2

Wydano za zgodą Rektora

Materiały pomocnicze do zajęć z przedmiotów
„mechanika techniczna” i „mechanika ogólna”

dla studentów kierunków:

zarządzanie i inżynieria produkcji, transport

nierecenzowane

W procesie wydawniczym pominięto

etap opracowania językowego.

Wersja elektroniczna materiałów

została przygotowana przez Autorów.

mechanika ogólna

statyka

kinematyka

dynamika

Wszelkie prawa zastrzeżone.

ś

aden fragment publikacji nie może być powielany

w jakiejkolwiek formie.

ISBN 978-83-7199-854-6

Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej

al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów

e-mail: [e-mail]

3

SPIS TREŚCI

STATYKA

Zadanie nr 1 ......................................................................................................................

5

Zadanie nr 2 ......................................................................................................................

9

Zadanie nr 3 ......................................................................................................................

13

Zadanie nr 4 ......................................................................................................................

17

Prawa tarcia

Zadanie nr 5 ......................................................................................................................

22

KINEMATYKA

Zadanie nr 6 ......................................................................................................................

26

Zadanie nr 7 ......................................................................................................................

29

Zadanie nr 8 ......................................................................................................................

33

DYNAMIKA

Zadanie nr 9 ......................................................................................................................

38

Zadanie nr 10 ....................................................................................................................

40

Zadanie nr 11 ....................................................................................................................

43

Zadanie nr 12 ....................................................................................................................

45

4

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

5

STATYKA

Zadanie nr 1

Wyznacz reakcje wi

ę

zów nało

ż

onych na belk

ę

.

Dane: l [m];

α

[rad]; F [N].

Belka podparta w punkcie A współpracuje przegubowo z brył

ą

2 w punkcie B.

Rozwi

ą

zanie graficzne:

Z danych wynika,

ż

e brył

ę

nr 2 mo

ż

na potraktowa

ć

jako pr

ę

t lub ci

ę

gno.

W pierwszym kroku przyjmuje si

ę

układ odniesienia. Mamy do czynienia z układem

sił na płaszczy

ź

nie. Na belk

ę

działa 3 siły (reakcja podpory stałej w punkcie A,

reakcja pr

ę

ta w punkcie B i siła zewn

ę

trzna



). Układ b

ę

dzie w równowadze, gdy

b

ę

dzie spełniał twierdzenie o trzech siłach. Szukamy punktu zbie

ż

no

ś

ci.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

6

Poniewa

ż

linie działania siły



i reakcji pr

ę

ta 2







przecinaj

ą

si

ę

w punkcie K, to aby

otrzyma

ć

układ sił zbie

ż

nych linia działania reakcji podpory w punkcie A







musi

przecina

ć

punkt K.

Siły musz

ą

tworzy

ć

trójk

ą

t zamkni

ę

ty. Z warunku tego otrzymuje si

ę

zwroty reakcji w

punktach A i B (patrz rozwi

ą

zanie graficzne).

W przypadku wykonania rozwi

ą

zania graficznego w odpowiedniej skali, z pomiaru

długo

ś

ci wektorów sił







i







otrzymuje si

ę

warto

ś

ci tych

ż

e reakcji (po uwzgl

ę

dnieniu

współczynnika skali).

Rozwi

ą

zanie analityczne:

W tym zadaniu do rozwa

ż

enia jest równowaga statyczna belki 1, równowaga

statyczna pr

ę

ta 2 współpracuj

ą

cego dodatkowo z podpor

ą

stał

ą

w punkcie C.

Z poprzednich rozwa

ż

a

ń

wiadomo,

ż

e układ sił działaj

ą

cych na belk

ę

1 tworzy

zbie

ż

ny układ sił.

Po uwolnieniu od wi

ę

zów otrzymuje si

ę

belk

ę

z układem sił zbie

ż

nych oraz punkt

charakterystyczny C, na który działa reakcja pr

ę

ta 2







oraz reakcje podpory







i



.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

7

Punkt C

Wprowadzamy k

ą

t

β

(k

ą

t pochylenia reakcji







do kierunku poziomego.

Równania równowagi statycznej układu sił działaj

ą

cych na belk

ę

1 (dwa równania):

1)









 



  



  0

2)









 



  



 
 0

Równanie równowagi pr

ę

ta 2:

3)





 





Równania równowagi statycznej punktu C (dwa równania):

4)









 



 





  0

5)













 





  0

Wyznaczamy warto

ść

k

ą

ta

β

w funkcji danych. Z porównania trójk

ą

tów prostok

ą

tnych

AKM i BKM b

ę

dzie:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

8

 

!

 

"!

Z powy

ż

szych wielko

ś

ci wynika,

ż

e

#  $   3$ 

co daje zale

ż

no

ś

ci na k

ą

t

β

 

1

3  → 6*   +,-

1

3 .

Z rozwi

ą

zania poszczególnych równa

ń

b

ę

dzie:

(1)





 







(2)





/

 

  0 

Po przekształceniach:









    

Wiadomo,

ż

e

      sin 4  *

czyli









sin 4  *

Po uwzgl

ę

dnieniu (1) b

ę

dzie:









sin 4  *

oraz:

(3)(4)





 



 → 





 

sin 4  *

(2)(5)



 



 →





 

sin 4  *

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

9

Zadanie nr 2

Ułó

ż

równania równowagi statycznej układu, nast

ę

pnie wyznacz reakcje wi

ę

zów

układu. Podaj charakter pracy pr

ę

tów.

