (5.53)

Dla

bryły sztywnej odległość między punktami O i M jest zawsze stała, czyli

moduł wektora wodzącego jest również stały:

= ′ = =

r const . (c)

Wobec tego wektor wodzący r możemy zapisać jako iloczyn modułu i wektora
jednostkowego :

= r

1 . (d)

Po uwzględnieniu tej zależności we wzorach (5.46) i (5.47) na prędkość i
przyśpieszenie otrzymamy:

(

)

, (5.54)

(

) (

)

(

)

[

]

. (5.55)

powyższych wzorów wnika, że w ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie

są opisane dwoma wielkościami kinematycznymi

ω i

Na podstawie wzoru (c) oraz wzorów (5.54) i (5.55) możemy sformułować
wnioski charakteryzujące ruch kulisty:

a) W ruchu kulistym tory wszystkich punktów bryły leżą na powierzchniach kul

o środku w punkcie O.

b) Wektory prędkości i przyśpieszeń punktów leżących na prostej

przechodzącej przez punkt O są do siebie równoległe, a ich moduły są
proporcjonalne do odległości r od środka ruchu kulistego.
W tym punkcie podano jedynie wektorowe wzory na prędkość i przyśpieszenie
dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym oraz ogólne własności tego ruchu. Przy
bardziej szczegółowym rozpatrywaniu ruchu kulistego bryły do określenia
położenia ruchomego układu współrzędnych

′ ′ ′

x y z

, ,

względem nieruchomego

układu współrzędnych x, y, z wprowadza się tzw. trzy kąty Eulera (obrotu
własnego, precesji i nutacji), których znaczenie można znaleźć w odpowiedniej
literaturze, np. [7, 16]. Za pomocą tych kątów można wyrazić wszystkie kosinusy
kierunkowe między osiami obu układów współrzędnych oraz wszystkie wielkości
występujące we wzorach (5.52) i (5.53).

5.3.8. Ruch płaski bryły

Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły

Ruchem

płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do

pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu.

Za

płaszczyznę ruchu można przyjąć dowolną płaszczyznę spośród wszystkich płaszczyzn do niej

równoległych.
W punkcie 5.3.6 powiedziano, że jeżeli aksoidy są powierzchniami walcowymi, to ruch ogólny
bryły sprowadza się do ruchu płaskiego. I rzeczywiście, każda płaszczyzna prostopadła do tworzących
obu aksoid może być płaszczyzną ruchu. Ponieważ aksoidy są powierzchniami zakreślonymi przez
chwilową oś obrotu w czasie przemieszczania się jej w układzie nieruchomym i ruchomym, jest
oczywiste, że chwilowa oś obrotu w ruchu płaskim będzie w każdej chwili prostopadła do płaszczyzny
ruchu.
Z definicji ruchu płaskiego wynika, że wektory prędkości i przyśpieszenia wszystkich punktów
bryły są również równoległe do płaszczyzny ruchu. Z kolei wektor prędkości kątowej

ω będzie w

każdej chwili równoległy do tworzących aksoid (równoległy do chwilowej osi obrotu), czyli
prostopadły do płaszczyzny ruchu.

W dalszych rozważaniach dotyczących ruchu
płaskiego za płaszczyznę ruchu przyjmiemy
płaszczyznę wyznaczoną przez nieruchomy układ
współrzędnych x, y o początku w punkcie O. Ruchomy
układ współrzędnych o osiach

′ ′

x y

′

i początku w dowolnym biegunie

będzie się

poruszał w płaszczyźnie ruchu (rys. 5.16). W tej
sytuacji osie

z i

′ będą równoległe do wektora

prędkości kątowej

ω.

Z rysunku 5.16 wynika, że do jednoznacznego
określenia położenia bryły względem układu
nieruchomego x, y należy podać wektor wodzący

( )

′

t bieguna

′

O oraz kąt obrotu

ϕ = ϕ(t)

układu ruchomego

względem nieruchomego. Wektor wodzący

możemy zapisać w

następujący sposób:

′ ′

x y

′

O′

Rys. 5.16. Ruch płaski bryły

sztywnej

( )

′

y j . (5.56)

Zatem kinematyczne równania ruchu płaskiego możemy zapisać w postaci trzech funkcji
algebraicznych: dwóch współrzędnych wektora

oraz kąta

ϕ:

′

( )

′

, (5.57)

ϕ = ϕ(t) . (5.58)

Do obliczenia prędkości v i przyśpieszenia a dowolnego punktu M bryły wykorzystamy wzory
(5.32) i (5.34):

′

, (5.59)

(

)

′

⋅

′

r′

−

. (5.59a)

Ponieważ w ruchu płaskim wektory

ω i ′

r są prostopadłe, zatem ich iloczyn skalarny występujący we

wzorze (5.59a) jest równy zeru

(

, a więc wzór ten uprości się do postaci:

)

′

⋅r

′

r′

−

. (5.60)

We wzorach (5.59) i (5.60) prędkość

i przyśpieszenie

początku

układu ruchomego

otrzymamy, obliczając odpowiednio pierwsze i drugie pochodne wektora wodzącego

względem

czasu:

′

, (5.61)

′

. (5.62)

Prędkość kątową

ω i przyśpieszenie kątowe ε można zapisać analogicznie jak

w ruchu obrotowym (wzór 5.37):

′

oraz

′

. (5.63)

Moduły tych przyśpieszeń, podobnie jak w ruchu obrotowym (5.63), będą również odpowiednimi
pochodnymi kąta obrotu

ϕ względem czasu:

. (5.64)

Ze wzorów (5.63) wynika, że prędkość kątowa

ω i przyśpieszenie kątowe ε są wektorami o

znanym kierunku. W tej sytuacji można je uważać za skalary, podobnie jak w statyce moment siły
względem osi i moment płaskiego układu sił.
Ze wzorów (5.59) i (5.60) na prędkość v i przyśpieszenie a można wyciągnąć następujące wnioski:

a) Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim jest sumą prędkości postępowej

dowolnego bieguna

′

O i prędkości wynikającej z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna:

′

b) W ruchu płaskim przyśpieszenie dowolnego punktu bryły jest sumą przyśpieszenia

dowolnego bieguna

′

O i przyśpieszenia wynikającego z chwilowego obrotu bryły wokół tego

bieguna:

′

r′

−

Wyprowadzone wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M brył w ruchu płaskim
przedstawimy w postaci bardziej przydatnej do rozwiązywa-
nia równań z kinematyki ruchu płaskiego. Założymy, że znana jest prędkość v

punktu A i chwilowa

prędkość obrotowa

ω, a chcemy obliczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu B bryły (rys.

5.17).

Gdy początek układu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o początku w punkcie A i

końcu w punkcie B oznaczymy jako AB = r

, to na podstawie wzoru (5.59) prędkość punktu B bryły

lub

, (5.65)

gdzie

(a)

i jest prędkością punktu B względem punktu A, której wektor jest prostopadły do wektora r

wynikającą z chwilowego obrotu bryły wokół punktu A z prędkością kątową

ω. Zatem jej moduł

obliczymy ze wzoru:

ω r

. (b)

Podobnie na podstawie wzoru (5.60) przyśpieszenie punktu B (rys. 5.18) możemy zapisać w
następujący sposób:

−

albo

. (5.66)

Przyśpieszenie

jest przyśpieszeniem punktu B względem punktu A spowodowanym chwilowym

obrotem bryły wokół bieguna A:

−

. (c)

Rys. 5.17. Wyznaczanie prędkości

punktu B bryły sztywnej metodą

superpozycji

Rys. 5.18. Wyznaczanie przyśpieszenia

punktu B bryły sztywnej metodą

superpo-

zycji

Z powyższego wzoru wynika, że przyśpieszenie to możemy rozłożyć na dwie składowe:
przyśpieszenie styczne

i przyśpieszenie normalne

, (5.67)

gdzie

s
BA

. (5.68)

n
BA

oraz

Moduły tych przyśpieszeń są następujące:

n
BA

s
BA

. (5.69)

Wektor

przyśpieszenia stycznego

jest skierowany prostopadle do wektora r , czyli ma taki

sam kierunek jak wektor prędkości

(rys. 5.17), a wektor przyśpieszenia normalnego

(dośrodkowego)

jest skierowany wzdłuż prostej AB w stronę punktu A.

Po podstawieniu zależności (5.67) do wzoru (5.66) przyśpieszenie punktu B możemy zapisać w
postaci:

. (5.70)

Podczas praktycznego rozwiązywania zadań nie wszystkie wielkości występujące we wzorze
(5.70) będzie można obliczyć bezpośrednio. Bardzo często niewiadomymi będą moduły przyśpieszeń

. Jeżeli wzór (5.70) potraktujemy jako równanie wektorowe o dwóch niewiadomych, to

wiadomo, że dla wektorów leżących w jednej płaszczyźnie dwie niewiadome można wyznaczyć

z wieloboku wektorów (przyśpieszeń) albo z dwóch równoważnych wektorowemu równań
algebraicznych.

Chwilowy środek obrotu

wstępie tego punktu powiedziano, że w ruchu płaskim bryły chwilowa oś obrotu jest w każdej

chwili prostopadła do płaszczyzny ruchu. Punkt przebicia przez chwilową oś obrotu płaszczyzny
ruchu będziemy nazywać chwilowym środkiem obrotu. Albo inaczej, chwilowy środek obrotu to taki
punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.

Wiemy,

że w czasie ruchu płaskiego bryły chwilowa

oś obrotu zmienia swoje położenie, a w ślad za nią będzie

się przemieszczał chwilowy środek obrotu. W czasie

przemieszczania się chwilowy środek obrotu C

ρ′

Rys. 5.19. Chwilowy środek obrotu. Centroidy

(rys. 5.19) zakreśli dwie krzywe:

a) centroidę ruchomą

ρ′ w układzie ruchomym,

b) centroidę stałą

ρ w układzie nieruchomym.

Po podstawieniu do równań (5.47) i (5.49) chwilowej osi obrotu

λ = 0 otrzymamy wektorowe wzory

na położenie chwilowego środka obrotu w układzie ruchomym:

(

)

′

/ω

(5.71)

i w układzie nieruchomym:

(

)

′

/ω

. (5.72)

Odpowiednie równania centroid otrzymamy przez wstawienie do tych wzorów funkcji

( )

ω =

′

Mając wyznaczony chwilowy środek obrotu C, można obliczyć prędkość dowolnego punktu M
bryły. Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C, a nie w dowolnym punkcie

(rys. 5.19), to prędkość dowolnego punktu M bryły możemy wyrazić wzorem:

′

Ponieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru (

= 0

), więc prędkość punktu M będzie

opisana wzorem:

. (5.73)

Z otrzymanego wzoru wynika, że prękość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostej
łączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C. Ponadto występujące w tym wzorze wektory

ω i

CM są prostopadłe, więc moduł prędkości

v =

ω CM, (5.74)

czyli jest proporcjonalny do odległości CM punktu M od chwilowego środka obrotu.

Z powyższych rozważań oraz z otrzymanych wzorów wynikają następujące wnioski:

a) Ruch płaski bryły można sprowadzić do toczenia się bez poślizgu centroidy ruchomej po
nieruchomej.

b) Ruch płaski bryły można w każdej chwili rozpatrywać jako chwilowy ruch obrotowy wokół
chwilowego środka obrotu.

Rys. 5.20. Wyznaczanie chwilowego środka

obrotu

Ze wzoru (5.73) wynika, że chwilowy środek obrotu C leży na prostej prostopadłej do wektora
prędkości v dowolnego punktu M bryły. Zatem do wyznaczenia chwilowego środka obrotu wystarczy
znajomość kierunków prędkości dwóch punktów bryły. Będzie on leżał w miejscu przecięcia prostych
prostopadłych do kierunków prędkości punktów A i B (rys. 5.20).

Mając już wyznaczony punkt C, wartości prędkości punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74):

ω AC i v

ω BC. (d)

Dla znanej wartości v

z pierwszego wzoru obliczymy chwilową prędkość obrotową

ω:

ω =

a następnie możemy wyznaczyć moduł prędkości v

punktu B. Na podstawie rys. 5.20 po

uwzględnieniu wzorów (d) możemy napisać:

α =

= ω

AC
AC

ω oraz tgβ =

= ω

BC
BC

ω.

Wynika stąd wniosek, że z chwilowego środka obrotu wektory prędkości wszystkich punktów bryły
widać pod tym samym kątem

α = β.

Twierdzenie o rzutach prędkości

Rzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty
są równe.

Rys. 5.21. Rzuty prędkości dwóch punktów bryły

sztywnej na prostą

Dowód
Na rysunku 5.21 zaznaczono wektory prędkości v

i v

dwóch punktów A i B bryły sztywnej, a promienie

łączące nieruchomy punkt O z tymi punktami przez r

i r

. Wektor r

łączący punkt A z punktem B w

czasie ruchu bryły może zmieniać swój kierunek,

ale jego długość pozostaje stała: r

const

. Zatem iloczyn skalarny

const

⋅

. (e)

Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu otrzymamy:

⋅

lub

d t

⋅

= 0 , (f)

ponieważ pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru. Z rysunku widać, że:

skąd

−

Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu mamy:

d t

−

Ale pochodne promieni wodzących punktów A i B są równe prędkościom tych punktów v

i v

, czyli

d t

−

Podstawiwszy powyższą zależność do równania (f) otrzymujemy:

(

)

v r

−

⋅

0 lub

a po rozpisaniu iloczynów skalarnych

v r

B AB

cos

β = v r

A AB

cos

α.

Po skróceniu przez r

mamy:

cos

β = v

cos

α . (5.75)

Iloczyny występujące w tej równości są odpowiednio rzutami wektorów prędkości v

i v

na prostą

łączącą punkty A i B. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie o rzutach wektorów prędkości dwóch
punktów bryły sztywnej na prostą

łączącą

te punkty.
Na podstawie tego twierdzenia można w łatwy sposób obliczać prędkość w niektórych prostych
zadaniach z kinematyki ruchu płaskiego.

Przykład 5.5. Końce pręta AB ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach (rys.
5.22a). Koniec A porusza się z prędkością v

= 10

/ i przyśpieszeniem a

. Obliczyć

prędkość i przyśpieszenie końca B oraz przyśpieszenie kątowe pręta AB w położeniu jak na rys. 5.22a,
jeżeli długość pręta AB = b = 20 cm.

= 15

/ s

Rozwiązanie. Prędkość punktu B obliczymy, rozpatrując ruch pręta AB jako chwilowy ruch
obrotowy wokół chwilowego środka obrotu. Znamy prędkość końca A pręta i kierunek prędkości
końca B, która jest skierowana wzdłuż prostej OB. Chwilowy środek obrotu C znajduje się na
przecięciu prostopadłych do kierunków wektorów prędkości

(rys. 5.22b). Oznaczywszy przez

w wartość liczbową prędkości kątowej pręta AB w rozpatrywanym położeniu, na podstawie wzoru

(5.74) mamy:

⋅

. (a)

Z pierwszego wzoru otrzymujemy:

Rys. 5.22. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B pręta AB

Z rysunku 5.22b znajdujemy

AC BC b

⋅

cos45

1
2

2 10 2

Zatem

−

. (b)

Z drugiego wzoru (a) mamy:

⋅

1
2

2 10 2 10

cm s

. (c)

Przyśpieszenie punktu B obliczymy ze wzoru (5.66). Zgodnie z tym wzorem przyśpieszenie punktu B
będzie równe sumie geometrycznej przyśpieszenia punktu A oraz przyśpieszenia punktu B względem
A wywołanego przez chwilowy obrót pręta wokół końca A:

. (d)

Po rozłożeniu przyśpieszenia punktu B względem punktu A na składową styczną i normalną wzór (d)
możemy zapisać w postaci (5.70):

. (e)

Przyśpieszenie normalne

punktu B względem A działa wzdłuż pręta i jest skierowane do punktu

A. Zgodnie z drugim wzorem (5.69)

n
BA

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Wartość przyśpieszenia stycznego

wyraża pierwszy wzór (5.69):

s
BA

(f)

Tego przyśpieszenia nie możemy obliczyć bezpośrednio, ponieważ nie znamy wartości przyśpieszenia
kątowego

ε pręta. Znamy jedynie kierunek przyśpieszenia

, które jest prostopadłe do pręta AB.

Poza tym znamy kierunek przyśpieszenia całkowitego

, który jest zgodny z prostą OB. Wynika z

tego, że w wektorowym równaniu (e) mamy dwie niewiadome  wartości przyśpieszenia

i a . Po

przyjęciu w punkcie B prostokątnego układu współrzędnych x, y i zrzutowaniu równania (e) na osie
tego układu otrzymamy dwa równania algebraiczne z dwoma niewiadomymi.

−

= −

−

cos45

cos45 ,

sin45

sin45 .

