Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1,
W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania
Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części.
Z
5x
2
− 6x + 3 −
2
x
+
5
x
2
dx
Z
(x
2
− 1)
3
x
dx
Z
(x
2
− x + 1)(x
2
+ x + 1)dx
Z
(x
2
+ 4)
5
xdx
Z
xdx
1 + x
2
Z
xdx
(x
2
+ 3)
6
Z
x
2
dx
a
3
+ x
3
, a 6= 0, x 6= −a
Z
x
3
√
x +
4
√
x
x
2
dx
Z
x
√
x − x
4
√
x
3
√
x
dx
Z
(3 + 2
4
√
x)
3
dx
Z
√
x − 2
3
√
x
2
+ 4
4
√
5x
3
6
3
√
x
dx
Z
3 + 5
3
√
x
2
√
x
3
dx
Z
√
3x + 1 dx
Z
√
a + bxdx
Z
xdx
3
√
2x
2
− 1
Z
x
p
1 + x
2
dx
Z
x
√
3 − 5x
2
dx
Z
x − 1
3
√
x + 1
dx
Z
x
√
x
2
− 6
dx
Z
x
2
5
√
x
3
+ 1
dx
Z
e
1
x
x
2
dx
Z
xe
−x
2
dx
Z
dx
2 cos
2
3x
Z
x sin(2x
2
+ 1)dx
Z
sin
5
x cos x dx
Z
cos x
√
1 + sin x
dx
Z
sin x
a + b cos x
dx, b 6= 0
Z
cos x · e
sin x
dx
Z
x
3
dx
cos
2
x
4
Z
tan x
cos
2
x
dx
Z
x
2
dx
cos
2
(x
3
+ 1)
Z
(ln x)
2
x
dx
Z
dx
e
x
+ e
−x
Z
e
x
dx
2e
x
+ 1
Z
x ln(1 + x
2
)dx
Z
p
2 + ln |x|
x
dx
Z
6
1−x
dx
Z
dx
x
q
1 − ln
2
|x|
Z
ln | arctan x|dx
1 + x
2
Z
xe
x
2
(x
2
+ 1)dx
Z
x
2
dx
√
1 − x
6
Z
dx
(1 + x
2
) arctan x
Z
(π − arcsin x)dx
√
1 − x
2
Z
xdx
x
4
+ 1
Z
x
4
(1 + x)
3
dx
Z
x
2
e
x
dx
Z
x
3
e
x
dx
Z
x
4
e
2x
dx
1
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x cos xdx
Z
x
2
cos xdx
Z
x
2
sin 5xdx
Z
e
x
cos xdx
Z
e
−2x
sin 3xdx
Z
e
x
cos(
2
3
x)dx
Z
√
x ln xdx
Z
(ln |x|)
3
dx
Z
(ln |x|)
2
x
5
dx
Z
√
x(ln |x|)
3
dx
Z
ln |x|
x
4
dx
Z
(ln x)
2
√
x
dx
Z
x
3
(ln x)
2
dx
Z
x
n
ln x dx, n 6= −1
Całki funkcji wymiernych.
Z
(2x + 1)
3
dx
Z
dx
(3x − 2)
4
Z
3x − 4
x
2
− x − 6
dx
Z
2x − 3
x
2
− 3x + 3
dx
Z
x + 13
x
2
− 4x − 5
dx
Z
2x + 6
2x
2
+ 3x + 1
dx
Z
6x − 13
x
2
−
7
2
x +
3
2
dx
Z
4x − 5
2x
2
− 5x + 3
dx
Z
5x + 11
x
2
+ 3x − 10
dx
Z
5
6
x − 16
x
2
+ 3x − 18
dx
Z
dx
x
2
+ 2x − 1
Z
dx
6x
2
− 13x + 6
Z
5 + x
10x + x
2
dx
Z
7x
4 + 5x
2
dx
Z
dx
−5 + 6x − x
2
Z
dx
1 + x − x
2
Z
dx
2x − 3x
2
Z
3x + 2
x
2
− x − 2
dx
Z
2x − 1
x
2
− 6x + 9
dx
Z
x − 1
4x
2
− 4x + 1
dx
Z
2x − 13
(x − 5)
2
dx
Z
3x + 1
(x + 2)
2
dx
Z
dx
2x
2
− 2x + 5
Z
dx
3x
2
+ 2x + 1
Z
dx
13 − 6x + x
2
Z
3dx
9x
2
− 6x + 2
Z
x + 1
x
2
− x + 1
dx
Z
4x − 1
2x
2
− 2x + 1
dx
Z
2x − 1
x
2
− 2x + 5
dx
Z
2x − 10
x
2
− 2x + 10
dx
Z
2x − 20
x
2
− 8x + 25
dx
Z
3x + 4
x
2
+ 4x + 8
dx
Z
x + 6
x
2
− 3
dx
Z
x + 6
x
2
+ 3
dx
Z
6x
x
2
+ 4x + 13
dx
Z
10x − 44
x
2
− 4x + 20
dx
Z
4x − 5
x
2
− 6x + 10
dx
Z
5x
2 + 3x
dx
2
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x
2
5x
2
+ 12
dx
Z
2x
2
+ 7x + 20
x
2
+ 6x + 25
dx
Z
7x
2
+ 7x − 176
x
3
− 9x
2
+ 6x + 56
dx
Z
x
3
− 4x
2
+ 1
(x − 2)
4
dx
Z
3x
2
− 5x + 2
x
3
− 2x
2
+ 3x − 6
dx
Z
2x + 1
(x
2
+ 1)
2
dx
Z
x
3
+ 2x − 6
x
2
− x − 2
dx
Z
2x
3
− 19x
2
+ 58x − 42
x
2
− 8x + 16
dx
Z
x
4
x
2
+ 1
dx
Z
72x
6
3x
2
+ 2
dx
Z
2x
4
− 10x
3
+ 21x
2
− 20x + 5
x
2
− 3x + 2
dx
Z
x
2
+ 5x + 41
(x + 3)(x − 1)(x −
1
2
)
dx
Z
17x
2
− x − 26
(x
2
− 1)(x
2
− 4)
dx
Z
2x
(x
2
+ 1)(x
2
+ 3)
dx
Z
10x
3
+ 110x + 400
(x
2
− 4x + 29)(x
2
− 2x + 5)
dx
Z
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13
x
4
+ 3x
2
− 4
dx
Z
10x
3
+ 40x
2
+ 40x + 6
x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x
dx
Z
6x
3
+ 4x + 1
x
4
+ x
2
dx
Z
dx
x
3
− a
2
x
Z
dx
x
3
+ x
2
+ x
Z
dx
x
4
+ x
2
+ 1
Z
5x
3
+ 3x
2
+ 12x − 12
x
4
− 16
dx
Z
15x
2
+ 66x + 21
(x − 1)(x
2
+ 4x + 29)
dx
Z
4x
3
+ 9x
2
+ 4x + 1
x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x
dx
Z
dx
x
3
(x − 1)
2
(x + 1)
Z
dx
(x
2
+ x + 1)
2
Z
3x
2
− 17x + 21
(x − 2)
3
dx
Z
dx
(x
2
+ 4x + 8)
3
Z
x
3
− 2x
2
+ 7x + 4
(x − 1)
2
(x + 1)
2
dx
Z
dx
x
4
+ 64
Z
5x
3
− 11x
2
+ 5x + 4
(x − 1)
4
dx
Z
dx
x
4
+ 6x
2
+ 25
Z
9x
4
− 3x
3
− 23x
2
+ 30x − 1
(x − 1)
4
(x + 3)
dx
Z
x
3
− 2x
2
+ 5x − 8
x
4
+ 8x
2
+ 16
dx
Z
3x
2
+ x − 2
(x − 1)
3
(x
2
+ 1)
dx
Całki funkcji niewymiernych. Całki funkcji zawierających pierwiastki z wy-
rażenia liniowego.
Z
√
2x + 1dx
Z
dx
√
3 + 4x
Z
dx
3
√
3x − 4
Z
dx
5
p
(2x + 1)
3
Z
x
3
√
x − 4dx
Z
x
3
√
3x − 1dx
Z
x
√
2 + 3xdx
Z
x
√
1 − 5xdx
Z
x
3
√
x − 4dx
Z
xdx
4
√
2x + 3
Z
x
2
dx
3
3
√
x + 2
Z
x
2
+ 1
√
3x + 1
dx
3
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x
4
√
2x + 3dx
Z
dx
x
√
x + a
Z
dx
x
√
x − a
Z
√
x
x − 1
dx
Z
√
x + 1
x
dx
Z
1 +
√
x
1 −
√
x
dx
Z
dx
(x + 1)
√
1 − x
Z
q
1 +
√
xdx
Z
3
√
xdx
x +
6
√
x
5
Z
dx
√
x + 2
3
√
x
2
Z
dx
√
x − 5 +
√
x − 7
Z
dx
x
√
x + 9
Z
x
2
3
√
7 − 2xdx
Z
dx
√
x + 1 +
3
√
x + 1
Z
s
x − 1
x − 2
·
dx
(x − 1)
2
Z
s
1 − x
1 + x
·
dx
x
Z
xdx
3
√
x + 1 −
√
x + 1
Z
3
√
x
2
−
√
x + 1
3
√
x − 1
dx
Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadrato-
wego
Z
(8x + 3)dx
√
4x
2
+ 3x + 1
Z
(10x + 15)dx
√
36x
2
+ 108x + 77
Z
dx
√
2x − x
2
Z
dx
√
7 − 6x − x
2
Z
dx
√
1 − 9x
2
Z
dx
p
(2r − x)x
Z
(x + 3)dx
√
1 − 4x
2
Z
xdx
√
1 − 2x − 3x
2
Z
p
1 − 4x
2
dx
Z
6x + 5
√
6 + x − x
2
dx
Z
x − 5
√
5 + 4x − x
2
dx
Z
x + 1
√
8 + 2x − x
2
dx
Z
p
6x − x
2
dx
Z
2x − 3
√
3 − 2x − x
2
dx
Z
dx
√
x
2
+ 3x + 2
Z
dx
√
4x
2
+ 3x − 1
Z
dx
√
x
2
− x + m
Z
dx
p
(x − a)(x − 3a)
Z
(x + 3)dx
√
x
2
+ 2x
Z
(3x + 2)dx
√
x
2
− 5x + 19
Z
x + a
√
x
2
− ax
dx
Z
3x − 2
√
4x
2
− 4x + 5
dx
Z
3x + 2
√
x
2
− 4x + 5
dx
Z
3x − 4
√
4x
2
+ 5x − 8
dx
Z
5x + 2
√
2x
2
+ 8x − 1
dx
Z
p
2x + x
2
dx
Z
5x − 4
√
3x
2
− 2x + 1
dx
Z
p
3 − 2x − x
2
dx
Z
p
x
2
− 4dx
4
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
p
3x
2
+ 10x + 9dx
Z
p
x
2
− 3x + 2dx
Z
x
2
dx
√
1 − x
2
Z
x
2
dx
√
x
2
+ 2x + 2
Z
r
x
1 − x
dx
Z
2ax
2
+ 1
√
ax
2
+ 2x + 1
dx
Z
2x
2
+ 3x + 1
√
x
2
+ 1
dx
Z
2x
2
− ax + a
2
√
x
2
+ a
2
dx
Z
x
3
− x + 1
√
x
2
+ 2x + 2
dx
Z
x
3
+ 2x
2
+ x − 1
√
x
2
+ 2x − 1
dx
Z
x
3
dx
√
x
2
− 4x + 3
Z
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
dx
Z
x
2
p
4x − x
2
dx
Z
x
p
6 + x − x
2
dx
Z
x
4
dx
√
5x
2
+ 4
Z
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4
√
x
2
+ x + 1
dx
Z
5x
2
− 2x + 10
√
3x
2
− 5x + 8
dx
Z
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3
√
5 + 6x − x
2
dx
Z
x
p
8 + x − x
2
dx
Z
(2x − 5)
p
2 + 3x − x
2
dx
Z
x
3
dx
√
2x
2
+ 3
Z
x
5
dx
√
2x
2
+ 3
Z
x
4
dx
√
3 + 2x + x
2
Z
dx
x
√
10x − x
2
Z
dx
(x + 1)
√
x
2
− 1
Z
dx
(x + 2)
√
4 − x
2
Z
dx
x
√
x
2
+ x − 1
Z
dx
x
√
x
2
− 2x − 1
Z
dx
(2x − 1)
√
x
2
− 1
Z
dx
(x + 1)
√
1 + 2x − 3x
2
Z
dx
(3 − 2x)
√
x
2
− 4x + 3
Z
dx
x
√
x
2
+ x + 1
Z
dx
x
√
x
2
− 1
Z
dx
(a − x)
√
a
2
− x
2
Z
dx
(x − 2)
√
x
2
− 6x + 1
Z
dx
x
2
√
4 − x
2
Z
dx
(x − 1)
2
√
10x − x
2
Z
dx
x
3
√
x
2
+ 1
Z
dx
x
3
√
2x
2
+ 2x + 1
Z
dx
(x − 1)
3
√
3 − 2x
2
Z
dx
x
2
√
1 − 4x + x
2
Z
dx
x
3
√
1 + x
2
Z
dx
x
4
√
3 − 2x + x
2
Z
dx
(x − 2)
4
√
1 − 4x + x
2
Całki funkcji trygonometrycznych.
Z
cos 5x cos 7xdx
Z
sin 3x cos 2xdx
Z
cos 2x cos 3xdx
Z
sin x cos 3xdx
5
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
cos 2x sin 4xdx
Z
sin 2x sin 5xdx
Z
cos x cos 3xdx
Z
sin 3x sin xdx
Z
sin 5x sin 2xdx
Z
sin
3
xdx
Z
sin
4
xdx
Z
cos
4
xdx
Z
cos
5
xdx
Z
sin
5
xdx
Z
tan
5
xdx
Z
cot
4
xdx
Z
ctg
6
xdx
Z
sin
3
x cos
4
xdx
Z
sin
7
x cos
6
xdx
Z
sin
5
x cos
2
xdx
Z
sin
2
x cos
2
xdx
Z
sin
3
x cos
3
xdx
Z
sin
4
x cos
5
xdx
Z
cos xdx
sin
8
x
Z
sin x tan xdx
Z
cos x
3
√
sin
2
x
dx
Z
sin xdx
3
√
1 + 2 cos x
Z
sin 2xdx
√
1 + cos
2
x
Z
sin 2x
1 + sin
2
x
dx
Z
sin 2xdx
√
1 − sin
4
x
Z
cos
3
x
sin
2
x
dx
Z
sin
3
x + cos
3
x
sin
2
x − sin x cos x + cos
2
x
dx
Z
dx
sin
3
x
Z
dx
cos
3
x
Z
dx
sin
4
x
Z
dx
cos
5
x
Z
dx
sin
7
x
Z
dx
sin
3
x cos x
Z
dx
sin x cos
3
x
Z
dx
sin
5
x cos
3
x
Z
dx
sin
2
x cos
4
x
Z
sin
4
x
cos
3
x
dx
Z
sin
4
xdx
cos x
Z
cos
5
xdx
sin
3
x
Z
sin
3
xdx
cos
8
x
Z
cos 2xdx
cos
3
x
Z
dx
5 + 4 cos x
Z
dx
1 + sin x
Z
dx
sin x + cos x
Z
sin x cos xdx
sin
4
x + cos
4
x
Z
3 + sin
2
x
2 cos
2
x − cos
4
x
dx
Z
cos x + sin x
(sin x − cos x)
2
dx
Z
sin
2
x − cos
2
x
sin
4
x + cos
4
x
dx
Z
sin x cos x
1 + sin
4
x
dx
Z
dx
(sin
2
x + 3 cos
2
x)
2
Z
sin
2
x cos
2
x
sin
8
x + cos
8
x
dx
Z
dx
sin
4
x + cos
4
x
Z
dx
1 − sin
4
x
6
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Całki funkcji cyklometrycznych.
Z
x
2
√
1 − x
2
arcsin xdx
Z
arcsin x
p
(1 − x
2
)
3
dx
Z
x
2
1 + x
2
arctan xdx
Z
dx
(1 + 9x
2
)
√
arctan 3x
Z
dx
(1 + 4x
2
)(arctan 2x)
2
Z
(arctan x)
2
x
2
+ 1
dx
Z
dx
√
1 − x
2
arccos
2
x
Z
dx
√
1 − x
2
arcsin x
Z
x arctan xdx
(1 + x
2
)
2
Z
x arcsin xdx
(1 − x
2
)
3
2
Z
x arcsin xdx
Z
x arctan xdx
(x
2
− 1)
2
Z
x
2
arctan xdx
Z
arctan e
1
2
x
e
1
2
x
(1 + e
x
)
dx
Z
arcsin xdx
x
2
Z
arcsin e
x
e
x
dx
Z
x
3
arctan xdx
Z
(2x + 3) arccos(2x − 3)dx
Z
x arctan x
√
1 + x
2
dx
Z
p
1 − x
2
arcsin xdx
Z
x(1 + x
2
) arctan xdx
Z
arcsin
2
√
x
1 + x
dx
Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
Z
(e
3x
+
√
e
x
)dx
Z
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
dx
Z
dx
e
2x
− 1
Z
dx
e
x
+ e
−x
Z
√
e
x
+ 1dx
Z
e
x
− 1
e
x
+ 1
dx
Z
dx
√
3 + 2e
x
Z
e
x
√
1 + e
x
dx
Z
e
x
(e
x
− 1)
2
dx
Z
(e
x
+ e
−x
)
2
dx
Z
e
x
e
x
+ 5
dx
Z
4e
x
+ 6e
−x
9e
x
− 4e
−x
dx
Z
dx
e
x
+ e
2x
Z
e
x
(e
x
+ a)
n
dx
Z
e
x
dx
√
3 − 5e
2x
Z
dx
√
e
2x
+ 4e
x
+ 1
Z
x
3
e
−x
dx
Z
dx
x ln x
Z
ln(x
2
+ 1)dx
Z
(ln |x|)
2
dx
Z
ln(x +
p
x
2
+ 1)dx
Z
ln |2 + 5x|dx
Z
dx
x(1 + ln
2
|x|)
Z
x
−2
ln |x|dx
Z
(4 + 3x)
2
ln |x|dx
Z
x
3
ln(x
2
+ 3)dx
Z
xa
x
dx, a > 1
7
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15
Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całko-
wanie przez części.