Dane: układ pr

ę

towy opisany na sze

ś

cianie o boku a [m] F

1

, F

2

[N].

W punktach A i B pr

ę

ty współpracuj

ą

przegubowo, w pozostałych punktach pr

ę

ty

współpracuj

ą

z podporami stałymi.

Przyjmujemy układ współrz

ę

dnych. Uwalniamy od wi

ę

zów. Korzystnie jest przyj

ąć

taki sam charakter pracy wszystkich pr

ę

tów układu. Przykładowo zakładamy,

ż

e

wszystkie pr

ę

ty pracuj

ą

na rozci

ą

ganie.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

10

Otrzymujemy układy sił zbie

ż

nych odpowiednio w punktach A, B, C, D, E. Dla

ka

ż

dego takiego układu nale

ż

y uło

ż

y

ć

trzy równania równowagi statycznej.

Równowaga statyczna punktu A:

1)









 



 √

2

2 

7

 0

2)









 

8

 0

3)



9





 

:

 √

2

2 

7

 0

Równowaga statyczna punktu B:

4)









 





 √

2

2 

"

 0

5)









 

:

 √

2

2 

"

 0

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

11

6)



9





 



 

;

 0

Równowaga statyczna punktu C:

7)









 



 0

8)











<

 

:



 0

9)



9





 =



 0

Równowaga statyczna punktu D:

10)









 

>

 √

2

2 

"



 0

11)











>

 

8



 √

2

2 

"



 0

12)



9





 =

>

 0

Równowaga statyczna punktu E:

13)









 

?

 √

2

2 

7



 0

14)











?

 0

15)



9





 =

?

 

;



 √

2

2 

7



 0

Równowaga statyczna pr

ę

tów:

16)







 



;



:



 

:

;



"



 

"

;



;



 

;

;



8



 

8

;



7



 

7

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

12

W pierwszej kolejno

ś

ci wyznaczamy warto

ś

ci reakcji pr

ę

tów.

Rozwi

ą

zujemy wi

ę

c równania (1)-(6):

(3)



7

 √2

:

- pr

ę

t

ś

ciskany

(2)



8

 0

- pr

ę

t zerowy

(1)





 

√:

:



7

→ 





:

- pr

ę

t rozci

ą

gany

(6)



;

 

:

- pr

ę

t

ś

ciskany

(16)(4)



"

 √2



→ 

"

 √2

:

- pr

ę

t

ś

ciskany

(16)(5)



:

 

√:

:



"

→ 

:



:

- pr

ę

t rozci

ą

gany

W dalszej kolejno

ś

ci wyznaczamy składowe reakcji podpór. Rozwi

ą

zujemy równania

(7)-(15):

(7)





 0

(16)(8)





:

(9)

=



 0

(16)(10)



>

 √

2

2 

"

→ 

>

 

:

(16)(11)

>

 

8

 √

2

2 

"

→

>

 

:

(12)

=

>

 0

(16)(13)



?

 

√:

:



7

→ 

?



:

- pr

ę

t

ś

ciskany

(14)

?

 0

(16)(15)

=

?

 

;

 √

2

2 

"

→ =

?







:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

13

Zadanie nr 3

Ułó

ż

równania równowagi statycznej układu, nast

ę

pnie wyznacz warto

ś

ci reakcje

wi

ę

zów nało

ż

onych na układ.

Dane:

α

[rad],

β

[rad], l [m], M [Nm], q [N/m], F

1

[N], F

2

[N];

G

1

[N], G

2

[N], G

3

[N] - ci

ęż

ary własne.

Układ składa si

ę

z trzech ciał. Belka 1 jest podparta w punkcie C podpor

ą

ruchom

ą

i

współpracuje przegubowo z belk

ą

zakrzywion

ą

2. Belka 2 jest utwierdzona w punkcie

A. Do przegubu B przymocowana jest lina, na której zawieszony jest bloczek 3.

Układ sił działaj

ą

cych na belk

ę

1 i 2 stanowi płaski dowolny układ sił.

Przyjmujemy skald odniesienia i uwalniamy od wi

ę

zów. Obci

ąż

enia rozło

ż

one

zamieniamy na siły skupione. Przyjmuje si

ę

jednorodny rozkład ci

ęż

aru na jednostce

długo

ś

ci w ka

ż

dej belce.

@



 A$

@

:



3

2 A$

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

14

Bryła 1:

W przypadku bryły 2 korzystnie jest rozło

ż

y

ć

ci

ęż

ar na dwie składowe zaczepione w

ś

rodkach długo

ś

ci odcinków prostoliniowych belki.

Długo

ść

całkowita belki 2 wynosi 8l. Wprowadzamy wielko

ść

odzwierciedlaj

ą

c

ą

rozkład ci

ęż

aru bryły 2 na jednostk

ę

długo

ś

ci

B 

C

D

E!

; musi by

ć

spełniony warunek

F

:

 F

:



 F

:



gdzie:

F

:



 B5$ → F

:





5

8 F

:

F

:



 B5$ → F

:





3

8 F

:

Bryła 2:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

15

Bryła 3:

Z uwolnienia od wi

ę

zów liny 3 pojawia si

ę

reakcja liny



"

działaj

ą

ca na przegub B.