Po rozwiązaniu tego układu równań oraz wykorzystaniu wzoru (f) otrzymujemy:

(

)

cm s

⋅

sin45

15 10

1
2

5 3 2 2

(

)

(

)

cm s

⋅

cos45

1
2

2 5 3 2 2

1
2

5 2 2 3

(

) (

)

n
BA

s
BA

sin45

−

Przykład 5.6. Korba OA mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rys. 5.23a
obraca się ze stałą prędkością kątową o wartości

wokół punktu O. Na końcu B korbowodu AB

znajduje się suwak, który porusza się po prowadnicy DE znajdującej się w odległości h od punktu O.
Dla położenia przedstawionego na rysunku obliczyć prędkość i przyśpieszenie suwaka B oraz
przyśpieszenie kątowe korbowodu, jeżeli długość korby OA = r, a korbowodu AB = b.

Rys. 5.23. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B mechanizmu korbowo-

-suwakowego

Rozwiązanie. Wektor prędkości punktu A jest prostopadły do korby OA, a suwaka B jest
skierowany wzdłuż prowadnicy DE (rys. 5.23a). Prędkość punktu B obliczymy ze wzoru (5.65):

gdzie

jest prędkością punktu B względem punktu A wynikającą z chwilowego obrotu

korbowodu AB wokół punktu A z prędkością kątową

. Wektor prędkości

jest prostopadły do

korbowodu, jego wartość

, (a)

a wartość prędkości punktu A

Z rysunku mamy:

cos

sin

−

(b)

Zatem z zależności geometrycznych wynikających z rys. 5.23a otrzymujemy:

cos

−

(c)

Ze wzoru (a) wyznaczamy prędkość kątową:

−

. (d)

Przyśpieszenie punktu B przedstawimy w postaci sumy geometrycznej przyśpieszenia punktu A i
przyśpieszenia punktu B względem A (wzór 5.70):

n
BA

s
BA

. (e)

Przyśpieszenie punktu A jest równe przyśpieszeniu normalnemu, ponieważ przyśpieszenie kątowe
korby OA jest równe zeru. Wartość tego przyśpieszenia

2
O

n
A

Składowa przyśpieszenia normalnego

punktu B względem A pokrywa się z kierunkiem

korbowodu AB i jest skierowana w stronę punktu A (rys. 5.23b), a jej wartość

n
BA

−

(f)

Przyśpieszenie styczne

punktu B względem A jest prostopadłe do korbowodu AB. Wartość tego

przyśpieszenia wyraża wzór:

s
BA

. (g)

W powyższym wzorze jest przyśpieszeniem kątowym korbowodu AB. Przyśpieszenie to nie jest
znane, dlatego nie znamy wartości przyśpieszenia stycznego

. Drugą niewiadomą w równaniu (e)

jest wartość przyśpieszenia całkowitego suwaka

. W celu wyznaczenia tych niewiadomych

przyjmiemy w punkcie B prostokątny układ współrzędnych x, y i zrzutujemy wektory przyśpieszenia
na osie x i y. Otrzymamy:

cos

sin

cos

s
BA

n
BA

s
BA

n
BA

−

Po rozwiązaniu tego układu równań i uwzględnieniu (b) otrzymujemy:

(

)

(

)

2
O

s
BS

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Wartość przyśpieszenia kątowego korbowodu AB

(

)

2
O

s
BA

−

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła
poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.

Można rozpatrzyć taki
przypadek, że wspomniany
układ odniesienia będzie się
poruszał względem innego
układu, uważanego wtedy za
nieruchomy. Wówczas ruch
punktu lub bryły nazywamy
ruchem złożonym.

′

O′

′

Rys. 5.24. Ruch złożony punktu

Ruch punktu lub bryły
względem układu
nieruchomego nazywamy
ruchem bezwzględnym, a ruch
tego samego punktu lub bryły
względem układu ruchomego
ruchem względnym.

Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem
unoszenia.
W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M
porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem
odniesienia x, y, z, ani z ruchomym

′ ′ ′

x y z

, ,

(rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu

będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów

− jednego związanego z układem

nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym

− to

każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor,
prędkość, przyśpieszenie).

′ ′ ′

x y z

, ,

Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem
bezwzględnym

L, a w układzie ruchomym torem względnym L

. Każdy z punktów

toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M,
zakreśli pewien tor L

. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego

nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.

5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu

W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M
postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu
bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły.
Zatem wektor wodzący

punktu M w układzie ruchomym

′

′ ′ ′

x y z

, ,

nie będzie

stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:

′ = ′ ≠

const

. (a)

Wektor

wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:

r r

+ ′

′

. (5.76)

Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor

jest wektorem

łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w
nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:

′

. (5.77)

Wektor jest wektorem wodzącym punktu M w układzie

′

′ ′ ′

x y z

, ,

. Można

go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

z k . (5.78)

Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z
ruchem punktu M względem układu ruchomego

′ ′ ′

x y z

, ,

. Można je zatem zapisać

w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:

( )

′ = ′

′

x t , y = y t , z = z t . (5.79)

Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:

′

d t

. (5.80)

Pochodna wektora

jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku

ruchomego

układu współrzędnych:

′

k .

(b)

Pochodna wektora po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać:

′

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

. (c)

Pierwsze trzy wyrazy w powyższym wzorze przedstawiają prędkość względną

punktu M:

′ ′+ ′ ′+ ′ ′

k .

(5.81)

Po podstawieniu do trzech pozostałych wyrazów wzorów (5.31) na pochodne
wersorów

′ ′ ′

i j k

, ,

otrzymamy:

(

)

(

) (

)

(

)

′

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie ze wzorem (5.80), jest wektorem
wodzącym punktu M. Zatem powyższy wzór upraszcza się do postaci:

′

. (d)

Po podstawieniu do wzoru (5.80) oznaczenia (b) oraz wzoru (d) otrzymamy
zależność na prędkość punktu M w ruchu złożonym względem nieruchomego
układu odniesienia (prędkość bezwzględną):

′

. (5.82)

Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze
przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co
punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:

′

. (5.83)

Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość
bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia

prędkości względnej

. (5.84)

Przyśpieszenie bezwzględne a otrzymamy, obliczając pochodną względem czasu
prędkości bezwzględnej w postaci (5.82):

′

(e)

Pochodna

′

(f)

jest przyśpieszeniem punktu

′

O , a pochodna

ω =

(g)

przyśpieszeniem kątowym bryły.
Występującą we wzorze (e) pochodną wektora

′

względem czasu

obliczyliśmy już przy wyprowadzaniu wzoru na prędkość punktu M. Jest ona dana
wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej prędkości względnej

względem

czasu zróżniczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zależności (5.31):

(

)

(

)

(

)

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

(h)

gdzie a

jest przyśpieszeniem względnym punktu M:

′ ′+ ′ ′+ ′ ′

d x

d y

d z

k . (5.85)

Po uwzględnieniu we wzorze (e) oznaczeń (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy
przyśpieszenie a punktu M.

(

)

′

(

)

′

. (5.86)

Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bryły jako
przyśpieszenie dowolnego punktu bryły (wzór 5.33), a więc jest to przyśpieszenie
unoszenia a :

(

)

′

. (5.87)

Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej

jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa:

. (5.88)

Tak

więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest

równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia

, względnego a i Coriolisa

a a

. (5.89)

Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z
ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane
zmianą wektora prędkości względnej

wskutek jego obrotu z prędkością kątową

spowodowaną przemieszczaniem

się punktu M z prędkością względną

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie
równe zeru w trzech przypadkach:

a) gdy

ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym,

b) gdy wektory prędkości kątowej

ω i prędkości względnej

punktu M są

równoległe,
c) gdy prędkość względna

punktu M w pewnej chwili jest równa zeru.

W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia
związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie
Coriolisa działające na obiekty poruszające się względem Ziemi, np. pojazdy, a
wywołane jej obrotem wokół własnej osi. Takie postępowanie jest
usprawiedliwione, ponieważ przyśpieszenie to jest bardzo małe [11]. Jednak
przyśpieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom występującym w przyrodzie,
wywołanym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych należą przykładowo kierunki
prądów morskich i wiatrów.

Przykład 5.7. Pozioma rurka obraca się wokół pionowej osi z, przechodzącej
przez jej środek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu:

, gdzie

czas t jest wyrażony w sekundach, a kąt

ϕ w radianach. Wewnątrz rurki porusza się

punkt M zgodnie równaniem:

−

[ ]

sin

. Obliczyć prędkość i

przyśpieszenie bezwzględne punktu M dla czasu t

Rys. 5.25. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu M w ruchu złożonym

Rozwiązanie. Punkt M porusza się ruchem złożonym z ruchu unoszenia
wywołanego obrotem rurki i ruchu względnego względem rurki. Prędkość
bezwzględną punktu M obliczymy ze wzoru (5.84):

. (a)

Wartość prędkości unoszenia punktu M wynikająca z ruchu obrotowego rurki

(

)

(

)

sin

150

sin

−

gdzie

ω jest wartością prędkości kątowej rurki:

[ ]

−

Wartość prędkości względnej punktu M

cos

⋅

Wektory prędkości unoszenia i prędkości względnej zaznaczono na rys. 5.25b
przedstawiającym rurkę w rzucie z góry. Dla czasu t

otrzymujemy:

(

)

cos

103

sin

150

−

Ponieważ wektory tych prędkości są prostopadłe, wartość prędkości bezwzględnej
punktu M

104

103

2
w

2
u

Przyśpieszenie bezwzględne punktu M obliczymy ze wzoru (5.89):

. (b)

Wartości przyśpieszeń w ruchu unoszenia są następujące:

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

−

⋅

−

sin

cos

(c)

Wartość przyśpieszenia względnego punktu M obliczymy ze wzoru:

sin

−

. (d)

Z kolei przyśpieszenie Coriolisa wyraża wzór (5.88):

a jego wartość

(

)

(

)

cos

100

cos

sin

−

. (e)

Wektory składowych przyśpieszeń występujące we wzorze (b) przedstawiono na
rys. 2.25c. Wartości tych przyśpieszeń w chwili otrzymamy po podstawieniu do
wzorów (c), (d) i (e)

1 :

125

cos

sin

831

480

sin

n
u

s
u

−

⋅

−

Na podstawie rys. 5.25c wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M
obliczymy ze wzoru:

(

)

(

)

−

845 63

99 68

851 48

/ s

6.1. Rodzaje momentów bezwładności

W punkcie (4.4) poznaliśmy wielkości charakteryzujące rozkład masy,
nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) współrzędne
występują w pierwszej potędze. Przekonamy się, że w dynamice doniosłą rolę
odgrywają wielkości, w których rozkład masy będzie opisany iloczynem masy
punktu i kwadratu jego odległości od punktu, płaszczyzny lub osi. Wielkości te
nazywamy masowymi momentami bezwładności lub krótko momentami
bezwładności, albo momentami statycznymi drugiego rzędu.

Momentem

bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu),

płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości
od bieguna, płaszczyzny lub osi.

Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności:
1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu),
2) względem płaszczyzn,
3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).

W dalszej kolejności zajmiemy się momentami bezwładności układu punktów
materialnych i bryły.

6.2. Momenty bezwładności układu punktów materialnych

Załóżmy, że mamy układ
materialny złożony z n punktów
materialnych o masach m

znajdujących się w punktach A

opisanych wektorami wodzącymi

(rys. 6.1).

Rys. 6.1. Opis położenia punktu

materialnego

z k .

Biegunowym

momentem

bezwładności

układu punktów

materialnych względem punktu O
nazywamy sumę iloczynów mas m

kwadratów ich odległości

punktu 0, czyli

(

)

m r

m x

k k

∑

)

(6.1)

Momentami

bezwładności

, I

względem płaszczyzn xy, yz, zx układu

punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas m

przez kwadraty ich

odległości od tych płaszczyzn. Zatem mamy:

m z

m x

k k

∑

(6.2)

Momentami

bezwładności

, I

względem osi x, y, z układu punktów

materialnych nazywamy sumy iloczynów mas m

oraz kwadratów ich odległości

od tych osi:

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

∑

2
k

2
kz

2
k

2
ky

2
k

2
kx

(6.3)

Oprócz zdefiniowanych wyżej momentów bezwładności względem punktu,
płaszczyzn i osi w dynamice ważną rolę odgrywają wielkości, które nazywamy
momentami dewiacyjnymi

(albo momentami mieszanymi lub odśrodkowymi).

Momentami dewiacyjnymi

, D

układu punktów materialnych

nazywamy sumę iloczynów mas m

przez iloczyn ich odległości od dwóch

prostopadłych płaszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz. Momenty te wyrażają wzory:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

∑

(6.4)

Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i

ujemne, ponieważ w powyższych wzorach

− w przeciwieństwie do momentów

bezwładności

− występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych. Ponadto

wykażemy, że jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których obliczamy
momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego układu
materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są równe zeru.

Załóżmy, że płaszczyzną symetrii jest płaszczyzna xy. W tym przypadku

każdemu punktowi A

o współrzędnych x

, y

, z

i masie m

odpowiada

− na

zasadzie symetrii

− inny punkt

o współrzędnych x

′

, y

, –z

i takiej samej

masie m

. Momenty dewiacyjne tych dwóch punktów będą równe zeru:

(

)

(

)

(

)

(

)

−

czyli dwa z trzech momentów dewiacyjnych będą równe zeru:

= D

= 0.

Łatwo się przekonać, że jeżeli układ materialny ma dwie płaszczyzny symetrii, to
wszystkie momenty dewiacyjne będą równe zeru.
Powyższa własność momentów dewiacyjnych ma duże znaczenie w
obliczeniach praktycznych.

6.3. Momenty bezwładności bryły

Jeżeli bryłę o masie m podzielimy myślowo na n małych elementów o masach

∆m

(rys. 6.2), to przybliżone

wartości momentów bezwładności
tych elementów, traktowanych jako
punkty materialne, możemy obliczyć
ze wzorów (6.1)–(6.4) na momenty
bezwładności układu punktów
materialnych.

∆m

Rys. 6.2. Opis położenia dowolnego elementu

bryły sztywnej

Dokładne wartości momentów
bezwładności otrzymamy, biorąc
granicę sum przy liczbie elementów
n dążących do nieskończoności.
Wtedy zamiast sum otrzymamy całki
rozciągnięte na całą masę m.

Biegunowy moment bezwładności

(

)

m r

r dm

z dm

k k

→∞

∑

∫

lim

∆

Z rachunku całkowego

wiadomo, że całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych funkcji:

(

)

∫

. (6.5)

Występujące w powyższym wzorze całki są momentami bezwładności względem
płaszczyzn:

∫

(6.6)

Ze wzoru (6.5) wynika następujące twierdzenie:

Biegunowy

moment

bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności

względem trzech prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez ten biegun:

. (6.7)

Zależności na momenty bezwładności względem osi mają postać:

(

)

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

∫

(6.8)

W powyższych wzorach łatwo można zauważyć, że związki między

momentami bezwładności względem osi i względem płaszczyzn są następujące:

(6.9)

Z pierwszego wzoru (6.9) wynika, że moment bezwładności I

względem osi x

jest sumą momentów bezwładności względem płaszczyzn xy i zx przecinających
się wzdłuż tej osi. Podobne wnioski wynikają z dwóch pozostałych wzorów.
Można zatem sformułować twierdzenie:

Moment

bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności

względem dwóch prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.

Jeżeli dodamy stronami wzory (6.9) i uwzględnimy zależność (6.7), to

otrzymamy zależność między biegunowym momentem bezwładności i momentami
bezwładności względem osi:

(

)

. (6.10)

Biegunowy moment bezwładności jest równy połowie sumy momentów
bezwładności względem trzech prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

Dewiacyjne

momenty

dla bryły można zapisać w postaci:

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

∫

zxdm

yzdm

xydm

(6.11)

Jeżeli do wzorów (6.5), (6.6), (6.8) i (6.11) podstawimy zależność: dm =

ρdV,

gdzie

jest gęstością bryły w punkcie o współrzędnych x, y, z, a V objętością,

i założymy, że bryła jest jednorodna, to gęstość możemy wynieść przed znak całki.
Otrzymamy wtedy wzory na momenty bezwładności w poniższej postaci:

a) biegunowy moment bezwładności

(

)

∫

, (6.12)

b) momenty bezwładności względem płaszczyzn

∫

, (6.13)

c) momenty bezwładności względem osi

(

)

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

∫

(6.14)

d) momenty dewiacyjne

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

∫

zxdV

yzdV

xydV

(6.15)

Całki występujące we wzorach (6.12)–(6.15) nazywamy geometrycznymi
momentami bezwładności, zależnymi tylko od kształtu ciała. Ogólnie można
powiedzieć, że masowy moment bezwładności jest iloczynem gęstości przez
geometryczny moment bezwładności.
Każdy moment bezwładności I można w sposób umowny przedstawić w postaci
iloczynu całkowitej masy ciała (układu materialnego, bryły) m i kwadratu pewnej
odległości i

od przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna. Odległość tę nazywamy

promieniem bezwładności

ciała względem danej płaszczyzny, osi lub bieguna.