15.22
Z
5x
2
− 6x + 3 −
2
x
+
5
x
2
=
5
3
x
3
− 3x
2
+ 3x − 2 ln |x| −
5
x
+ C
Podstawowe prawa całkowania i wzory na całki funkcji elementarnych:
Całka z iloczynu funkcji przez stałą:
Z
a · f (x)dx = a ·
Z
f (x)dx, gdzie a ∈ R
Całka z sumy (różnicy) funkcji:
Z
[f (x) ± g(x)]dx =
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx
Z
ax
n
dx =
a
n + 1
x
n+1
+ C, gdzie a ∈ R ∧ n 6= −1
Z
dx
x
= ln |x| + C
15.23
Z
(x
2
− 1)
3
x
dx =
Z
x
6
− 3x
4
+ 3x
2
− 1
x
dx =
Z
x
5
− 3x
3
+ 3x −
1
x
dx =
=
1
6
x
6
−
3
4
x
4
+
3
2
x
2
− ln |x| + C
15.24
Z
(x
2
− x + 1)(x
2
+ x + 1)dx =
Z
(x
4
+ x
2
+ 1)dx =
1
5
x
5
+
1
3
x
3
+ x + C
15.25
Z
(x
2
+ 4)
5
xdx =
t = x
2
+ 4
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
t
5
dt =
1
12
t
6
+ C =
1
12
(x
2
+ 4)
6
+ C
15.26
Z
xdx
1 + x
2
=
t = 1 + x
2
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |1 + x
2
| + C
8
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.27
Z
xdx
(x
2
+ 3)
6
=
t = x
2
+ 3
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
dt
t
6
=
1
2
Z
t
−6
dt = −
1
10
t
−5
+ C =
−1
10(x
2
+ 3)
5
+ C
15.28
Z
x
2
dx
a
3
+ x
3
, a 6= 0, x 6= −a
=
t = a
3
+ x
3
dt = 3x
2
dx
1
3
dt = x
2
dx
=
1
3
Z
dt
t
=
1
3
ln |t| + C =
1
3
ln |a
3
+ x
3
| + C
15.29
Z
x
3
√
x +
4
√
x
x
2
dx =
Z
x
4
3
+ x
1
4
x
2
dx =
Z
x
−
2
3
+ x
−
7
4
dx = 3x
1
3
−
4
3
x
−
3
4
+ C
15.30
Z
x
√
x − x
4
√
x
3
√
x
dx =
Z
x
3
2
− x
5
4
x
1
3
dx =
Z
x
7
6
− x
11
12
dx =
6
13
x
13
6
−
12
23
x
23
12
+ C
15.31
Z
(3 + 2
4
√
x)
3
dx =
Z
27 + 54x
1
4
+ 36x
1
2
+ 8x
3
4
dx = 27x +
216
5
x
5
4
+ 24x
3
2
+
32
7
x
7
4
+ C
15.32
Z
√
x − 2
3
√
x
2
+ 4
4
√
5x
3
6
3
√
x
dx =
Z
x
1
2
− 2x
2
3
+ 4
4
√
5 · x
3
4
6x
1
3
dx =
=
1
6
Z
x
1
6
dx −
1
3
Z
x
1
3
dx +
2
3
√
5
3
Z
x
5
12
dx =
1
7
x
7
6
−
1
4
x
4
3
+
8
4
√
5
17
x
17
12
+ C
15.33
Z
3 + 5
3
√
x
2
√
x
3
dx = 3
Z
x
−
3
2
dx + 5
Z
x
−
5
6
dx = −6x
−
1
2
+ 30x
1
6
+ C =
−6
√
x
+ 30
6
√
x + C
15.34
Z
√
3x + 1dx =
t = 3x + 1
dt = 3dx
1
3
dt = dx
=
1
3
Z
t
1
2
dt =
2
9
t
3
2
+ C =
2
9
(3x + 1)
3
2
+ C
9
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.35
Z
√
a + bxdx =
t = a + bx
dt = bdx
1
b
dt = dx
=
1
b
Z
t
1
2
dt =
2
3b
t
3
2
+ C =
2
3b
(a + bx)
3
2
+ C, gdzie b 6= 0
15.36
Z
xdx
3
√
2x
2
− 1
=
t = 2x
2
− 1
dt = 4xdx
1
4
dt = xdx
=
1
4
Z
t
−
1
3
dt =
3
8
t
2
3
+ C =
3
8
(2x
2
− 1)
2
3
+ C, gdzie x 6=
1
√
2
15.37
Z
x
p
1 + x
2
dx =
t = 1 + x
2
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
t
1
2
dt =
1
3
t
3
2
+ C =
1
3
(1 + x
2
)
3
2
+ C
15.38
Z
x
√
3 − 5x
2
dx =
t = 3 − 5x
2
dt = −10xdx
−
1
10
dt = xdx
= −
1
10
Z
t
−
1
2
dt = −
1
5
t
1
2
+ C = −
1
5
p
3 − 5x
2
+ C
15.39
Z
x − 1
3
√
x + 1
dx =
Z
(x + 1) − 2
3
√
x + 1
dx =
Z
(x + 1)
2
3
dx − 2
Z
(x + 1)
−
1
3
dx =
=
3
5
(x + 1)
5
3
− 3(x + 1)
2
3
+ C =
3
5
(x + 1)(x + 1)
2
3
− 3(x + 1)
2
3
+ C =
=
3
5
(x + 1 − 5)(x + 1)
2
3
=
3
5
(x − 4)(x + 1)
2
3
+ C
Z
(ax + b)
n
dx =
1
a(n + 1)
(ax + b)
n+1
+ C, dla n 6= −1
15.40
Z
x
√
x
2
− 6
dx =
Z
2x
2
√
x
2
− 6
dx =
p
x
2
− 6 + C
Z
f
0
(x)
2
p
f (x)
dx =
q
f (x) + C
10
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.41
Z
x
2
5
√
x
3
+ 1
dx =
t = x
3
+ 1
dt = 3x
2
dx
1
3
dt = x
2
dx
=
1
3
Z
t
−
1
5
dt =
5
12
t
4
5
+ C =
5
12
(x
3
+ 1)
4
5
+ C
15.42
Z
e
1
x
x
2
dx =
t =
1
x
dt =
−dx
x
2
−dt =
dx
x
2
= −
Z
e
t
dt = −e
t
+ C = −e
1
x
+ C
15.43
Z
xe
−x
2
=
t = −x
2
dt = −2xdx
−
1
2
dt = xdx
= −
1
2
Z
e
t
dt = −
1
2
e
t
+ C = −
1
2
e
−x
2
+ C
15.44
Z
dx
2 cos
2
3x
=
t = 3x
dt = 3dx
1
3
dt = dx
=
1
6
Z
dt
cos
2
t
=
1
6
tan t + C =
1
6
tan 3x + C
Z
dx
cos
2
x
= tan x + C
15.45
Z
x sin(2x
2
+ 1)dx =
t = 2x
2
+ 1
dt = 4xdx
1
4
dt = xdx
=
1
4
Z
sin tdt = −
1
4
cos t + C = −
1
4
cos(2x
2
+ 1) + C
15.46
Z
sin
5
x cos xdx =
t = sin x
dt = cos x dx
=
Z
t
5
dt =
1
6
t
6
+ C =
1
6
sin
6
x + C
15.47
Z
cos x
√
1 + sin x
dx =
t = 1 + sin x
dt = cos x dx
=
Z
t
−
1
2
dt = 2t
1
2
+ C = 2
√
1 + sin x + C
15.48
Z
sin x
a + b cos x
dx, b 6= 0
11
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
t = a + b cos x
dt = −b sin x dx
−
1
b
dt = sin x dx
= −
1
b
Z
dt
t
= −
1
b
ln |t| + C = −
1
b
ln |a + b cos x| + C
15.49
Z
cos x · e
sin x
= e
sin x
+ C
Z
f
0
(x) · e
f (x)
= e
f (x)
+ C
15.50
Z
x
3
dx
cos
2
x
4
=
t = x
4
dt = 4x
3
dx
1
4
dt = x
3
dx
=
1
4
Z
dt
cos
2
t
=
1
4
tan t + C =
1
4
tan x
4
+ C
15.51
Z
tan x
cos
2
x
dx =
t = tan x
dt =
dx
cos
2
x
=
Z
tdt =
1
2
t
2
+ C =
1
2
tan
2
x + C
15.52
Z
x
2
dx
cos
2
(x
3
+ 1)
=
t = x
3
+ 1
dt = 3x
2
dx
1
3
dt = x
2
dx
=
1
3
Z
dt
cos
2
t
=
1
3
tan t + C =
1
3
tan(x
3
+ 1) + C
15.53
Z
(ln x)
2
x
dx =
t = ln x
dt =
dx
x
=
Z
t
2
dt =
1
3
t
3
+ C =
1
3
(ln x)
3
+ C
15.54
Z
dx
e
x
+ e
−x
=
Z
e
x
dx
e
2x
+ 1
=
t = e
x
dt = e
x
dx
=
Z
dt
t
2
+ 1
= arctan t + C = arctan(e
x
) + C
15.55
Z
e
x
dx
2e
x
+ 1
=
t = 2e
x
+ 1
dt = 2e
x
dx
1
2
dt = e
x
dx
=
1
2
Z
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |2e
x
+ 1| + C
12
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.56
Z
x ln(1 + x
2
)dx =
t = 1 + x
2
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
ln t dt =
u = ln t
dv = dt
du =
dt
t
v = t
=
1
2
t ln t −
Z
dt
=
=
1
2
t ln t −
1
2
t + C =
1
2
(1 + x
2
) ln(1 + x
2
) −
1
2
(1 + x
2
) + C =
1
2
(1 + x
2
) ln(1 + x
2
) −
1
2
x
2
+ C
Uwaga: liczbę −
1
2
włączono do stałej całkowania
Wzór całkowania przez części:
Z
udv = uv −
Z
vdu
15.57
Z
p
2 + ln |x|
x
dx =
t = 2 + ln |x|
dt =
dx
x
=
Z
t
1
2
dt =
2
3
t
3
2
+ C =
2
3
(2 + ln |x|)
3
2
+ C
15.58
Z
6
1−x
dx =
t = 1 − x
dt = −dx
−dt = dx
= −
Z
6
t
dt = −
6
t
ln 6
+ C = −
6
1−x
ln 6
+ C
15.59
Z
dx
x
q
1 − ln
2
|x|
=
t = ln |x|
dt =
dx
x
=
Z
dt
√
1 − t
2
= arcsin t + C = arcsin(ln |x|) + C
15.60
Z
ln | arctan x|dx
1 + x
2
=
t = arctan x
dt =
dx
1+x
2
=
Z
ln t dt =
u = ln t
dv = dt
du =
dt
t
v = t
= t ln t −
Z
dt =
= t ln t − t + C = arctan x[ln(arctan x) − 1] + C
Z
ln |x| dx = x(ln |x| − 1) + C
15.61
Z
xe
x
2
(x
2
+ 1)dx =
Z
xe
x
2
+1
(x
2
+ 1)
e
dx =
t = x
2
+ 1
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2e
Z
te
t
dt =
13
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
u = t
dv = e
t
dt
du = dt
v = e
t
=
1
2e
te
t
−
Z
e
t
dt
+ C =
1
2e
(x
2
+ 1)e
x
2
+1
− e
x
2
+1
+ C =
=
1
2
x
2
e
x
2
+ C
15.62
Z
x
2
dx
√
1 − x
6
=
t = x
3
1
3
dt = x
2
dx
=
1
3
Z
dt
√
1 − t
2
=
1
3
arcsin t + C =
1
3
arcsin(x
3
) + C
15.63
Z
dx
(1 + x
2
) arctan x
=
t = arctan x
dt =
dx
1+x
2
=
Z
dt
t
= ln |t| + C = ln | arctan x| + C
15.64
Z
(π − arcsin x)dx
√
1 − x
2
=
t = arcsin x
dt =
dx
√
1−x
2
=
Z
(π − t)dt = πt −
1
2
t
2
+ C =
= π arcsin x −
1
2
arcsin
2
x + C
15.65
Z
xdx
x
4
+ 1
=
t = x
2
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
dt
t
2
+ 1
=
1
2
arctan t + C =
1
2
arctan(x
2
) + C
15.66
Z
x
4
(1 + x)
3
dx =
Z
(x
4
+ 3x
5
+ 3x
6
+ x
7
)dx =
1
5
x
5
+
1
2
x
6
+
3
7
x
7
+
1
8
x
8
+ C
15.67
Z
x
2
e
x
dx =
u = x
2
dv = e
x
dx
du = 2xdx
v = e
x
= x
2
e
x
− 2
Z
xe
x
dx =
u = x
dv = e
x
dx
du = dx
v = e
x
=
= x
2
e
x
− 2xe
x
+ 2
Z
e
x
dx = x
2
e
x
− 2xe
x
+ 2e
x
+ C = e
x
(x
2
− 2x + 2) + C
15.68
Z
x
3
e
x
dx =
u = x
3
dv = e
x
dx
du = 3x
2
dx
v = e
x
= x
3
e
x
− 3
Z
x
2
e
x
=
u = x
2
dv = e
x
dx
du = 2xdx
v = e
x
=
= x
3
e
x
− 3x
2
e
x
+ 6
Z
xe
x
dx =
u = x
dv = e
x
dx
du = dx
v = e
x
= x
3
e
x
− 3x
2
e
x
+ 6xe
x
− 6
Z
e
x
dx =
= x
3
e
x
− 3x
2
e
x
+ 6xe
x
− 6e
x
+ C = e
x
(x
3
− 3x
2
+ 6x − 6) + C
14
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.69
Z
x
4
e
2x
dx =
u = x
4
dv = e
2x
dx
du = 4x
3
dx
v =
1
2
e
2x
=
1
2
x
4
e
2x
− 2
Z
x
3
e
2x
=
u = x
3
dv = e
2x
dx
du = 3x
2
dx
v =
1
2
e
2x
=
=
1
2
x
4
e
2x
− x
3
e
2x
+ 3
Z
x
2
e
2x
=
u = x
2
dv = e
2x
dx
du = 2xdx
v =
1
2
e
2x
=
=
1
2
x
4
e
2x
− x
3
e
2x
+
3
2
x
2
e
2x
− 3
Z
xe
2x
dx =
u = x
dv = e
2x
dx
du = dx
v =
1
2
e
2x
=
=
1
2
x
4
e
2x
− x
3
e
2x
+
3
2
x
2
e
2x
−
3
2
xe
2x
+
3
2
Z
e
2x
dx =
=
1
2
x
4
e
2x
− x
3
e
2x
+
3
2
x
2
e
2x
−
3
2
xe
2x
+
3
4
e
2x
+ C =
= e
2x
1
2
x
4
− x
3
+
3
2
x
2
−
3
2
x +
3
4
+ C
Z
e
ax
dx =
1
a
e
ax
+ C, gdzie a 6= 0
15.70
Z
x cos xdx =
u = x
dv = cos xdx
du = dx
v = sin x
= x sin x −
Z
sin xdx = x sin x + cos x + C
15.71
Z
x
2
cos xdx =
u = x
2
dv = cos xdx
du = 2xdx
v = sin x
= x
2
sin x − 2
Z
x sin xdx =
=
u = x
dv = sin xdx
du = dx
v = − cos x
= x
2
sin x + 2x cos x − 2
Z
cos xdx =
= x
2
sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
15.72
Z
x
2
sin 5xdx =
u = x
2
dv = sin 5xdx
du = 2xdx
v = −
1
5
cos 5x
= −
1
5
x
2
cos 5x +
2
5
Z
x cos 5x =
=
u = x
dv = cos 5x
du = dx
v =
1
5
sin 5x
= −
1
5
x
2
cos 5x +
2
25
x sin 5x −
2
25
Z
sin 5xdx =
= −
1
5
x
2
cos 5x +
2
25
x sin 5x +
2
125
cos 5x + C
Z
cos axdx =
1
a
sin ax + C, gdzie a 6= 0
Z
sin axdx = −
1
a
cos ax + C, gdzie a 6= 0
15
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.73
Z
e
x
cos xdx =
u = e
x
dv = cos xdx
du = e
x
dx
v = sin x
= e
x
sin x −
Z
e
x
sin xdx =
=
u = e
x
dv = sin x
du = e
x
dx
v = − cos x
= e
x
sin x + e
x
cos x −
Z
e
x
cos xdx
Z
e
x
cos xdx = e
x
sin x + e
x
cos x −
Z
e
x
cos xdx
2
Z
e
x
cos xdx = e
x
(sin x + cos x)
Z
e
x
cos xdx =
1
2
e
x
(sin x + cos x) + C
15.74
Z
e
−2x
sin 3x =
u = e
−2x
dv = sin 3xdx
du = −2e
−2x
dx
v = −
1
3
cos 3x
= −
1
3
e
−2x
cos 3x −
2
3
Z
e
−2x
cos 3xdx =
=
u = e
−2x
dv = cos 3xdx
du = −2e
−2x
v =
1
3
sin 3x
= −
1
3
e
−2x
cos 3x −
2
9
e
−2x
sin 3x −
4
9
Z
e
−2x
sin 3xdx
Z
e
−2x
sin 3xdx = −
1
3
e
−2x
cos 3x −
2
9
e
−2x
sin 3x −
4
9
Z
e
−2x
sin 3xdx
13
9
Z
e
−2x
sin 3xdx = −
1
3
e
−2x
cos 3x −
2
9
e
−2x
sin 3x
Z
e
−2x
sin 3xdx = −
3
13
e
−2x
cos 3x −
2
13
e
−2x
sin 3x + C
15.75
Z
e
x
cos(
2
3
x)dx =
u = e
x
dv = cos(
2
3
x)dx
du = e
x
dx
v =
3
2
sin(
2
3
x)
=
3
2
e
x
sin(
2
3
x) −
3
2
Z
e
x
sin(
2
3
x)dx =
=
u = e
x
dv = sin(
2
3
x)dx
du = e
x
v = −
3
2
cos(
2
3
x)
=
3
2
e
x
sin(
2
3
x) +
9
4
e
x
cos(
2
3
x) −
9
4
Z
e
x
cos(
2
3
x)
Z
e
x
cos(
2
3
x)dx =
3
2
e
x
sin(
2
3
x) +
9
4
e
x
cos(
2
3
x) −
9
4
Z
e
x
cos(
2
3
x)
13
4
Z
e
x
cos(
2
3
x)dx =
3
2
e
x
sin(
2
3
x) +
9
4
e
x
cos(
2
3
x)
Z
e
x
cos(
2
3
x)dx =
6
13
e
x
sin(
2
3
x) +
9
13
e
x
cos(
2
3
x) + C
15.76
Z
√
x ln xdx =
u = ln x
dv =
√
xdx
du =
dx
x
v =
2
3
x
3
2
=
2
3
x
3
2
ln x −
2
3
Z
x
1
2
dx =
2
3
x
3
2
ln x −
4
9
x
3
2
+ C
15.77
Z
(ln |x|)
3
dx =
u = ln
3
|x|
dv = dx
du =
3 ln
2
|x|
x
dx
v = x
= x ln
3
|x| − 3
Z
ln
2
|x|dx =
16
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
u = ln
2
|x|
dv = dx
u =
2 ln |x|
x
dx
v = x
= x ln
3
|x| − 3x ln
2
|x| + 6
Z
ln |x|dx =
u = ln |x|
dv = dx
du =
dx
x
u = x
=
= x ln
3
|x| − 3x ln
2
|x| + 6x ln |x| − 6
Z
dx = x ln
3
|x| − 3x ln
2
|x| + 6x ln |x| − 6x + C
15.78
Z
(ln |x|)
2
x
5
dx =
u = ln
2
|x|
dv = x
−5
dx
du =
2 ln |x|
x
dx
v = −
1
4
x
−4
= −
ln
2
|x|
4x
4
+
1
2
Z
ln |x|
x
5
dx =
=
u = ln |x|
dv = x
−5
dx
du =
dx
x
v = −
1
4
x
−4
= −
ln
2
|x|
4x
4
−
ln |x|
8x
4
+
1
8
Z
dx
x
5
= −
ln
2
|x|
4x
4
−
ln |x|
8x
4
−
1
32x
4
+ C
15.79
Z
√
x(ln |x|)
3
dx =
u = ln
3
|x|
dv =
√
xdx
du =
3 ln
2
|x|
x
dx
v =
2
3
x
3
2
=
2
3
x
3
2
ln
3
|x| − 2
Z
√
x ln
2
|x| =
=
u = ln
2
|x|
dv =
√
xdx
du =
2 ln |x|
x
dx
v =
2
3
x
3
2
=
2
3
x
3
2
ln
3
|x| −
4
3
x
3
2
ln
2
|x| +
8
3
Z
√
x ln |x|dx =
=
u = ln |x|
dv =
√
xdx
du =
dx
x
v =
2
3
x
3
2
=
2
3
x
3
2
ln
3
|x| −
4
3
x
3
2
ln
2
|x| +
16
9
x
3
2
ln |x| −
16
9
Z
√
xdx =
=
2
3
x
3
2
ln
3
|x| −
4
3
x
3
2
ln
2
|x| +
16
9
x
3
2
ln |x| −
32
27
x
3
2
+ C
15.80
Z
ln |x|
x
4
dx =
u = ln |x|
dv = x
−4
dx
du =
dx
x
v = −
1
3
x
−3
= −
ln |x|
3x
3
+
1
3
Z
dx
x
4
= −
ln |x|
3x
3
−
1
9x
3
+ C
15.81
Z
(ln x)
2
√
x
dx =
t =
√
x
2dt =
dx
√
x
= 2
Z
(ln t
2
)
2
dt = 8
Z
ln
2
tdt =
u = ln
2
t
dv = dt
du =
2 ln t
t
dt
v = t
=
= 8t ln
2
t − 16
Z
ln tdt =
u = ln t
dv = dt
du =
dt
t
v = t
= 8t ln
2
t − 16t ln t + 16
Z
dt =
= 8t ln
2
t − 16t ln t + 16t + C = 8
√
x ln
2
(
√
x) − 16
√
x ln(
√
x) + 16
√
x + C =
= 2
√
x ln
2
x − 8
√
x ln x + 16
√
x + C
15.82
Z
x
3
(ln x)
2
dx =
u = ln
2
x
dv = x
3
dx
du =
2 ln x
x
dx
v =
1
4
x
4
=
1
4
x
4
ln
2
x −
1
2
Z
x
3
ln xdx =
=
u = ln x
dv = x
3
dx
du =
dx
x
v =
1
4
x
4
=
1
4
x
4
ln
2
x −
1
8
x
4
ln x +
1
8
Z
x
3
dx =
1
4
x
4
ln
2
x −
1
8
x
4
ln x +
1
32
x
4
+ C
17
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
15.83
Z
x
n
ln x dx, n 6= −1
=
u = ln x
dv = x
n
dx
du =
dx
x
v =
1
n+1
x
n+1
=
1
n + 1
x
n+1
ln x −
1
n + 1
Z
x
n
dx =
=
1
n + 1
x
n+1
ln x −
1
(n + 1)
2
x
n+1
+ C =
x
n+1
n + 1
ln x −
1
n + 1
+ C
16
Całki funkcji wymiernych.
16.26
Z
(2x + 1)
3
dx =
t = 2x + 1
1
2
dt = dx
=
1
2
Z
t
3
dt =
1
8
t
4
+ C =
1
8
(2x + 1)
4
+ C
16.27
Z
dx
(3x − 2)
4
=
t = 3x − 2
1
3
dt = dx
=
1
3
Z
t
−4
dt = −
1
9
t
−3
+ C = −
1
9(3x − 2)
3
+ C
16.28
Z
3x − 4
x
2
− x − 6
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
3x − 4
x
2
− x − 6
=
3x − 4
(x − 3)(x + 2)
≡
A
x − 3
+
B
x + 2
3x − 4 ≡ A(x + 2) + B(x − 3)
3x − 4 ≡ (A + B)x + (2A − 3B)
(
A + B = 3
2A − 3B = −4
(
A = 1
B = 2
. . . =
Z
dx
x − 3
+
Z
2dx
x + 2
= ln |x − 3| + 2 ln |x + 2| + C
16.29
Z
2x − 3
x
2
− 3x + 3
dx = ln |x
2
− 3x + 3| + C
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C
18
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
16.30
Z
x + 13
x
2
− 4x − 5
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
x + 13
x
2
− 4x − 5
=
x + 13
(x − 5)(x + 1)
≡
A
x − 5
+
B
x + 1
x + 13 ≡ A(x + 1) + B(x − 5)
x + 13 ≡ (A + B)x + (A − 5B)
(
A + B = 1
A − 5B = 13
(
A = 3
B = −2
. . . =
Z
3dx
x − 5
+
Z
−2dx
x + 1
= 3 ln |x − 5| − 2 ln |x + 1| + C
16.31
Z
2x + 6
2x
2
+ 3x + 1
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
2x + 6
2x
2
+ 3x + 1
=
2x + 6
(2x + 1)(x + 1)
≡
A
2x + 1
+
B
x + 1
2x + 6 ≡ A(x + 1) + B(2x + 1)
2x + 6 ≡ (A + 2B)x + (A + B)
(
A + 2B = 2
A + B = 6
(
A = 10
B = −4
. . . =
Z
10
2x + 1
dx +
Z
−4
x + 1
dx = 5 ln |2x + 1| − 4 ln |x + 1| + C
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C, gdzie a 6= 0
16.32
Z
6x − 13
x
2
−
7
2
x +
3
2
dx =
Z
12x − 26
2x
2
− 7x + 3
dx =
Z
12x − 26
(2x − 1)(x − 3)
dx = . . .