Reakcj

ę

t

ą

przykładamy do jednej z brył (nie do obu jednocze

ś

nie), np. do bryły 1.

Równania równowagi statycznej sił działaj

ą

cych na brył

ę

1:

1)









 



  



 0

2)









 



 



 F



 @



 

"

 0

3)

 I







 I  F



$ 

3

2 @



$  2



$  2

"

$  0

4)





 





;









Równania równowagi statycznej sił działaj

ą

cych na brył

ę

2:

5)









 





 



 @

:



:

  0

6)









 









 F

:







 F

:





:

  0

7)

 I







 2



$  2F

:



$  I



 4



$  4F

:



$  2@

:

$  4

:

$  3

:

$  0

Równania równowagi statycznej sił działaj

ą

cych na brył

ę

3:

8)









 

"



 F

"

 0

Równowaga statyczna liny:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

16

9)



"

 

"



Rozwi

ą

zanie równa

ń

:

(9)(8)



"

 F

"

(3)





1

2$ /I  F



$ 

3

2 @



$  2F

"

$0

(2)







1

 -F



 @



 

"





.







1

4 K2F



 @





2I

$ L

(1)





 









 



4 K2F



 @





2I

$ L

(4)(5)





 



 @

:



:







 



4 K2F



 @





2I

$ L  @

:



:



(4)(6)











 F

:



 F

:





:





 

I

2$ 

1

2 F





3

4 @



 F

"





 F

:



:



(7)

I



 2



$  2F

:



$  4



$  4F

:



$  2@

:

$  4

:

$  3

:

$

I



 2



$ 

5

4 F

:

$  2I  2F



$  3@



$  4F

"

$  2@

:

$  3

:

$

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

17

Zadanie nr 4

Ułó

ż

równania równowagi statycznej układu, nast

ę

pnie wyznacz reakcje wi

ę

zów

układu.

Dane: płyta kwadratowa 1 o boku l [m] pochylona pod katem

α

[rad] do płaszczyzny

xy; M [Nm], G

1

[N], AD=l [m].

Poniewa

ż

dany jest tylko ci

ęż

ar płyty 1 to brył

ę

2 traktujemy jako pr

ę

t.

Wprowadzamy wszystkie siły działaj

ą

ce i uwalniamy od wi

ę

zów.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

18

Płyta 1 punkcie A swobodnie podparta, w punkcie B ło

ż

ysko poprzeczne, w punkcie

C współpracuje przegubowo z pr

ę

tem 2.

W celu wyznaczenia rzutów reakcji pr

ę

ta







wprowadza si

ę

dodatkowe k

ą

ty

β

i

γ

.

Układ sił działaj

ą

cych na płyt

ę

1 stanowi przestrzenny dowolny układ sił, w punkcie D

mamy do czynienia z przestrzennym zbie

ż

nym układem sił.



M

4  

M

4 

√2

2

Równania równowagi statycznej układu sił działaj

ą

cych na płyt

ę

:

1)









 



 



 



B   0

2)













 



B   0

3)



9





 =



 =



 F



 



B  0

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

19

4)

 I







 =



$ 

1

2 F



$  



$B  



$B    √

2

2 I  0

5)

 I









1

2 F



$  



$B    



$B   √

2

2 I  0

6)

 I

9





 



$  √

2

2 I  0

Równowaga statyczna pr

ę

ta 2:

7)





 





Równania równowagi statycznej punktu D:

8)









 

>

 





B   0

9)











>

 





B   0

10)



9





 =

>

 





B  0

Wyznaczamy wprowadzone k

ą

ty

β

i

γ

w funkcji danych.

Pierwszy trójk

ą

t (

ś

ciana dolna prostopadło

ś

cianu)

 

$

$

   →   +,4*

lub inne podej

ś

cie:

N



O  P$

:

 $

:



:

  $P1  

:



dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

20

 

$

$√1  

:





1

√1  

:



 

$

$√1  

:







√1  

:



Drugi trójk

ą

t

B 

$  $

$√1  

:



B 

1  

√1  

:



→ B  +, K

1  

√1  

:



L

lub inne podej

ś

cie:

QO  P$

:

41  *

:

 $

:

41  

:

*  $P1  2  

:

  1  

:



QO  $√3  2

B 

$  $

$√3  2



1  

√3  2

B 

$√1  

:



$√3  2

 R

1  

:



3  2

Reakcje wi

ę

zów:

(6)





 √

2

2

I

$ 

(5)





$-B   B  . 

1

2 F



$  √

2

2 I

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

21







F



$  √2I

2$-B   B  .

(4)

=



$ 

1

2 F



$  √

2

2 I  



$-B    B.

=





1

2 SF



 √

2

$ I 

B    B

$-B   B  . TF



$  √2IUV

(3)

=



 =



 F



 



B

=





1

2 F





B  

2$-B   B  . TF



$  √2IU 

√2I

2$ 

(2)



 



B 





B 

2$-B   B  . TF



$  √2IU

(1)





 



 



B 





  √

2

2

I

$  

B 

2$-B   B  . TF



$  √2IU

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

22

Prawa tarcia

Zadanie nr 5

Wyznacz maksymaln

ą

warto

ść

momentu M, jak

ą

mo

ż

na przyło

ż

y

ć

do ciała 2, nie

naruszaj

ą

c równowagi statycznej układu.