Ogólnie można zapisać:

m i

. (6.16)

Tak zdefiniowany promień bezwładności ma praktyczne zastosowanie przy
obliczaniu momentów bezwładności elementów maszyn.
W obliczeniach teoretycznych w dynamice maszyn często występuje
konieczność przedstawienia momentu bezwładności w postaci iloczynu pewnej
masy m

red

i kwadratu znanej odległości k

, czyli

I m

red

. (6.17)

Masę m

red

nazywamy masą zredukowaną.

Jednostką miary momentu bezwładności jest:

a) w układzie SI 1kg · m

b) w układzie technicznym 1 kG · m · s

6.4. Transformacja równoległa momentów bezwładności

Przyjmijmy dwa układy współrzędnych x, y, z i

′ ′ ′

x , y z o osiach odpowiednio

równoległych. Układ x, y, z ma początek w dowolnym punkcie O, a układ

w środku masy C bryły (rys. 6.3).

′ ′ ′

x , y z

Środek masy bryły C jest opisany w układzie współrzędnych x, y, z przez
wektor wodzący

Położenie elementu masy dm jest określone w układzie x, y, z przez wektor

wodzący r

z ,

a w układzie

′ ′ ′

x , y z przez wektor

′ = ′ + ′ + ′

z k .

Wektory te są związane zależnością:

r r

+ ′

′

Rys. 6.3. Opis położenia dowolnego elementu bryły sztywnej względem osi równoległych

Zatem współrzędne elementu masy dm w układzie współrzędnych x, y, z będą
wyrażały wzory:

′

. (6.18)

Biegunowy moment bezwładności względem punktu O wyraża wzór:

(

)

( )

∫

′

⋅

′

⋅

′

Pierwsza całka jest całkowitą masą bryły, a druga momentem statycznym
względem środka masy, czyli jest równa zeru. Zatem

∫

′

oraz

Trzecia z całek jest biegunowym momentem bezwładności względem środka
masy:

( )

′

∫

Ostatecznie biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu

m r

. (6.19)

Na podstawie powyższego równania można sformułować twierdzenie,
nazywane twierdzeniem Steinera dla biegunowych momentów bezwładności:

Moment

bezwładności bryły (ciała materialnego) względem dowolnego punktu

jest równy sumie momentu bezwładności względem środka masy i iloczynu masy
bryły przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy.

Obecnie udowodnimy twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn i względem osi. Jeżeli we wzorze (6.19) moment I

wyrazimy przez momenty bezwładności względem płaszczyzn

(wzór 6.7) oraz podstawimy

′ ′ ′ ′

′ ′

x y , y z i z y

to po uporządkowaniu otrzymamy:

(

)

(

)

(

)

(

)

m x

x y

y z

z x

x y

y z

z x

′ ′

Wyrażenia w nawiasach w powyższym wzorze są momentami bezwładności
względem płaszczyzn xy, yz i zx.

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

2
C

(6.20)

Wzory te wyrażają twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn:

Moment

bezwładności ciała materialnego względem dowolnej płaszczyzny jest

równy sumie momentu bezwładności względem płaszczyzny równoległej
przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości
między tymi płaszczyznami.
Jeżeli dodamy do siebie kolejno równania trzecie i pierwsze, pierwsze i drugie
oraz drugie i trzecie, to zgodnie ze wzorami (6.9) otrzymamy momenty
bezwładności odpowiednio względem osi x, y i z.

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

)

(

)

(

)

(

(6.21)

gdzie

i są to kwadraty odległości odpowiednio między osiami x i x

′

, y i y oraz

z i z

′

Wzory (6.21) przedstawiają twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem osi:

Moment

bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi jest równy

sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez
środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między osiami.

Twierdzenia opisane wzorami (6.20) i (6.21) można też udowodnić, podstawi-
wszy do wzorów (6.13) i (6.14) zależności (6.18).
Po podstawieniu do wzorów (6.11) zależności (6.18) i uwzględnieniu, że
momenty statyczne względem płaszczyzn przechodzących przez środek masy są
równe zeru, otrzymamy twierdzenie Steinera dla momentów dewiacyjnych.

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

(6.22)

6.5. Momenty bezwładności względem osi obróconej

Załóżmy, że znamy momenty bezwładności względem osi I

, I

oraz

momenty dewiacyjne D

, D

w układzie współrzędnych x, y, z o początku w

dowolnym punkcie O sztywno związanym z rozpatrywanym ciałem, a chcemy
wyznaczyć moment bezwładności względem dowolnej osi l przechodzącej przez
punkt O (rys. 6.4). W tym celu wytnijmy myślowo element masy dm opisany w
układzie współrzędnych x, y, z przez wektor wodzący

i oddalony od osi l o wielkość h.

Momenty bezwładności względem osi l obliczymy ze wzoru:

h d

∫

m . (6.23)

′

Rys. 6.4. Wyznaczenie momentu bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi

przechodzącej przez początek układu współrzędnych

W celu wyznaczenia odległości h w funkcji współrzędnych wektora r kierunek
prostej l określimy za pomocą wektora jednostkowego . Wektor ten możemy
zapisać w układzie x, y, z za pomocą wzoru:

gdzie

α α

są kosinusami kierunkowymi kątów między osią l i osiami

x, y, z (patrz punkt 5.3.1) spełniającymi zależność:

2
z

2
y

2
x

. (6.24)

Z trójkąta prostokątnego OAA

′ (rys. 6.4) mamy:

( )

(

)

−

⋅

−

(

)

(

) (

)

2
z

2
y

2
x

2
z

2
y

2
x

−

Po wyznaczeniu ze wzoru (6.24) wyrażeń:

(

) (

)

2
y

2
x

2
z

2
x

2
z

2
y

2
z

2
y

2
x

−

i podstawieniu do powyższego wzoru oraz odpowiednim pogrupowaniu wyrazów
otrzymamy:

(

)

(

)

(

)

2
z

2
y

2
x

−

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (6.23) uzyskamy wzór na moment
bezwładności ciała materialnego względem osi l:

(

)

(

)

(

)

zxdm

yzdm

xydm

2
z

2
y

2
x

∫

−

W powyższym wzorze całki występujące przy kwadratach kosinusów
kierunkowych są momentami bezwładności rozpatrywanego ciała względem osi
układu współrzędnych x, y, z, a całki przy iloczynach tych kosinusów są
momentami dewiacyjnymi w tymże układzie współrzędnych. Ostatecznie mamy:

2
z

2
y

2
x

−

. (6.25)

Otrzymany wzór pozwala na obliczenie momentu bezwładności względem

dowolnej osi l przechodzącej przez
początek układu współrzędnych,
gdy są dane momenty względem
osi i momenty dewiacyjne w tym
układzie.

′

Rys. 6.5. Wyznaczenie momentów bezwładności

figury płaskiej względem osi obró

conych

Obliczenie

momentów

bezwładności dla układu płaskiego

względem osi obróconych

′

x i y (rys. 6.5) nie nastręcza trudności. Kosinusy

kierunkowe między osią

i osiami x, y, z są następujące:

′

(

)

cos90

sin

cos

−

a między osią

i osiami x, y, z

′

(

)

cos90

cos

sin

cos

−

Przyjąwszy we wzorze (6.25) raz za oś l oś

′

x , a drugi raz oś

′

y i podstawiwszy

otrzymane zależności na kosinusy kierunkowe, otrzymamy wzory na momenty
bezwładności względem osi

′

x i y :

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

′

sin2

cos

sin

sin2

sin

cos

(6.26)

Wzory

mają zastosowanie między innymi w wytrzymałości materiałów do

obliczania momentów bezwładności figur płaskich (przekrojów poprzecznych
belek, prętów itp.) oraz do wyznaczania osi, względem których momenty
bezwładności osiągają wartości ekstremalne.
Dla

układu przestrzennego wyznaczenie momentów bezwładności względem

trzech wzajemnie prostopadłych osi obróconych względem osi x, y, z jest znacznie
trudniejsze. Zastanówmy się, jak będzie się zmieniał moment bezwładności I

, gdy

oś l będzie się obracać wokół punktu O. W tym celu obierzmy na tej osi wektor

(rys. 6.4) o długości odwrotnie proporcjonalnej do pierwiastka

kwadratowego z momentu bezwładności I

b OB

W czasie przyjmowania przez oś l wszystkich możliwych położeń koniec wektora
b zakreśli pewną powierzchnię, której równanie obecnie wyprowadzimy.
Współrzędne wektora b (równe współrzędnym punktu B) w układzie
współrzędnych x, y, z oznaczymy przez

. Będą one równe rzutom tego

wektora na osie x, y, z:

⋅

. (6.27)

Po podzieleniu obustronnie równania (6.25) przez I

i podstawieniu do niego

współrzędnych (6.27) otrzymamy:

η η

−

= 1. (6.28)

Jest to równanie szukanej powierzchni zakreślonej przez koniec wektora b przy
dowolnym obrocie osi l wokół punktu O. Powierzchnia ta jest elipsoidą trójosiową,
nazywaną elipsoidą bezwładności.
Elipsoidą bezwładności nazywamy miejsce geometryczne punktów, których
odległości od początku układu są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka
kwadratowego z momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez dany
punkt i początek układu współrzędnych.

Występujące w równaniu elipsoidy bezwładności momenty bezwładności I

, I

i momenty dewiacyjne D

, D

są współczynnikami równania (6.28) i będą

się one zmieniać wraz z obrotem układu współrzędnych, natomiast kształt i
położenie elipsoidy nie ulegną zmianie.
Elipsoida

bezwładności opisuje zatem obiektywne cechy układu materialnego

niezależnie od przyjętego układu współrzędnych.

′

Rys. 6.6. Elipsoida bezwładności

Wiadomo, że trójosiowa elipsoida ma trzy prostopadłe osie. Zatem

możemy przyjąć taki układ współrzędnych, aby jego osie

′ ′ ′

x , y z pokrywały się z

osiami elipsoidy (rys. 6.6). Wtedy równanie elipsoidy będzie miało postać:

2
z

2
y

2
x

′

. (6.29)

W takim układzie współrzędnych momenty dewiacyjne są równe zeru. W
każdym punkcie układu materialnego istnieją co najmniej trzy prostopadłe osie,
takie że momenty dewiacyjne w utworzonym przez nie kartezjańskim układzie
współrzędnych są równe zeru. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności, a
osiowe momenty względem nich głównymi momentami bezwładności.
Jeżeli początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem ciężkości, to
osie główne nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a momenty
głównymi centralnymi momentami bezwładności

W czasie rozwiązywania zagadnień praktycznych należy pamiętać, że osią
główną jest:

a) każda oś symetrii,
b) każda prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii.

Przykład 6.1. Dla jednorodnego prostego walca kołowego o masie m,

promieniu podstawy R i wysokości h wyznaczyć momenty bezwładności
względem osi x, y, z układu współrzędnych prostokątnych o początku w punkcie O
pokrywającym się ze środkiem podstawy (rys. 6.7).

x x

Rys. 6.7. Wyznaczanie momentów bezwładności jednorodnego walca obrotowego

o masie m

Rozwiązanie. Do wyznaczenia momentów bezwładności względem osi
skorzystamy z zależności (6.9) między momentami bezwładności względem osi i
względem płaszczyzn. Dla momentów względem osi x i y mamy zależności:

Ze względu na symetrię momenty bezwładności względem płaszczyzn zx i yz są
równe:

. (a)

Stąd momenty względem osi x i y

. (b)

Moment bezwładności względem osi z jest równy sumie momentów względem
płaszczyzn yz i zx. Po uwzględnieniu wzoru (a) mamy:

stąd

. (c)

Ze wzorów (b) i (c) wynika, że aby wyznaczyć momenty bezwładności względem
osi x i y, należy wyznaczyć momenty bezwładności względem płaszczyzny xy oraz
osi z. W pierwszej kolejności wyznaczymy moment bezwładności względem
płaszczyzny xy z trzeciego wzoru (6.13):

∫

. (d)

W tym celu wytniemy z walca dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi z
element o grubości dz (rys. 6.7a). Objętość tego elementu

Po podstawieniu tej wielkości do wzoru (d) i wykonaniu całkowania otrzymujemy:

∫

Po uwzględnieniu, że masa walca

powyższy wzór możemy zapisać w

postaci:

. (e)

W celu obliczenia momentu bezwładności względem osi z wydzielimy
myślowo z walca dwiema powierzchniami walcowymi o promieniach równych
odpowiednio r i r + dr warstwę elementarną o grubości dr. Objętość wydzielonego
elementu

Moment bezwładności względem osi z wyznaczymy z trzeciego wzoru (6.14).

(

)

∫

a po wprowadzeniu masy

(f)

Po podstawieniu do zależności (b) wzorów (e) oraz (c) po uwzględnieniu (f)
otrzymamy momenty bezwładności względem osi x i y:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

. (g)

Wyznaczymy jeszcze promienie bezwładności walca względem osi.
Na podstawie wzoru (6.16) otrzymujemy:

(h)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie momentów bezwładności względem
osi przechodzących przez środek ciężkości walca, równoległych do osi x, y, z,
zaznaczonych na rys. 6.7.

Przykład 6.2. Wyznaczyć momenty bezwładności cienkiej jednorodnej tarczy

kołowej o masie m i promieniu R (rys. 6.8a) oraz cienkiego jednorodnego pręta o
masie m i długości L (rys. 6.8b).

L/2

Rys. 6.8. Wyznaczenie momentów bezwładności: a) jednorodnej tarczy kołowej o

promieniu R i masie m, b) jednorodnego pręta o długości L i masie m

Rozwiązanie. Do wyznaczenia momentów bezwładności brył przedstawionych
na rys. 6.8 wykorzystamy wyprowadzone w poprzednim przykładzie wzory (f) i
(g) dla walca.
Momenty

bezwładności tarczy wyznaczymy względem osi x, y, z z

prostokątnego układu współrzędnych o początku w środku ciężkości O tarczy
(rys. 6.8a). Ze względu na pomijalnie małą grubość tarczy moment bezwładności
tarczy względem osi z jest jednocześnie biegunowym momentem bezwładności
względem punktu O, czyli

. Ponieważ tarczę można uważać za walec

o wysokości (grubości) zerowej (h = 0), moment bezwładności tarczy względem
osi z będzie równy momentowi bezwładności walca względem osi z. Zatem
zgodnie ze wzorem (f) z poprzedniego przykładu mamy:

. (a)

Ze względu na symetrię momenty bezwładności tarczy względem osi x i y są
równe. Otrzymamy je po podstawieniu h = 0 do wzoru (g) wyprowadzonego dla
walca:

. (b)

Promienie

bezwładności tarczy względem osi x, y, z są następujące:

(c)

Obecnie wyznaczymy moment bezwładności pręta względem osi x prostopadłej
do osi podłużnej pręta, pokrywającej się z osią z (rys. 6.8b). Oś y jest prostopadła

do płaszczyzny rysunku. W tak przyjętym układzie współrzędnych ze względu na
to, że zaniedbujemy wymiary poprzeczne pręta, momenty bezwładności względem
płaszczyzn zx i yz są równe zeru:

. (d)

Zatem z pierwszego wzoru (6.9) mamy:

. (e)

Momenty bezwładności pręta względem płaszczyzny xy otrzymamy po
podstawieniu do wzoru (e) na moment bezwładności walca względem płaszczyzny
xy zamiast wysokości h walca długości pręta L. Stąd

(f)

Wyznaczymy jeszcze moment bezwładności pręta względem osi symetrii

W tym celu wykorzystamy twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem osi (6.21):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

stąd

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(g)

Momenty

bezwładności pręta względem osi x i y są jednocześnie biegunowymi

momentami bezwładności odpowiednio względem końca pręta O i środka masy C:

oraz

Wynika to bezpośrednio ze wzoru (6.7) po uwzględnieniu zależności (c) i (d).

Rys. 6.9. Wyznaczenie momentów bezwładności cienkiej jednorodnej płyty

Przykład 6.3. Wyznaczyć momenty bezwładności cienkiej jednorodnej
prostokątnej płyty o masie m, podstawie b i wysokości h względem osi x i y
przechodzących przez podstawę i bok płyty oraz osi symetrii

(rys. 6.9).