19
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
12x − 26
(2x − 1)(x − 3)
≡
A
2x − 1
+
B
x − 3
12x − 26 ≡ A(x − 3) + B(2x − 1)
12x − 26 ≡ (A + 2B)x + (−3A − B)
(
A + 2B = 12
−3A − B = −26
(
A = 8
B = 2
. . . =
Z
8
2x − 1
dx +
Z
2
x − 3
dx = 4 ln |2x − 1| + 2 ln |x − 3| + C
16.33
Z
4x − 5
2x
2
− 5x + 3
dx =
Z
(2x
2
− 5x + 3)
0
2x
2
− 5x + 3
dx = ln |2x
2
− 5x + 3| + C
16.34
Z
5x + 11
x
2
+ 3x − 10
dx =
Z
5x + 11
(x + 5)(x − 2)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
5x + 11
(x + 5)(x − 2)
≡
A
x + 5
+
B
x − 2
5x + 11 ≡ A(x − 2) + B(x + 5)
5x + 11 ≡ (A + B)x + (−2A + 5B)
(
A + B = 5
−2A + 5B = 11
(
A = 2
B = 3
. . . =
Z
2
x + 5
dx +
Z
3
x − 2
dx = 2 ln |x + 5| + 3 ln |x − 2| + C
16.35
Z
5
6
x − 16
x
2
+ 3x − 18
dx =
Z
5
6
x − 16
(x + 6)(x − 3)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
5
6
x − 16
(x + 6)(x − 3)
≡
A
x + 6
+
B
x − 3
5
6
x − 16 ≡ A(x − 3) + B(x + 6)
20
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
5
6
x − 16 ≡ (A + B)x + (−3A + 6B)
(
A + B =
5
6
−3A + 6B = −16
(
A =
7
3
B = −
3
2
. . . =
Z
7
3
x + 6
dx +
Z
−
3
2
x − 3
dx =
7
3
ln |x + 6| −
3
2
ln |x − 3| + C
16.36
Z
dx
x
2
+ 2x − 1
=
Z
dx
(x + 1)
2
− 2
=
Z
dx
(x + 1 +
√
2)(x + 1 −
√
2)
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
(x + 1 +
√
2)(x + 1 −
√
2)
≡
A
x + 1 +
√
2
+
B
x + 1 −
√
2
1 ≡ A(x + 1 −
√
2) + B(x + 1 +
√
2)
1 ≡ (A + B)x + [A(1 −
√
2) + B(1 +
√
2)]
(
A + B = 0
A(1 −
√
2) + B(1 +
√
2) = 1
A = −
1
2
√
2
B =
1
2
√
2
. . . =
Z
−
1
2
√
2
x + 1 +
√
2
+
Z
1
2
√
2
x + 1 −
√
2
−
1
2
√
2
ln |x + 1 +
√
2| +
1
2
√
2
ln |x + 1 −
√
2| + C =
1
2
√
2
ln
x + 1 −
√
2
x + 1 +
√
2
+ C
16.37
Z
dx
6x
2
− 13x + 6
=
Z
dx
(3x − 2)(2x − 3)
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
(3x − 2)(2x − 3)
≡
A
3x − 2
+
B
2x − 3
1 ≡ A(2x − 3) + B(3x − 2)
1 ≡ (2A + 3B) + (−3A − 2B)
(
2A + 3B = 0
−3A − 2B = 1
(
A = −
3
5
B =
2
5
21
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
. . . =
Z
−
3
5
3x − 2
dx +
Z
2
5
2x − 3
dx = −
1
5
ln |3x − 2| +
1
5
ln |2x − 3| + C
16.38
Z
5 + x
10x + x
2
dx =
Z
1
2
(10 + 2x)
10x + x
2
dx =
1
2
ln |10x + x
2
| + C
16.39
Z
7x
4 + 5x
2
dx =
Z
7
10
· 10x
4 + 5x
2
dx =
7
10
ln |4 + 5x
2
| + C
16.40
Z
dx
−5 + 6x − x
2
=
Z
dx
2
2
− (x − 3)
2
=
1
4
ln
2 + (x − 3)
2 − (x − 3)
+ C
Z
dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+ C, dla a > 0 ∧ |x| 6= a
16.41
Z
dx
1 + x − x
2
= −
Z
dx
x
2
− x − 1
= −
Z
dx
(x −
1
2
)
2
−
5
4
= −
Z
dx
(x −
1+
√
5
2
)(x −
1−
√
5
2
)
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
(x −
1+
√
5
2
)(x −
1−
√
5
2
)
≡
A
x −
1+
√
5
2
+
B
x −
1−
√
5
2
1 ≡ A(x −
1 −
√
5
2
) + B(x −
1 +
√
5
2
)
1 ≡ (A + B)x +
−A ·
1 −
√
5
2
− B ·
1 +
√
5
2
!
(
A + B = 0
−A ·
1−
√
5
2
− B ·
1+
√
5
2
= 1
A =
1
√
5
B = −
1
√
5
. . . = −
Z
1
√
5
x −
1+
√
5
2
dx +
Z
−
1
√
5
x −
1−
√
5
2
dx
=
ln |x −
1−
√
5
2
| − ln |x −
1+
√
5
2
|
√
5
+ C
16.42
Z
dx
2x − 3x
2
=
Z
dx
x(2 − 3x)
= . . .
22
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
1
x(2 − 3x)
≡
A
x
+
B
2 − 3x
1 ≡ A(2 − 3x) + Bx
1 ≡ (−3A + B)x + 2A
(
−3A + B = 0
2A = 1
(
A =
1
2
B =
3
2
. . . =
Z
1
2
x
dx +
Z
3
2
2 − 3x
dx =
1
2
ln |x| −
1
2
ln |2 − 3x| + C
16.43
Z
3x + 2
x
2
− x − 2
dx =
Z
3x + 2
(x + 1)(x − 2)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
3x + 2
(x + 1)(x − 2)
≡
A
x + 1
+
B
x − 2
3x + 2 ≡ A(x − 2) + B(x + 1)
3x + 2 ≡ (A + B)x + (−2A + B)
(
A + B = 3
−2A + B = 2
(
A =
1
3
B =
8
3
. . . =
Z
1
3
x + 1
dx +
Z
8
3
x − 2
dx =
1
3
ln |x + 1| +
8
3
ln |x − 2| + C
16.44
Z
2x − 1
x
2
− 6x + 9
dx =
Z
2x − 6 + 5
x
2
− 6x + 9
dx =
Z
(x
2
− 6x + 9)
0
x
2
− 6x + 9
dx +
Z
5
(x − 3)
2
dx
ln |x
2
− 6x + 9| −
5
x − 3
+ C
16.45
Z
x − 1
4x
2
− 4x + 1
dx =
Z
1
8
(4x
2
− 4x + 1)
0
−
1
2
4x
2
− 4x + 1
dx =
1
8
ln |4x
2
− 4x + 1| −
1
2
Z
dx
(2x − 1)
2
1
8
ln |(2x − 1)
2
| −
1
2
·
−1
2(2x − 1)
+ C =
1
4
ln |2x − 1| +
1
4(2x − 1)
+ C
16.46
23
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
2x − 13
(x − 5)
2
dx =
Z
2(x − 5) − 3
(x − 5)
2
dx =
Z
2
x − 5
dx −
Z
3
(x − 5)
2
2 ln |x − 5| +
3
x − 5
+ C
16.47
Z
3x + 1
(x + 2)
2
dx =
Z
3(x + 2) − 5
(x + 2)
2
dx =
Z
3
x + 2
dx −
Z
5
(x + 2)
2
dx
3 ln |x + 2| +
5
x + 2
+ C
16.48
Z
dx
2x
2
− 2x + 5
=
1
2
Z
dx
(x −
1
2
)
2
+ (
3
2
)
2
=
1
3
arctan
2x − 1
3
+ C
Z
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C, gdzie a 6= 0
16.49
Z
dx
3x
2
+ 2x + 1
=
1
3
Z
dx
(x +
1
3
)
2
+ (
√
2
3
)
2
=
1
√
2
arctan
3x + 1
√
2
+ C
16.50
Z
dx
13 − 6x + x
2
=
Z
dx
(x − 3)
2
+ 2
2
=
1
2
arctan
x − 3
2
+ C
16.51
Z
3dx
9x
2
− 6x + 2
=
Z
3dx
(3x − 1)
2
+ 1
=
t = 3x − 1
dt = 3dx
=
Z
dt
t
2
+ 1
arctan t + C = arctan(3x − 1) + C
16.52
Z
x + 1
x
2
− x + 1
dx =
Z
1
2
(x
2
− x + 1)
0
+
3
2
x
2
− x + 1
dx =
1
2
ln |x
2
− x + 1| +
3
2
Z
dx
(x −
1
2
)
2
− (
√
3
2
)
2
1
2
ln |x
2
− x + 1| +
√
3 arctan
2x − 1
√
3
+ C
16.53
24
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
4x − 1
2x
2
− 2x + 1
dx =
Z
(2x
2
− 2x + 1)
0
+ 1
2x
2
− 2x + 1
dx = ln |2x
2
− 2x + 1| +
1
2
Z
dx
(x −
1
2
)
2
+ (
1
2
)
2
ln |2x
2
− 2x + 1| + arctan(2x − 1) + C
16.54
Z
2x − 1
x
2
− 2x + 5
dx =
Z
(x
2
− 2x + 5)
0
+ 1
x
2
− 2x + 5
dx = ln |x
2
− 2x + 5| +
Z
dx
(x − 1)
2
+ 2
2
ln |x
2
− 2x + 5| +
1
2
arctan
x − 1
2
+ C
16.55
Z
2x − 10
x
2
− 2x + 10
dx =
Z
(x
2
− 2x + 10)
0
− 8
x
2
− 2x + 10
dx = ln |x
2
− 2x + 10| − 8
Z
dx
(x − 1)
2
+ 3
2
ln |x
2
− 2x + 10| −
8
3
arctan
x − 1
3
+ C
16.56
Z
2x − 20
x
2
− 8x + 25
dx =
Z
(x
2
− 8x + 25)
0
− 12
x
2
− 8x + 25
dx = ln |x
2
− 8x + 25| − 12
Z
dx
(x − 4) + 3
2
ln |x
2
− 8x + 25| − 4 arctan
x − 4
3
+ C
16.57
Z
3x + 4
x
2
+ 4x + 8
dx =
Z
3
2
(x
2
+ 4x + 8)
0
− 2
x
2
+ 4x + 8
dx =
3
2
ln |x
2
+ 4x + 8| − 2
Z
dx
(x + 2)
2
+ 2
2
3
2
ln |x
2
+ 4x + 8| − arctan
x + 2
2
+ C
16.58
Z
x + 6
x
2
− 3
dx =
Z
1
2
(x
2
− 3)
0
+ 6
x
2
− 3
dx =
1
2
ln |x
2
− 3| + 6
Z
dx
x
2
− 3
1
2
ln |x
2
− 3| − 6
Z
dx
3 − x
2
=
1
2
ln |x
2
− 3| −
√
3 ln
√
3 + x
√
3 − x
+ C
16.59
Z
x + 6
x
2
+ 3
dx =
Z
1
2
(x
2
+ 3)
0
+ 6
x
2
+ 3
dx =
1
2
ln |x
2
+ 3| + 2
√
3 arctan
x
√
3
+ C
16.60
25
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
6x
x
2
+ 4x + 13
dx =
Z
3(x
2
+ 4x + 13)
0
− 12
x
2
+ 4x + 13
= 3 ln |x
2
+ 4x + 13| − 12
Z
dx
(x + 2)
2
+ 3
2
3 ln |x
2
+ 4x + 13| − 4 arctan
x + 2
3
+ C
16.61
Z
10x − 44
x
2
− 4x + 20
dx =
Z
5(x
2
− 4x + 20)
0
− 24
x
2
− 4x + 20
dx = 5 ln |x
2
− 4x + 20| − 24
Z
dx
(x − 2)
2
+ 4
2
5 ln |x
2
− 4x + 20| − 6 arctan
x − 2
4
+ C
16.62
Z
4x − 5
x
2
− 6x + 10
dx =
Z
2(x
2
− 6x + 10)
0
+ 7
x
2
− 6x + 10
dx = 2 ln |x
2
− 6x + 10| + 7
Z
dx
(x − 3)
2
+ 1
2 ln |x
2
− 6x + 10| + 7 arctan(x − 3) + C
16.63
Z
5x
2 + 3x
dx =
Z
5
3
(3x + 2) −
10
3
3x + 2
dx =
5
3
x −
10
9
ln |3x + 2| + C
16.64
Z
x
2
5x
2
+ 12
dx =
1
5
Z
x
2
+
12
5
−
12
5
x
2
+
12
5
=
1
5
x −
12
25
Z
dx
x
2
+ (2
q
3
5
)
2
1
5
x −
6
25
r
5
3
arctan
x
2
r
5
3
!
+ C
16.65
Z
2x
2
+ 7x + 20
x
2
+ 6x + 25
dx =
Z
2(x
2
+ 6x + 25) − 5x − 30
x
2
+ 6x + 25
dx = 2x −
Z
5
2
(x
2
+ 6x + 30)
0
+ 15
x
2
+ 6x + 25
dx
2x −
5
2
ln |x
2
+ 6x + 30| − 15
Z
dx
(x + 3)
2
+ 4
2
2x −
5
2
ln |x
2
+ 6x + 30| −
15
4
arctan
x + 3
4
+ C
16.66
Z
7x
2
+ 7x − 176
x
3
− 9x
2
+ 6x + 56
dx =
Z
7x
2
+ 7x − 176
(x + 2)(x − 4)(x − 7)
dx = . . .
26
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
7x
2
+ 7x − 176
(x + 2)(x − 4)(x − 7)
≡
A
x + 2
+
B
x − 4
+
C
x − 7
7x
2
+ 7x − 176 ≡ A(x − 4)(x − 7) + B(x + 2)(x − 7) + C(x + 2)(x − 4)
7x
2
+ 7x − 176 ≡ (A + B + C)x
2
+ (−11A − 5B − 2C)x + (28A − 14B − 8C)
A + B + C = 7
−11A − 5B − 2C = 7
28A − 14B − 8C = −176
A = −3
B = 2
C = 8
. . . =
Z
−3
x + 2
dx +
Z
2
x − 4
dx +
Z
8
x − 7
dx
−3 ln |x + 2| + 2 ln |x − 4| + 8 ln |x − 7| + C
16.67
Z
x
3
− 4x
2
+ 1
(x − 2)
4
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
Z
x
3
− 4x
2
+ 1
(x − 2)
4
≡
A
x − 2
+
B
(x − 2)
2
+
C
(x − 2)
3
+
D
(x − 2)
4
x
3
− 4x
2
+ 1 ≡ A(x − 2)
3
+ B(x − 2)
2
+ C(x − 2) + D
x
3
− 4x
2
+ 1 ≡ Ax
3
+ (−6A + B)x
2
+ (12Ax − 4B + C)x + (−8A + 4B − 2C + D)
A = 1
−6A + B = −4
12A − 4B + C = 0
−8A + 4B − 2C + D = 1
A = 1
B = 2
C = −4
D = −7
. . . =
Z
dx
x − 2
+
Z
2
(x − 2)
2
dx +
Z
−4
(x − 2)
3
dx +
Z
−7
(x − 2)
4
dx =
= ln |x − 2| −
2
x − 2
+
2
(x − 2)
2
+
7
3(x − 2)
3
+ C
16.68
Z
3x
2
− 5x + 2
x
3
− 2x
2
+ 3x − 6
=
Z
3x
2
− 5x + 2
(x
2
+ 3)(x − 2)
dx = . . .
27
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
3x
2
− 5x + 2
(x
2
+ 3)(x − 2)
≡
Ax + B
x
2
+ 3
+
C
x − 2
3x
2
− 5x + 2 ≡ (Ax + B)(x − 2) + C(x
2
+ 3)
3x
2
− 5x + 2 ≡ (A + C)x
2
+ (−2A + B)x + (−2B + 3C)
A + C = 3
−2A + B = −5
−2B + 3C = 2
A =
17
7
B = −
1
7
C =
4
7
. . . =
Z
17
7
x −
1
7
x
2
+ 3
dx +
Z
4
7
x − 2
=
17
14
ln |x
2
+ 3| −
1
7
Z
dx
x
2
+ 3
+
4
7
ln |x − 2| =
=
17
14
ln |x
2
+ 3| −
1
7
√
3
arctan
x
√
3
+
4
7
ln |x − 2| + C
16.69
Z
2x + 1
(x
2
+ 1)
2
dx =
Z
2x
(x
2
+ 1)
2
dx
|
{z
}
1
+
Z
dx
(x
2
+ 1)
2
|
{z
}
2
= . . .
1)
Z
2x
(x
2
+ 1)
2
dx =
t = x
2
+ 1
dt = 2xdx
=
Z
t
−2
dt = −
1
t
+ C = −
1
x
2
+ 1
+ C
2)
Z
dx
(x
2
+ 1)
2
=
Z
x
2
+ 1 − x
2
(x
2
+ 1)
2
dx =
Z
dx
x
2
+ 1
−
Z
x
2
(x
2
+ 1)
2
dx =
= arctan x −
u = x
dv =
xdx
(x
2
+1)
2
du = dx
v = −
1
2(x
2
+1)
= arctan x +
x
2(x
2
+ 1)
−
1
2
Z
dx
x
2
+ 1
=
=
1
2
arctan x +
x
2(x
2
+ 1)
+ C
. . . = −
1
x
2
+ 1
+
1
2
arctan x +
x
2(x
2
+ 1)
+ C =
x − 2
2(x
2
+ 1)
+
1
2
arctan x + C
16.70
Z
x
3
+ 2x − 6
x
2
− x − 2
dx =
Z
x(x
2
− x − 2) + x
2
+ 4x − 6
x
2
− x − 2
dx =
1
2
x
2
+
Z
(x
2
− x − 2) + 5x − 4
x
2
− x − 2
dx =
=
1
2
x
2
+ x +
Z
5x − 4
x
2
− x − 2
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
5x − 4
x
2
− x − 2
≡
A
x + 1
+
B
x − 2
28
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
5x − 4 ≡ A(x − 2) + B(x + 1)
5x − 4 ≡ (A + B)x + (−2A + B)
(
A + B = 5
−2A + B = −4
(
A = 3
B = 2
. . . =
1
2
x
2
+ x +
Z
3dx
x + 1
+
Z
2dx
x − 2
=
1
2
x
2
+ x + 3 ln |x + 1| + 2 ln |x − 2| + C
16.71
Z
2x
3
− 19x
2
+ 58x − 42
x
2
− 8x + 16
dx =
Z
2x(x
2
− 8x + 16) − 3x
2
+ 26x − 42
x
2
− 8x + 16
dx =
= x
2
+
Z
−3(x
2
− 8x + 16) + 2x + 6
x
2
− 8x + 16
dx = x
2
− 3x +
Z
(x
2
− 8x + 16)
0
+ 14
(x − 4)
2
dx =
= x
2
− 3x + 2 ln |x − 4| −
14
x − 4
+ C
16.72
Z
x
4
x
2
+ 1
dx =
Z
(x
2
− 1)(x
2
+ 1) + 1
x
2
+ 1
dx =
Z
(x
2
− 1)dx +
Z
dx
x
2
+ 1
=
=
1
3
x
3
− x + arctan x + C
16.73
Z
72x
6
3x
2
+ 2
dx =
Z
24x
4
(3x
2
+ 2) − 48x
4
3x
2
+ 2
dx =
Z
24x
4
dx −
Z
16x
2
(3x
2
+ 2) − 32x
2
3x
2
+ 2
=
=
24
5
x
5
−
Z
16x
2
dx +
Z
32
3
(3x
2
+ 2) −
64
3
3x
2
+ 2
dx =
24
5
x
5
−
16
3
x
3
+
32
3
x −
64
9
Z
dx
x
2
+
2
3
=
=
24
5
x
5
−
16
3
x
3
+
32
3
x −
32
3
r
2
3
arctan
x
r
3
2
!