Dane: r [m], f [m],

µ

, G

1

[N], G

2

[N], G

3

[N].

Szukane: Mmax

Zakładamy,

ż

e ciało 2 wykazuje tendencj

ę

toczenia si

ę

bez po

ś

lizgu po równi

pochyłej.

Przyjmujemy układ odniesienia, wprowadzamy siły zewn

ę

trzne działaj

ą

ce i

uwalniamy od wi

ę

zów z uwzgl

ę

dnieniem warunków tarcia.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

23

Przy zało

ż

eniu,

ż

e działa M=Mmax układ wykazuje tendencj

ę

poruszania si

ę

wszystkich ciał „do góry”. W obszarze współpracy ciała 1 z równi

ą

pochył

ą

wyst

ę

puje

tarcie posuwiste, w obszarze współpracy ciał 1 i 2 wyst

ę

puje tarcie posuwiste, w

obszarze współpracy ciała 2 z równi

ą

wyst

ę

puje tarcie toczne, w obszarze

współpracy liny z ciałem 4 wyst

ę

puje tarcie ci

ę

gna.

Kolejny etap to formułowanie równa

ń

równowagi statycznej układu.

Równania równowagi statycznej ciała 1 układu (na ciało działa trzy siły

nierównoległe)

1)









 W



 F





M

3  X



 0

2)









 X



 F





M

3  W



 0

3)

W



 YX



;

W



 YX



dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

24

Równania równowagi statycznej ciała 2 układu (na ciało działa płaski dowolny układ

sił)

4)









 W

:

 F

:



M

3  

:

 X  0

5)









 X

:

 F

:



M

3  W  0

6)

 I







 I  W,  X

:

Z  W

:

,  0

7)

W  W



;

X  X



K

ą

t opasania

[ 

\

7

; zale

ż

no

ść

Eulera w tym przypadku wynosi:

8)



:



 

"



]

^_

Równowaga ci

ę

gna:

9)



:

 

:





"

 

"



Równowaga ciała 3 (przyjmujemy dodatkow

ą

o

ś

u):

10)



`





 

"

 F

"

 0

Wyznaczamy warto

ść

Mmax:

(6)

I  W,  X

:

Z  W

:

,

Wiadomo,

ż

e



\

"



√"

:

oraz



\

"




:

Po uwzgl

ę

dnieniu (7) (3) i pomno

ż

eniu równania (2) przez

µ

układ równa

ń

(1) (2)

przyjmuje posta

ć

:

YX



 √

3

2 F



 X  0

YX





1

2 YF



 Y

:

X  0

Z równa

ń

tych otrzymuje si

ę

:

F



a√

3  Y

2 b  X41  Y

:

*  0

X  √

3  Y

241  Y

:

* F



Dalej b

ę

dzie:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

25

(10)



"

 F

"

(8)(9)



:

 F

"

]

^

c

d

(4)

W

:

 √

3

2 F

:

 

:

 X

W

:

 √

3

2 F

:

 F

"

]

^

c

d

 √

3  Y

241  Y

:

* F



(7)

W  Y √

3  Y

241  Y

:

* F



(5)

X

:



1

2 F

:

 W

X

:



1

2 F

:

 Y √

3  Y

241  Y

:

* F



Po podstawieniu do (6) b

ę

dzie:

I  Y √

3  Y

241  Y

:

* F



,  a √

3  Y

241  Y

:

* YF





1

2 F

:

b Z

 a √

3  Y

241  Y

:

* F



 √

3

2 F

:

 F

"

]

^

c

d

b ,

Po uporz

ą

dkowaniu otrzymuje si

ę

:

I

ef

 √

3  Y

241  Y

:

* F



,  Y √

3  Y

241  Y

:

* F



Z 

1

2 F

:

T√3  ZU  F

"

,]

^

c

d

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

26

KINEMATYKA

Zadanie nr 6

Dane s

ą

parametryczne równania ruchu punktu:

g4*  2

h4*  4

:

 2

Wyznacz:

a) tor ruchu punktu,

b) pr

ę

dko

ść

chwilow

ą

,

c) współrz

ę

dn

ą

krzywoliniow

ą

(drog

ę

),

d) przyspieszenie chwilowe,

e) promie

ń

krzywizny.

Poka

ż

te wielko

ś

ci graficznie dla chwili czasu t=1[s].

Ad. a) tor ruchu

Po podniesieniu do kwadratu pierwszego równania otrzymuje si

ę

:

g

:

 4

:

I po podstawieniu do drugiego równania b

ę

dzie:

h  4g

:

 2

Równanie toru ruchu punktu (krzywa to parabola „skierowana gał

ę

ziami do góry”)

Wyznaczamy poło

ż

enie pocz

ą

tkowe (t=0[s])

g40*  0

;

h40*  2

;

i40*  i

j

 2

Ad. b)Pr

ę

dko

ść

chwilowa

i̅  l̅gm  n̅hm

gm  2

;

hm  8

i  Pgm

:

 hm

:

i  P4  64

:

lub

i  2P1  16

:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

27

Ad. c)Współrz

ę

dna krzywoliniowa (droga)

4*  o i4p*qp

r

j

 2 o P1  16p

:

qp

r

j

Czyli po wykonaniu operacji całkowania b

ę

dzie:

4* 

1

4 s4

P1  16

:

 ln s4  P1  16

:

u u

Ad. d) Przyspieszenie chwilowe:

+  l̅gv  n̅hv

gv  0

;

hv  8

+  Pgv

:

 hv

:

+  8

Ad. e) Promie

ń

krzywizny:

w 

i

:

+



+  +

x

  +





+

:

 +

x

:

 +



:

+



:

 +

:

 +

x

:

+

x



qi

q 

32

√1  16

:

+



:

 64 

432*

:

1  16

:

+



:



64

1  16

:

w 

441  16

:

*

E

√y7r

D

w 

1

2 41  16

:

*

z

D

Dla chwili czasu t=1 [s]:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

28

g41*  2

;

h41*  2

;

i41*  i



 2√17

41*  





1

4 T4√17  lnT4  √17U U

+41*  +



 8

+

x



32

√17

+





8

√17

w





1

2 417*

z

D

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

29

Zadanie nr 7

Wyznacz pr

ę

dko

ść

, współrz

ę

dn

ą

krzywoliniow

ą

(drog

ę

) oraz przyspieszenie punktu

M mechanizmu.

Dane:

,





2

3 , -|.,

,

:



4

3 , -|.

[  ~

– współrz

ę

dna k

ą

towa

p=const

Zakładamy współprac

ę

ciał bez po

ś

lizgu

Pr

ę

dko

ść

k

ą

towa ciała 1:





 [m





 ~~

Z warunku współpracy bez po

ś

lizgu wynika,

ż

e:

i̅

>

 i̅

>

4*

 i̅

>

4:*

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

30

i

>

 i

>

4*

 i

>

4:*

Ze wzgl

ę

du na ciało 1 b

ę

dzie:

i̅

>

4*

 



€ w̅

>

4*

i

>

4*

 



,



i

>

4*



2

3 ~,~

Ze wzgl

ę

du na ciało 2:

i̅

>

4:*

 

:

€ w̅

>

4:*

i

>

4:*

 

:

,

:

Z warunku współpracy bez po

ś

lizgu:





,



 

:

,

:

→

4

3 ,

:



2

3 ~,~



:



1

2 ~~

Pr

ę

dko

ść

punktu M:

i̅



 

:

€ w̅



i



 

:

,

:

i





2

3 ~,~

Współrz

ę

dna krzywoliniowa (droga):





4*  o i



4p*

r

‚

qp 

2

3 ~, o ~p

r

‚

qp





4* 

2

3 ~, K

1

~ ~pL

j

r

Czyli:





4* 

2

3 ,~

Przyspieszenie punktu M:

+



 +

x

 +



+

x

 ƒ̅

:

€ w̅



ƒ

:

 m

:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

31

ƒ

:

 

1

2 ~

:

~

Znak minus wykorzystujemy do ustalenia zwrotu przyspieszenia wzgl

ę

dem pr

ę

dko

ś

ci

k

ą

towej.

+

x

 ƒ

:

,

:

+

x



2

3 ~

:

,~

+



 

:

€ 4

:

€ w̅



*  

:

€ i̅



+



 

:

:

,

:

+





1

3 ~

:

,

:

~

+



:

 +



:

 +

x

:

+



 R/

2

3 ~

:

,~0

:

 /

1

3 ~

:

,

:

~0

:

+





1

3 ~

:

,P4

:

~  

;

~







+

x

+









:
"

~

:

,~


"

~

:

,

:

~







2~



:

~

W dalszej kolejno

ś

ci wyznaczamy pozostałe parametry kinematyczne k

ą

towe ciał

oraz przyspieszenie liniowe punktu D mechanizmu:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

32

ƒ



 m



ƒ



 ~

:

~

Znak minus informuje nas o zwrocie przyspieszenia przeciwnym wzgl

ę

dem pr

ę

dko

ś

ci

k

ą

towej.

[

:

 o 

:

4p*

r

j

qp 

1

2 ~ o ~p

r

j

qp 

1

2 ~ K

1

~ ~pL

‚

r

[

:



1

2 ~

Przyspieszenie punktu D ciała 1:

+

>

4*

 +

>x

4*

 +

>

4*

+

>x

4*

 ƒ̅



€ w̅

>

4*

;

+

>x

4*

 ƒ



,



;

+

>x

4*



:
"

~

:

,~

+

>

4*

 



€ i̅

>

;

+

>

4*

 



:

,



;

+

>

4*



:
"

~

:

,

:

~

+

>

4*

 „s+

>

4*

u

:

 s+

>x

4*

u

:

+

>

4*



2

3 ~

:

,P

:

~  

;

~

Przyspieszenie punktu D ciała 2:

+

>

4:*

 +

>x

4:*

 +

>

4:*

+

>x

4:*

 ƒ̅

:

€ w̅

>

4:*

;

+

>x

4:*

 ƒ

:

,

:

;

+

>x

4:*



:
"

~

:

,~

+

>

4:*

 

:

€ i̅

>

;

+

>

4:*

 

:

:

,

:

;

+

>

4:*




"

~

:

,

:

~

+

>

4:*

 „s+

>

4:*

u

:

 s+

>x

4:*

u

:

+

>

4:*



1

3 ~

:

,P4

:

~  

;

~

Warunek współpracy bez po

ś

lizgu w odniesieniu do przyspieszenia przyjmuje posta

ć

:

s+

>

4*

u

x

 s+

>

4:*

u

x

+

>x

4*

 +

>x

4:*

oraz

+

>x

4*

 +

>x

4:*

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

33

Zadanie nr 8

Wyznacz pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie pkt. D mechanizmu w poło

ż

eniu chwilowym

pokazanym na rys.