Wyznaczyć również moment dewiacyjny D .

x i y

Rozwiązanie. Momenty bezwładności względem osi x i y wyznaczymy z dwóch
pierwszych wzorów (6.8), przyjąwszy z = 0:

∫

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi x wydzielimy z
płyty elementarny pasek w odległości y od podstawy, mający wysokość dy. Jeżeli
gęstość powierzchniową płyty oznaczymy przez

, to masa elementarnego paska

. Stąd moment bezwładności względem osi x

∫

, (a)

gdzie masa płyty

Przy wyznaczaniu momentu bezwładności względem osi y podzielimy płytę na
elementarne paski prostopadłe do osi x o szerokości dx. Mamy zatem:

. Moment bezwładności względem osi y

∫

. (b)

Moment dewiacyjny

wyznaczymy z twierdzenia Steinera (6.22):

, (c)

ponieważ moment

względem głównych centralnych osi bezwładności jest

równy zeru.

x y

C C

Do wyznaczenia momentów bezwładności względem osi symetrii

skorzystamy z twierdzenia Steinera (6.21):

x i y

⎪

⎪
⎭

⎪

⎪
⎬

⎫

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(d)

7.1.1. Przedmiot dynamiki

Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych.
Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także

− po ich

odpowiednim przekształceniu

− do układu punktów materialnych, ciała sztywnego

i bryły sztywnej.
Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a, na który
działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:

. (7.1)

Powyższe równanie jest dynamicznym
równaniem ruchu punktu materialnego.
Jeżeli wektor wodzący
rozpatrywanego punktu materialnego
poprowadzony z

początku O

nieruchomego układu współrzędnych x,
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to,
jak wiadomo z kinematyki,
przyśpieszenie a jest drugą pochodną
względem czasu wektora wodzącego.
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:

Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod

działaniem siły

r =

. (7.2)

Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

(7.3)

W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego r, czyli
współrzędnymi punktu materialnego, a F

, F

współrzędnymi siły F w

przyjętym układzie współrzędnych.

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym

przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które
omówimy w następnych punktach.

7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki

Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również
znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy
równanie ruchu punktu materialnego w postaci:

( )

to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy
przyśpieszenie tego punktu:

i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:

. (7.4)

Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy
zgodnie z równaniami ruchu:

4sin

cos2

, gdzie t jest czasem.

Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych
punktu x, y.

Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny,
które wyrażają wzory:

(a)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy:

sin

cos2

−

Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:

−

7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki

Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu
materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest
odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod
nazwą

− zagadnienie odwrotne dynamiki.

Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć
równanie ruchu punktu

( )

przy znanej sile F, należy scałkować równanie

różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań
różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest
jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe
całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane
warunkami początkowymi) w pewnej chwili t

(w chwili początkowej):

( )

. (7.5)

Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu
materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na
punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości v
punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci:

(

)

. (7.6)

Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu
układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne
i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie
znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub
numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych
przykładów, w których siła F będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej
zmiennej

− czasu, położenia lub prędkości.

Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły
F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); jeżeli
czas t = 0, to r(0) = r

i v(0) = v

Rozwiązanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) możemy

przedstawić w postaci:

lub

Po scałkowaniu otrzymamy:

∫

. (a)

Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym całkowaniu mamy:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

(b)

Stałe całkowania C

i C

wyznaczamy z podanych warunków początkowych przez

podstawienie do równań (a) i (b) r(0) = r

oraz v(0) = v

dla t = 0

= v

, C

= r

Ostatecznie prędkość punktu oraz równanie ruchu mają postać:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

(c)

Z otrzymanych rezultatów wynika, że gdy siła F będzie równa zeru, to punkt
będzie się poruszał zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem
jednostajnym po linii prostej.

Przykład 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza się po linii prostej
wzdłuż osi Ox (rys. 7.2) pod wpływem siły

( )

[ ]

−

10 1

N , gdzie t jest czasem

liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma się i jaką drogę
przebędzie w tym czasie, jeżeli w chwili początkowej t = 0 jego prędkość
v

= 20 cm/s.

Rozwiązanie

. Ponieważ punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox,

dynamiczne równanie jego ruchu możemy zapisać w postaci skalarnego równania
różniczkowego
.

( )

−

Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu

materialnego

lub

(

−

)

. (a)

Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy prędkość punktu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

. (b)

Po podstawieniu do równania (b) warunku początkowego v = v

dla t = 0

wyznaczamy stałą całkowania C

= v

. Zatem prędkość punktu wyraża wzór:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

(c)

Czas, po którym punkt się zatrzyma, obliczymy, podstawiając we wzorze (c) v = 0.
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na czas t:

−

. (d)

Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego
otrzymujemy czas, po którym punkt się zatrzyma: t

= 2,02 s. Drogę przebytą przez

punkt materialny obliczymy, całkując równanie (b) w granicach od 0 do t

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

∫

Przykład 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyciągany do środka O z siłą
o wartości P =

αm/x

(rys. 7.3), gdzie

α jest wartością stałą. Wyznaczyć prędkość

punktu w chwili, gdy jego odległość x = OM od punktu O będzie równa x

/2,

jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x = x

, v = v

= 0.

Rozwiązanie. Na rozpatrywany punkt
działa tylko siła P, wobec tego jego
równanie różniczkowe ma postać:

Rys. 7.3. Wyznaczenie prędkości

punktu materialnego

−

czyli

−

(a)

Po podstawieniu w powyższym równaniu:

otrzymamy:

−

a po rozdzieleniu zmiennych

vdv

−

. (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x

do x

otrzymamy:

vdv

3
0

−

∫

Stąd prędkość punktu

3
0

. (c)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.

Przykład 7.5.

Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością

początkową v

= 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przy

prędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnie
najwyższe położenie H. Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s

Rozwiązanie. Na ciało działają siły ciężkości
i oporu powietrza i obie są skierowane
w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys.
7.4). Zatem równanie różniczkowe ruchu ma
postać:

v=0

Rys. 7.4. Rzut pionowy z

uwzględnieniem oporu powietrza

−

a po podstawieniu danych liczbowych możemy
napisać:

(

)

−

. (a)

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:

−

. (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od v

do 0 oraz od 0 do t,

uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu
otrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie:

2,35

ln1,6

0,2v

−

∫

7.1.4. Zasada d’Alemberta

Po przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchu
punktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy:

− a

Po wprowadzeniu do tego równania zamiast

−ma fikcyjnej siły zwanej siłą

bezwładności lub siłą d’Alemberta,

m a

= −

, otrzymamy zasadę d’Alemberta

dla punktu materialnego:

+ P

, (7.7)

którą słownie wyrażamy następująco:
Suma

sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny

jest w każdej chwili równa zeru.

Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładności

zagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagi
sił.
Przedstawioną wyżej zasadę d’Alemberta dotyczącą swobodnego punktu
materialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych. W tym celu
rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m

i przyśpieszeniach a

. Na

poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siły
zewnętrzne i wewnętrzne.
Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2)
siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłami
zewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących do
naszego układu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono siły działające na dwa
punkty o masach m

i m

. Siły zewnętrzne zastąpiono tutaj siłami wypadkowymi P

i P

, a siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez F

. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły te są równe co do wartości, ale mają

przeciwne zwroty:

= −

-m

Rys. 7.5. Siły zewnętrzne, wewnętrzne i bezwładności działające na punkty układu

materialnego

Siłę F

działającą na k-ty punkt możemy przedstawić w postaci sumy siły

zewnętrznej P

i wypadkowej wszystkich sił wewnętrznych P

, (7.8)

gdzie

≠

∑

l k

. (7.9)

Po oznaczeniu siły bezwładności działającej na rozważany punkt przez

= −

zasadę d’Alemberta dla dowolnego punktu układu materialnego możemy
przedstawić w postaci równania:

(

)

(7.10)

Suma

sił zewnętrznych, wewnętrznych oraz siły bezwładności działających na

dowolny punkt układu materialnego jest w każdej chwili równa zeru.

Jeżeli równanie (7.10) napiszemy dla każdego punktu materialnego i dodamy
stronami, to otrzymamy:

∑

. (a)

Występująca w tym równaniu suma wszystkich sił wewnętrznych dowolnego
układu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

∑

. (7.11)

Zatem równanie (a) przyjmie postać:

∑

. (7.12)

Pomnóżmy teraz wektorowo każde z n równań (7.10) przez wektor wodzący r

i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy
równanie momentów:

∑

(b)

Ponieważ siły wewnętrzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, działają parami

, i wzdłuż jednej prostej, to suma momentów tych sił dla całego układu

materialnego względem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru:

= −

∑

(7.13)

i równanie (b) przyjmuje postać:

∑

. (7.14)

Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiają zasadę d’Alemberta dla
układów materialnych, którą można sformułować następująco:

Suma

sił zewnętrznych i sił bezwładności dla danego układu materialnego oraz

sumy momentów tych sił względem nieruchomego bieguna redukcji w każdej chwili
są równe zeru.

Przykład 7.6.

Punkt materialny M o ciężarze G = 10 N, zawieszony w

nieruchomym punkcie O na lince o długości OM = s = 30 cm, tworzy wahadło
stożkowe, tzn. zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym linka tworzy z
pionem kąt

(rys. 7.6a). Wyznaczyć siłę F w lince oraz prędkość v punktu

α = 60

Rys. 7.6. Wyznaczenie siły w lince i prędkości punktu

Rozwiązanie. Na punkt materialny działa siła ciężkości G, siła w lince F oraz
siła bezwładności (odśrodkowa)

−

, gdzie a jest przyśpieszeniem

dośrodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasadą d’Alemberta (7.10) suma tych sił musi
być równa zeru:

Z rzutu tych sił na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

∑

cos

sin

(a)

Z drugiego równania otrzymujemy siłę w lince:

cos60

cos

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przyśpieszenie
dośrodkowe:

sin

otrzymamy równanie:

sin

−

Stąd prędkość punktu M

sin60

cos60

0,3

9,81

sin

cos

sin

⋅

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu sił. Energia potencjalna

Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą
układu sił do rozpatrywanego układu
materialnego w czasie jego ruchu.
Celem ogólnego zdefiniowania
pracy rozpatrzymy

ruch punktu

materialnego po torze
krzywoliniowym pod wpływem siły
P. Punkt przyłożenia A siły P jest
opisany wektorem wodzącym r
(rys. 7.7).
Pracą elementarną siły P na
przesunięciu elementarnym ds,
równym przyrostowi promienia
wodzącego dr, nazywamy iloczyn
skalarny siły P i przemieszczenia dr:

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy

P d

⋅

(7.15)

lub korzystając z definicji iloczynu skalarnego

(

)

cos

(7.16)

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul równy pracy 1 niutona na przesunięciu

1 metra:

J = N

⋅ m = kg ⋅ m

⋅ s

–2

a w układzie technicznym kilogram siły razy metr:

1 kG

⋅m = 9,81 J.

Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie używanym na
oznaczenie różniczki zupełnej należy pamiętać, że praca elementarna nie jest na
ogół różniczką zupełną żadnej funkcji.
Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) można sformułować poniższe wnioski.

a) Pracę wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, a praca składowej

normalnej jest równa zeru.
b) Wartość pracy może być zarówno dodatnia, jak i ujemna: dla D

dodatnia, a dla

α> π/2 ujemna.

c) Jeżeli na punkt materialny działa układ sił P

, których suma jest równa

wypadkowej

, to praca tej siły na przesunięciu elementarnym d

r jest

równa sumie prac elementarnych poszczególnych sił na tym przesunięciu:

∑

⋅

d) Praca elementarna siły

P na przesunięciu wypadkowym

jest

równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych:

∑

⋅

Jeżeli wektory występujące po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za
pomocą współrzędnych:

to pracę elementarną możemy przedstawić w postaci:

. (7.17)

Jeżeli punkt przyłożenia A siły

P przemieści się po krzywej od punktu A

, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez siłę

P będzie całką

krzywoliniową:

(

)

∫

⋅

. (7.18)

Występująca w powyższym wzorze siła może w ogólnym przypadku być
funkcją czasu t, położenia w przestrzeni punktu A oraz prędkości tego punktu.
Współrzędne siły

P będą zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich

pochodnych względem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) możemy podstawić:

i zamiast całki krzywoliniowej otrzymamy całkę oznaczoną w granicach
całkowania od t

do t

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (7.19)

względu na zastosowania bardzo ważny jest przypadek, gdy siła

P jest

jedynie funkcją położenia (miejsca):

( )

a jej współrzędne są wziętymi ze znakiem minus pochodnymi cząstkowymi funkcji
U względem współrzędnych x, y, z:

∂

−

∂

−

∂

−

(7.20)

Wykażemy, że funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca
elementarna siły o współrzędnych (7.20)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−

⋅

Wyrażenie występujące w nawiasie po prawej stronie powyższego równania jest
różniczką zupełną funkcji U:

∂

. (7.21)

Z matematyki wiadomo, że całka krzywoliniowa z różniczki zupełnej jest równa
różnicy wartości końcowej i początkowej zróżniczkowanej funkcji. Zatem pracę
wykonaną przez siłę

P na jej przemieszczeniu z punktu A

do A

wyraża wzór:

(

)

−

∫

(7.22)

Widzimy, że praca wykonana przez siłę opisaną wzorem (7.20) na
przemieszczeniu jej z położenia początkowego do końcowego jest równa ubytkowi
funkcji U. Funkcję tę nazywamy potencjałem albo energią potencjalną, siłę

spełniającą warunek (7.20) siłą potencjalną lub zachowawczą, a pole sił polem
potencjalnym lub zachowawczym.

Potencjał w określonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, którą wykonują

siły potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do
punktu, w którym potencjał jest równy zeru. Ponieważ punkt ten może być obrany
dowolnie, potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C. Wnika to z
tego, że funkcja:

′

również spełnia zależności (7.20) i (7.22).
Ze wzoru (7.22) wynikają dwie ważne własności sił potencjalnych.
a) Praca siły potencjalnej nie zależy od toru jej punktu przyłożenia, lecz jedynie
od położenia tego punktu w chwilach początkowej i końcowej.

b) Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa ubytkowi energii

potencjalnej wynikającemu z przemieszczania się punktu przyłożenia siły. Wynika
stąd również, że praca po torze zamkniętym jest równa zeru.

7.1.6. Przykłady sił potencjalnych

Siły sprężystości
Wykażemy obecnie, że siły odkształcenia sprężystego są siłami potencjalnymi.

W tym celu rozpatrzymy sprężynę śrubową, której koniec A jest unieruchomiony,
a koniec B może się przemieszczać wzdłuż osi Ox (rys. 7.8). Założymy, że w
chwili, gdy sprężyna nie jest napięta, koniec B pokrywa się z punktem O.

Rys. 7.8. Przykład siły sprężystej wykonującej pracę

Jeżeli wydłużymy sprężynę o wartość x, to zgodnie z prawem Hooke’a będzie
ona działać na punkt B siłą P proporcjonalną do wydłużenia:

−

gdzie współczynnik proporcjonalności k jest nazywany stałą sprężyny, a znak
minus oznacza, że siła P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia
sprężyny.
Z

powyższego wzoru wynika, że współrzędna siły P jest funkcją tylko

współrzędnej x:

−

zatem potencjał U musi spełniać równanie:

−

∂

Po scałkowaniu tego równania w granicach od O do x

otrzymujemy wzór na

potencjał siły sprężystej:

∫

. (7.23)

Pracę siły sprężystej na skończonym przesunięciu, np. od 0 do x, można
obliczyć ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U

= 0. Zatem

−

(7.24)

Siły ciężkości
Jeżeli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobliżu powierzchni

Ziemi o małych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to można przyjąć,
że na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się w tej przestrzeni działa
stała siła ciężkości:

G = mg,

gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim. Przy takim założeniu pole sił jest
jednorodnym polem sił ciężkości. Gdy w takim polu sił przyjmiemy układ
współrzędnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w górę, to zgodnie z rys. 7.9
współrzędne siły ciężkości G opisują zależności:

−

(7.25)

Ze wzoru (7.20) wiadomo, że współrzędne sił potencjalnych są równe
pochodnym cząstkowym potencjału U względem współrzędnych wziętych ze
znakiem minus:

−

∂

−

∂

−

∂

−

. (7.26)

Z powyższych równań wynika, że potencjał U jest jedynie funkcją zmiennej z. Po
podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy różniczkę
potencjału pola sił ciężkości:

a po scałkowaniu tego równania potencjał sił ciężkości

, (7.27)

gdzie C jest dowolną stałą.
Ze wzoru (7.27) wynika, że dla z = const potencjał U jest również stały. Zatem
w przypadku sił ciężkości wszystkie punkty każdej płaszczyzny poziomej mają
taką samą wartość potencjału. Powierzchnie, których punkty mają te same wartości
potencjału, nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi.
Praca

siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jest

− zgodnie ze

wzorem (7.22)

− równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i

końcowym:

(

)

−

(7.28)

gdzie h jest różnicą wysokości (rys. 7.9).