+ C
16.74
Z
2x
4
− 10x
3
+ 21x
2
− 20x + 5
x
2
− 3x + 2
dx =
Z
2x
2
(x
2
− 3x + 2) − 4x
3
+ 17x
2
− 20x + 5
x
2
− 3x + 2
dx =
=
2
3
x
3
+
Z
−4x(x
2
− 3x + 2) + 5x
2
− 12x + 5
x
2
− 3x + 2
dx =
=
2
3
x
3
− 2x
2
+
Z
5(x
2
− 3x + 2) + 3x − 5
x
2
− 3x + 2
dx =
2
3
x
3
− 2x
2
+ 5x +
Z
3x − 5
x
2
− 3x + 2
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
3x − 5
x
2
− 3x + 2
≡
A
x − 1
+
B
x − 2
3x − 5 ≡ A(x − 2) + B(x − 1)
29
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
3x − 5 ≡ (A + B)x + (−2A − B)
(
A + B = 3
−2A − B = −5
(
A = 2
B = 1
. . . =
2
3
x
3
− 2x
2
+ 5x +
Z
2dx
x − 1
+
Z
dx
x − 2
=
=
2
3
x
3
− 2x
2
+ 5x + 2 ln |x − 1| + ln |x − 2| + C
16.75
Z
x
2
+ 5x + 41
(x + 3)(x − 1)(x −
1
2
)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
x
2
+ 5x + 41
(x + 3)(x − 1)(x −
1
2
)
≡
A
x + 3
+
B
x − 1
+
C
x −
1
2
x
2
+ 5x + 41 ≡ A(x − 1)(x −
1
2
) + B(x + 3)(x −
1
2
) + C(x + 3)(x − 1)
x
2
+ 5x + 41 ≡ (A + B + C)x
2
+ (−
3
2
A +
5
2
B + 2C)x + (
1
2
A −
3
2
B − 3C)
A + B + C = 1
−3A + 5B + 4C = 10
A − 3B − 6C = 82
A =
5
2
B =
47
2
C = −25
. . . =
Z
5
2
x + 3
dx +
Z
47
2
x − 1
dx +
Z
−25
x −
1
2
dx =
=
5
2
ln |x + 3| +
47
2
ln |x − 1| − 25 ln |x −
1
2
| + C
16.76
Z
17x
2
− x − 26
(x
2
− 1)(x
2
− 4)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
17x
2
− x − 26
(x
2
− 1)(x
2
− 4)
≡
A
x + 1
+
B
x − 1
+
C
x + 2
+
D
x − 2
17x
2
− x − 26 ≡ A(x − 1)(x
2
− 4) + B(x + 1)(x
2
− 4) + C(x
2
− 1)(x − 2) + D(x
2
− 1)(x + 2)
A + B + C + D = 0
−A + B − 2C + 2D = 17
−4A − 4B − C − D = −1
4A − 4B + 2C − 2D = −26
30
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
A = −
4
3
B =
5
3
C = −
11
3
D =
10
3
. . . =
Z
−
4
3
x + 1
dx +
Z
5
3
x − 1
dx +
Z
−
11
3
x + 2
dx +
Z
10
3
x − 2
dx =
= −
4
3
ln |x + 1| +
5
3
ln |x − 1| −
11
3
ln |x + 2| +
10
3
ln |x − 2| + C
16.77
Z
2x
(x
2
+ 1)(x
2
+ 3)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
2x
(x
2
+ 1)(x
2
+ 3)
≡
Ax + B
x
2
+ 1
+
Cx + D
x
2
+ 3
2x ≡ (Ax + B)(x
2
+ 3) + (Cx + D)(x
2
+ 1)
2x ≡ (A + C)x
3
+ (B + D)x
2
+ (3A + C)x + (3B + D)
A + C = 0
B + D = 0
3A + C = 2
3B + D = 0
A = 1
B = 0
C = −1
D = 0
. . . =
Z
xdx
x
2
+ 1
−
Z
xdx
x
2
+ 3
=
1
2
ln |x
2
+ 1| −
1
2
ln |x
2
+ 3| + C
16.78
Z
10x
3
+ 110x + 400
(x
2
− 4x + 29)(x
2
− 2x + 5)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
10x
3
+ 110x + 400
(x
2
− 4x + 29)(x
2
− 2x + 5)
≡
Ax + B
x
2
− 4x + 29
+
Cx + D
x
2
− 2x + 5
10x
3
+ 110x + 400 ≡ (Ax + B)(x
2
− 2x + 5) + (Cx + D)(x
2
− 4x + 29)
A + C = 10
−2A + B − 4C + D = 0
5A − 2B + 29C − 4D = 110
5B + 29D = 400
31
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
A = 4
B = 22
C = 6
D = 10
. . . =
Z
4x + 22
x
2
− 4x + 29
dx +
Z
6x + 10
x
2
− 2x + 5
dx =
=
Z
2(x
2
− 4x + 29)
0
+ 30
(x − 2)
2
+ 5
2
dx +
Z
3(x
2
− 2x + 5)
0
+ 16
(x − 1)
2
+ 2
2
dx =
= 2 ln |x
2
− 4x + 29| + 6 arctan
x − 2
5
+ 3 ln |x
2
− 2x + 5| + 8 arctan
x − 1
2
+ C
16.79
Z
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13
x
4
+ 3x
2
− 4
dx =
Z
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13
(x
2
+ 4)(x
2
− 1)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13
(x
2
+ 4)(x
2
− 1)
≡
Ax + B
x
2
+ 4
+
C
x + 1
+
D
x − 1
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13 ≡ (Ax + B)(x
2
− 1) + C(x
2
+ 4)(x − 1) + D(x
2
+ 4)(x + 1)
4x
3
− 2x
2
+ 6x − 13 ≡ (A + C + D)x
3
+ (B − C + D)x
2
+ (−A + 4C + 4D)x + (−B − 4C + 4D)
A + C + D = 4
B − C + D = −2
−A + 4C + 4D = 6
−B − 4C + 4D = −13
. . .
A = 2
B = 1
C =
5
2
D = −
1
2
. . . =
Z
2x + 1
x
2
+ 4
+
Z
5
2
x + 1
+
Z
−
1
2
x − 1
=
= ln |x
2
+ 4| +
1
2
arctan
x
2
+
5
2
ln |x + 1| −
1
2
ln |x − 1| + C
16.80
Z
10x
3
+ 40x
2
+ 40x + 6
x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
10x
3
+ 40x
2
+ 40x + 6
x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x
≡
A
x
+
B
x + 1
+
C
x + 2
+
D
x + 3
10x
3
+ 40x
2
+ 40x + 6 ≡ A(x + 1)(x + 2)(x + 3) + Bx(x + 2)(x + 3) + Cx(x + 1)(x + 3) + Dx(x + 1)(x + 2)
32
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
10x
3
+ 40x
2
+ 40x + 6 ≡ (A + B + C + D)x
3
+ (6A + 5B + 4C + 3D)x
2
+ (11A + 6B + 3C + 2D)x + 6A
A + B + C + D = 10
6A + 5B + 4C + 3D = 40
11A + 6B + 3C + 2D = 40
6A = 6
. . .
A = 1
B = 2
C = 3
D = 4
. . . =
Z
dx
x
+
Z
2dx
x + 1
+
Z
3dx
x + 2
+
Z
4dx
x + 3
=
= ln |x| + 2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 2| + 4 ln |x + 3| + C
16.81
Z
6x
3
+ 4x + 1
x
4
+ x
2
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
6x
3
+ 4x + 1
x
4
+ x
2
≡
A
x
+
B
x
2
+
Cx + D
x
2
+ 1
6x
3
+ 4x + 1 ≡ A(x
3
+ x) + B(x
2
+ 1) + (Cx + D)x
2
6x
3
+ 4x + 1 ≡ (A + C)x
3
+ (B + D)x
2
+ Ax + B
A + C = 6
B + D = 0
A = 4
B = 1
A = 4
B = 1
C = 2
D = −1
. . . =
Z
4dx
x
+
Z
dx
x
2
+
Z
2x − 1
x
2
+ 1
dx = 4 ln |x| −
1
x
+ ln |x
2
+ 1| − arctan x + C
16.82
Z
dx
x
3
− a
2
x
= . . .
dla
a = 0 →
Z
dx
x
3
= −
1
2x
2
+ C
33
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
dla
a 6= 0
rozkład na ułamki proste:
1
x
3
− a
2
x
≡
A
x
+
Bx + C
x
2
− a
2
1 ≡ A(x
2
− a
2
) + (Bx + C)x
1 ≡ (A + B)x
2
+ Cx − a
2
A
A + B = 0
C = 0
−a
2
A = 1
A = −
1
a
2
B =
1
a
2
C = 0
. . . =
Z
−
1
a
2
x
+
Z
1
a
2
x
x
2
− a
2
= −
1
a
2
ln |x| +
1
2a
2
ln |x
2
− a
2
| + C
16.83
Z
dx
x
3
+ x
2
+ x
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
x
3
+ x
2
+ x
≡
A
x
+
Bx + C
x
2
+ x + 1
1 ≡ A(x
2
+ x + 1) + (Bx + C)x
1 ≡ (A + B)x
2
+ (A + C)x + A
A + B = 0
A + C = 0
A = 1
A = 1
B = −1
C = −1
. . . =
Z
dx
x
+
Z
−x − 1
x
2
+ x + 1
= ln |x| +
Z
−
1
2
(x
2
+ x + 1)
0
−
1
2
(x +
1
2
)
2
+ (
√
3
2
)
2
dx =
= ln |x| −
1
2
ln |x
2
+ x + 1| −
1
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
16.84
Z
dx
x
4
+ x
2
+ 1
= . . .
34
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
1
x
4
+ x
2
+ 1
≡
Ax + B
x
2
− x + 1
+
Cx + D
x
2
+ x + 1
1 ≡ (Ax + B)(x
2
+ x + 1)(Cx + D)(x
2
− x + 1)
1 ≡ (A + C)x
3
+ (A + B − C + D)x
2
+ (A + B + C − D)x + (B + D)
A + C = 0
A + B − C + D = 0
A + B + C − D = 0
B + D = 0
. . .
A = −
1
2
B =
1
2
C =
1
2
D =
1
2
. . . =
Z
−
1
2
x +
1
2
x
2
− x + 1
dx +
Z
1
2
x +
1
2
x
2
+ x + 1
=
Z
−
1
4
(x
2
− x + 1)
0
+
1
4
x
2
− x + 1
dx +
Z
1
4
(x
2
+ x + 1)
0
+
1
4
x
2
+ x + 1
dx =
= −
1
4
ln |x
2
− x + 1| +
Z
1
4
(x −
1
2
)
2
+ (
√
3
2
)
2
+
1
4
ln |x
2
+ x + 1| +
Z
1
4
(x +
1
2
)
2
+ (
√
3
2
)
2
dx =
=
1
4
ln
x
2
+ x + 1
x
2
− x + 1
+
1
2
√
3
arctan
2x − 1
√
3
+
1
2
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
16.85
Z
5x
3
+ 3x
2
+ 12x − 12
x
4
− 16
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
5x
3
+ 3x
2
+ 12x − 12
x
4
− 16
≡
A
x − 2
+
B
x + 2
+
Cx + D
x
2
+ 4
5x
3
+ 3x
2
+ 12x − 12 ≡ A(x + 2)(x
2
+ 4) + B(x − 2)(x
2
+ 4) + (Cx + D)(x
2
− 4)
5x
3
+ 3x
2
+ 12x − 12 ≡ (A + B + C)x
3
+ (2A − 2B + D)x
2
+ (4A + 4B − 4C)x + (8A − 8B − 4D)
A + B + C = 5
2A − 2B + D = 3
4A + 4B − 4C = 12
8A − 8B − 4D = −12
A = 2
B = 2
C = 1
D = 3
. . . =
Z
2dx
x − 2
+
Z
2dx
x + 2
+
Z
x + 3
x
2
+ 4
dx =
= 2 ln |x − 2| + 2 ln |x + 2| +
1
2
ln |x
2
+ 4| +
3
2
arctan
x
2
+ C
35
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
16.86
Z
15x
2
+ 66x + 21
(x − 1)(x
2
+ 4x + 29)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
15x
2
+ 66x + 21
(x − 1)(x
2
+ 4x + 29)
≡
A
x − 1
+
Bx + C
x
2
+ 4x + 29
15x
2
+ 66x + 21 ≡ A(x
2
+ 4x + 29) + (Bx + C)(x − 1)
15x
2
+ 66x + 21 ≡ (A + B)x
2
+ (4A − B + C)x + (29A − C)
A + B = 15
4A − B + C = 66
29A − C = 21
A = 3
B = 12
C = 66
. . . =
Z
3dx
x − 1
+
Z
12x + 66
x
2
+ 4x + 29
dx = 3 ln |x − 1| +
Z
6(x
2
+ 4x + 29)
0
+ 42
(x + 2)
2
+ 5
2
dx =
= 3 ln |x − 1| + 6 ln |x
2
+ 6x + 29| +
42
5
arctan
x + 2
5
+ C
16.87
Z
4x
3
+ 9x
2
+ 4x + 1
x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x
dx =
Z
(x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x)
0
− 2x
x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x
dx =
= ln |x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x| −
Z
2x
x(x + 1)
3
dx = ln |x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x| −
Z
2dx
(x + 1)
3
=
= ln |x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ x| +
1
(x + 1)
2
+ C
16.88
Z
dx
x
3
(x − 1)
2
(x + 1)
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
x
3
(x − 1)
2
(x + 1)
≡
A
x
+
B
x
2
+
C
x
3
+
D
x − 1
+
E
(x − 1)
2
+
F
x + 1
1 ≡ Ax
2
(x − 1)
2
(x + 1) + Bx(x − 1)
2
(x + 1) + C(x − 1)
2
(x + 1)+
+Dx
3
(x − 1)(x + 1) + Ex
3
(x + 1) + F x
3
(x − 1)
2
1 ≡ (A + D + F )x
5
+ (−A + B + E − 2F )x
4
+ (−A − B + C − D + E + F )x
3
+
+(A − B − C)x
2
+ (B − C)x + C
36
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
A + D + F = 0
−A + B + E − 2F = 0
−A − B + C − D + E + F = 0
A − B − C = 0
B − C = 0
C = 1
. . .
A = 2
B = 1
C = 1
D = −
7
4
E =
1
2
F = −
1
4
. . . =
Z
2dx
x
+
Z
dx
x
2
+
Z
dx
x
3
+
Z
−
7
4
dx
x − 1
+
Z
1
2
dx
(x − 1)
2
+
Z
−
1
4
dx
x + 1
=
= 2 ln |x| −
1
x
−
1
2x
2
−
7
4
ln |x − 1| −
1
2(x − 1)
−
1
4
ln |x + 1| + C
16.89
Z
dx
(x
2
+ x + 1)
2
=
Z
dx
[(x +
1
2
)
2
+ (
√
3
2
)
2
]
2
=
4
3
2
Z
dx
"
x+
1
2
√
3
2
2
+ 1
#
2
=
=
16
9
Z
dx
2x+1
√
3
2
+ 1
2
=
t =
2x+1
√
3
dt =
2
√
3
dx
√
3
2
dt = dx
=
8
3
√
3
Z
dt
(t
2
+ 1)
2
= . . .
korzystając z wyliczonej całki w zadaniu (16.69) :
. . . =
8
3
√
3
1
2
arctan t +
t
2(t
2
+ 1)
+ C
=
4
3
√
3
arctan t +
4t
3
√
3(t
2
+ 1)
+ C =
=
4
3
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+
2x + 1
3(x
2
+ x + 1)
+ C
Wzór rekurencyjny:
I
n
=
1
2n − 2
·
x
(x
2
+ 1)
n−1
+
2n − 3
2n − 2
I
n−1
, gdzie I
n
=
Z
dx
(x
2
+ 1)
n
16.90
Z
3x
2
− 17x + 21
(x − 2)
3
dx = . . .
37
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
[(x − 2)
3
]
0
= 3(x − 2)
2
= 3x
2
− 12x + 12
. . . =
Z
(3x
2
− 12x + 12) − 5x + 9
(x − 2)
3
dx = ln |(x − 2)
3
| +
Z
−5(x − 2) − 1
(x − 2)
3
dx =
= 3 ln |x − 2| − 5
Z
dx
(x − 2)
2
−
Z
dx
(x − 2)
3
= 3 ln |x − 2| +
5
x − 2
+
1
2(x − 2)
2
+ C
16.91
Z
dx
(x
2
+ 4x + 8)
3
=
Z
dx
[(x + 2)
2
+ 2
2
]
3
=
1
(2
2
)
3
Z
dx
x+2
2
2
+ 1
3
=
t =
x+2
2
dt =
1
2
dx
2dt = dx
=
=
1
32
Z
dt
(t
2
+ 1)
3
= . . .
korzystając z wzoru rekurencyjnego pod zadaniem (16.89):
. . . =
1
32
1
4
·
t
(t
2
+ 1)
2
+
3
4
Z
dt
(t
2
+ 1)
2
=
=
1
32
t
4(t
2
+ 1)
2
+
3
4
1
2
·
t
t
2
+ 1
+
1
2
Z
dt
x
2
+ 1
=
=
1
32
t
4(t
2
+ 1)
2
+
3t
8(t
2
+ 1)
+
3
8
arctan t
+ C =
=
1
16
·
x + 2
(x
2
+ 4x + 8)
2
+
3
128
·
x + 2
x
2
+ 4x + 8
+
3
256
arctan
x + 2
2
+ C
16.92
Z
x
3
− 2x
2
+ 7x + 4
(x − 1)
2
(x + 1)
2
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
x
3
− 2x
2
+ 7x + 4
(x − 1)
2
(x + 1)
2
≡
A
x − 1
+
B
(x − 1)
2
+
C
x + 1
+
D
(x + 1)
2
x
3
− 2x
2
+ 7x + 4 ≡ A(x − 1)(x + 1)
2
+ B(x + 1)
2
+ C(x − 1)
2
(x + 1) + D(x − 1)
2
x
3
− 2x
2
+ 7x + 4 ≡ (A + C)x
3
+ (A + B − C + D)x
2
+ (−A + 2B − C − 2D)x + (−A + B + C + D)
A + C = 1
A + B − C + D = −2
−A + 2B − C − 2D = 7
−A + B + C + D = 4
A = −1
B =
5
2
C = 2
D = −
3
2
. . . =
Z
−dx
x − 1
+
Z
5
2
dx
(x − 1)
2
+
Z
2dx
x + 1
+
Z
−
3
2
dx
(x + 1)
2
=
38
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= − ln |x − 1| +
5
2(x − 1)
+ 2 ln |x + 1| +
3
2(x + 1)
+ C
16.93
Z
dx
x
4
+ 64
=
Z
dx
(x
2
− 4x + 8)(x
2
+ 4x + 8)
= . . .
rozkład na ułamki proste:
1
(x
2
− 4x + 8)(x
2
+ 4x + 8)
≡
Ax + B
x
2
− 4x + 8
+
Cx + D
x
2
+ 4x + 8
1 ≡ (Ax + B)(x
2
+ 4x + 8) + (Cx + D)(x
2
− 4x + 8)
1 ≡ (A + C)x
3
+ (4A + B − 4C + D)x
2
+ (8A + 4B + 8C − 4D)x + (8B + 8D)
A + C = 0
4A + B − 4C + D = 0
8A + 4B + 8C − 4D = 0
8B + 8D = 1
A = −
1
64
B =
1
16
C =
1
64
D =
1
16
. . . =
Z
−
1
64
x +
1
16
x
2
− 4x + 8
+
Z
1
64
x +
1
16
x
2
+ 4x + 8
=
=
Z
−
1
128
(x
2
− 4x + 8)
0
+
1
32
(x − 2)
2
+ 2
2
+
Z
1
128
(x
2
+ 4x + 8)
0
+
1
32
(x + 2)
2
+ 2
2
=
= −
1
128
ln |x
2
− 4x + 8| +
1
64
arctan
x − 2
2
+
1
128
ln |x
2
+ 4x + 8| +
1
64
arctan
x + 2
2
+ C
16.94
Z
5x
3
− 11x
2
+ 5x + 4
(x − 1)
4
dx =
Z
5(x
3
− 3x
2
+ 3x − 1) + 4x
2
− 10x + 9
(x − 1)
4
dx =
=
Z
5
x − 1
dx +
Z
4(x
2
− 2x + 1) − 2x + 5
(x − 1)
4
dx =
= 5 ln |x − 1| +
Z
4
(x − 1)
2
dx +
Z
−2(x − 1) + 3
(x − 1)
4
dx =
= 5 ln |x − 1| −
4
x − 1
+
Z
−2
(x − 1)
3
dx +
Z
3
(x − 1)
4
dx =
= 5 ln |x − 1| −
4
x − 1
+
1
(x − 1)
2
−
1
(x − 1)
3
+ C
16.95
Z
dx
x
4
+ 6x
2
+ 25
=
Z
dx
(x
2
− 2x + 5)(x
2
+ 2x + 5)
= . . .
39
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
rozkład na ułamki proste:
1
(x
2
− 2x + 5)(x
2
+ 2x + 5)
≡
Ax + B
x
2
− 2x + 5
+
Cx + D
x
2
+ 2x + 5
1 ≡ (Ax + B)(x
2
+ 2x + 5) + (Cx + D)(x
2
− 2x + 5)
1 ≡ (A + C)x
3
+ (2A + B − 2C + D)x
2
+ (5A + 2B + 5C − 2D)x + (5B + 5D)
A + C = 0
2A + B − 2C + D = 0
5A + 2B + 5C − 2D = 0
5B + 5D = 1
A = −
1
20
B =
1
10
C =
1
20
D =
1
10
. . . =
Z
−
1
20
x +
1
10
x
2
− 2x + 5
+
Z
1
20
x +
1
10
x
2
+ 2x + 5
=
=
Z
−
1
40
(x
2
− 2x + 5)
0
+
1
20
(x − 1) + 2
2
+
Z
1
40
(x
2
+ 2x + 5)
0
+
1
20
(x + 1)
2
+ 2
2
=
= −
1
40
ln |x
2
− 2x + 5| +
1
40
arctan
x − 1
2
+
1
40
ln |x
2
+ 2x + 5| +
1
40
arctan
x + 1
2
+ C
16.96
Z
9x
4
− 3x
3
− 23x
2
+ 30x − 1
(x − 1)
4
(x + 3)
dx
rozkład na ułamki proste:
9x
4
− 3x
3
− 23x
2
+ 30x − 1
(x − 1)
4
(x + 3)
≡
A
x − 1
+
B
(x − 1)
2
+
C
(x − 1)
3
+
D
(x − 1)
4
+
E
x + 3
9x
4
− 3x
3
− 23x
2
+ 30x − 1 ≡ A(x − 1)
3
(x + 3) + B(x − 1)
2
(x + 3) + C(x − 1)(x + 3)+
+D(x + 3) + E(x − 1)
4
9x
4
− 3x
3
− 23x
2
+ 30x − 1 ≡ (A + E)x
4
+ (B − 4E)x
3
+ (−6A + B + C + 6E)x
2
+
+(8A − 5B + 2C + D − 4E)x + (−3A + 3B − 3C + 3D + E)
A + E = 9
B − 4E = −3
−6A + B + C + 6E = −23
8A − 5B + 2C + D − 4E = 30
−3A + 3B − 3C + 3D + E = −1
. . .