1 – ciało w ruchu obrotowym

2 – ciało w ruchu płaskim

3 – ciało w ruchu post

ę

powym

Dane:

…N  , -|.; NQ  Q‡; 



 K

,+q

 L ; ƒ



 √

3

3 



:

Szukane:

i

>

,

+

>

Zaczynamy od punktu A

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

34

Ze wzgl

ę

du na ciało 1:

i



 



,

C

2

– chwilowy

ś

rodek obrotu ciała 2

Geometria układu:



M

3 

…N

…‡ → …‡  2,



M

3 

N‡

…‡ → N‡  ,√3

(du

ż

y trójk

ą

t)



M

3 

…‡

…O

:

→ …O

:

 4,



M

3 

‡O

:

…O

:

→ ‡O

:

 2,√3

NO

:

 …O

:

 …N → NO

:

 3,

Ze wzgl

ę

du na ciało 2

i



 

:

∙ NO

:

→ i



 3

:

,

3

:

,  



, → 

:



1

3 



dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

35

Pr

ę

dko

ść

punktu D:

i

>

 

:

QO

:

NQ  √

3

2 ,

QO

:

 P4NO

:

*

:

 4NQ*

:

QO

:

 R9,

:



3

4 ,

:

QO

:

 √

39

2 ,

Š

>



1

3 



√39

2 ,

Š

>

 √

39

6 



,

Przyspieszenie chwilowe punktu D:

Zaczynamy od punktu A:

+



 +

x

 +



+

x

 ƒ



,

+

x

 √

3

3 



:

,

+



 



:

,

+



 P4+

x

*

:

 4+



*

:

+





2√3

3 



:

,

W dalszej kolejno

ś

ci szukamy przyspieszenia k

ą

towego ciała 2. Bierzemy pod uwag

ę

drugi punkt ciała 2, o którego ruchu co

ś

wiemy. Takim punktem jest punkt B (porusza

si

ę

ruchem post

ę

powym).

+



 +



 +



+



 +



x

 +





+



x

 ƒ

:

∙ N‡ ?

+



x

 √3ƒ

:

, ?

ƒ

:

?

+





 

:

:

∙ N‡

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

36

+





 /

1

3 



0

:

√3,

+





 √

3

9 



:

,

Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie B:

+



 +

x

 +



 +



x

 +





Znany jest kierunek przyspieszenia

+



i

+



x

natomiast nie znane s

ą

warto

ś

ci tych

przyspiesze

ń

.

Pozostałe przyspieszenia s

ą

znane co do kierunku i warto

ś

ci. Rzutujemy równanie

wektorowe dla

+



na osie układu xy.

4+



*

 +



 4+



x

 +



*

M

3  4+

x

 +





*

M

6

4+



*



 0  4+



x

 +



*

M

3  4+

x

 +





*

M

6

W drugim z powy

ż

szych dwóch równa

ń

wyst

ę

puje jedna niewiadoma. B

ę

dzie wi

ę

c:

+



x



M

3  +





M

3  4+

x

 +





*

M

6

√3ƒ

:

, √

3

2  



:

, √

3

2  a

√3

3 



:

,  √

3

9 



:

,b

Po dalszych przekształceniach b

ę

dzie:

ƒ

:



5√3

27 



:

Warto

ść

przy

ś

pieszenia jest dodatnia, znaczy to,

ż

e przyj

ę

ty zwrot

+



x

jest wła

ś

ciwy i

przy

ś

pieszenie k

ą

towe

ƒ

:

ma przeciwny zwrot do pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towej



:

.

W dalszej kolejno

ś

ci wyznaczamy przy

ś

pieszenie pkt. D

Metoda podstawowa, wykorzystujemy punkt A.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

37

+

>

 +



 +

>

Podstawowe równanie wektorowe przyspieszenia w punkcie D:

+

>

 +

x

 +



 +

>

x

 +

>



+

>

x

 ƒ

:

NQ

;

+

>

x



8

E





:

,

+

>



 

:

:

NQ

;

+

>





√"

E





:

,

Nie znane jest tylko przyspieszenie w punkcie D. Przewidujemy je jako dwie

prostopadłe do siebie składowe. Rzutujemy równanie wektorowe dla

+

>

na osie

układu xy:

4+

>

*

 +

>

 4+

>

x

 +



*

M

3  4+

x

 +

>



*

M

6

4+

>

*



 +

>

 4+

>

x

 +



*

M

3  4+

x

 +

>



*

M

6

Po podstawieniu b

ę

dzie:

+

>

 

17

18 



:

,

+

>

  √

3

6 



:

,

+

>

 „4+

>

*

:

 T+

>

U

:

+

>



„417*

:

 T3√3U

:

3√2





:

,

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

38

DYNAMIKA

Zadanie nr 9

Ciało porusza si

ę

po równi pochyłej o k

ą

cie pochylenia

α

. Wyznacz czas potrzebny

do przebycia drogi s przez ciało. Warunki pocz

ą

tkowe zerowe.

Dane: m [kg],

α

[rad],

µ

– współczynnik tarcia, G [N] – siła ci

ęż

ko

ś

ci, F [N], s [m].