Rys. 7.9. Praca siły ciężkości

Rys. 7.10. Siła wzajemnego przyciągania

Siły wzajemnego przyciągania
Wykażemy, że siła, z jaką nieruchomy punkt materialny o masie M działa na

dowolny punkt materialny o masie m, jest siłą potencjalną. Zgodnie z prawem
powszechnego ciążenia (1.2) punkt M działa na punkt m i odwrotnie z siłą P o
wartości

, (7.29)

gdzie k jest stałą grawitacji, a r jest odległością masy m od nieruchomej masy M.
Jeżeli masę M umieścimy w początku układu współrzędnych x, y, z, a masę m
w punkcie A o wektorze wodzącym r (rys. 7.10), to siłę P można opisać wzorem:

−

, (7.30)

gdzie 1

jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r.

Gdy współrzędne wektora wodzącego r oznaczymy przez x, y, z, to
współrzędne siły P będą następujące:

−

. (7.31)

Łatwo wykazać, że potencjałem omawianego pola sił jest funkcja

(

)

U x

, y, z

= −

+ = −

(7.32)

przy czym C jest dowolną stałą. Aby siła P była potencjalna, jej współrzędne
(7.31) muszą spełniać wzory (7.20). Po zróżniczkowaniu funkcji (7.32) względem
x otrzymamy:

(

)

kMmx

kMm

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

−

∂

Postępując podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:

−

∂

−

∂

Pracę wykonaną przez siłę P na przemieszczenie masy m z położenia 1 do 2
zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzględnieniu równania (7.32) zapiszemy w
następującej postaci:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

kMm

. (7.33)

7.1.7. Moc i sprawność

Z technicznego punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy,
ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono
pojęcie mocy.

Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.

. (7.34)

Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem
(7.15) otrzymujemy wzór na moc siły P.

⋅

(7.35)

Zatem

moc siły jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu

przyłożenia.
Ze wzoru (7.34) widzimy, że między pracą elementarną dL i mocą N istnieje
prosty związek:

Jeżeli siła P w chwili t

znajduje się w punkcie A

, a w chwili t

w punkcie A

(rys. 7.6), to praca L

wykonana przez tę siłę przy przemieszczeniu się po torze od

do A

będzie równa całce z mocy w granicach od t

do t

∫

Ndt

. (7.36)

Gdy na układ materialny działa układ n sił, to moc tego układu jest równa sumie
mocy poszczególnych sił:

∑

. (7.37)

Podstawową jednostką mocy w układzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc
siły, która pracę jednego dżula wykonuje w ciągu jednej sekundy:

1 W = J

⋅ s

–1

W praktyce na określenie mocy silników i maszyn są używane większe
jednostki

− kilowaty (kW) i megawaty (MW):⋅

1000

1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W.

W technicznym układzie jednostek podstawową jednostką mocy jest kilogram
siły razy metr na sekundę:

1 kG

⋅ m ⋅ s

–1

Praktyczną jednostką mocy w tym układzie jest koń mechaniczny KM:

1 KM = 75 kG

⋅ m ⋅ s

–1

Między jednostkami mocy w układzie technicznym i w układzie SI istnieją
zależności:
1 kG

⋅ m ⋅ s

–1

= 9,81 W,

1 KM = 75

⋅ 9,81 W = 0,736 kW,

0,102

⋅ m ⋅ s

–1

102

⋅ m ⋅ s

–1

= 1,36 KM.

Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje się pojęcie sprawności
mechanicznej. Wiadomo, że część mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest
tracona na pokonanie oporów istniejących w samym silniku (maszynie), a tylko
część jest zamieniana na moc użyteczną.
Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek mocy użytecznej N

(lub pracy

) do mocy włożonej N

(lub pracy L

. (7.38)

Sprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność:

≤

7.1.8. Moc układu sił działających na bryłę sztywną

W poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły P działającej na punkt
materialny. Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych P

, gdzie

k = 1, 2, .... , n, przyłożonych odpowiednio w punktach A

, A

, .... , A

bryły

sztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układu
współrzędnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji)

umieścimy ruchomy układ współrzędnych

′

′ ′ ′

x , y , z poruszający się razem z bryłą.

Układ sił P

reprezentują wektor główny W i moment główny

umieszczone

w biegunie redukcji

, a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości

bieguna

i prędkości kątowej

ω.

′

r ′

O′

Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywną

Zgodnie z definicją moc N

siły

⋅

Prędkość dowolnego punktu A

zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisać

w następujący sposób:

′

Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc N

siły

oraz wykorzystaniu

własności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:

(

)

(

)

(

)

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu

−

zgodnie ze wzorem (7.37)

− mocy poszczególnych sił:

(

)

[

]

∑

′

⋅

′

⋅

Ostatecznie

⋅

′

. (7.39)

Zgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze

W jest wektorem

głównym, a

momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanych

do bieguna redukcji

′

Wzór

(7.39)

można wyrazić słownie:

Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie

iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna

redukcji

oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna
i prędkości kątowej.

7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy

punktu i jego prędkości:

p = mv. (7.40)

Z powyższej definicji
wynika, że pęd jest wektorem o
kierunku prędkości, a więc jest
wektorem stycznym do toru
punktu materialnego.

Dla układu n punktów

materialnych o masach m

prędkości v

(rys.

7.12) pęd

będzie równy sumie pędów
poszczególnych punktów
materialnych:

Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego

∑

m v

. (7.41)

Wzór (7.41) można przedstawić w postaci:

∑

. (a)

Widzimy,

że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem

(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego
względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z :

∑

. (b)

Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)
możemy zapisać w postaci:

∑

, (7.42)

gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego.
Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy
iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości v

środka masy C.

Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu.

Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu
materialnego względem nieruchomego punktu:

d S

(7.43)

Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p.
4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru.
Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach

∆m

traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu
otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty
materialne.
Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy
liczba elementów dąży do nieskończoności

∫

∑

∞

→

lim

Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:

∫

Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:

(

)

. (7.44)

Widzimy

zatem,

że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest

równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.

7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu

Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach
m

i prędkości v

. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego

działają siły zewnętrzne i
wewnętrzne. Na rysunku 7.13
zaznaczono siły działające na dwa
punkty o masach m

i m

. Siły

zewnętrzne działające na te
punkty zastąpiono siłami
wypadkowymi P

i P

, siły

wzajemnego oddziaływania
między tymi punktami oznaczono
przez F

i F

Rys. 7.13. Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające

na punkty układu materialnego

Wypadkowa

sił wewnętrznych

działających na punkt o masie m

∑

≠

, (7.45)

a wypadkowa wszystkich sił działających na ten punkt

= P

+ P

. (7.46)

Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu
rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci:

(

,..

)

. (7.47)

Po założeniu, że masa m

jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemy

przedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu m

punktu:

(

)

Równanie (7.47) można obecnie zapisać następująco:

(

)

(

,..

)

(c)

Jeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy:

(

)

∑

a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to

∑

. (d)

Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu
materialnego:

∑

Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił
zewnętrznych:

∑

a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układzie
materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

∑∑

∑

≠

Ostatecznie równanie (d) można zapisać w postaci:

p =

. (7.48)

Równanie to przedstawia zasadę pędu układu punktów materialnych, którą
można wypowiedzieć następująco:

Pochodna

względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa

wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ.

W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten
układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:

( ) ( )

∫

−

. (7.49)

Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu.

Przyrost

pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy

popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.
Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównego
lub impulsem wektora głównego. Ta druga nazwa ma swoje uzasadnienie
zwłaszcza w przypadku sił krótkotrwałych, np. sił zderzeniowych. Łatwo
zauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:

W = 0,

popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż
pęd końcowy jest równy początkowemu:

( ) ( )

czyli pęd układu materialnego jest stały:

const

. (7.50)

Jest to zasada zachowania pędu:

Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny
jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.

Gdy

pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m

i prędkości v

środka masy, to z zasady zachowania pędu:

const

wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie
nachylenia

pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t)

(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P

α = 30

= 250 N zgodnie z

wykresem podanym na rys. 7.14b. Współczynnik tarcia między klockiem i równią

. Obliczyć prędkość v

= 0 1

, jaką osiągnie ciało w chwili t

= 3 s, jeżeli w chwili

t = 0 prędkość początkowa v

m s

/ .

P(t)

Rys. 7.14. Wyznaczenie prędkości klocka

Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pędu i popędu (7.49).
W myśl tej zasady przyrost pędu klocka w czasie od t = 0 do t = t

będzie równy

popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na niego:

( ) ( )

∫

−

Wektory z tego równania zrzutujemy na oś x równoległą do równi. Po
uwzględnieniu zależności (7.44) mamy:

∫

−

. (a)

Zgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich sił działających na klocek na oś x

−

cos

sin

(t)

sin

(t)

, (b)

gdzie

cos

. Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy:

(

)

(

)

µcos

sin

(t)dt

µcos

sin

(t)dt

−

∫

(c)

Całka występująca w powyższym wzorze jest równa polu wykresu
przedstawionego na rys. 7.14b, czyli

(t)dt

∫

Po podstawieniu tej równości do (c) otrzymujemy wzór na prędkość v

(

)

µcos

sin

−

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

(

)

cos

sin30

250

−

⋅

7.2.3. Twierdzenie o ruchu środka masy

Pęd p w wyprowadzonym w poprzednim punkcie równaniu (7.48),
wyrażającym zasadę pędu, możemy przedstawić za pomocą iloczynu całkowitej
masy m układu materialnego i prędkości v

środka jego masy C. Otrzymamy

wówczas:

(

)

(e)

Występująca w tym równaniu pochodna prędkości środka masy względem czasu
jest przyśpieszeniem środka masy. Mamy więc:

. (7.51)

Po zapisaniu wektorów a

i W w układzie współrzędnych x, y, z:

⎭

⎬

⎫

(f)

wektorowe równanie (7.51) możemy przedstawić w postaci trzech równań
skalarnych:

(7.52)

Wektorowe równania (7.51) i równoważne mu trzy równania skalarne (7.52) są
dynamicznymi równaniami ruchu środka masy. Pozwalają one na wyznaczenie
ruchu środka masy pod wpływem znanych sił zewnętrznych. Otrzymane równania
(7.51) lub (7.52) pozwalają na sformułowanie twierdzenia, znanego pod nazwą
twierdzenia o ruchu środka masy.

Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny o masie
równej całkowitej masie układu, na który działa siła równa wektorowi głównemu
sił zewnętrznych działających na ten układ.
Twierdzenie

ruchu

środka masy wynika również z pierwszej całki zasady

pędu, czyli z zasady pędu i popędu przedstawionej w postaci:

( )

∫

−

. (7.53)

Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania ruchu środka masy, ale nie
pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków co do ruchu punktów należących do
układu względem środka masy.

Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że siły wewnętrzne nie mogą
zmienić ruchu środka masy ani jego położenia.
Twierdzenie to odnosi się nie tylko do układu punktów materialnych, ale
również do ciała sztywnego i bryły. Nałożywszy bowiem na układ punktów
materialnych warunek, aby odległość dowolnych punktów układu była niezmienna,
otrzymujemy model ciała sztywnego.

7.2.4. Ruch układu o zmiennej masie

Do tej pory w rozważaniach dotyczących pędu układu materialnego

zakładaliśmy, że całkowita masa układu nie ulega zmianie w czasie ruchu. Obecnie
zajmiemy się ruchem układu materialnego, którego masa będzie się zmieniać z
upływem czasu poprzez odłączanie lub dołączanie elementów masy. Taka zmiana
masy układu będzie miała wpływ na jego ruch.
Typowym

przykładem ruchu układu o zmiennej masie są rakiety, z których

w czasie pracy silnika następuje wypływ gazów spalinowych, a tym samym
zmniejsza się masa rakiety. Innym przykładem mogą być urządzenia do transportu
ciągłego ze zmieniającą się w czasie ilością przenoszonego materiału.
W

dalszych

rozważaniach ze zrozumiałych względów ograniczymy się

jedynie do wyprowadzenia równania ruchu ciała o zmiennej masie. Do ułożenia
równania ruchu wykorzystamy zasadę pędu (7.48) zapisaną w postaci:

(

)

(g)

Przyjmijmy,

środek układu materialnego o masie m porusza się

względem układu odniesienia z prędkością v

i w pewnej chwili masa układu

zaczyna się zmieniać w sposób ciągły. Zakładając, że w czasie dt od układu
odrywa się (lub przyłącza do niego) masa elementarna dm z prędkością
bezwzględną v

, określimy elementarną zmianę pędu. W chwili początkowej t pęd

układu wynosi

m v

(h)

a w chwili t + dt

(

)(

)

−

(i)

Elementarną zmianę pędu otrzymamy przez odjęcie zależności (i) od (h).

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

−

Po pominięciu iloczynu różniczek dmdv jako małej wartości drugiego rzędu
elementarna zmiana pędu

(

)

−

(j)

gdzie

= v

– v

i jest prędkością masy dm względem masy m, czyli prędkością względną. Po
uwzględnieniu wyrażenia (h) w równaniu (e) otrzymamy równanie ruchu układu
o zmiennej masie nazywane równaniem Mieszczerskiego:

lub w postaci

(7.54)

gdzie

(7.55)

i jest reakcją cząstki elementarnej.
Jeżeli występująca we wzorze (7.55) pochodna

> 0, czyli masa

układu wzrasta z upływem czasu, to wektor R ma zwrot prędkości względnej v

dm /

jest siłą hamującą. Gdy masa układu materialnego będzie maleć z upływem czasu,
czyli dm/dt < 0, to wektor R będzie miał zwrot przeciwny do prędkości względnej
v

a więc będzie siłą napędową.
Jeżeli równanie (7.54) zastosujemy do badania ruchu rakiety i założymy,
że wektor prędkości względnej v

wypływających z rakiety gazów jest styczny do

trajektorii lotu, to wektor R będzie siłą ciągu rakiety (rys. 7.15).

Rys. 7.15. Ruch układu o zmiennej masie

Przykład 7.8. Rakieta o masie początkowej m

porusza się w przestrzeni

międzyplanetarnej z prędkością początkową v

. Po włączeniu silnika prędkość

względna v

wypływających z rakiety produktów spalania paliwa jest stała, a jej

wektor jest

styczny do trajektorii lotu. Wyznaczyć prędkość rakiety po

zmniejszeniu się jej masy do m oraz równanie jej ruchu s = s(t).

Rozwiązanie. Ponieważ rakieta porusza się w przestrzeni
międzyplanetarnej, siły zewnętrzne na nią działające można pominąć, zatem W =
0, a dynamiczne równanie ruchu rakiety na podstawie (7.54) po uwzględnieniu
(7.55) można zapisać w postaci:

v =

lub

, lub

(a)

Po scałkowaniu tego równania w granicach wyznaczonych przez warunki
początkowe, czyli dla t = 0 v

(0) = v

i m(0) = m

, otrzymujemy:

∫

a po obliczeniu całek

(b)

Ponieważ wektory prędkości v

i v

działają wzdłuż jednej prostej i mają

zwroty przeciwne (rys. 7.13), wektorowy wzór (b) można zapisać jednym wzorem
skalarnym:

−

(c)

Powyższy wzór został po raz pierwszy wyprowadzony przez rosyjskiego
uczonego polskiego pochodzenia K. Ciołkowskiego.

Wektorowy wzór (b) lub równoważny mu (c) przedstawia prawo zmiany

prędkości rakiety. Ze wzorów tych wynika, że prędkość rakiety zależy od stosunku
masy końcowej rakiety m do jej masy początkowej m

Teraz wyznaczymy równanie drogi rakiety w funkcji czasu. Podstawiwszy do

wzoru (c)

otrzymujemy równanie różniczkowe o postaci:

−

Po scałkowaniu tego równania w granicach od s

do s i od 0 do t otrzymujemy

równanie ruchu rakiety:

∫

−

(d)

Aby

obliczyć występującą w tym równaniu całkę, należy znać funkcję

zmiany masy w czasie. Załóżmy, że w czasie pracy silnika rakiety jej masa maleje
wykładniczo według wzoru:

−

gdzie D jest stałym współczynnikiem. W tym przypadku

–

tdt

lne

−

∫

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (d) otrzymujemy równanie ruchu
rakiety w funkcji czasu:

(e)

7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego

Krętem k

punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy

moment pędu

p m

tego punktu materialnego względem punktu O:

. (7.56)

powyższej definicji wynika, że kręt

− zdefiniowany podobnie jak moment siły

względem punktu

− jest wektorem

prostopadłym do płaszczyzny
wyznaczonej przez punkt O i wektor
prędkości v (rys. 7.16).
Kręt punktu będzie równy zeru,
poza przypadkami trywialnymi (r = 0 i
v = 0), gdy wektory r i v będą
współliniowe.
Jeżeli będziemy mieli układ n
punktów materialnych o masach m

opisanych wektorami wodzącymi r

poruszających się z prędkością v

(rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego

względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów
pędów)

Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu

materialnego

∑

m v

. (7.57)

7.3.2. Redukcja krętu do środka masy

Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego
nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego
układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku
masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach

równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z
(rys. 7.17). W tej sytuacji układ

′ ′ ′

x , y , z

′ ′ ′

x , y , z będzie się poruszał ruchem postępowym

względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy v

′

Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych

Przy

takim

założeniu prędkość bezwzględna v

każdego punktu materialnego

względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej
prędkości środka masy v

i prędkości względnej v

wzgędem układu ruchomego

, nazywanej dalej prędkością względem środka masy:

′ ′ ′

x , y , z

. (a)

Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi
wzór:

∑

, (7.58)

gdzie r

jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie m

w układzie

. Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący r

′ ′ ′

x , y , z

jest równy sumie

promienia wodzącego środka masy r

i promienia r

Po wyznaczeniu z tej zależności

−

i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:

(

)

∑

−

(b)

Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest
krętem k

względem nieruchomego punktu O, druga zaś jest pędem omawianego

układu materialnego. Na podstawie wzoru (7.42) możemy zapisać:

∑

gdzie m jest masą całego układu. Zatem równanie (b) przyjmie postać:

−

lub

. (7.59)

Kręt k

układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego

punktu O jest równy krętowi k

tego układu względem środka masy

powiększonemu o kręt

masy całkowitej skupionej w środku masy.