A = 7
B = 5
C = 2
D = 3
E = 2
40
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
. . . =
Z
7
x − 1
dx +
Z
5
(x − 1)
2
dx +
Z
2
(x − 1)
3
dx +
Z
3
(x − 1)
4
dx +
Z
2
x + 3
=
= 7 ln |x − 1| −
5
x − 1
−
1
(x − 1)
2
−
1
(x − 1)
3
+ 2 ln |x + 3| + C
16.97
Z
x
3
− 2x
2
+ 5x − 8
x
4
+ 8x
2
+ 16
dx =
Z
x
3
− 2x
2
+ 5x − 8
(x
2
+ 4)
2
dx =
Z
x(x
2
+ 4) − 2(x
2
+ 4) + x
(x
2
+ 4)
2
dx =
=
Z
x
x
2
+ 4
− 2
Z
dx
x
2
+ 2
2
+
Z
x
(x
2
+ 4)
2
=
1
2
ln |x
2
+ 4| − arctan
x
2
−
1
2(x
2
+ 4)
+ C
Z
x
(x
2
+ 4)
2
=
t = x
2
+ 4
dt = 2xdx
1
2
dt = xdx
=
1
2
Z
dt
t
2
= −
1
2t
+ C = −
1
2(x
2
+ 4)
+ C
16.98
Z
3x
2
+ x − 2
(x − 1)
3
(x
2
+ 1)
dx = . . .
rozkład na ułamki proste:
3x
2
+ x − 2
(x − 1)
3
(x
2
+ 1)
≡
A
x − 1
+
B
(x − 1)
2
+
C
(x − 1)
3
+
Dx + E
x
2
+ 1
3x
2
+ x − 2 ≡ A(x − 1)
2
(x
2
+ 1) + B(x − 1)(x
2
+ 1) + C(x
2
+ 1) + (Dx + E)(x − 1)
3
3x
2
+ x − 2 ≡ (A + D)x
4
+ (−2A + B − 3D + E)x
3
+ (2A − B + C + 3D − 3E)x
2
+
+(−2A + B − D + 3E)x + (A − B + C − E)
A + D = 0
−2A + B − 3D + E = 0
2A − B + C + 3D − 3E = 3
−2A + B − D + 3E = 1
A − B + C − E = −2
A = −
3
2
B =
5
2
C = 1
D =
3
2
E = −1
. . . =
Z
−
3
2
x − 1
dx +
Z
5
2
(x − 1)
2
dx +
Z
1
(x − 1)
3
dx +
Z
3
2
x − 1
x
2
+ 1
dx =
= −
3
2
ln |x − 1| −
5
2(x − 1)
−
1
2(x − 1)
2
+
Z
3
4
(x
2
+ 1)
0
− 1
x
2
+ 1
dx =
= −
3
2
ln |x − 1| −
5
2(x − 1)
−
1
2(x − 1)
2
+
3
4
ln |x
2
+ 1| − arctan x + C
41
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
17
Całki funkcji niewymiernych.
17.1
§ Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego.
17.6
Z
√
2x + 1dx =
t = 2x + 1
1
2
dt = dx
=
1
2
Z
√
tdt =
1
3
t
3
2
+ C =
1
3
(2x + 1)
3
2
+ C
17.7
Z
dx
√
3 + 4x
=
t =
√
3 + 4x
t
2
= 3 + 4x
2tdt = 4dx
1
2
tdt = dx
=
Z
1
2
t
t
dt =
1
2
t + C =
1
2
√
3 + 4x + C
17.8
Z
dx
3
√
3x − 4
=
t =
3
√
3x − 4
t
3
= 3x − 4
3t
2
dt = 3dx
t
2
dt = dx
=
Z
t
2
t
dt =
1
2
t
2
+ C =
1
2
(3x − 4)
2
3
+ C
17.9
Z
dx
5
p
(2x + 1)
3
=
t =
5
√
2x + 1
t
5
= 2x + 1
5t
4
dt = 2dx
5
2
t
4
dt = dx
=
Z
5
2
t
4
dt
t
3
=
5
4
t
2
+ C =
5
4
5
q
(2x + 1)
2
+ C
17.10
Z
x
3
√
x − 4dx =
t =
3
√
x − 4
t
3
= x − 4
3t
2
dt = dx
x = t
3
+ 4
=
Z
(t
3
+ 4)t · 3t
2
dt =
Z
(3t
6
+ 12t
3
)dt =
=
3
7
t
7
+ 3t
4
+ C =
3
7
t
4
(t
3
+ 7) + C =
3
7
3
√
x − 4(x − 4)(x − 4 + 7) + C =
=
3
7
(x − 4)(x + 3)
3
√
x − 4 + C =
3
7
(x
2
− x − 12)
3
√
x − 4 + C
17.11
Z
x
3
√
3x − 1dx =
t =
3
√
3x − 1
t
3
= 3x − 1
3t
2
dt = 3dx
t
2
dt = dx
x =
t
3
+1
3
=
Z
t
3
+ 1
3
· t · t
2
dt =
1
3
Z
(t
6
+ t
3
)dt =
42
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
1
21
t
7
+
1
12
t
4
+ C =
1
21
(3x − 1)
7
3
+
1
12
(3x − 1)
4
3
+ C
17.12
Z
x
√
2 + 3xdx =
t =
√
2 + 3x
t
2
= 2 + 3x
2tdt = 3dx
2
3
tdt = dx
x =
t
2
−2
3
=
Z
t
2
− 2
3
· t ·
2
3
tdt =
2
9
Z
(t
4
− 2t
2
)dt =
=
2
45
t
5
−
4
27
t
3
+ C =
2
45
(2 + 3x)
5
2
−
4
27
(2 + 3x)
3
2
+ C
17.13
Z
x
√
1 − 5xdx =
t =
√
1 − 5x
t
2
= 1 − 5x
2tdt = −5dx
−
2
5
tdt = dx
x =
t
2
−1
−5
=
Z
t
2
− 1
−5
· t ·
−
2
5
t
dt =
2
25
Z
(t
4
− t
2
)dt =
=
2
125
t
5
−
2
75
t
3
+ C =
2
125
(1 − 5x)
5
2
−
2
75
(1 − 5x)
3
2
+ C
17.14
→ (17.10)
17.15
Z
xdx
4
√
2x + 3
=
u = x
dv = (2x + 3)
−
1
4
dx
du = dx
v =
2
3
(2x + 3)
3
4
=
2
3
x(2x + 3)
3
4
−
Z
2
3
(2x + 3)
3
4
dx =
=
2
3
x(2x + 3)
3
4
−
4
21
(2x + 3)
7
4
+ C
17.16
Z
x
2
dx
3
3
√
x + 2
=
t =
3
√
x + 2
t
3
= x + 2
x = t
3
− 2
dx = 3t
2
dt
x
2
= (t
3
− 2)
2
=
Z
(t
3
− 2)
2
tdt =
Z
(t
7
− 4t
4
+ 4t)dt =
=
1
8
t
8
−
4
5
t
5
+ 2t
2
+ C =
1
8
(x + 2)
8
3
−
4
5
(x + 2)
5
3
+ 2(x + 2)
2
3
+ C
17.17
43
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x
2
+ 1
√
3x + 1
dx =
Z
x
2
dx
√
3x + 1
+
Z
dx
√
3x + 1
=
t =
√
3x + 1
t
2
= 3x + 1
x =
t
2
−1
3
dx =
2
3
tdt
=
=
Z
2
3
t
2
− 1
3
!
2
dt +
2
3
t =
2
27
Z
(t
4
− 2t
2
+ 1)dt +
2
3
t =
2
135
t
5
−
4
81
t
3
+
20
27
t + C =
=
2
135
(3x + 1)
5
2
−
4
81
(3x + 1)
3
2
+
20
27
√
3x + 1 + C
17.18
Z
x
4
√
2x + 3dx =
u = x
dv =
4
√
2x + 3dx
du = dx
v =
2
5
(2x + 3)
5
4
=
2
5
x(2x + 3)
5
4
−
Z
2
5
(2x + 3)
5
4
dx =
=
2
5
x(2x + 3)
5
4
−
4
45
(2x + 3)
9
4
+ C
17.19
Z
dx
x
√
x + a
=
t =
√
x + a
t
2
= x + a
x = t
2
− a
dx = 2tdt
=
Z
2
t
2
− a
dt = −2
Z
dt
(
√
a)
2
− t
2
= −
1
√
a
ln
√
a + t
√
a − t
+ C =
=
1
√
a
ln
√
a −
√
x + a
√
a +
√
x + a
+ C =
1
√
a
ln
√
x + a −
√
a
√
x + a +
√
a
+ C
Z
dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+ C, gdzie a > 0 ∧ |x| 6= a
17.20
Z
dx
x
√
x − a
=
t =
√
x − a
t
2
= x − a
x = t
2
+ a
dx = 2tdt
=
Z
2
t
2
+ a
dt =
2
√
a
arctan
t
√
a
+ C =
2
√
a
arctan
r
x − a
a
+ C
17.21
Z
√
x
x − 1
=
t =
√
x
t
2
= x
dx = 2tdt
=
Z
2t
2
t
2
− 1
dt =
Z
2dt +
Z
2
t
2
− 1
dt = 2t − 2
Z
dt
1 − t
2
=
44
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= 2t − ln
1 + t
1 − t
+ C = 2
√
x − ln
1 +
√
x
1 −
√
x
+ C = 2
√
x + ln
√
x − 1
√
x + 1
+ C
17.22
Z
√
x + 1
x
dx =
t =
√
x + 1
t
2
= x + 1
x = t
2
− 1
dx = 2tdt
=
Z
2t
2
t
2
− 1
= ...
korzystając z całki obliczonej w przykładzie (17.21) ostatecznie otrzymujemy:
... = 2
√
x + 1 + ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
+ C
17.23
Z
1 +
√
x
1 −
√
x
dx =
t =
√
x
t
2
= x
2tdt = dx
=
Z
(1 + t) · 2t
1 − t
dt = −2
Z
t
2
+ t
t − 1
dt = −2
Z
t(t − 1) + 2t
t − 1
dt =
= −2
Z
tdt − 2
Z
2(t − 1) + 2
t − 1
= −t
2
− 2
Z
2dt − 4
Z
dt
t − 1
=
= −t
2
− 4t − 4 ln |t − 1| + C = −x − 4
√
x − 4 ln |
√
x − 1| + C
17.24
Z
dx
(x + 1)
√
1 − x
=
t =
√
1 − x
t
2
= 1 − x
−t
2
+ 1 = x
−2tdt = dx
=
Z
−2t
(−t
2
+ 2)t
dt =
Z
2dt
t
2
− 2
=
= −2
Z
dt
(
√
2)
2
− t
2
= −
1
√
2
ln
√
2 + t
√
2 − t
+ C =
1
√
2
ln
√
1 − x −
√
2
√
1 − x +
√
2
+ C
17.25
Z
q
1 +
√
xdx =
t =
√
x
t
2
= x
2tdt = dx
= 2
Z
t
√
t + 1dt =
u = 2t
dv =
√
t + 1dt
du = 2dt
v =
2
3
(t + 1)
3
2
=
=
4
3
t(t + 1)
3
2
−
4
3
Z
(t + 1)
3
2
dt =
4
3
t(t + 1)
3
2
−
8
15
(t + 1)
5
2
+ C =
=
4
3
√
x(
√
x + 1)
3
2
−
8
15
(
√
x + 1)
5
2
+ C
45
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
17.26
Z
3
√
xdx
x +
6
√
x
5
=
t =
6
√
x
t
6
= x
6t
5
= dx
=
Z
6t
7
t
6
+ t
5
dt = 6
Z
t
2
t + 1
dt = 6
Z
(t − 1)(t + 1) + 1
t + 1
dt =
= 6
Z
(t − 1)dt + 6
Z
dt
t + 1
= 3t
2
− 6t + 6ln|t + 1| + C = 3
3
√
x − 6
6
√
x + 6 ln |
6
√
x + 1| + C
17.27
Z
dx
√
x + 2
3
√
x
2
=
t =
6
√
x
t
6
= x
6t
5
= dx
=
Z
6t
5
dt
t
3
+ 2t
4
=
Z
6t
2
2t + 1
dt =
Z
3t(2t + 1) − 3t
2t + 1
dt =
=
Z
3tdt +
Z
−
3
2
(2t + 1) +
3
2
2t + 1
dt =
3
2
t
2
−
Z
3
2
dt +
3
2
Z
dt
2t + 1
=
=
3
2
t
2
−
3
2
t +
3
4
ln |2t + 1| + C =
3
2
3
√
x −
3
2
6
√
x +
3
4
ln |2
6
√
x + 1| + C
17.28
Z
dx
√
x − 5 +
√
x − 7
=
1
2
Z
(
√
x − 5 −
√
x − 7)dx =
1
3
h
(x − 5)
3
2
− (x − 7)
3
2
i
+ C
17.29
Z
dx
x
√
x + 9
=
t =
√
x + 9
t
2
= x + 9
t
2
− 9 = x
2tdt = dx
=
Z
2dt
t
2
− 9
= −2
Z
dt
3
2
− t
2
= −
1
3
ln
3 + t
3 − t
+ C =
=
1
3
ln
t − 3
t + 3
+ C =
1
3
ln
√
x + 9 − 3
√
x + 9 + 3
+ C
17.30
Z
x
2
3
√
7 − 2xdx =
u = x
2
dv =
3
√
7 − 2xdx
du = 2xdx
v = −
3
8
(7 − 2x)
4
3
=
= −
3
8
x
2
(7 − 2x)
4
3
+
3
4
Z
x(7 − 2x)
4
3
dx =
u = x
dv = (7 − 2x)
4
3
dx
du = dx
v = −
3
14
(7 − 2x)
7
3
=
= −
3
8
x
2
(7 − 2x)
4
3
−
9
56
x(7 − 2x)
7
3
+
9
56
Z
(7 − 2x)
7
3
dx =
46
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
3
8
x
2
(7 − 2x)
4
3
−
9
56
x(7 − 2x)
7
3
−
27
1120
(7 − 2x)
10
3
+ C
17.31
Z
dx
√
x + 1 +
3
√
x + 1
=
t =
6
√
x + 1
t
2
=
3
√
x + 1
t
3
=
√
x + 1
t
6
= x + 1
6t
5
dt = dx
=
Z
6t
5
dt
t
3
+ t
2
= 6
Z
t
3
dt
t + 1
= 6
Z
(t
2
− t + 1)(t + 1) − 1
t + 1
dt =
= 6
Z
(t
2
− t + 1)dt − 6
Z
dt
t + 1
= 2t
3
− 3t
2
+ 6t − 6 ln |t + 1| + C =
= 2
√
x + 1 − 3
3
√
x + 1 + 6
6
√
x + 1 − 6 ln |
6
√
x + 1 + 1| + C
17.32
Z
s
x − 1
x − 2
·
dx
(x − 1)
2
=
t =
q
x−1
x−2
t
2
=
x−1
x−2
1
t
2
=
x−2
x−1
1
t
2
− 1 = −
1
x−1
−2dt
t
3
=
dx
(x−1)
2
=
Z
−2tdt
t
3
=
Z
−2dt
t
2
=
2
t
+ C = 2
s
x − 2
x − 1
+ C
17.33
Z
s
1 − x
1 + x
·
dx
x
=
t =
q
1−x
1+x
t
2
=
1−x
1+x
−t
2
=
x−1
x+1
−t
2
− 1 = −
2
x+1
2
t
2
+1
= x + 1
−4tdt
(t
2
+1)
2
= dx
−t
2
+1
t
2
+1
= x
t
2
+1
−t
2
+1
=
1
x
=
Z
t ·
−4tdt
(t
2
+ 1)
2
·
t
2
+ 1
−t
2
+ 1
=
=
Z
4t
2
(t
2
+ 1)(t − 1)(t + 1)
dt = ...
rozkład na ułamki proste:
4t
2
(t
2
+ 1)(t − 1)(t + 1)
≡
At + B
t
2
+ 1
+
C
t − 1
+
D
t + 1
4t
2
≡ (At + B)(t
2
− 1) + C(t
3
+ t
2
+ t + 1) + D(t
3
− t
2
+ t − 1)
4t
2
≡ (A + C + D)t
3
+ (B + C − D)t
2
+ (−A + C + D)t + (−B + C − D)
A + C + D = 0
B + C − D = 4
−A + C + D = 0
−B + C − D = 0
47
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
A = 0
B = 2
C = 1
D = −1
... =
Z
2dt
t
2
+ 1
+
Z
dt
t − 1
−
Z
dt
t + 1
= 2 arctan t + ln |t − 1| − ln |t + 1| + C =
= 2 arctan
s
1 − x
1 + x
!
+ ln
s
1 − x
1 + x
− 1
− ln
s
1 − x
1 + x
+ 1
+ C
17.34
Z
xdx
3
√
x + 1 −
√
x + 1
=
t =
6
√
x + 1
t
6
= x + 1
t
6
− 1 = x
6t
5
dt = dx
=
Z
(t
6
− 1) · 6t
5
dt
t
2
− t
3
= −6
Z
t
3
(t
6
− 1)
t − 1
dt =
= −6
Z
t
3
(t
5
+ t
4
+ t
3
+ t
2
+ t + 1)dt = −
2
3
t
9
−
3
4
t
8
−
6
7
t
7
− t
6
−
6
5
t
5
−
3
2
t
4
+ C =
= −
2
3
(x + 1)
3
2
−
3
4
(x + 1)
4
3
−
6
7
(x + 1)
7
6
− (x + 1) −
6
5
(x + 1)
5
6
−
3
2
(x + 1)
2
3
+ C
17.35
Z
3
√
x
2
−
√
x + 1
3
√
x − 1
=
t =
6
√
x
t
6
= x
=
Z
(t
4
− t
3
+ 1) · 6t
5
dt
t
2
− 1
= 6
Z
t
9
− t
8
+ t
5
t
2
− 1
dt = ...