Warunki pocz

ą

tkowe zerowe:

g40*  0, i40*  0

Przyjmujemy układ odniesienia i wprowadzamy siły działaj

ą

ce.

F  |

Formułujemy dynamiczne równania ruchu ciała. Ruch odbywa si

ę

na kierunku osi x:

1)

|gv 
 F  W

2)

|hv  0  X  F

3)

W  YX

W pierwszej kolejno

ś

ci wyznaczamy przyspieszenie ciała z równania (1).

Wyznaczamy wszystkie nieznane siły w równaniu (1).

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

39

(2)

X  F

(3)

W  YF

(1)

|gv 
 F4  Y*

czyli b

ę

dzie:

gv 

|  4  Y*

Otrzymali

ś

my równanie ró

ż

niczkowe. Po scałkowaniu b

ę

dzie:

gm  K

|  4  Y*L   O



g 

1

2 K

|  4  Y*L 

:

 O



  O

:

gdzie

O



i

O

:

to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków pocz

ą

tkowych.

Warunki pocz

ą

tkowe zerowe:

g40*  0

gm40*  0L →

0  0  O



0  0  0  O

:

L → O



 O



 0

i ostatecznie b

ę

dzie:

g 

1

2 K

|  4  Y*L 

:

Ciało po jakim

ś

czasie





przeb

ę

dzie drog

ę

s czyli:

g4



*  

 

1

2 K

|  4  Y*L 



:

Czas przebycia zadanej drogi:





 R

2

Œ

e

 4  Y*

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

40

Zadanie nr 10

Wyznacz odległo

ść

z w jakiej nale

ż

y ustawi

ć

chwytak aby punkt materialny o masie

m, poruszaj

ą

cy si

ę

zgodnie z zadanymi warunkami ruchu, trafił do chwytaka.

Dane: m [kg], µ,

α

[rad], k [N/m] – stała spr

ęż

yny, f [m] – ugi

ę

cie statyczne spr

ęż

yny,

H [m], h [m], l [m], g [m/s

2

] – przyspieszenie ziemskie.

Szukane: z=?

Zadanie rozwi

ąż

emy dwuetapowo. W pierwszym etapie opiszemy ruch masy w

prowadnicy z wykorzystaniem twierdzenia o energii dla punktu materialnego.

F  |

Rozpatrujemy dwa poło

ż

enia:

1 – punkt materialny rozpoczyna ruch,

2 – punkt materialny opuszcza prowadnic

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

i̅

:

, któr

ą

wyznaczymy.

Twierdzenie o energii:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

41



:

 



 Ž

<:





 0

- energia kinetyczna w pierwszym poło

ż

eniu



:




:

|i

:

:

- energia kinetyczna w drugim poło

ż

eniu

Ž

<:




:

Z

:

 |  W$

- praca przej

ś

cia z poło

ż

enia 1 do poło

ż

enia 2 wykonana

przez sił

ę

reakcji spr

ęż

yny, sił

ę

ci

ęż

ko

ś

ci i sił

ę

tarcia wynikaj

ą

c

ą

z ruchu po

chropowatym odcinku prowadnicy.

W celu wyznaczenia siły tarcia wprowadzamy dodatkow

ą

o

ś

u prostopadł

ą

do

chropowatego odcinka toru. Na kierunku osi u punkt materialny si

ę

nie przemieszcza,

b

ę

dzie wi

ę

c:



`





 X  F  0

W  YX

czyli b

ę

dzie:

W  YF  Y|

Po wstawieniu do twierdzenia o energii b

ę

dzie:

1

2 |i

:

:



1

2 Z

:

 |  Y|$

co po przekształceniach mo

ż

na doprowadzi

ć

do postaci:

i

:

:





| Z

:

 24  Y$*

W kolejnym etapie opisujemy ruch punktu od momentu opuszczenia prowadnicy

(tzw. rzut uko

ś

ny) w układzie współrz

ę

dnych prostok

ą

tnych xy z wykorzystaniem II

prawa Newtona.

Warunki pocz

ą

tkowe bierzemy z poprzedniego etapu tzn.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

42

g40*  ‘; gm40*  i

:

; h40*  ; hm40*  0

Opór o

ś

rodka pomijamy, na mas

ę

działa tylko siła ci

ęż

ko

ś

ci G.

Dynamiczne równania ruchu punktu w układzie xy przyjmuj

ą

posta

ć

:

|gv  0

|hv  |

po podzieleniu przez m b

ę

dzie:

gv  0

hv  

Całkujemy powy

ż

sze równania:

gm  O



hm    Q



g  O



  O

:

h  

1

2 

:

 Q



  Q

:

gdzie

O



,

O

:

,

Q



,

Q

:

to stałe całkowania, które wyznaczamy z warunków

pocz

ą

tkowych.

Warunki pocz

ą

tkowe:

i

:

 O



0  0  Q



‘  0  O

:

  0  0  Q

:

czyli b

ę

dzie

O



 i

:

Q



 0

O

:

 ‘

Q

:

 

i równania opisuj

ą

ce zjawisko przyjmuj

ą

posta

ć

g  i

:

  ‘

h  

1

2 

:

 

Do wyznaczenia pozostaje jeszcze odległo

ść

z.