Wzór (7.58) przedstawia kręt układu materialnego względem środka masy
obliczony dla ruchu bezwzględnego, ponieważ występująca w tym wzorze
prędkość v

jest prędkością względem nieruchomego układu odniesienia.

Zastanówmy się, czemu będzie równy kręt tego układu materialnego względem
środka masy wyznaczony dla ruchu względnego. W tym celu podstawmy do wzoru
(7.58) zależność (a).

(

)

∑

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Ale suma

∑

ponieważ moment statyczny układu względem środka masy jest równy zeru.
Ostatecznie mamy:

∑

(7.60)

Z otrzymanej zależności wynika stwierdzenie:
Kręt układu punktów materialnych względem środka masy wyznaczony dla
ruchu bezwzględnego jest równy krętowi względem środka masy wyznaczonemu
dla ruchu względnego.

7.3.3. Kręt bryły

Wyznaczmy kręt bryły o masie m poruszającej się ruchem dowolnym, a więc

bryły swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bryły (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa
układy współrzędnych

− jeden nieruchomy o początku w nieruchomym punkcie

O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno związany z bryłą o osiach

(rys. 7.18) i początku nie w dowolnym punkcie

′ ′ ′

x , y , z

′

O , lecz w środku masy C. W

bryle wydzielmy myślowo element masy dm o wektorze wodzącym

′

, (c)

gdzie

′

Znając prędkość v

środka masy C i prędkość kątową

ω, możemy obliczyć

prędkość v dowolnego punktu bryły (wzór 5.32). Zatem prędkość elementarnej
masy dm

′

. (d)

Zgodnie z definicją kręt elementu
masy dm względem nieruchomego
punktu O

r v

= ×

∫

Kręt bryły będzie równy całce z
powyższej zależności rozciągniętej
na całą masę m bryły:

Po podstawieniu do tego wzoru
zależności (c) i (d) otrzymamy:

(

) (

)

(

)

(

)

∫

′

∫

′

Rys. 7.18. Opis położenia dowolnego elementu

bryły sztywnej

Występujące pod całkami wielkości r

, v

ω nie podlegają całkowaniu i mogą

być wyciągnięte przed znaki całek:

(

)

∫

′

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′

Dwie środkowe całki są momentami statycznymi bryły względem środka masy,
a więc są równe zeru:

∫

′

a pierwsza całka jest masą całkowitą bryły:

∫

Ostatecznie kręt bryły możemy zapisać w postaci:

(

)

′

∫

. (7.61)

Całka występująca w tym wzorze jest krętem

bryły w jej ruchu względem

środka masy C z prędkością kątową

ω.

(

)

∫

′

. (7.62)

Zatem wzór (7.61) możemy zapisać w postaci:

m v

. (7.63)

Kręt k

bryły względem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy krętowi

bryły względem środka masy C (w jej ruchu względem środka masy z

prędkością kątową

ω) powiększonemu o kręt r

masy m bryły

poruszającej się z prędkością v

środka masy.

Obecnie obliczymy współrzędne wektora k

w ruchomym układzie

współrzędnych

o początku w środku masy C (rys. 7.18). W tym układzie

współrzędnych wektory występujące we wzorze (7.62) mają następujące
współrzędne:

′ ′ ′

x , y , z

′

Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze
wzorem (2.34) otrzymamy:

(

)

( )

(

)

∫

′

⋅′

−

′

⋅′

′

−

′

⋅′

Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest
biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C:

( )

∫

′

a więc

(

)

∫

′

⋅′

−

. (7.64)

Współrzędne krętu k

otrzymamy po zrzutowaniu tego wektora na osie

′ ′ ′

x , y , z

−

′

⋅

′

(

)

∫

′

⋅′ ω

−

′

⋅

′

(

)

∫

′

⋅′ ω

−

′

⋅

′

(

)

∫

′

⋅′ ω

Po podstawieniu do tych wzorów iloczynu skalarnego:

⋅′ω

′

oraz wyłączeniu przed całki współrzędnych prędkości kątowej otrzymujemy:

( )

∫

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

Całki występujące w powyższych wzorach są zdefiniowanymi w p. 6.1.2
momentami bezwładności bryły względem odpowiednich płaszczyzn i momentami
dewiacyjnymi. Po wykorzystaniu zależności (6.7) i (6.9) między momentami

bezwładności względem bieguna, płaszczyzn i osi oraz odpowiednim
uporządkowaniu wyrazów współrzędne krętu k

bryły opisują wzory:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

′

(7.65)

powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu k

bryły swobodnej

względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności
i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie
się upraszczają, gdy osie

′ ′ ′

x , y , z są głównymi centralnymi osiami bezwładności.

W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe
zeru i kręt

′

. (7.66)

Jeżeli założymy, że osią obrotu bryły jest np. oś

z′ , to prędkość kątowa

ω pokryje

się z osią obrotu:

ω =

′

Wówczas kręt wyznaczony ze wzorów (7.65) ma postać:

′

−

′

−

′

(7.67)

a na podstawie wzoru (7.66)

′

. (7.68)

Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, że jeżeli oś obrotu jest główną
centralną osią bezwładności, to wektor krętu leży na tej osi; gdy tak nie jest,
kierunek wektora krętu nie pokrywa się z osią obrotu.

Przykład 7.9. Korba OA o masie m

obraca się z prędkością kątową

wokół osi z przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rys. 7.19.

Na końcu A korby jest osadzona cienka
jednorodna tarcza o masie

promieniu r, która toczy się bez poślizgu
po nieruchomym kole o promieniu R.
Wyznaczyć kręt układu względem osi z.
Korbę OA uważać za pręt jednorodny.

Rys. 7.19. Wyznaczenie krętu układu

Rozwiązanie

. Kręt układu względem osi z składa się z krętu

korby OA

poruszającej się ruchem obrotowym wokół osi z oraz krętu

tarczy poruszającej

się ruchem postępowym środka ciężkości A tarczy z prędkością

oraz ruchem

obrotowym z prędkością

względem osi

′

z równoległej do osi z i

przechodzącej przez środek tarczy:

. (a)

Kręt korby OA względem osi z

. (b)

Kręt tarczy względem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) możemy wyrazić
zależnością:

(

)

′

. (c)

We wzorach (b) i (c)

I i

są odpowiednio momentami bezwładności korby

względem osi z przechodzącej przez punkt O i tarczy względem osi
przechodzącej przez jej środek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przykładu 6.2:

′

(

)

(

)

′

. (d)

Prędkość środka tarczy

(

)

. (e)

Ponieważ punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym kołem jest chwilowym
środkiem obrotu tarczy, mamy również:

stąd

(

)

(f)

Po uwzględnieniu w związkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich
podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kręt układu względem osi z.

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

7.3.4. Zasada krętu i pokrętu. Zasada zachowania krętu

Załóżmy, że mamy układ materialny składający się z n punktów materialnych
o masach m

poruszających się z prędkością v

(rys. 7.17). Na każdy punkt niech

działa siła zewnętrzna P

oraz siły wewnętrzne F

. Zgodnie z drugim prawem

Newtona możemy dla dowolnego punktu rozważanego układu materialnego
napisać dynamiczne równanie ruchu:

lub

(

)

W powyższym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) P

jest wypadkową sił

wewnętrznych działających na punkt o masie m

. Pomnóżmy wektorowo każde z n

równań obustronnie przez wektor wodzący r

i dodajmy wszystkie równania

stronami. Otrzymamy:

(

)

∑

. (e)

Druga suma po prawej stronie tego równania jest sumą momentów sił
wewnętrznych względem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest
równa zeru. Z kolei suma momentów sił zewnętrznych względem punktu O jest
równa momentowi głównemu (3.26):

∑

Sumę występującą po lewej stronie równania (e) możemy przekształcić:

(

)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

Wynika z tego, że lewa strona równania (e) jest pochodną krętu całego układu
materialnego względem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy:

k =

. (7.69)

Otrzymana zależność różniczkowa jest zasadą krętu.

Pochodna

względem czasu krętu układu punktów materialnych względem

dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił
zewnętrznych względem tego samego punktu.

Po obustronnym scałkowaniu równania (7.69) w granicach od 0 do t

otrzymamy:

( )

∫

−

. (7.70)

Całka występująca w tym równaniu nosi nazwę pokrętu momentu głównego, a
samo równanie jest zasadą krętu i pokrętu.
Przyrost

krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu

jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego
punktu.

Równania (7.69) i (7.70) są słuszne nie tylko dla układu punktów materialnych,
ale i dla bryły.
Często się zdarza, że moment główny układu sił zewnętrznych względem
obranego nieruchomego bieguna redukcji O jest stale równy zeru bądź jest
pomijalnie mały,

. Wtedy całka po prawej stronie równania (7.70) jest

równa zeru i zasada krętu i pokrętu przechodzi w zasadę zachowania krętu:

≡

( )

const

czyli

−

lub

const

jeże

. (7.71)

Otrzymaną zasadę zachowania krętu można wyrazić słownie:

Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu
redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego
punktu jest wielkością stałą.

7.3.5. Redukcja zasady krętu i pokrętu do środka masy

Zastanówmy

się, jaką postać przyjmie zasada krętu i pokrętu (7.70), jeżeli za

biegun redukcji przyjmiemy nie dowolny punkt O, lecz środek masy układu
materialnego C. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie podstawmy
do równania (7.69) wzór (7.59):

oraz twierdzenie o momencie głównym (3.29):

i dokonajmy różniczkowania:

(

)

(

)

(f)

Drugi wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest
to iloczyn wektorowy wektorów równoległych:

a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu
układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48):

(

)

Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu
otrzymamy zasadę krętu przy redukcji do środka masy:

. (7.72)

Z kolei po scałkowaniu tego równania od zera do t otrzymamy zasadę krętu
i pokrętu zredukowaną do środka masy układu:

( )

∫

−

. (7.73)

Widzimy,

że formalna postać otrzymanych równań (7.72) i (7.73) jest taka

sama jak równań (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisują ruchu
środka masy C. Do opisu ruchu środka masy C należałoby zastosować zasadę pędu
(7.48).
Jeżeli założymy teraz, że moment sił zewnętrznych względem środka masy C
układu materialnego będzie stale równy zeru,

≡ 0 , to zasada krętu i pokrętu

(7.73) zredukowana do środka masy przejdzie w zasadę zachowania krętu
względem środka masy, co można zapisać w następujący sposób:

const

jeże

(7.74)

lub ująć słownie:

Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem środka masy układu
materialnego jest równy zeru, to kręt tego układu materialnego względem środka
masy jest wielkością stałą.

Przykład 7.10. Punkt materialny A o masie m

zaczął się poruszać wzdłuż

cięciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R i
masie m według równania:

sinkt

gdzie x oznacza współrzędną odmierzoną jak na rys. 7.20, k pewną stałą, a

2b BC

≤

. Tarcza może się obracać bez tarcia wokół osi pionowej z przechodzącej

przez środek tarczy O. Wyznaczyć prędkość kątową

ω tarczy w funkcji czasu t,

jeżeli odległość cięciwy od środka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili początkowej

była nieruchoma.

= 0

Rys. 7.20. Wyznaczenie prędkości kątowej tarczy

Rozwiązanie. Na układ działają siły zewnętrzne ciężkości tarczy i punktu
materialnego oraz reakcje w łożyskach osi obrotu tarczy. Siły ciężkości są
równoległe do osi obrotu, więc ich momenty względem osi obrotu są zawsze

równe zeru. Nie dają momentu względem tej osi również reakcje w łożyskach.
Zatem zgodnie z zasadą zachowania krętu (7.71) kręt układu względem osi nie
ulega zmianie. Ponieważ w chwili początkowej t

= 0 , gdy punkt A był jeszcze

nieruchomy, kręt układu był równy zeru, zatem w dowolnej chwili t kręt tego
układu również będzie równy zeru. Po rozpoczęciu ruchu punktu A tarcza zacznie
się poruszać ruchem obrotowym z prędkością kątową

do ruchu punktu (rys. 7.20b). Prędkość punktu tarczy, w którym w chwili t
znajduje się punkt A, czyli prędkość unoszenia punktu A

sin

Prędkość punktu A względem tarczy (prędkość względna)

coskt

Z kolei prędkość bezwzględna punktu A jest równa sumie wektorowej prędkości
unoszenia i prędkości względnej:

Rzut wektora prędkości bezwzględnej punktu A na kierunek prostopadły do
promienia OA r

= jest równy

cos

−

Kręt układu w chwili t względem osi obrotu z składa się z krętu

punktu A

i krętu

tarczy względem tej osi. Kręt punktu A

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

[

]

sin

coskt

sin

coskt

sin

cos

−

a kręt tarczy względem osi obrotu

Ponieważ kręt całkowity układu jest w każdej chwili równy zeru, otrzymujemy:

(

)

[

]

sin

coskt

−

Z powyższego równania znajdujemy prędkość kątową tarczy:

(

)

sin

coskt

7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych

Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z
prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:

Dla układu n punktów materialnych o masach m

poruszających się

z prędkością v

energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych

poszczególnych punktów materialnych:

∑

2
k

. (7.75)

Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),
prędkość bezwzględną v

każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość

unoszenia v

, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych

o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,

i prędkość względną v

′ ′ ′

x , y , z

względem układu ruchomego (rys. 7.17):

Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu
prędkości w postaci iloczynu skalarnego

2
k

⋅

otrzymamy:

(

) (

)

(

)

⋅

∑

2
Ck

2
C

∑

⋅

2
Ck

2
C

. (a)

Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ
występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu współrzędnych

′ ′ ′

x , y , z . Wiadomo jednakże, że

pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w
stosunku do ruchomego układu odniesienia

′ ′ ′

x , y , z jest równa zeru. Zatem

∑

Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu odniesienia

′ ′ ′

x , y , z :

∑

2
Ck

. (7.76)

Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez

∑

równanie (a) przyjmuje postać:

2
C

. (7.77)

Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż
układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

7.4.2. Energia kinetyczna bryły

W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się
ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3).
W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z
prędkością zgodną ze wzorem (5.32):

′

. (b)

Energia kinetyczna tego elementu

⋅

a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:

∫

⋅

. (c)

Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:

(

) (

)

∫

′

⋅

′

(

)

(

) (

)

2
C

∫

′

⋅

′

⋅

(d)

Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:

(

) (

)

(

) (

)

(

)

[

]

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

oraz wyłączeniu przed całki v

ω, jako wielkości niezależnych od zmiennych

całkowania

, wzór (d) możemy zapisać:

′ ′ ′

x , y , z

(

)

(

)

∫

′

⋅

′

⋅

2
C

(e)

Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka
masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli

(

)

∫

′

oraz

Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:

2
C

⋅

. (7.78)

Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej
chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:

⋅

(7.79)

Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze
wzorem (7.77):

1
2

. (7.80)

Jest to twierdzenie Koeniga dla bryły.

Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w
jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

Aby

obliczyć energię E

we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za

pomocą współrzędnych wektorów

ω i k

danych w układzie ruchomym

′ ′ ′

x , y , z

⋅

(

)

′

Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65)
i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka
masy możemy przedstawić w postaci:

(

)

−

′

2
z

2
y

2
x

(

)

′

−

(7.81)

Zatem, podobnie jak w przypadku krętu k

, do obliczenia energii kinetycznej

bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i
dewiacyjne momenty bezwładności.
Gdy

osie

′ ′ ′

x , y , z są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty

dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:

(

)

2
z

2
y

2
x

′

(7.82)

Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z
prędkością kątową

ω, to energia ruchu obrotowego

, (7.83)

gdzie I

jest momentem bezwładności

względem osi obrotu l.