pisemne dzielenie wielomianów:
(t
9
− t
8
+ t
5
)
:
(t
2
− 1) = t
7
− t
6
+ t
5
− t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 2t − 1
−t
9
+ t
7
−t
8
+ t
7
+ t
5
t
8
− t
6
t
7
− t
6
+ t
5
−t
7
+ t
5
−t
6
+ 2t
5
t
6
− t
4
2t
5
− t
4
−2t
5
+ 2t
3
−t
4
+ 2t
3
t
4
− t
2
2t
3
− t
2
−2t
3
+ 2t
−t
2
+ 2t
t
2
− 1
2t − 1
48
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
... = 6
Z
t
7
− t
6
+ t
5
− t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 2t − 1 +
2t − 1
t
2
− 1
dt =
=
3
4
t
8
−
6
7
t
7
+ t
6
−
6
5
t
5
+ 3t
4
− 2t
3
+ 6t
2
− 6t + 6 ln |t
2
+ 1| + 6
Z
dt
1 − t
2
=
=
3
4
x
4
3
−
6
7
x
7
6
+ x −
6
5
x
5
6
+ 3x
2
3
− 2
√
x + 6
3
√
x − 6
6
√
x + 6 ln |
3
√
x + 1| + 3 ln
1 +
6
√
x
1 −
6
√
x
+ C
17.2
§ Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwa-
dratowego
17.51
Z
(8x + 3)dx
√
4x
2
+ 3x + 1
= 2
Z
(4x
2
+ 3x + 1)
0
2
√
4x
2
+ 3x + 1
dx = 2
p
4x
2
+ 3x + 1 + C
Z
f
0
(x)
2
p
f (x)
dx =
q
f (x) + C
17.52
Z
(10x + 15)dx
√
36x
2
+ 108x + 77
=
Z
5
18
(36x
2
+ 108x + 77)
0
2
√
36x
2
+ 108x + 77
dx =
5
18
p
36x
2
+ 108x + 77 + C
17.53
Z
dx
√
2x − x
2
=
Z
dx
p
1 − (x − 1)
2
= arcsin(x − 1) + C
17.54
Z
dx
√
7 − 6x − x
2
=
Z
dx
p
4
2
− (x + 3)
2
= arcsin
x + 3
4
+ C
17.55
Z
dx
√
1 − 9x
2
=
t = 3x
1
3
dt = dx
=
1
3
Z
dt
√
1 − t
2
=
1
3
arcsin(t) + C =
1
3
arcsin(3x) + C
17.56
Z
dx
p
(2r − x)x
=
Z
dx
p
r
2
− (x − r)
2
= arcsin
x − r
r
+ C
17.57
49
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
(x + 3)dx
√
1 − 4x
2
=
Z
−
1
4
(1 − 4x
2
)
0
2
√
1 − 4x
2
dx +
Z
3dx
p
1 − (2x)
2
= −
1
4
p
1 − 4x
2
+
3
2
arcsin(2x) + C
17.58
Z
xdx
√
1 − 2x − 3x
2
=
Z
−
1
3
(1 − 2x − 3x
2
)
0
2
√
1 − 2x − 3x
2
dx −
Z
1
3
dx
√
1 − 2x − 3x
2
=
= −
1
3
p
1 − 2x − 3x
2
−
1
3
√
3
Z
dx
q
1
3
−
2
3
x + x
2
= −
1
3
p
1 − 2x − 3x
2
−
1
3
√
3
Z
dx
q
(
2
3
)
2
− (x +
1
3
)
2
=
= −
1
3
p
1 − 2x − 3x
2
−
1
3
√
3
arcsin
3x + 1
2
+ C
17.59
Z
p
1 − 4x
2
dx =
t = 2x
dt = 2dx
1
2
dt = dx
=
1
2
Z
p
1 − t
2
dt =
1
2
1
2
arcsin(t) −
1
2
t
p
1 − t
2
+ C =
=
1
4
arcsin(2x) −
1
2
x
p
1 − 4x
2
+ C
Z
p
a
2
− x
2
dx =
a
2
2
arcsin
x
|a|
+
x
2
p
a
2
− x
2
+ C
17.60
Z
6x + 5
√
6 + x − x
2
dx =
Z
−3(6 + x − x
2
)
0
√
6 + x − x
2
dx +
Z
8dx
√
6 + x − x
2
=
=
Z
−6(6 + x − x
2
)
0
2
√
6 + x − x
2
dx +
Z
8dx
q
(
5
2
)
2
− (x −
1
2
)
2
= −6
p
6 + x − x
2
+ 8 arcsin
2x − 1
5
+ C
17.61
Z
x − 5
√
5 + 4x − x
2
dx =
Z
−
1
2
(5 + 4x − x
2
)
0
√
5 + 4x − x
2
dx −
Z
3dx
√
5 + 4x − x
2
=
= −
p
5 + 4x − x
2
− 3
Z
dx
p
3
2
− (x − 2)
2
= −
p
5 + 4x − x
2
− 3 arcsin
x + 2
3
+ C
17.62
Z
x + 1
√
8 + 2x − x
2
dx =
Z
−
1
2
(8 + 2x − x
2
)
√
8 + 2x − x
2
dx +
Z
2dx
√
8 + 2x − x
2
=
50
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
p
8 + 2x − x
2
+
Z
2dx
p
3
2
− (x − 1)
2
= −
p
8 + 2x − x
2
+ 2 arcsin
x − 1
3
+ C
17.63
Z
p
6x − x
2
dx =
Z
q
3
2
− (x − 3)
2
dx =
9
2
arcsin
x − 3
3
+
1
2
(x − 3)
p
6x − x
2
+ C
17.64
Z
2x − 3
√
3 − 2x − x
2
dx =
Z
−(3 − 2x − x
2
)
0
√
3 − 2x − x
2
dx −
Z
5dx
√
3 − 2x − x
2
=
= −2
p
3 − 2x − x
2
−
Z
5dx
p
2
2
− (x + 1)
2
= −2
p
3 − 2x − x
2
− 5 arcsin
x + 1
2
+ C
17.65
Z
dx
√
x
2
+ 3x + 2
= ln |x +
3
2
+
p
x
2
+ 3x + 2| + C
Z
dx
p
x
2
+ px + q
= ln |x +
1
2
p +
q
x
2
+ px + q| + C
17.66
Z
dx
√
4x
2
+ 3x − 1
=
t = 2x
dt = 2dx
1
2
dt = dx
=
1
2
Z
dt
q
t
2
+
3
2
t − 1
= ln |t +
3
4
+
q
t
2
+
3
2
t − 1| + C =
= ln |2x +
3
4
+
p
4x
2
+ 3x − 1| + C
17.67
Z
dx
√
x
2
− x + m
= ln |x −
1
2
+
p
x
2
− x + m| + C
17.68
Z
dx
p
(x − a)(x − 3a)
=
Z
dx
√
x
2
− 4ax + 3a
2
= ln |x − 2a +
q
(x − a)(x − 3a)| + C
17.69
Z
(x + 3)dx
√
x
2
+ 2x
=
Z
1
2
(x
2
+ 2x)
0
√
x
2
+ 2x
+
Z
2dx
√
x
2
+ 2x
=
p
x
2
+ 2x + 2 ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x| + C
17.70
51
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
(3x + 2)dx
√
x
2
− 5x + 19
=
Z
3
2
(x
2
− 5x + 19)
0
√
x
2
− 5x + 19
dx +
Z
19
2
dx
√
x
2
− 5x + 19
=
= 3
p
x
2
− 5x + 19 +
19
2
ln |x −
5
2
+
p
x
2
− 5x + 19| + C
17.71
Z
x + a
√
x
2
− ax
dx =
Z
1
2
(x
2
− ax)
0
√
x
2
− ax
dx +
Z
3
2
a
√
x
2
− ax
dx =
=
p
x
2
− ax +
3
2
a ln |x −
a
2
+
p
x
2
− ax| + C
17.72
Z
3x − 2
√
4x
2
− 4x + 5
dx =
Z
3
8
(4x
2
− 4x + 5)
0
√
4x
2
− 4x + 5
dx −
Z
1
2
dx
√
4x
2
− 4 + 5
=
=
3
4
p
4x
2
− 4x + 5 −
1
4
Z
dx
q
x
2
− x +
5
4
=
3
4
p
4x
2
− 4x + 5 −
1
4
ln |x −
1
2
+
q
x
2
− x +
5
4
| + C
17.73
Z
3x + 2
√
x
2
− 4x + 5
dx =
Z
3
2
(x
2
− 4x + 5)
0
√
x
2
− 4x + 5
+
Z
8dx
√
x
2
− 4x + 5
=
= 3
p
x
2
− 4x + 5 + 8 ln |x − 2 +
p
x
2
− 4x + 5| + C
17.74
Z
3x − 4
√
4x
2
+ 5x − 8
dx =
Z
3
2
x − 2
q
x
2
+
5
4
x − 2
dx =
Z
3
4
(x
2
+
5
4
x − 2)
0
q
x
2
+
5
4
x − 2
dx −
Z
47
16
dx
q
x
2
+
5
4
x − 2
=
=
3
2
r
x
2
+
5
4
x − 2 −
47
16
ln |x +
5
8
+
r
x
2
+
5
4
x − 2| + C
17.75
Z
5x + 2
√
2x
2
+ 8x − 1
dx =
Z
5
4
(2x
2
+ 8x − 1)
0
√
2x
2
+ 8x − 1
−
Z
8dx
√
2x
2
+ 8x − 1
=
=
5
2
p
2x
2
+ 8x − 1 −
8
√
2
Z
dx
q
x
2
+ 4x −
1
2
=
52
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
5
2
p
2x
2
+ 8x − 1 − 4
√
2 ln
x + 2 +
r
x
2
+ 4x −
1
2
+ C
17.76
Z
p
2x + x
2
dx =
Z
q
(x + 1)
2
− 1dx =
1
2
(x + 1)
p
x
2
+ 2x −
1
2
ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x| + C
Z
p
x
2
+ kdx =
1
2
x
p
x
2
+ k +
1
2
k ln |x +
p
x
2
+ k| + C, gdzie x
2
+ k > 0
17.77
Z
5x − 4
√
3x
2
− 2x + 1
dx =
Z
5
6
(3x
2
− 2x + 1)
0
√
3x
2
− 2x + 1
−
Z
7
3
dx
√
3x
2
− 2x + 1
=
=
5
3
p
3x
2
− 2x + 1 −
7
3
√
3
Z
dx
q
x
2
−
2
3
x +
1
3
=
=
5
3
p
3x
2
− 2x + 1 −
7
3
√
3
ln
x −
1
3
+
r
x
2
−
2
3
x +
1
3
+ C
17.78
Z
p
3 − 2x − x
2
dx =
Z
q
2
2
− (x + 1)
2
dx = 2 arcsin
x + 1
2
+
1
2
(x + 1)
p
3 − 2x − x
2
+ C
17.79
Z
p
x
2
− 4dx =
1
2
x
p
x
2
− 4 − 2 ln |x +
p
x
2
− 4| + C
17.80
Z
p
3x
2
+ 10x + 9dx =
√
3
Z
q
x
2
+
10
3
x + 3dx =
√
3
Z
q
(x +
5
3
)
2
+
2
9
=
=
√
3
2
(x +
5
3
)
q
x
2
+
10
3
x + 3 +
√
3
9
ln |x +
5
3
+
q
x
2
+
10
3
x + 3| + C
17.81
Z
p
x
2
− 3x + 2dx =
Z
r
(x −
3
2
)
2
−
1
4
dx =
=
1
2
(x −
3
2
)
p
x
2
− 3x + 2 −
1
8
ln |x −
3
2
+
p
x
2
− 3x + 2| + C
53
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
17.82
Z
x
2
dx
√
1 − x
2
=
Z
x
2
− 1
√
1 − x
2
dx +
Z
dx
√
1 − x
2
= −
Z
1 − x
2
√
1 − x
2
dx + arcsin(x) =
= −
Z
p
1 − x
2
dx + arcsin(x) = −
1
2
arcsin(x) −
1
2
x
p
1 − x
2
+ arcsin(x) + C =
= −
1
2
x
p
1 − x
2
+
1
2
arcsin(x) + C
17.83
Z
x
2
dx
√
x
2
+ 2x + 2
=
Z
x
2
+ 2x + 2
√
x
2
+ 2x + 2
dx −
Z
2x + 2
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
=
Z
p
x
2
+ 2x + 2dx −
Z
(x
2
+ 2x + 2)
0
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
Z
q
(x + 1)
2
+ 1dx − 2
p
x
2
+ 2x + 2 =
=
1
2
(x + 1)
p
x
2
+ 2x + 2 +
1
2
ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x + 2| − 2
p
x
2
+ 2x + 2 + C =
=
1
2
(x − 3)
p
x
2
+ 2x + 2 +
1
2
ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x + 2| + C
17.84
Z
r
x
1 − x
dx =
t =
q
x
1−x
t
2
=
x
1−x
t
2
+ 1 =
1
1−x
2tdt =
dx
(x−1)
2
(t
2
+ 1)
2
=
1
(x−1)
2
=
Z
2t
2
(t
2
+ 1)
2
dt =
Z
2(t
2
+ 1) − 2
(t
2
+ 1)
2
dt =
= 2
Z
dt
t
2
+ 1
− 2
Z
dt
(t
2
+ 1)
2
= 2 arctan(t) − arctan(t) −
t
t
2
+ 1
+ C =
= arctan
r
x
1 − x
−
p
x − x
2
+ C
17.85
Z
2ax
2
+ 1
√
ax
2
+ 2x + 1
dx, a > 1
metoda współczynników nieoznaczonych
I =
Z
2ax
2
+ a
√
ax
2
+ 2x + 1
≡ (P x + Q)
p
ax
2
+ 2x + 1 + K
Z
dx
√
ax
2
+ 2x + 1
2ax
2
+ 1
√
ax
2
+ 2x + 1
≡ P
p
ax
2
+ 2x + 1 +
(P x + Q)(ax + 1)
√
ax
2
+ 2x + 1
+
K
√
ax
2
+ 2x + 1
54
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
2ax
2
+ 1 ≡ p(ax
2
+ 2x + 1) + (P x + Q)(ax + 1) + K
2P a = 2a
3P + Qa = 0
P + Q + K = 1
P = 1
Q = −
3
a
K =
3
a
I = (x −
3
a
)
p
ax
2
+ 2x + 1 +
3
a
Z
dx
√
ax
2
+ 2x + 1
=
= (x −
3
a
)
p
ax
2
+ 2x + 1 +
3
a
√
a
Z
dx
q
x
2
+
2
a
x +
1
a
=
= (x −
3
a
)
p
ax
2
+ 2x + 1 +
3
a
√
a
Z
dx
q
(x +
1
a
)
2
+
1
a
−
1
a
2
=
= (x −
3
a
)
p
ax
2
+ 2x + 1 +
3
a
√
a
ln
x +
1
a
+
r
x
2
+
2
a
x +
1
a
+ C
17.86
Z
2x
2
+ 3x + 1
√
x
2
+ 1
dx =
Z
2(x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx +
Z
3x − 1
√
x
2
+ 1
dx =
= 2
Z
p
x
2
+ 1dx +
Z
3
2
(x
2
+ 1)
0
√
x
2
+ 1
dx −
Z
dx
√
x
2
+ 1
=
= x
p
x
2
+ 1 + ln |x +
p
x
2
+ 1| + 3
p
x
2
+ 1 − ln |x +
p
x
2
+ 1| + C =
= (x + 3)
p
x
2
+ 1 + C
17.87
Z
2x
2
− ax + a
2
√
x
2
+ a
2
dx, a 6= 0
=
Z
2(x
2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
−
Z
ax + a
2
√
x
2
+ a
2
dx = 2
Z
p
x
2
+ a
2
dx − a
Z
1
2
(x
2
+ a
2
)
0
+ a
√
x
2
+ a
2
dx =
= x
p
x
2
+ a
2
+ a
2
ln |x +
p
x
2
+ a
2
| − a
p
x
2
+ a
2
− a
2
Z
dx
√
x
2
+ a
2
=
= x
p
x
2
+ a
2
+ a
2
ln |x +
p
x
2
+ a
2
| − a
p
x
2
+ a
2
− a
2
ln |x +
p
x
2
+ a
2
| + C =
= (x − a)
p
x
2
+ a
2
+ C
17.88
Z
x
3
− x + 1
√
x
2
+ 2x + 2
dx
55
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
− x + 1
√
x
2
+ 2x + 2
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
x
2
+ 2x + 2 + K
Z
dx
√
x
2
+ 2x + 2
x
3
− x + 1
√
x
2
+ 2x + 2
≡ (2ax + bx)
p
x
2
+ 2x + 2 +
(ax
2
+ bx + c)(x + 1)
√
x
2
+ 2x + 2
+
K
√
x
2
+ 2x + 2
x
3
− x + 1 ≡ (2ax + bx)(x
2
+ 2x + 2) + (ax
2
+ bx + c)(x + 1) + K
x
3
− x + 1 ≡ 3ax
3
+ (5a + 2b)x
2
+ (4a + 3b + c)x + (2b + c + K)
3a = 1
5a + 2b = 0
4a + 3b + c = −1
2b + c + K = 1
a =
1
3
b = −
5
6
c =
1
6
K =
5
2
Z
x
3
− x + 1
√
x
2
+ 2x + 2
dx = (
1
3
x
2
−
5
6
x +
1
6
)
p
x
2
+ 2x + 2 +
5
2
Z
dx
√
x
2
+ 2x + 2
=
= (
1
3
x
2
−
5
6
x +
1
6
)
p
x
2
+ 2x + 2 +
5
2
ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x + 2| + C
17.89
Z
x
3
+ 2x
2
+ x − 1
√
x
2
+ 2x − 1
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
+ 2x
2
+ x − 1
√
x
2
+ 2x − 1
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
x
2
+ 2x − 1 + K
Z
dx
√
x
2
+ 2x − 1
x
3
+ 2x
2
+ x − 1
√
x
2
+ 2x − 1
≡ (2ax + bx)
p
x
2
+ 2x − 1 +
(ax
2
+ bx + c)(x + 1)
√
x
2
+ 2x − 1
+
K
√
x
2
+ 2x − 1
x
3
− x + 1 ≡ (2ax + bx)(x
2
+ 2x − 1) + (ax
2
+ bx + c)(x + 1) + K
x
3
− x + 1 ≡ 3ax
3
+ (5a + 2b)x
2
+ (−2a + 3b + c)x + (−b + c + K)
3a = 1
5a + 2b = 2
−2a + 3b + c = 1
−b + c + K = −1
a =
1
3
b =
1
6
c =
7
6
K = −2
Z
x
3
+ 2x
2
+ x − 1
√
x
2
+ 2x − 1
dx = (
1
3
x
2
+
1
6
x +
7
6
)
p
x
2
+ 2x − 1 − 2
Z
dx
√
x
2
+ 2x − 1
=
56
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= (
1
3
x
2
+
1
6
x +
7
6
)
p
x
2
+ 2x − 1 − 2 ln |x + 1 +
p
x
2
+ 2x − 1| + C
17.90
Z
x
3
dx
√
x
2
− 4x + 3
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
dx
√
x
2
− 4x + 3
≡ (ax
2
+ bx + c)
p
x
2
− 4x + 3 + K
Z
dx
√
x
2
− 4x + 3
x
3
√
x
2
− 4x + 3
≡ (2ax + b)
p
x
2
− 4x + 3 +
(ax
2
+ bx + c)(x − 2)
√
x
2
− 4x + 3
+
K
√
x
2
− 4x + 3
x
3
≡ (2ax + b)(x
2
− 4x + 3) + (ax
2
+ bx + c)(x − 2) + K
x
3
≡ 3ax
3
+ (−10a + 2b)x
2
+ (6a − 6b + c)x + (3b − 2c + K)
3a = 1
−10a + 2b = 0
6a − 6b + c = 0
3b − 2c + K = 0
a =
1
3
b =
5
3
c = 8
K = 11
Z
x
3
dx
√
x
2
− 4x + 3
= (
1
3
x
2
+
5
3
x + 8)
p
x
2
− 4x + 3 + 11
Z
dx
√
x
2
− 4x + 3
=
= (
1
3
x
2
+
5
3
x + 8)
p
x
2
− 4x + 3 + 11 ln |x − 2 +
p
x
2
− 4x + 3| + C
17.91
Z
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
x
2
+ x + 1 + K
Z
dx
√
x
2
+ x + 1
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
≡ (2ax + b)
p
x
2
+ x + 1 +
(ax
2
+ bx + c)(x +
1
2
)
√
x
2
+ x + 1
+
K
√
x
2
+ x + 1
3x
3
+ 2 ≡ (2ax + b)(x
2
+ x + 1) + (ax
2
+ bx + c)(x +
1
2
) + K
3a = 3
5
2
a + 2b = 0
2a +
3
2
b +
1
2
c = 0
b +
1
2
c + K = 2
a = 1
b = −
5
4
c = −
1
8
K =
53
16
57
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
dx = (x
2
−
5
4
x −
1
8
)
p
x
2
+ x + 1 +
53
16
Z
dx
√
x
2
+ x + 1
=
=
Z
3x
3
+ 2
√
x
2
+ x + 1
dx = (x
2
−
5
4
x −
1
8
)
p
x
2
+ x + 1 +
53
16
Z
ln |x +
1
2
+
p
x
2
+ x + 1| + C
17.92
Z
x
2
p
4x − x
2
dx =
Z
x
2
(4x − x
2
)
√
4x − x
2
dx =
Z
−x
4
+ 4x
3
√
4x − x
2
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
−x
4
+ 4x
3
√
4x − x
2
≡ (ax
3
+ bx
2
+ cx + d)
p
4x − x
2
+ K
Z
dx
√
4x − x
2
−x
4
+ 4x
3
√
4x − x
2
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)
p
4x − x
2
+
(ax
3
+ bx
2
+ cx + d)(2 − x)
√
4x − x
2
+
K
√
4x − x
2
−x
4
+ 4x
3
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)(2 − x) + (ax
3
+ bx
2
+ cx + d)(2 − x) + K
−4a = −1
14a − 3b = 4
10b − 2c = 0
6c − d = 0
2d + K = 0
a =
1
4
b = −
1
6
c = −
5
6
d = −5
K = 10
Z
−x
4
+ 4x
3
√
4x − x
2
= (
1
4
x
3
−
1
6
x
2
−
5
6
x + d)
p
4x − x
2
+ 10
Z
dx
√
4x − x
2
=
= (
1
4
x
3
−
1
6
x
2
−
5
6
x − 5)
p
4x − x
2
+ 10
Z
dx
p
2
2
+ (x − 2)
2
=
= (
1
4
x
3
−
1
6
x
2
−
5
6
x − 5)
p
4x − x
2
+ 10 arcsin
x − 2
2
+ C
17.93
Z
x
p
6 + x − x
2
dx =
Z
x(6 + x − x
2
)
√
6 + x − x
2
dx =
Z
−x
3
+ x
2
+ 6x
√
6 + x − x
2
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
−x
3
+ x
2
+ 6x
√
6 + x − x
2
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
6 + x − x
2
+ K
Z
dx
√
6 + x − x
2
−x
3
+ x
2
+ 6x
√
6 + x − x
2
≡ (2ax + b)
p
6 + x − x
2
+
ax
2
+ bx + c)(
1
2
− x)
√
6 + x − x
2
+
K
√
6 + x − x
2
58
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
−x
3
+ x
2
+ 6x ≡ (2ax + b)(6 + x − x
2
) + (ax
2
+ bx + c)(
1
2
− x) + K
−3a = −1
5
2
a − 2b = 1
12a +
3
2
b − c = 6
6b +
1
2
c + K = 0
a =
1
3
b = −
1
12
c = −
17
8
K =
25
16
Z
−x
3
+ x
2
+ 6x
√
6 + x − x
2
dx ≡ (
1
3
x
2