Po czasie





b

ę

dzie

g4



*  0

i

h4



*  #

co po wstawieniu do powy

ż

szych równa

ń

daje zale

ż

no

ś

ci

0  i

:





 ‘ → ‘  i

:





#  

1

2 



:

  → 



:



24  #*



czyli b

ę

dzie

‘  R2 K



| Z

:

 24  Y$*L

4  #*



dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

43

Zadanie nr 11

Wyznacz reakcje w punkcie A układu.

Dane: r [m], m

1

[kg], m

2

[kg],

ε

1

[rad/s

2

]

Zało

ż

enia:

- lina jest nierozci

ą

gliwa,

- ciało 2 porusza si

ę

na kierunku pionowym.

Przy tych zało

ż

eniach układ posiada 1 stopie

ń

swobody. Do rozwi

ą

zania zadania

wykorzystamy twierdzenie o ruchu

ś

rodka masy układu.

Wprowadzamy siły działaj

ą

ce i uwalniamy od wi

ę

zów zewn

ę

trznych.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

44

Ze wzgl

ę

du na ruch w płaszczy

ź

nie, b

ę

dzie:

|



gv



 |

:

gv

:

 g



|



hv



 |

:

hv

:

 h



 F



 F

:

Ś

rodek masy ciała 1 jest w punkcie A wi

ę

c:

hv



 0

gv



 0

Ciało 2 wykonuje ruch pionowy wi

ę

c:

gv

:

 0

oraz

hv

:

 ƒ



,

b

ę

dzie wi

ę

c:

g



 0

h



 F



 F

:

 |

:

ƒ



,

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

45

Zadanie nr 12

Kr

ąż

ek hamulca klockowego obraca si

ę

ze stała pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ω

0

. W pewnym

momencie rozpoczyna si

ę

hamowanie kr

ąż

ka. Wyznacz czas hamowania.

Dane: m

1

[kg], m

2

[kg], R

1

=2r [m], r

1

=r, l[m],

ω

0

[rad/s], M [Nm], H [N] – siła hamuj

ą

ca,

µ,

β

[rad]

Ciało 1 jest w ruchu obrotowym, ciało 2 w ruchu post

ę

powym na kierunku pionowym,

d

ź

wignia 3 pozostaje w równowadze statycznej, układ posiada 1 stopie

ń

swobody.

Przyjmujemy układ współrz

ę

dnych i uwalniamy od wi

ę

zów.

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

46

F



 |





F

:

 |

:



Rozpoczynamy opis ruchu od momentu rozpocz

ę

cia hamowania.

Dynamiczne równania ruchu ciała 1:

1)

’



[v



 I  

:

,  2W,

2)

|



gv



 0  



 W

3)

|



hv



 0 



 F



 X  

:

4)

W  YX

5)

W  W



; X  X



Dynamiczne równania ruchu ciała 2:

6)

|

:

hv

:

 F

:

 

:



7)



:

 

:



Równania równowagi statycznej ciała 3:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

47

8)









 



 W



   0

9)













 X



   0

10)

 I







 X



$  3$  0

Zale

ż

no

ś

ci kinematyczne:

11)

hm

:

 ,[m

:

hv

:

 ,[v

:

Moment bezwładno

ś

ci (wzór definicyjny):

’





1

2 |



,

:

W pierwszej kolejno

ś

ci wyznaczamy przyspieszenie k

ą

towe

[v



. W równaniu (1)

mamy dwie niewiadome, które wyznaczamy.

(6)(7)



:

 F

:

 |

:

hv

:

(11)



:

 F

:

 |

:

,[v



(10)(5)

X  3

(4)

W  3Y

(1)

1

2 |



,

:

[v



 I  4F

:

 |

:

,[v



*,  6Y,

1

2 4|



 2|

:

*,

:

[v



 I  F

:

,  6Y,

Przyspieszenie k

ą

towe ciała 1:

[v





2-I  F

:

,  6Y,.

4|



 2|

:

*,

:

Po operacji całkowania b

ę

dzie:

[m





2-I  F

:

,  6Y,.

4|



 2|

:

*,

:

  O



[





-I  F

:

,  6Y,.

4|



 2|

:

*,

:



:

 O



  O

:

dr in

ż

. Stanisław Noga

Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa
Katedra Konstrukcji Maszyn

Materiały pomocnicze z przedmiotów: Mechanika Techniczna, Mechanika Ogólna

48

Warunki pocz

ą

tkowe:

[



40*  0

[m



40*  

j



j

 0  O



0  0  O

:

L → O



 

j

O

:

 0

Ostatecznie po uwzgl

ę

dnieniu stałych całkowania, b

ę

dzie:

[





-I  F

:

,  6Y,.

4|



 2|

:

*,

:



:

 

j



Wyznaczamy czas hamowania, czyli dla chwili czasu





, b

ę

dzie

[m



4



, *  0

, czyli

0 

2-I  F

:

,  6Y,.

4|



 2|

:

*,

:





 

j





 

4|



 2|

:

*,

:

2-I  F

:

,  6Y,. 

j

Od momentu rozpocz

ę

cia hamowania kr

ąż

ek opó

ź

nia czyli b

ę

dzie







4|



 2|

:

*,

:

2-6Y,  I  F

:

,. 

j

Warunek zatrzymania kr

ąż

ka

I  F

:

,  6Y, “ 0

I  F

:

, “ 6Y,

Warunek na warto

ść

siły hamuj

ą

cej:

 ”

I  F

:

,

6Y,