Przykład 7.11. Kołowrót o masie
m

= 5m i promieniach r oraz R = 1,5r

toczy się bez poślizgu małym obwodem
po poziomej listwie (rys. 7.17). Środek
masy C tego kołowrotu znajduje się na
osi symetrii obrotowej i ma stałą
prędkość v

. Na duży obwód nawinięto

linkę, na której końcu zawieszono
ciężarek o masie m

= m. Promień

bezwładności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny
rysunku jest równy

. Obliczyć energię kinetyczną tego układu.

Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej

kołowrotu

Rozwiązanie. Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej
kołowrotu E

poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E

poruszającego się ruchem postępowym:

Wzór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym
z twierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:

, (a)

gdzie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej

2
C

. (b)

Energia kinetyczna ciężarka

2
2

. (c)

Ponieważ kołowrót toczy się bez poślizgu, chwilowy środek obrotu znajduje się w
punkcie S styku kołowrotu z listwą. Korzystając z własności chwilowego środka
obrotu, możemy napisać:

(

)

(d)

Zgodnie z rysunkiem prędkość ciężarka v

jest równa sumie geometrycznej

prędkości v

i v

. Stąd kwadrat prędkości v

2
C

2
A

2
2

. (e)

Po dodaniu wzoru (c) do (a) i uwzględnieniu zależności (b), (d) i (e) otrzymujemy
całkowitą energię kinetyczną układu:

2
C

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

7.4.3. Zasada pracy i energii kinetycznej

Dla

każdego z n punktów materialnych układu omówionego w p. 7.2.2 i

przedstawionego na rys. 7.12 napiszemy, tak jak poprzednio, dynamiczne równanie
ruchu (7.47):

albo

(

)

Pomnóżmy skalarnie każde z tych równań przez prędkość v

i dodajmy je

stronami:

(

)

∑

⋅

. (e)

Zgodnie z definicją podaną w p. 7.1.7 pierwsza suma w równaniu (e) jest mocą
układu sił zewnętrznych:

∑

⋅

(7.84)

a druga podwójna suma mocą wszystkich sił wewnętrznych:

∑

⋅

. (7.85)

Wykażemy, że lewa strona równania (e) jest pochodną względem czasu energii
całkowitej układu punktów materialnych:

(

)

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

∑

Ostatecznie równanie (e) przyjmuje postać:

(7.86)

Zatem pochodna względem czasu energii kinetycznej układu materialnego jest
równa sumie mocy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych. Po scałkowaniu
obustronnie równania (7.86) od 0 do t otrzymamy:

( ) ( )

∫

−

. (f)

Całki występujące w powyższym równaniu, zgodnie ze wzorem (7.36),
przedstawiają odpowiednio pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych:

∫

. (g)

Po wprowadzeniu oznaczeń (g) do równania (f) otrzymujemy zasadę pracy
i energii kinetycznej dla układu punktów materialnych:

( ) ( )

−

lub po wprowadzeniu oznaczeń E(t) = E

, E(0) = E

−

. (7.87)

Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie
siły zewnętrzne i wewnętrzne.

Bez przeprowadzania dowodu metodą analityczną można zauważyć, że praca sił
wewnętrznych jest ściśle związana ze zmianą odległości między punktami układu
materialnego. Gdy odległości między punktami układu materialnego nie ulegają
zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub
ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, L

= 0. W tej sytuacji

zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:

−

. (7.88)

Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest
równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne
działające na tę bryłę.

Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m

jest przyłożony

stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben
przymocowano ciężar o masie m

, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie

nachylenia Dα(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m

a równią wynosi

µ.

Jaką prędkość kątową

ω osiągnie bęben po obróceniu się o ϕ radianów, jeżeli w

chwili początkowej układ był w spoczynku? Masę liny pominąć, a bęben uważać
za jednorodny walec.

ϕ,ω

Rys. 7.22. Wyznaczenie prędkości kątowej bębna

Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pracy i energii
kinetycznej (7.88):

−

Z uwagi na to, że układ w chwili początkowej znajdował się w spoczynku, jego
energia kinetyczna była równa zeru, E

= 0. Otrzymujemy więc:

. (a)

Energia kinetyczna układu składa się z energii kinetycznej ruchu postępowego
masy m

oraz ruchu obrotowego bębna:

2
2

Ponieważ moment bezwładności bębna I

względem osi obrotu i prędkość v

są

równe:

mamy:

(

)

(b)

Pracę L wykonują: moment obrotowy M, składowa siły ciężkości G

równoległa

do równi oraz siła tarcia T. Jeżeli zauważymy, że przy obrocie bębna o kąt

ϕ ciężar

o masie m

przesunie się w górę równi o r

ϕ, możemy napisać:

(

)

L M

m g

T r

−

sin

ϕ .

Po podstawieniu do tego wzoru

cos

wykonana praca

(

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

cos

sin

)

(c)

Po podstawieniu zależności (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie:

(

)

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

cos

sin

skąd

(

)

−

cos

sin

7.4.4. Zasada zachowania energii

Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły
potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5
udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca
wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej. Przyjmiemy bez
dowodu, że zależność ta jest słuszna nie tylko dla każdego punktu, ale i dla całego
układu materialnego. Zatem pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych możemy
zapisać w postaci:

⎭

⎬

⎫

−

(h)

gdzie U

i U

oznaczają energię potencjalną sił zewnętrznych w położeniu

początkowym i końcowym, a U

i U

energię potencjalną sił wewnętrznych

w położeniu początkowym i końcowym. Po podstawieniu wzorów (h) do równania
zasady pracy i energii kinetycznej (7.87) otrzymamy:

– E

= U

– U

+ U

– U

lub

+ U

= E

+ U

(i)

Z równania (i) wynika, że suma energii kinetycznej i energii potencjalnej sił
zewnętrznych i wewnętrznych jest w każdym położeniu układu wielkością stałą.
Po wprowadzeniu do równania (i) oznaczeń:

= U

+ U

i U

= U

+ U

otrzymamy:

+ U

= E

+ U

albo ogólnie

E + U = const. (7.89)

Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.

Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.

Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku,
gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są
potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni.
Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii
mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami
zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami
rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.

Zasada

zachowania

energii

mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania

w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy
pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione
odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu.

Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się
obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej

przez jego koniec O (rys. 7.23). Jaką
prędkość należy nadać końcowi A w
chwili, gdy pręt jest w spoczynku w
położeniu równowagi stałej, aby wykonał
on ćwierć obrotu?

L/2

U = 0

Rys. 7.23. Wyznaczenie prędkości

początkowej końca pręta

Rozwiązanie. Na pręt działa siła
ciężkości, która jest siłą potencjalną.
Zatem do rozwiązania zadania możemy
zastosować zasadę zachowania energii
mechanicznej (7.89):

(a)

Jeżeli poziom zerowej energii potencjalnej przyjmiemy na wysokości środka
ciężkości C, jak na rysunku, to

= . Po wykonaniu ćwierć obrotu pręt zajmie

położenie poziome i zatrzyma się. Jego energia kinetyczna będzie równa zeru,

. Równanie (a) będzie miało więc postać:

. (b)

W chwili początkowej energia kinetyczna

Moment bezwładności pręta jednorodnego względem jego końca (patrz przy-
kład 6.2)

Z kolei prędkość kątowa pręta

Energia kinetyczna pręta ma więc postać:

2
A

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (c)

Energia potencjalna pręta w położeniu końcowym

. (d)

Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równości (b) otrzymujemy równanie:

mgL

2
A

Stąd prędkość początkowa końca A pręta

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie prędkości, jaką należy nadać
końcowi A pręta, aby wykonał on pełen obrót.

7.5.1. Ruch bryły swobodnej

Swobodna

bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody i do określenia

jej ruchu potrzeba sześciu równań ruchu. Ruch bryły możemy rozbić na ruch
środka masy, wywołany przez działanie wektora głównego sił zewnętrznych, i
obrót bryły względem środka masy, wywołany przez moment główny sił
zewnętrznych zredukowany do środka masy.
Do

ułożenia równań ruchu bryły wykorzystamy wyprowadzone poprzednio

zasady pędu i krętu. W punkcie 7.2.3 wykazano, że pochodna pędu względem
czasu równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych opisuje ruch środka masy, a w
punkcie 7.3.5, że pochodna krętu zredukowanego do środka masy względem czasu
równa momentowi głównemu sił zewnętrznych opisuje obrót bryły względem
środka masy. Mamy więc dwa równania wektorowe opisujące ruch bryły
swobodnej:

(7.90)

Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym.
Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów występujących w powyższych

równaniach na

osie prostokątnego

układu współrzędnych. Podobnie jak
przy obliczaniu krętu bryły
przyjmiemy dwa układy
współrzędnych: jeden nieruchomy x,
y, z o początku w dowolnym punkcie
O i drugi ruchomy

′ ′ ′

x , y , z sztywno

związany z bryłą o początku w
środku masy C (rys. 7.24). Ponadto
dla uproszczenia obliczeń założymy,
że osie

′

układu ruchomego są

głównymi centralnymi osiami
bezwładności. Przy takim założeniu
zgodnie ze wzorem (7.66) kręt bryły

′

, (a)

gdzie

są głównymi centralnymi momentami bezwładności,

współrzędnymi wektora prędkości kątowej

ω w układzie

ruchomym.

′

ω ω ω

′

Rys. 7.24. Ruch swobodny bryły sztywnej

W pierwszej kolejności obliczymy pochodną krętu k

względem czasu z

wykorzystaniem podanych w kinematyce bryły wzorów na pochodne względem
czasu wersorów układu ruchomego (5.31).

′

(

)

′

Wyrażenie w nawiasie w powyższym wzorze jest krętem bryły względem
środka masy. Zatem pochodna krętu k

względem czasu

′

. (7.91)

Po obliczeniu iloczynu wektorowego występującego w tym wzorze oraz
odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:

(

)

(

)

(

)

′

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

′

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

′

(7.92)

Po zapisaniu występującego w równaniach (7.90) wektora głównego W i
momentu głównego M

w ruchomym układzie współrzędnych:

′

oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu
wyrażeń przy wersorach otrzymamy sześć skalarnych równań ruchu bryły:

(

)

(

)

(

)

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

−

′

(7.93)

w których zamiast pochodnych względem czasu współrzędnych prędkości kątowej
ω wprowadzono odpowiednie współrzędne przyśpieszenia kątowego ε:

′

są współrzędnymi przyśpieszenia a

′

środka masy C.

Powyższe równania różniczkowe wraz z warunkami początkowymi
jednoznacznie opisują ruch bryły pod wpływem przyłożonego do niej układu sił.
Przy wyprowadzaniu równań ruchu bryły (7.93) za biegun redukcji przyjęto
środek masy C bryły. Początek ruchomego układu współrzędnych można przyjąć
poza środkiem masy, pod warunkiem że punkt ten jest nieruchomy. Jeżeli w
poruszającej się bryle istnieje nieruchomy punkt, np. O, to obierając go za biegun
redukcji, otrzymamy równania o postaci (7.93), ale wtedy zamiast współrzędnych

momentu głównego M

′

zredukowanego do środka masy C

należy podstawić współrzędne

momentu M

′

zredukowanego do

tego nieruchomego punktu. Występujące w tych równaniach momenty
bezwładności muszą być głównymi momentami bezwładności.

7.5.2. Obrót bryły wokół stałej osi obrotu

Obrót dowolny bryły wokół głównej osi bezwładności

Ważnym zagadnieniem w dynamice maszyn jest ruch obrotowy bryły wokół

stałej osi obrotu. Z tym zagadnieniem mamy do czynienia we wszystkich
maszynach wirnikowych. Aby taki ruch można było zrealizować, bryła (wirnik)
musi być ograniczona więzami. Są nimi najczęściej łożyska, w których w czasie
ruchu bryły powstają odpowiednie reakcje.

Z kinematyki wiadomo, że obracająca się bryła wokół stałej osi obrotu ma jeden

stopień swobody. Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniem
ruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu

ϕ = ϕ(t).

′

z = z

′

Rys. 7.25. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładności

Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryła
obraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokół
osi

będącej główną osią bezwładności (rys. 7.25). Ponadto przyjmujemy, że

początki nieruchomego układu współrzędnych x, y, z i ruchomego znajdują się w
nieruchomym punkcie O znajdującym się na osi obrotu l. Poza tym dla
uproszczenia wzorów założymy, że środek masy C bryły leży na osi

z z

= ′

′

Ponieważ dla takiego ruchu prędkość kątowa

ω i przyśpieszenie kątowe ε leżą

na osi obrotu, zatem

′

, (b)

a wektory

ω i ε można zapisać wzorami:

′

Przyśpieszenie a

środka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p.

5.3.4 dotyczącym kinematyki ruchu obrotowego:

(

)

Po podstawieniu do tego wzoru zależności

′

, wynikającej wprost z

rys. 7.25, otrzymamy:

(

)

′

−

′

czyli współrzędne przyśpieszenia środka masy wynoszą:

−

′

. (c)

Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu
zależności (b) oraz wzorów (c) redukują się do postaci (7.94):

′

−

(7.94)

Stąd

′

oraz

0 .

(d)

zależności (d) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryły

wokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu
głównego M

leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego w

płaszczyźnie

′ ′

x y i prostopadłego do tej osi.

Trzecie

równań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryły

i przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jej
ruchu

ϕ = ϕ(t). Z dwóch pierwszych równań możemy wyznaczyć siły wywołane

tym, że środek masy leży poza osią obrotu, czyli oś obrotu nie jest główną
centralną osią bezwładności, albo

− używając terminologii z dynamiki maszyn −

bryła jest niewyważona statycznie. Równania te pozwalają na wyznaczenie reakcji
więzów (reakcji łożysk).
Jeżeli oś obrotu l będzie główną centralną osią bezwładności, czyli środek masy
C będzie leżał na osi obrotu (r

= 0), co będzie oznaczało idealne wyważenie

bryły, równania (7.94) redukują się do jednego równania:

′

, (7.95)

a po uwzględnieniu (d) widzimy, że wszystkie współrzędne wektora głównego
oraz dwie współrzędne momentu głównego są równe zeru:

oraz

′

(e)

Z dynamicznego równania ruchu obrotowego bryły (7.95) wynika, że jeżeli
suma momentów wszystkich sił zewnętrznych (sił czynnych i reakcji łożysk osi
obrotu) względem osi obrotu będzie równa zeru, M

′

= 0 , to również

, zatem prędkość kątowa będzie stała,

ω = const, czyli bryła będzie

się poruszać ruchem jednostajnie obrotowym. Z takim przypadkiem będziemy
mieli do czynienia, gdy bryła będzie się obracać wokół pionowej osi obrotu
osadzonej w idealnie gładkich łożyskach. Siłami zewnętrznymi są wówczas siły
ciężkości i reakcje gładkich łożysk, których momenty względem osi obrotu są
równe zeru.