−
1
12
x −
17
8
)
p
6 + x − x
2
+
25
16
Z
dx
√
6 + x − x
2
=
= (
1
3
x
2
−
1
12
x −
17
8
)
p
6 + x − x
2
+
25
16
Z
dx
q
(
5
2
)
2
− (x −
1
2
)
2
=
= (
1
3
x
2
−
1
12
x −
17
8
)
p
6 + x − x
2
+
25
16
arcsin
2x − 1
5
+ C
17.94
Z
x
4
dx
√
5x
2
+ 4
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
4
dx
√
5x
2
+ 4
≡ (ax
3
+ bx
2
+ cx + d)
p
5x
2
+ 4 + K
Z
dx
√
5x
2
+ 4
x
4
√
5x
2
+ 4
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)
p
5x
2
+ 4 +
(ax
3
+ bx
2
+ cx + d) · 5x
√
5x
2
+ 4
+
K
√
5x
2
+ 4
x
4
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)(5x
2
+ 4) + 5x(ax
3
+ bx
2
+ cx + d) + K
20a = 1
15b = 0
12a + 10c = 0
8b + 5d = 0
4c + K = 0
a =
1
20
b = 0
c = −
3
50
d = 0
K =
6
25
Z
x
4
dx
√
5x
2
+ 4
= (
1
20
x
3
−
3
50
x)
p
5x
2
+ 4 +
6
25
Z
dx
√
5x
2
+ 4
=
= (
1
20
x
3
−
3
50
x)
p
5x
2
+ 4 +
6
25
√
5
Z
dx
q
x
2
+
4
5
=
59
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= (
1
20
x
3
−
3
50
x)
p
5x
2
+ 4 +
6
√
5
125
ln |x +
r
x
2
+
4
5
| + C
17.95
Z
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4
√
x
2
+ x + 1
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4
√
x
2
+ x + 1
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
x
2
+ x + 1 + K
Z
dx
√
x
2
+ x + 1
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4
√
x
2
+ x + 1
≡ (2ax + b)
p
x
2
+ x + 1 +
(ax
2
+ bx + c)(x +
1
2
)
√
x
2
+ x + 1
+
K
√
x
2
+ x + 1
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4 ≡ (2ax + b)(x
2
+ x + 1) + (ax
2
+ bx + c)(x +
1
2
) + K
3a = 1
5
2
a + 2b = 5
2a +
3
2
b + c = −3
b +
1
2
c + K4
a =
1
3
b =
25
12
c = −
163
24
K =
85
16
Z
x
3
+ 5x
2
− 3x + 4
√
x
2
+ x + 1
dx = (
1
3
x
2
+
25
12
x −
163
24
)
p
x
2
+ x + 1 +
85
16
Z
dx
√
x
2
+ x + 1
=
= (
1
3
x
2
+
25
12
x −
163
24
)
p
x
2
+ x + 1 +
85
16
ln |x +
1
2
+
p
x
2
+ x + 1| + C
17.96
Z
5x
2
− 2x + 10
√
3x
2
− 5x + 8
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
5x
2
− 2x + 10
√
3x
2
− 5x + 8
dx ≡ (ax + b)
p
3x
2
− 5x + 8 + K
Z
dx
√
3x
2
− 5x + 8
5x
2
− 2x + 10
√
3x
2
− 5x + 8
≡ a
p
3x
2
− 5x + 8 +
(ax + b)(3x −
5
2
)
√
3x
2
− 5x + 8
+
K
√
3x
2
− 5x + 8
5x
2
− 2x + 10 ≡ a(3x
2
− 5x + 8) + (ax + b)(3x −
5
2
) + K
6a = 5
−
15
2
+ 3b = −2
8a −
5
2
b + K = 10
a =
5
6
b =
17
12
K =
55
8
60
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
5x
2
− 2x + 10
√
3x
2
− 5x + 8
dx = (
5
6
x +
17
12
)
p
3x
2
− 5x + 8 +
55
8
Z
dx
√
3x
2
− 5x + 8
=
= (
5
6
x +
17
12
)
p
3x
2
− 5x + 8 +
55
8
√
3
Z
dx
q
x
2
−
5
3
x +
8
3
=
= (
5
6
x +
17
12
)
p
3x
2
− 5x + 8 +
55
√
3
24
ln |x −
5
6
+
r
x
2
−
5
3
x +
8
3
| + C
17.97
Z
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3
√
5 + 6x − x
2
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3
√
5 + 6x − x
2
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
5 + 6x − x
2
+ K
Z
dx
√
5 + 6x − x
2
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3
√
5 + 6x − x
2
≡ (2ax + b)
p
5 + 6x − x
2
+
(ax
2
+ bx + c)(3 − x)
√
5 + 6x − x
2
+
K
√
5 + 6x − x
2
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3 ≡ (2ax + b)(5 + 6x − x
2
) + (ax
2
+ bx + c)(3 − x) + K
−3a = 1
15a − 2b = 4
10a + 9b − c = −6
5b + 3c + K = 3
a = −
1
3
b = −
9
2
c = −
227
6
K = 139
Z
x
3
+ 4x
2
− 6x + 3
√
5 + 6x − x
2
dx = (−
1
3
x
2
−
9
2
x −
227
6
)
p
5 + 6x − x
2
+ 139
Z
dx
√
5 + 6x − x
2
=
= (−
1
3
x
2
−
9
2
x −
227
6
)
p
5 + 6x − x
2
+ 139
Z
dx
q
(
√
14)
2
+ (x − 3)
2
=
= (−
1
3
x
2
−
9
2
x −
227
6
)
p
5 + 6x − x
2
+ 139 arcsin
x − 3
√
14
+ C
17.98
Z
x
p
8 + x − x
2
dx =
Z
x(8 + x − x
2
)
√
8 + x − x
2
dx =
Z
−x
3
+ x
2
+ 8x
√
8 + x − x
2
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
−x
3
+ x
2
+ 8x
√
8 + x − x
2
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
8 + x − x
2
+ K
Z
dx
√
8 + x − x
2
61
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
−x
3
+ x
2
+ 8x
√
8 + x − x
2
≡ (2ax + b)
p
8 + x − x
2
+
(ax
2
+ bx + c)(
1
2
− x)
√
8 + x − x
2
+
K
√
8 + x − x
2
−x
3
+ x
2
+ 8x ≡ (2ax + b)(8 + x − x
2
) + (ax
2
+ bx + c)(
1
2
− x) + K
−3a = −1
5
2
a − 2b = 1
16a +
3
2
b − c = 8
8b +
1
2
c + K = 0
a =
1
3
b = −
1
12
c = −
67
24
K =
33
16
Z
−x
3
+ x
2
+ 8x
√
8 + x − x
2
dx = (
1
3
x
2
−
1
12
x −
67
24
)
p
8 + x − x
2
+
33
16
Z
dx
q
(
√
33
2
)
2
− (x −
1
2
)
2
=
= (
1
3
x
2
−
1
12
x −
67
24
)
p
8 + x − x
2
+
33
16
arcsin
2x − 1
√
33
+ C
17.99
Z
(2x − 5)
p
2 + 3x − x
2
dx =
Z
(2x − 5)(2 + 3x − x
2
)
√
2 + 3x − x
2
dx =
Z
−2x
3
+ 11x
2
− 11x − 10
√
2 + 3x − x
2
dx
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
−2x
3
+ 11x
2
− 11x − 10
√
2 + 3x − x
2
dx ≡ (ax
2
+ bx + c)
p
2 + 3x − x
2
+ K
Z
dx
√
2 + 3x − x
2
−2x
3
+ 11x
2
− 11x − 10
√
2 + 3x − x
2
≡ (2ax + b)
p
2 + 3x − x
2
+
(ax
2
+ bx + c)(
3
2
− x)
√
2 + 3x − x
2
+
K
√
2 + 3x − x
2
−2x
3
+ 11x
2
− 11x − 10 ≡ (2ax + b)(2 + 3x − x
2
) + (ax
2
+ bx + c)(
3
2
− x) + K
−3a = −2
15
2
a − 2b = 11
4a +
9
2
b − c = −11
2b +
3
2
c + K = −10
a =
2
3
b = −3
c =
1
6
K = −
17
4
Z
−2x
3
+ 11x
2
− 11x − 10
√
2 + 3x − x
2
dx = (
2
3
x
2
− 3x +
1
6
)
p
2 + 3x − x
2
−
17
4
Z
dx
√
2 + 3x − x
2
=
= (
2
3
x
2
− 3x +
1
6
)
p
2 + 3x − x
2
−
17
4
Z
dx
q
(
√
17
2
)
2
− (x −
3
2
)
2
=
62
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= (
2
3
x
2
− 3x +
1
6
)
p
2 + 3x − x
2
−
17
4
arcsin
2x − 3
√
17
+ C
17.100
Z
x
3
dx
√
2x
2
+ 3
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
3
dx
√
2x
2
+ 3
≡ (ax
2
+ bx + c)
p
2x
2
+ 3 + K
Z
dx
√
2x
2
+ 3
x
3
√
2x
2
+ 3
≡ (2ax + b)
p
2x
2
+ 3 +
(ax
2
+ bx + c) · 2x
√
2x
2
+ 3
+
K
√
2x
2
+ 3
x
3
≡ (2ax + b)(2x
2
+ 3) + 2x(ax
2
+ bx + c) + K
6a = 1
4b = 0
6a + 2c = 0
3b + K = 0
a =
1
6
b = 0
c = −
1
2
K = 0
Z
x
3
dx
√
2x
2
+ 3
= (
1
6
x
2
−
1
2
)
p
2x
2
+ 3 + C
17.101
Z
x
5
dx
√
2x
2
+ 3
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
5
dx
√
2x
2
+ 3
≡ (ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e)
p
2x
2
+ 3 + K
Z
dx
√
2x
2
+ 3
x
5
√
2x
2
+ 3
≡ (4ax
3
+ 3bx
2
+ 2cx + d)
p
2x
2
+ 3 +
(ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e) · 2x
√
2x
2
+ 3
+
K
√
2x
2
+ 3
x
5
≡ (4ax
3
+ 3bx
2
+ 2cx + d)(2x
2
+ 3) + 2x(ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e) + K
10a = 1
8b = 0
12a + 6c = 0
9b + 4d = 0
3d + K = 0
63
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
a =
1
10
b = 0
c = −
1
5
d = 0
e =
3
5
K = 0
Z
x
5
dx
√
2x
2
+ 3
= (
1
10
x
4
−
1
5
x
2
+
3
5
)
p
2x
2
+ 3 + C
17.102
Z
x
4
dx
√
3 + 2x + x
2
metoda współczynników nieoznaczonych
Z
x
4
dx
√
3 + 2x + x
2
≡ (ax
3
+ bx
2
+ cx + d)
p
3 + 2x + x
2
+ K
Z
dx
√
3 + 2x + x
2
x
4
√
3 + 2x + x
2
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)
p
3 + 2x + x
2
+
(ax
3
+ bx
2
+ cx + d)(x + 1)
√
3 + 2x + x
2
+
K
√
3 + 2x + x
2
x
4
≡ (3ax
2
+ 2bx + c)(x
2
+ 2x + 3) + (ax
3
+ bx
2
+ cx + d)(x + 1) + K
4a = 1
7a + 3b = 0
9a + 5b + 2c = 0
6b + 3c + d = 0
3c + d + K = 0
a =
1
4
b = −
7
12
c =
1
3
d =
5
2
K = −
7
2
Z
x
4
dx
√
3 + 2x + x
2
≡ (
1
4
x
3
−
7
12
x
2
+
1
3
x +
5
2
)
p
3 + 2x + x
2
−
7
2
Z
dx
√
3 + 2x + x
2
=
= (
1
4
x
3
−
7
12
x
2
+
1
3
x +
5
2
)
p
3 + 2x + x
2
−
7
2
ln |x + 1 +
p
3 + 2x + x
2
| + C
17.103
Z
dx
x
√
10x − x
2
=
t =
1
x
1
t
= x
−
dt
t
2
= dx
=
Z
−
dt
t
2
1
t
r
10
t
−
1
t
2
=
Z
−dt
t
r
10
t
−
1
t
2
= −
Z
dt
√
10t − 1
=
= −
Z
1
10
(10t − 1)
0
√
10t − 1
dt = −
1
5
√
10t − 1 + C = −
1
5
r
10
x
− 1 + C
64
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
dx
x
√
10x − x
2
=
√
10x − x
2
= xt
10x − x
2
= x
2
t
2
10 − x = xt
2
x + xt
2
= 10
x(1 + t
2
) = 10
x =
10
1 + t
2
dx =
−20t
(1 + t
2
)
2
dt
√
10x − x
2
=
10t
1 + t
2
=
Z
1 + t
2
10
·
1 + t
2
10t
·
−20t
(1 + t
2
)
2
dt =
= −
1
5
Z
dt = −
1
5
t + C = −
1
5
√
10x − x
2
x
+ C
17.104
Z
dx
(x + 1)
√
x
2
− 1
=
√
x
2
− 1 = (x + 1)t
x
2
− 1 = (x + 1)
2
t
2
x − 1 = (x + 1)t
2
x − 1 = xt
2
+ t
2
x − xt
2
= 1 + t
2
x(1 − t
2
) = 1 + t
2
x =
1 + t
2
1 − t
2
x = −1 +
2
1 − t
2
dx =
4t
(1 − t
2
)
2
dt
x + 1 =
2
1 − t
2
√
x
2
− 1 =
2t
1 − t
2
=
Z
1 − t
2
2
·
1 − t
2
2t
·
4t
(1 − t
2
)
2
dt =
=
Z
dt = t + C =
√
x
2
− 1
x + 1
+ C
17.105
Z
dx
(x + 2)
√
4 − x
2
=
√
4 − x
2
= (x + 2)t
4 − x
2
= (x + 2)
2
t
2
2 − x = (x + 2)t
2
2 − x = xt
2
+ 2t
2
x + xt
2
= 2 − 2t
2
x(1 + t
2
) = 2 − 2t
2
x =
2 − 2t
2
t
2
+ 1
x = −2 +
4
1 + t
2
dx = −
8t
(1 + t
2
)
2
x + 2 =
4
1 + t
2
√
4 − x
2
=
4t
1 + t
2
=
Z
1 + t
2
4
·
1 + t
2
4t
·
−8t
(1 + t
2
)
2
dt =
65
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
1
2
Z
dt = −
1
2
t + C = −
1
2
·
√
4 − x
2
2 + x
+ C
17.106
Z
dx
x
√
x
2
+ x − 1
=
√
x
2
+ x − 1 = t − x
x
2
+ x − 1 = t
2
− 2tx + x
2
x − 1 = t
2
− 2tx
2tx + x = t
2
+ 1
x(2t + 1) = t
2
+ 1
x =
t
2
+ 1
2t + 1
dx =
2t · (2t + 1) − 2(t
2
+ 1)
(2t + 1)
2
dt
dx =
2t
2
+ 2t − 2
(2t + 1)
2
dt
√
x
2
+ x − 1 = t −
t
2
+ 1
2t + 1
√
x
2
+ x − 1 =
t
2
+ t − 1
2t + 1
=
Z
2t + 1
t
2
+ 1
·
2t + 1
t
2
+ t − 1
·
2(t
2
+ t − 1)
(2t + 1)
2
dt =
= 2
Z
dt
t
2
+ 1
= 2 arctan t + C =
= 2 arctan (x +
p
x
2
+ x − 1) + C
17.107
Z
dx
x
√
x
2
− 2x − 1
=
√
x
2
− 2x − 1 = t − x
x
2
− 2x − 1 = t
2
− 2tx + x
2
−2x − 1 = t
2
− 2tx
t
2
+ 1 = 2tx − 2x
x(2t − 2) = t
2
+ 1
x =
t
2
+ 1
2t − 2
dx =
2t(2t − 2) − 2(t
2
+ 1)
(2t − 2)
2
dt
dx =
2t
2
− 4t − 2
(2t − 2)
2
dt
√
x
2
− 2x − 1 = t −
t
2
+ 1
2t − 2
√
x
2
− 2x − 1 =
t
2
− 2t − 1
2t − 2
=
Z
2t − 2
t
2
+ 1
·
2t − 2
t
2
− 2t − 1
·
2(t
2
− 2t − 1)
(2t − 2)
2
dt =
= 2
Z
dt
t
2
+ 1
= 2 arctan t + C =
= 2 arctan (x +
p
x
2
− 2x − 1) + C
17.108
66
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
dx
(2x − 1)
√
x
2
− 1
=
√
x
2
− 1 = t − x
x
2
− 1 = t
2
− 2tx + x
2
−1 = t
2
− 2tx
2tx = t
2
+ 1
x =
t
2
+ 1
2t
dx =
t
2
− 1
2t
2
dt
√
x
2
− 1 = t −
t
2
+ 1
2t
√
x
2
− 1 =
t
2
− 1
2t
2x − 1 =
t
2
− t + 1
t
=
Z
t
t
2
− t + 1
·
2t
t
2
− 1
·
t
2
− 1
2t
2
dt =
=
Z
dt
t
2
− t + 1
=
Z
dt
t −
1
2
2
+
3
4
=
=
4
3
Z
dt
2t − 1
√
3
2
+ 1
=
2
√
3
arctan
2t − 1
√
3
+ C =
=
2
√
3
arctan
2x + 2
√
x
2
− 1 − 1
√
3
!
+ C
17.109
Z
dx
(x + 1)
√
1 + 2x − 3x
2
=
√
1 + 2x − 3x
2
= xt + 1
1 + 2x − 3x
2
= x
2
t
2
+ 2xt + 1
2x − 3x
2
= x
2
t
2
+ 2xt
2 − 3x = xt
2
+ 2t
2 − 2t = xt
2
+ 3x
x(t
2
+ 3) = 2 − 2t
x =
2 − 2t
t
2
+ 3
dx =
2(t
2
− 2t − 3)
(t
2
+ 3)
2
dt
x + 1 =
t
2
− 2t + 5
t
2
+ 3
√
1 + 2x − 3x
2
=
2 − 2t
t
2
+ 3
· t + 1
√
1 + 2x − 3x
2
=
−(t
2
− 2t − 3)
t
2
+ 3
=
Z
t
2
+ 3
t
2
− 2t + 5
·
t
2
+ 3
−(t
2
− 2t − 3)
·
2(t
2
− 2t − 3)
(t
2
+ 3)
2
dt = −2
Z
dt
t
2
− 2t + 5
=
= −2
Z
dt
(t − 1)
2
+ 4
= −
1
2
Z
dt
1 +
t − 1
2
2
= − arctan
t − 1
2
+ C =
= − arctan
√
1 + 2x − 3x
2
− x − 1
2x
!
+ C
67
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
17.110
Z
dx
(3 − 2x)
√
x
2
− 4x + 3
=
√
x
2
− 4x + 3 = t − x
x
2
− 4x + 3 = t
2
− 2tx + x
2
−4x + 3 = t
2
− 2tx
2tx − 4x = t
2
− 3
x(2t − 4) = t
2
− 3
x =
t
2
− 3
2t − 4
dx =
2(t
2
− 4t + 3)
(2t − 4)
2
dt
3 − 2x =
−2(t
2
− 3t + 3)
2t − 4
√
x
2
− 4x + 3 = t −
t
2
− 3
2t − 4
√
x
2
− 4x + 3 =
t
2
− 4t + 3
2t − 4
=
=
Z
2t − 4
−2(t
2
− 3t + 3)
·
2t − 4
t
2
− 4t + 3
·
2(t
2
− 4t + 3)
(2t − 4)
2
dt = −
Z
dt
t
2
− 3t + 3
=
= −
Z
dt
t −
3
2
2
+
3
4
= −
4
3
Z
dt
1 +
2t − 3
√
3
2
= −
2
√
3
arctan
2t − 3
√
3
+ C =
= −
2
√
3
arctan
2x + 2
√
x
2
− 4x + 3 − 3
√
3
!
+ C
17.111
Z
dx
x
√
x
2
+ x + 1
=
√
x
2
+ x + 1 = xt + 1
x
2
+ x + 1 = x
2
t
2
+ 2xt + 1
x
2
+ x = x
2
t
2
+ 2xt
x + 1 = xt
2
+ 2t
x − xt
2
= 2t − 1
x(1 − t
2
) = 2t − 1
x =
2t − 1
1 − t
2
dx =
2(t
2
− t + 1)
(1 − t
2
)
2
dt
√
x
2
+ x + 1 =
2t − 1
1 − t
2
· t + 1
√
x
2
+ x + 1 =
t
2
− t + 1
1 − t
2
=
Z
1 − t
2
2t − 1
·
1 − t
2
t
2
− t + 1
·
2(t
2
− t + 1)
(1 − t
2
)
2
dt
=
Z
2
2t − 1
dt = ln |2t − 1| + C = ln
2
√
x
2
+ x + 1 − x − 2
x
+ C
17.112
68
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
dx
x
√
x
2
− 1
=
√
x
2
− 1 = t − x
x
2
− 1 = t
2
− 2tx + x
2
−1 = t
2
− 2tx
2tx = t
2
+ 1
x =
t
2
+ 1
2t
dx =
t
2
− 1
2t
2
dt
√
x
2
− 1 = t −
t
2
+ 1
2t
√
x
2
− 1 =
t
2
− 1
2t
=
Z
2t
t
2
+ 1
·
2t
t
2
− 1
·
t
2
− 1
2t
2
dt =
Z
2dt
t
2
+ 1
=
= 2 arctan t + C = 2 arctan (x +
p
x
2
− 1) + C
17.113
Z
dx
(a − x)
√
a
2
− x
2
=
√
a
2
− x
2
= (a − x)t
a
2
− x
2
= (a − x)
2
t
2
a + x = (a − x)t
2
a + x = at
2
− xt
2
x + xt
2
= at
2
− a
x(1 + t
2
) = at
2
− a
x =
at
2
− a
1 + t
2
x = a −
2a
1 + t
2
dx =
4at
(1 + t
2
)
2
dt
=
Z
1 + t
2
2a
·
1 + t
2
2at
·
4at
(1 + t
2
)
2
dt =
=
1
a
Z
dt =
1
a
· t + C =
1
a
·
√
a
2
− x
2
a − x
+ C
17.114
Z
dx
(x − 2)
√
x
2
− 6x + 1
=
√
x
2
− 6x + 1 = t − x
x
2
− 6x + 1 = t
2
− 2tx + x
2
−6x + 1 = t
2
− 2tx
2tx − 6x = t
2
− 1
x(2t − 6) = t
2
− 1
x =
t
2
− 1
2t − 6
dx =
2(t
2
− 6t + 1)
(2t − 6)
2
dt
x − 2 =
t
2
− 1
2t − 6
− 2
x − 2 =
t
2
− 4t + 11
2t − 6
√
x
2
− 6x + 1 = t −
t
2
− 1
2t − 6
√
x
2
− 6x + 1 =
t
2
− 6t + 1
2t − 6
= 2
Z
2t − 6
t
2
− 4t + 11
·
2t − 6
t
2
− 6t + 1
·
t
2
− 6t + 1
(2t − 6)
2
dt =
69
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= 2
Z
dt
t
2
− 4t + 11
= 2
Z
dt
(t − 2)
2
+ 7
=
2
7
Z
dt
1 +
t − 2
√
7
2
=
=
2
√
7
arctan
t − 2
√
7
+ C =
2
√
7
arctan
x − 2 +
√
x
2
− 6x + 1
√
7
!