Przykład 7.14. Jednorodna tarcza o masie m i
promieniu r obraca się wokół nieruchomej osi
przechodzącej przez środek O tej tarczy (rys.
7.26) pod wpływem przyłożonego
momentu o stałej wartości, M = const. Na tarczę
działa moment oporu

proporcjonalny do

prędkości kątowej

ω (

gdzie k jest

znanym współczynnikiem). Wyznaczyć prędkość
kątową tarczy w funkcji czasu,

( )

, oraz jej

wartość maksymalną,

max

Rys. 7.26. Wyznaczenie prędkości

kątowej tarczy

Rozwiązanie. Po podstawieniu do dynamicznego równania ruchu obrotowego
bryły (7.95), zgodnie z treścią zadania,

′

oraz

−

′

otrzymamy równanie ruchu obrotowego tarczy w postaci:

−

lub

Moment bezwładności tarczy względem osi obrotu

. Zatem

−

Po rozdzieleniu zmiennych powyższe równanie różniczkowe możemy zapisać
w postaci:

−

albo

−

Scałkujemy to równanie w granicach od 0 do

ω oraz od 0 do t:

∫

−

Po wykonaniu całkowania i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu
otrzymamy:

−

lub

−

Stąd prędkość kątowa

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

Z otrzymanego wzoru widzimy, że z upływem czasu t do nieskończoności drugi
wyraz w nawiasie będzie dążył do zera, czyli prędkość kątowa

ω będzie dążyć do

wartości maksymalnej równej:

max

Obrót jednostajny bryły wokół osi dowolnej. Reakcje dynamiczne

Obecnie rozpatrzymy ruch bryły obracającej się ze stałą prędkością kątową

wokół dowolnej osi podpartej w łożyskach, jak na rys. 7.27. Wskutek działania sił
czynnych na rozpatrywaną bryłę w łożyskach powstaną reakcje statyczne, które
można wyznaczyć z poznanych w statyce warunków równowagi. Zagadnienia tego
nie będziemy tutaj rozpatrywać, zajmiemy się natomiast siłami i momentami
wywołanymi przez zadany ruch. Innymi słowy, rozpatrzymy ruch bezwładny bryły
poruszającej się ze stałą prędkością kątową bez udziału sił zewnętrznych.
Na osi obrotu w punkcie O przyjmiemy początek nieruchomego układu
współrzędnych x, y, z oraz początek układu ruchomego

′ ′ ′

x , y , z sztywno

związanego z bryłą. Założymy przy tym, że osie układu ruchomego są głównymi
osiami bezwładności, a środek masy nie leży na osi obrotu, czyli bryła jest
niewyważona zarówno dynamicznie, jak i statycznie.
Ponieważ prędkość kątowa

ω jest stała i jej rzuty ω ω ω

′

na osie

ruchomego układu współrzędnych również są stałe, więc współrzędne
przyśpieszenia kątowego są równe zeru:

′

(f)

′

Rys. 7.27. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi dowolnej

Zatem przyśpieszenie a

środka masy bryły wyrazi wzór:

(

)

(

)

−

⋅

. (g)

Jeżeli wektor wodzący r

środka masy zapiszemy za pomocą współrzędnych

w układzie ruchomym:

′

to po zrzutowaniu wektora (g) na osie

′ ′ ′

x , y , z i odpowiednim pogrupowaniu

wyrazów otrzymamy wzory na współrzędne przyśpieszenia a

środka masy:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

(

)

(

)

(

)

(

(h)

Po podstawieniu zależności (f) oraz wzorów (h) do równań (7.93) i zmianie
bieguna redukcji z C na O otrzymamy sześć równań opisujących omawiany ruch
bryły:

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

)

(

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

(7.96)

uwzględnieniu we wzorze (7.91) zależności (f) oraz przyjęciu za biegun

redukcji zamiast punktu C nieruchomego punktu O pochodna krętu k

względem

czasu

, (i)

a po uwzględnieniu zasady krętu możemy napisać:

. (j)

Po pomnożeniu skalarnie obu stron powyższego wzoru przez prędkość kątową

otrzymamy:

(

)

(

)

(

)

⋅

. (k)

Warunek ten można przedstawić w postaci:

⋅ ω

′

(l)

powyższego równania wynika, że moment główny M

wywołany przez siły

bezwładności jest w czasie obrotu bryły zawsze prostopadły do prędkości kątowej
ω, czyli do osi obrotu. Gdy tak nie jest, obrót jednostajny bryły nie jest możliwy.

Ponadto z warunku (l) wynika, iż tylko dwa z trzech ostatnich równań (7.96) są
niezależne, czyli z równań (7.96) możemy w układzie

′ ′ ′

x , y , z wyznaczyć pięć

składowych reakcji spowodowanych omawianym ruchem bryły. Ponieważ układ

wiruje razem z bryłą wokół osi obrotu z prędkością kątową

ω, z tą samą

prędkością wirują reakcje w łożyskach względem układu nieruchomego x, y, z.
Reakcje te nazywamy reakcjami dynamicznymi.

′ ′ ′

x , y , z

Gdy

środek masy bryły będzie się znajdował na osi obrotu, czyli bryła będzie

wyważona statycznie, wtedy

′

i lewe strony trzech pierwszych

równań (7.96) będą równe zeru, a tym samym znikną siły wywołane przez
niewyważenie statyczne

′

. W tym przypadku z trzech

ostatnich równań (7.96) wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą
spowodowane przez moment M

związany z działaniem sił bezwładności.

Ponieważ na podstawie warunku (l) moment ten jest prostopadły do osi obrotu,
zatem reakcje dynamiczne w łożyskach będą tworzyć parę sił wirującą z
prędkością równą prędkości kątowej

ω. Mówimy wtedy, że bryła jest niewyważona

dynamicznie

Jeżeli oś obrotu będzie główną centralną osią bezwładności, np. oś

pokryje

się z osią z, to pozostałe osie

′

x i y układu ruchomego będą do niej prostopadłe,

czyli

. Wynika z tego, że trzy pozostałe równania (7.96) znikają, a

tym samym znikają reakcje dynamiczne w łożyskach. Na podstawie powyższych
rozważań możemy sformułować następujący wniosek:

′

Jeżeli oś obrotu bryły jest główną centralną osią bezwładności, czyli bryła jest
wyważona statycznie i dynamicznie, to reakcje dynamiczne są równe zeru.

Z przeprowadzonych w tym punkcie rozważań wynika, że ruch wirującej bryły
wywołuje okresowo zmienne siły działające na łożyska, które przenosząc się na
korpus maszyny, a dalej na fundament wywołują drgania. Drgania te powodują
przyśpieszone zużycie elementów maszyny, a także niekorzystnie wpływają na
otoczenie. Aby temu zapobiec, wirujące części maszyn projektuje się tak, aby oś
obrotu była główną centralną osią bezwładności. Jednak np. ze względu na błędy
wykonawcze spełnienie tego warunku nie zawsze jest możliwe. Dlatego wirujące
części maszyn są sprawdzane po wykonaniu i ewentualnie wyważane przez
odpowiednią korektę masy.

Przykład 7.15. Cienka jednorodna płyta prostokątna o masie m i bokach h oraz
b obraca się wokół przekątnej ze stałą prędkością kątową

ω. Obliczyć reakcje

dynamiczne łożysk A i B, jeżeli odległość między nimi wynosi L (rys. 7.28).

′

Rys. 7.28. Wyznaczenie reakcji dynamicznych łożysk

Rozwiązanie. Ponieważ środek ciężkości C płyty leży na osi obrotu, która nie
jest główną centralną osią bezwładnóści, reakcje w łożyskach A i B będą
spowodowane niewyważeniem dynamicznym. W środku ciężkości przyjmiemy
ruchomy układ współrzędnych sztywno związany z płytą w ten sposób, że osie

są osiami symetrii płyty, a oś

′

x i z

′

y jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.

W tym układzie współrzędnych prędkość kątowa

ω ma współrzędne:

′

cos

sin

Po podstawieniu tych wzorów do trzech ostatnich równań (7.96) i po zastąpieniu
punktu O punktem C otrzymujemy:

′

oraz

(

)

(

)

−

′

cos

sin

(a)

Momenty bezwładności prostokątnej płyty względem osi symetrii otrzymamy ze
wzorów (d) wyprowadzonych w przykładzie 6.3:

′

. (b)

Z rysunku wynika, że

cos

sin

. (c)

Po podstawieniu oznaczeń (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy:

(

)

−

′

. (d)

Z zależności (d) wynika, że wektor momentu

leży na osi

, czyli jest

prostopadły do płaszczyzny płyty i wiruje razem z nią. Moment ten jest wywołany
przez parę sił (reakcji) R

′

i R

prostopadłych do osi obrotu. Wartoci momentu i

reakcji są równe:

(

)

(

)

−

. (e)

W czasie obrotu reakcje R

i R

wirują razem z płytą. Ponadto są one

proporcjonalne do kwadratu prędkości kątowej i w przypadku zbyt szybko
obracającej się bryły mogą osiągać duże wartości.

7.5.3. Ruch płaski bryły

W kinematyce ruchu bryły sztywnej ruchem płaskim nazwaliśmy ruch, w czasie
którego wszystkie punkty bryły zakreślają tory równoległe do pewnej płaszczyzny
nazywanej płaszczyzną ruchu lub płaszczyzną kierującą.

′

Rys. 7.29. Ruch płaski bryły sztywnej

Na rysunku 7.29 przedstawiono przekrój bryły płaszczyzną ruchu przechodzącą

przez środek masy C. W dowolnym punkcie O przyjęto nieruchomy układ
współrzędnych x, y, z tak, że osie x, y leżą w płaszczyźnie ruchu, a oś z jest do niej
prostopadła. Ruchomy układ współrzędnych

′

o początku w środku masy C

przyjęto w ten sam sposób, czyli osie

x ′

′

poruszają się w płaszczyźnie ruchu, a

oś

jest do niej prostopadła. Wynika z tego, że osie

′

z i z

′ są do siebie

równoległe.
W dalszych rozważaniach dynamiki ruchu płaskiego bryły przyjmiemy
następujące założenia:

a) oś jest główną centralną osią bezwładności,

′

b) ruch bryły odbywa się pod wpływem sił działających w płaszczyźnie ruchu.

Bryła poruszająca się ruchem płaskim ma trzy stopnie swobody, a więc do jego
opisu wystarczy podać trzy równania ruchu

− dwóch współrzędnych środka masy

i y

oraz kąta obrotu

ϕ układu ruchomego względem nieruchomego.

Kinematyczne równania ruchu płaskiego (5.51) i (5.52) możemy zapisać w postaci:

( )

oraz

. (7.97)

Zatem do opisu dynamiki ruchu płaskiego bryły niezbędne są trzy dynamiczne
równania ruchu. Do ich wyznaczenia wykorzystamy równania (7.93) opisujące
ruch bryły swobodnej.
Z

założenia b) na podstawie własności płaskiego układu sił (3.8) wynika, że

wektor główny W będzie leżał w płaszczyźnie sił, a moment główny M

będzie

prostopadły do tej płaszczyzny. Możemy w tej sytuacji zapisać:

oraz

′

. (m)

Ponadto w ruchu płaskim bryły (p. 5.3.8) prędkość kątowa

ω jest prostopadła do

płaszczyzny ruchu, czyli

′

. (n)

uwzględnieniu zależności (m) i (n) równania (7.93) redukują się do trzech

dynamicznych równań ruchu płaskiego bryły.

′

. (7.98)

wyrażeniu przyśpieszenia a

środka masy oraz wektora głównego W

w nieruchomym układzie współrzędnych x, y oraz uwzględnieniu, że

(wzór 5.63), równania (7.98) można zapisać następująco:

′

. (7.99)

Ponieważ współrzędne przyśpieszenia środka masy C w nieruchomym układzie
współrzędnych są równe drugim pochodnym względem czasu współrzędnych x

, powyższym równaniom można nadać postać

równań różniczkowych po uwzględnieniu drugiego wzoru (5.64):

′

(7.100)

Przykład 7.16. Na poziomym szorstkim stole znajduje się szpula, której środek
masy C leży na osi symetrii obrotu. Szpula ma masę m oraz dwa promienie R i r.
Rysunek 7.30 przedstawia szpulę w rzucie na płaszczyznę prostopadłą do osi
symetrii. Moment bezwładności względem tej osi wynosi I

. Z obwodu

o promieniu r odwija się nić, do której końca przyłożono stałą siłę poziomą P.
Wyznaczyć maksymalną wartość siły P = P

max

, pod wpływem której szpula będzie

się toczyć bez poślizgu, jeżeli współczynnik tarcia statycznego między szpulą a
stołem jest równy

µ, a współczynnik tarcia tocznego f.

Dla tego przypadku wyznaczyć przyśpieszenie osi szpuli a

Rozwiązanie. Na szpulę
działają dwie siły obciążające:
siła ciężaru szpuli G oraz siła P
powodująca ruch szpuli. Reakcję
stołu rozłożono na siłę tarcia T
skierowaną w kierunku
przeciwnym do kierunku ruchu
oraz reakcję normalną N
przesuniętą w kierunku toczenia
szpuli o wartość współczynnika
tarcia tocznego f (rys. 3.11b).
Rozważany ruch szpuli jest
ruchem płaskim, zatem na
podstawie wzoru (7.99)
dynamiczne równania ruchu
szpuli będą następujące :

Rys. 7.30. Ruch szpuli z uwzględnieniem oporu

toczenia

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

(a)

Jeżeli szpula toczy się bez poślizgu, to między przyśpieszeniem środka szpuli i
przyśpieszeniem kątowym musi być spełniona następująca C zależność
kinematyczna:

. (b)

Z drugiego z równań (a) wynika, że reakcja normalna jest równa ciężarowi szpuli:

, (c)

gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim.
Maksymalną wartość siły P otrzymamy, założywszy, że siła tarcia T jest
graniczną siłą tarcia o wartości (wzór 3.5):

. (d)

Jeżeli do pierwszego i trzeciego równania (a) podstawimy wzory (c) i (d), a w
trzecim uwzględnimy zależność (b), otrzymamy dwa równania:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

(e)

W równaniach tych mamy dwie niewiadome:

max

. W celu

wyeliminowania przyśpieszenia

podzielimy równania stronami i otrzymamy:

−

Stąd

(

)

max

−

(f)

Po podstawieniu tego wzoru do pierwszego równania (e) wyznaczymy
przyśpieszenie osi szpuli.

(

)

[

]

−

. (g)

Z otrzymanego wzoru wynika, że oś szpuli porusza się ze stałym przyśpiesze-
niem, czyli ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Czytelnikowi pozostawiamy
wyznaczenie równania ruchu

( )

dla warunków początkowych, np.

dla

LITERATURA

[1] Antoniuk E., Kędzierzyński A., Zadania z mechaniki ogólnej.
Statyka i kinematyka, Warszawa, PWN 1960.
[2] Derski W., Mechanika techniczna. Część I. Poznań, Wydawnictwo

Uczelniane Politechniki Poznańskiej 1972.

[3] Engel Z., Giergiel J., Mechanika ogólna. Część I. Statyka i kinematyka,

Część II. Dynamika, Kraków, Wydawnictwa AGH 1982-1984.

[4] Giergiel J., Zbiór zadań z mechaniki ogólnej z odpowiedziami, Kraków,

Wydawnictwa AGH 1984.

[5] Jablonskij A.A., Sbornik zadač dlja kursovych robot po teoretičeskoj

mechanike, Moskva, Vysšaja škola 1972.

[6] Karaśkiewicz E., Zarys teorii wektorów i tensorów, Warszawa, PWN 1964.

[7] Leyko J., Mechanika ogólna. T. 1. Statyka i kinematyka, T. 2. Dynamika,

Warszawa, PWN 1996.

[8] Leyko J., Szmelter J., Zbiór zadań z mechaniki ogółnej. T. 1. Statyka, T. 2.

Kinematyka i dynamika, Warszawa, PWN 1977.

[9] Łunc M., Szaniawski A., Zarys mechaniki ogólnej, Warszawa, PWN 1959.

[10] Mieszczerski J. L., Zbiór zadań z mechaniki, Warszawa, PWN 1969.
[11] Misiak J., Mechanika ogólna. T. I. Statyka i kinematyka, T. II. Dynamika,

Warszawa, WNT 1995.

[12] Misiak J., Mechanika techniczna. T. 1. Statyka i wytrzymałość materiałów,

T. 2. Kinematyka i Dynamika, Warszawa, WNT 1996.

[13] Misiak J., Zadania z mechaniki ogólnej. Część I. Statyka, Część II.

Kinematyka, Część III. Dynamika, Warszawa, WNT 1992.

[14] Niezgodziński M., Niezgodziński T., Zbiór zadań z mechaniki ogólnej,

Warszawa, PWN 1997.

[15] Nizioł J., Metodyka rozwiązywania zadań z mechaniki, Warszawa, PWN

1983.

[16] Osiński Z., Mechanika ogólna. Część I i II, Warszawa, PWN 1987.
[17] Zarankiewicz K., Mechanika teoretyczna. T. I. Statyka, T. II. Kinematyka,

T. III. Dynamika, Warszawa, PWN 1967.

[18] Zawadzki J., Siuta W., Mechanika ogólna, Warszawa, PWN 1970.

Document Outline

PRZEDMOWA
1. Cel i przedmiot mechaniki, prawa Newtona
2. Wektory
3. i 4. Statyka
5. Kinematyka
6. Momenty bezwładności
7. Dynamika
LITERATURA

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
embriologia ogÃ³lna wykÅ ?yx
Egzamin OgÃ³lna Technologia Å»ywnoÅ›ci 2009r
0-WSTĘP, budownictwo sem2, Mechanika Ogólna, Mechanika Og lna, Mechanika Ogólna, MO, Zagadnienia
Mechanika ogo%cc%81lna I teoria na egzamin
Socjologia OgÃ³lna wykÅady (2011), dr A Roterx
OGÓLNA, Laboratorium Mechaniki Og˙lnej
Egzamin OgÃ³lna Technologia Å»ywnoÅ›ci 2009r
mechanika ogólna 1 egzamin elementarz SiMRowaca
budownictwo ogÃ³lne Å‚Ä…czenie dachu ze Å›cianÄ…
maszyny proste, Technik BHP, CKU Technik BHP, CKU, Notatki szkoła CKU (BHP), Podstawy mechaniki, Mec
362 04 Ĺ«¬«ź«ó î ü«ú łČ»ąÓáÔ«Ó
łČ»ąÓĘ´ î«ź«Ô
e mechanika techniczna og SNW
mech. og. 4, BUDOWNICTWO - STUDIA, Mechanika ogólna
Og�lne zasady projektowania kwestionariusza
TM - Wz r og lny opisu teczki, POLITECHNIKA ŚLĄSKA Wydział Mechaniczny-Technologiczny - MiBM POLSL
Stawonogi Charakterystyka og�lna

więcej podobnych podstron

Wojciech SaÅ‚ata Mechanika ogÃ³lna w zarysie

Document Outline