+ C
17.115
Z
dx
x
2
√
4 − x
2
=
√
4 − x
2
= (x + 2)t
4 − x
2
= (x + 2)
2
t
2
2 − x = (x + 2)t
2
2 − x = xt
2
+ 2t
2
2 − 2t
2
= x + xt
2
2 − 2t
2
= x(1 + t
2
)
x =
2 − 2t
2
1 + t
2
dx =
−8t
(1 + t
2
)
2
dt
√
4 − x
2
=
4t
1 + t
2
= −
Z
(1 + t
2
)
2
(2 − 2t
2
)
2
·
1 + t
2
4t
·
8t
(1 + t
2
)
2
dt =
= −
1
2
Z
1 + t
2
(1 − t
2
)
2
dt = −
1
4
Z
(1 + t)
2
+ (1 − t)
2
(1 − t)
2
(1 + t)
2
dt =
= −
1
4
Z
dt
(1 + t)
2
+
Z
dt
(1 − t)
2
= −
1
4
1
1 − t
−
1
1 + t
+ C =
= −
1
4
·
2t
1 − t
2
+ C = −
1
4
√
4 − x
2
x
+ C
17.116
Z
dx
(x − 1)
2
√
10x − x
2
=
√
10x − x
2
= xt
10x − x
2
= x
2
t
2
10 − x = xt
2
10 = x + xt
2
10 = x(1 + t
2
)
x =
10
1 + t
2
dx =
−20t
(1 + t
2
)
2
dt
x − 1 =
9 − t
2
1 + t
2
√
10x − x
2
=
10t
1 + t
2
= −2
Z
(1 + t
2
)
2
(9 − t
2
)
2
·
1 + t
2
10t
·
10t
(1 + t
2
)
2
dt =
= −2
Z
1 + t
2
(9 − t
2
)
2
dt
−2
Z
1 + t
2
(9 − t
2
)
2
dt ≡
Z
A
3 − t
dt +
Z
B
(3 − t)
2
dt +
Z
C
3 + t
dt +
Z
D
(3 + t)
2
dt
−A + C = 0
−3A + B − 3C + D = −2
9A + 6B − 9C − 6D = 0
27A + 9B + 27C + 9D = −2
70
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
A =
4
27
B = −
5
9
C =
4
27
D = −
5
9
=
4
27
Z
1
3 − t
dt −
5
9
Z
1
(3 − t)
2
dt +
4
27
Z
1
3 + t
dt −
5
9
Z
1
(3 + t)
2
dt
=
4
27
ln
3 + t
3 − t
−
5
9
·
1
3 − t
+
5
9
·
1
3 − t
+ C
=
4
27
ln
3 + t
3 − t
−
10
9
·
t
9 − t
2
= −
1
9
√
10x − x
2
x − 1
+
4
27
ln
4x + 5 + 3
√
10x − x
2
x − 1
+ C
17.117
Z
dx
x
3
√
x
2
+ 1
=
√
x
2
+ 1 = xt + 1
x
2
+ 1 = x
2
t
2
+ 2xt + 1
x
2
= x
2
t
2
+ 2xt
x = xt
2
+ 2t
x − xt
2
= 2t
x(1 − t
2
) = 2t
x =
2t
1 − t
2
dx =
2(1 − t
2
) + 2t · 2t
(1 − t
2
)
2
dt
dx =
2(1 + t
2
)
(1 − t
2
)
2
dt
√
x
2
+ 1 =
2t
1 − t
2
· t + 1
√
x
2
+ 1 =
1 + t
2
1 − t
2
=
Z
(1 − t
2
)
3
8t
3
·
1 − t
2
1 + t
2
·
2(1 + t
2
)
(1 − t
2
)
2
dt =
=
1
4
Z
(1 − t
2
)
2
t
3
dt =
1
4
Z
tdt − 2
Z
dt
t
+
Z
dt
t
3
=
=
1
4
t
2
2
− 2 ln |t| −
1
2t
2
!
+ C =
1
8
(t
2
− 1)(t
2
+ 1)
t
2
− 4 ln |t|
!
+ C =
= −
1
2
√
x
2
+ 1
x
2
+ ln
√
x
2
+ 1 − 1
x
!
+ C
17.118
71
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
dx
x
3
√
2x
2
+ 2x + 1
=
√
2x
2
+ 2x + 1 = xt + 1
2x
2
+ 2x + 1 = x
2
t
2
+ 2xt + 1
2x
2
+ 2x = x
2
t
2
+ 2xt
2x + 2 = xt
2
+ 2t
2x − xt
2
= 2t − 2
x(2 − t
2
) = 2t − 2
x =
2t − 2
2 − t
2
dx =
2(2 − t
2
) + 2t(2t − 2)
(2 − t
2
)
2
dt
dx =
2t
2
− 4t + 4
(2 − t
2
)
2
dt
√
2x
2
+ 2x + 1 = xt + 1
√
2x
2
+ 2x + 1 =
2t
2
− 2t + 2 − t
2
2 − t
2
√
2x
2
+ 2x + 1 =
t
2
− 2t + 2
2 − t
2
=
Z
(2 − t
2
)
3
(2t − 2)
3
·
2 − t
2
t
2
− 2t + 2
·
2t
2
− 4t + 4
(2 − t
2
)
2
dt
= 2
Z
(2 − t
2
)
2
(2t − 2)
3
dt =
1
4
Z
(2 − t
2
)
2
(t − 1)
3
dt
=
1
4
Z
tdt + 3
Z
dt +
Z
2t
2
− 8t + 7
(t − 1)
3
dt
!
=
1
4
Z
tdt + 3
Z
dt +
Z
2
t − 1
dt −
Z
4
(t − 1)
2
dt +
Z
1
(t − 1)
3
dt
=
1
4
t
2
2
+ 3t + 2 ln |t − 1| +
4
t − 1
−
1
2
·
1
(t − 1)
2
!
+ C
= −
1
2
√
2x
2
+ 2x + 1
x
2
− 3
√
2x
2
+ 2x + 1
x
− ln
√
2x
2
+ 2x + 1 − x − 1
x
!
+ C
Z
2t
2
− 8t + 7
(t − 1)
3
dt ≡
Z
A
t − 1
dt +
Z
B
(t − 1)
2
dt +
Z
C
(t − 1)
3
dt)
A = 2
−2A + B = −8
A − B + C = 7
A = 2
B = −4
C = 1
Z
2t
2
− 8t + 7
(t − 1)
3
dt =
Z
2
t − 1
dt +
Z
−4
(t − 1)
2
dt +
Z
1
(t − 1)
3
dt)
17.119
Z
dx
(x − 1)
3
√
3 − 2x
2
=
Z
√
3dx
(x − 1)
3
√
9 − 6x
2
=
72
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
√
9 − 6x
2
= xt + 3
9 − 6x
2
= x
2
t
2
+ 6xt + 9
−6x
2
= x
2
t
2
+ 6xt
−6x = xt
2
+ 6t
xt
2
+ 6x = −6t
x(t
2
+ 6) = −6t
x =
−6t
t
2
+ 6
dx =
−6(t
2
+ 6) + 12t
2
(t
2
+ 6)
2
dt
dx =
6t
2
− 36
(t
2
+ 6)
2
dt
x − 1 =
−6t − t
2
− 6
t
2
+ 6
√
9 − 6x
2
=
−6t
t
2
+ 6
· t + 3
√
9 − 6x
2
=
−3t
2
+ 18
t
2
+ 6
=
Z
(t
2
+ 6)
3
(t
2
+ 6t + 6)
3
·
t
2
+ 6
3t
2
− 18
·
6t
2
− 36
(t
2
+ 6)
2
dt
= 2
Z
(t
2
+ 6)
2
(t
2
+ 6t + 6)
3
dt = 2
Z
(t
2
+ 6)
2
(t + 3 −
√
3)
3
(t + 3 +
√
3)
3
dt
2
Z
(t
2
+ 6)
2
(t + 3 −
√
3)
3
(t + 3 +
√
3)
3
dt ≡
Z
A
t + 3 −
√
3
dt +
Z
B
(t + 3 −
√
3)
2
dt +
Z
C
(t + 3 −
√
3)
3
dt
+
Z
D
t + 3 +
√
3
dt +
Z
E
(t + 3 +
√
3)
2
dt +
Z
F
(t + 3 +
√
3)
3
dt
2(t
2
+ 6)
2
≡ A(t + 3 −
√
3)
2
(t + 3 +
√
3)
3
+ B(t + 3 −
√
3)(t + 3 +
√
3)
3
+ C(t + 3 +
√
3)
3
+D(t + 3 −
√
3)
3
(t + 3 +
√
3)
2
+ E(t + 3 −
√
3)
3
(t + 3 +
√
3) + F (t + 3 −
√
3)
3
A =
7
3
√
3
B = −6 +
√
3
C = 12
√
3 − 18
D = −
7
3
√
3
E = −6 −
√
3
F = −12
√
3 − 18
=
7
3
√
3
Z
1
t + 3 −
√
3
dt + (−6 +
√
3)
Z
1
(t + 3 −
√
3)
2
dt + (12
√
3 − 18)
Z
1
(t + 3 −
√
3)
3
dt
−
7
3
√
3
Z
1
t + 3 +
√
3
dt + (−6 −
√
3)
Z
1
(t + 3 +
√
3)
2
dt + (−12
√
3 − 18)
Z
1
(t + 3 +
√
3)
3
dt
= (6 −
√
3)
1
t + 3 −
√
3
+ (9 − 6
√
3)
1
(t + 3 −
√
3)
2
+ (6 +
√
3)
1
t + 3 +
√
3
+
+(9 + 6
√
3)
1
(t + 3 +
√
3)
2
+
7
√
3
ln
t + 3 −
√
3
t + 3 +
√
3
+ C =
= −
1
2
(
√
3 − 2x
2
(x − 1)
2
+ 6
√
3 − 2x
2
x − 1
) + 7 ln
√
3 − 2x
2
+ 2x − 3
x − 1
+ C
17.120
73
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
dx
x
2
√
1 − 4x + x
2
=
√
1 − 4x + x
2
= xt + 1
1 − 4x + x
2
= x
2
t
2
+ 2xt + 1
−4x + x
2
= x
2
t
2
+ 2xt
−4 + x = xt
2
+ 2t
x − xt
2
= 2t + 4
x(1 − t
2
) = 2t + 4
x =
2t + 4
1 − t
2
dx =
2(1 − t
2
) + 2t(2t + 4)
(2t + 4)
2
dt
dx =
2t
2
+ 8t + 2
(2t + 4)
2
dt
√
1 − 4x + x
2
=
2t + 4
1 − t
2
· t + 1
√
1 − 4x + x
2
=
t
2
+ 4t + 1
1 − t
2
=
=
Z
(1 − t
2
)
2
(2t + 4)
2
·
1 − t
2
t
2
+ 4t + 1
·
2t
2
+ 8t + 2
(2t + 4)
2
dt
= −
1
2
Z
t
2
− 1
(t + 2)
2
dt
= −
1
2
Z
dt − 4
Z
dt
t + 2
+ 3
Z
dt
(t + 2)
2
= −
1
2
t − 4 ln |t + 2| −
3
t + 2
+ C
= −
√
1 − 4x + x
2
x
+ 2 ln
√
1 − 4x + x
2
+ 2x − 1
x
+ C
17.121
Z
dx
x
3
√
1 + x
2
→ 17.117
17.122
Z
dx
x
4
√
3 − 2x + x
2
=
√
3
Z
dx
x
4
√
9 − 6x + 3x
2
=
74
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
√
9 − 6x + 3x
2
= xt + 3
9 − 6x + 3x
2
= x
2
t
2
+ 6xt + 9
−6x + 3x
2
= x
2
t
2
+ 6xt
−6 + 3x = xt
2
+ 6t
3x − xt
2
= 6t + 6
x(3 − t
2
) = 6t + 6
x =
6t + 6
3 − t
2
dx =
6(3 − t
2
) + 2t(6t + 6)
(3 − t
2
)
2
dt
dx =
6t
2
+ 12t + 18
(3 − t
2
)
2
dt
√
9 − 6x + 3x
2
=
6t + 6
3 − t
2
· t + 3
√
9 − 6x + 3x
2
=
3t
2
+ 6t + 9
3 − t
2
=
Z
(3 − t
2
)
4
1296(t + 1)
4
·
3 − t
2
3t
2
+ 6t + 9
·
6t
2
+ 12t + 18
(3 − t
2
)
2
dt =
1
648
Z
(3 − t
2
)
3
(1 + t)
4
dt
=
1
648
Z
(−t
2
+ 4t − 1)dt −
Z
−16t
3
− 36t
2
+ 28
(t + 1)
4
dt
!
=
−16t
3
− 36t
2
+ 28 = −16(t + 1)
3
+ 12(t + 1)
2
+ 24(t + 1) + 8
=
1
648
−
Z
t
2
dt + 4
Z
tdt −
Z
dt + 12
Z
dt
(t + 1)
2
+ 24
Z
dt
(t + 1)
3
+ 8
Z
dt
(1 + t)
4
− 16
Z
dt
t + 1
=
1
648
−
1
3
t
3
+ 2t
2
− t −
12
t + 1
−
12
(t + 1)
2
−
8
3
·
1
(t + 1)
3
− 16 ln |t + 1|
+ C
= −
1
9
·
√
3 − 2x + x
2
x
3
−
5
54
·
√
3 − 2x + x
2
x
2
−
1
54
·
√
3 − 2x + x
2
x
−
2
√
3
81
ln
√
9 − 6x + 3x
2
+ x − 3
x
+ C
17.123
Z
dx
(x − 2)
4
√
1 − 4x + x
2
75
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
√
1 − 4x + x
2
= t − x
1 − 4x + x
2
= t
2
− 2tx + x
2
1 − 4x = t
2
− 2tx
t
2
− 1 = 2tx − 4x
x(2t − 4) = t
2
− 1
x =
t
2
− 1
2t − 4
dx =
2t(2t − 4) − 2(t
2
− 1)
(2t − 4)
2
dt
dx =
2t
2
− 8t + 2
(2t − 4)
2
dt
x − 2 =
t
2
− 1 − 4t + 8
2t − 4
x − 2 =
t
2
− 4t + 7
2t − 4
√
1 − 4x + x
2
= t −
t
2
− 1
2t − 4
√
1 − 4x + x
2
=
t
2
− 4t + 1
2t − 4
=
Z
(2t − 4)
4
(t
2
− 4t + 7)
4
·
2t − 4
t
2
− 4t + 1
·
2t
2
− 8t + 2
(2t − 4)
2
dt
= 2
Z
(2t − 4)
3
(t
2
− 4t + 7)
4
dt
= 8
Z
(2t − 4)(t
2
− 4t + 7) − 3(2t − 4)
(t
2
− 4t + 7)
4
dt
=
Z
8(2t − 4)
(t
2
− 4t + 7)
3
dt −
Z
24(2t − 4)
(t
2
− 4t + 7)
4
dt
= −
4
(t
2
− 4t + 7)
2
+
8
(t
2
− 4t + 7)
3
+ C
=
1
27
·
(2x
2
− 8x + 11)
√
1 − 4x + x
2
(x − 2)
3
+ C
=
2
27
·
√
1 − 4x + x
2
x − 2
+
1
9
·
√
1 − 4x + x
2
(x − 2)
3
+ C
18
Całki funkcji przestępnych.
18.1
§ Całki funkcji trygonometrycznych.
18.30
Z
cos 5x cos 7xdx =
Z
cos 7x cos 5xdx =
Z
1
2
[cos(7x + 5x) + cos(7x − 5x)]dx =
=
Z
1
2
(cos 12x + cos 2x)dx =
1
24
sin 12x +
1
4
sin 2x + C
18.31
Z
sin 3x cos 2xdx =
Z
1
2
[sin(3x + 2x) + sin(3x − 2x)]dx =
Z
1
2
[sin 5x + sin x]dx =
76
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
1
10
cos 5x −
1
2
cos x + C
18.32
Z
cos 2x cos 3xdx =
Z
1
2
[cos(2x + 3x) + cos(2x − 3x)]dx =
Z
1
2
[cos 5x + cos(−x)]dx =
=
Z
1
2
[cos 5x + cos x]dx =
1
10
sin 5x +
1
2
sin x + C
18.33
Z
sin x cos 3xdx =
Z
1
2
[sin(x + 3x) + sin(x − 3x)]dx =
Z
1
2
[sin 4x + sin(−2x)]dx =
=
Z
1
2
[sin 4x − sin 2x]dx = −
1
8
cos 4x +
1
4
cos 2x + C
18.34
Z
cos 2x sin 4xdx =
Z
sin 4x cos 2xdx =
Z
1
2
[sin(4x + 2x) + sin(4x − 2x)]dx =
=
Z
1
2
[sin 6x + sin 2x]dx = −
1
12
cos 6x −
1
4
cos 2x + C
18.35
Z
sin 2x sin 5xdx =
Z
1
2
[cos(2x − 5x) − cos(2x + 5x)]dx =
=
Z
1
2
[cos(−3x) − cos 7x]dx =
Z
1
2
[cos 3x − cos 7x]dx =
1
6
sin 3x −
1
14
sin 7x + C
18.36
Z
cos x cos 3xdx =
Z
1
2
[cos(x + 3x) + cos(x − 3x)]dx =
Z
1
2
[cos 4x + cos(−2x)]dx =
=
Z
1
2
[cos 4x + cos 2x]dx =
1
8
sin 4x +
1
4
sin 2x + C
18.37
Z
sin 3x sin xdx =
Z
1
2
[cos(3x − x) − cos(3x + x)]dx =
Z
1
2
[cos 2x − cos 4x]dx =
=
1
4
sin 2x −
1
8
sin 4x + C
18.38
Z
sin 5x sin 2xdx =
Z
1
2
[cos(5x − 2x) − cos(5x + 2x)]dx =
Z
1
2
[cos 3x − cos 7x]dx =
=
1
6
sin 3x −
1
14
sin 7x + C
77
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.39
Z
sin
3
xdx =
Z
(1 − cos
2
x) sin xdx =
t = cos x
dt = − sin xdx
=
Z
(t
2
− 1)dt =
=
1
3
t
3
− t + C =
1
3
cos
3
x − cos x + C
18.40
Z
sin
4
xdx = −
1
4
sin
3
x cos x +
3
4
Z
sin
2
xdx = −
1
4
sin
3
x cos x −
3
8
sin x cos x +
3
8
x + C
Wzór redukcyjny
Z
sin
n
xdx = −
1
n
sin
n−1
x cos x +
n − 1
n
Z
sin
n−2
xdx
18.41
Z
cos
4
xdx =
Z
sin
4
(
π
2
+ x)dx =
u =
π
2
+ x
du = dx
=
Z
sin
4
udu =
= −
1
4
sin
3
u cos u −
3
8
sin u cos u +
3
8
u + C =
= −
1
4
sin
3
(
π
2
+ x) cos(
π
2
+ x) −
3
8
sin(
π
2
+ x) cos(
π
2
+ x) +
3
8
(
π
2
+ x) + C =
=
1
4
sin
3
x cos x +
3
8
sin x cos x +
3
8
x + C
18.42
Z
cos
5
xdx =
Z
(1 − sin
2
x)
2
cos xdx =
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
(1 − t
2
)
2
dt =
Z
(t
4
− 2t
2
+ 1)dt =
=
1
5
t
5
−
2
3
t
3
+ t + C =
1
5
sin
5
x −
2
3
sin
3
x + sin x + C
18.43
Z
sin
5
xdx =
Z
(1 − cos
2
x)
2
sin xdx =
t = cos x
dt = − sin xdx
= −
Z
(1 − t
2
)
2
dt =
= −
Z
(t
4
− 2t
2
+ 1)dt = −
1
5
t
5
+
2
3
t
3
− t + C = −
1
5
cos
5
x +
2
3
cos
3
x − cos x + C
18.44
Z
tan
5
xdx =
t = tan x
dt
t
2
+1
= dx
=
Z
t
5
t
2
+ 1
dt =
Z
t
3
(t
2
+ 1) − t(t
2
+ 1) + t
t
2
+ 1
dt =
78
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
=
Z
t
3
dt −
Z
tdt +
Z
1
2
(t
2
+ 1)
0
t
2
+ 1
dt =
1
4
t
4
+
1
2
t
2
+
1
2
ln |t
2
+ 1| + C =
=
1
4
tan
4
x +
1
2
tan
2
x +
1
2
ln | tan
2
x + 1| + C =
=
1
4
tan
4
x +
1
2
tan
2
x − ln | cos x| + C
18.45
Z
cot
4
xdx =
t = cot x
−
dt
t
2
+1
= x
= −
Z
t
4
t
2
+ 1
dt = −
Z
(t
2
− 1)(t
2
+ 1) + 1
t
2
+ 1
dt =
= −
Z
(t
2
− 1)dt −
Z
dt
t
2
+ 1
= −
1
3
t
3
+ t − arctan(t) + C =
= −
1
3
cot
3
x + cot x − arctan(cot x) + C =
= −
1
3
cot
3
x + cot x − arctan(tan(
π
2
− x)) + C =
= −
1
3
cot
3
x + cot x + x + C
18.46
Z
ctg
6
xdx =
t = cot x
−
dt
t
2
+1
= x
= −
Z
t
6
t
2
+ 1
dt = −
Z
t
4
(t
2
+ 1) − t
2
(t
2
+ 1) + (t
2
+ 1) − 1
t
2
+ 1
dt =
= −
Z
(t
4
− t
2
+ 1)dt +
Z
dt
t
2
+ 1
= −
1
5
t
5
+
1
3
t
3
− t + arctan(t) + C =
= −
1
5
cot
5
x +
1
3
cot
3
x − cot x + arctan(cot x) + C =
= −
1
5
cot
5
x +
1
3
cot
3
x − cot x + arctan(tan(
π
2
− x)) + C =
= −
1
5
cot
5
x +
1
3
cot
3
x − cot x − x + C
18.47
Z
sin
3
x cos
4
xdx =
Z
sin x(1 − cos
2
x) cos
4
xdx =
t = cos x
dt = − sin xdx
=
= −
Z
(1 − t
2
)t
4
dt =
Z
(t
6
− t
4
)dt =
1
7
t
7
−
1
5
t
5
+ C =
1
7
cos
7
x −
1
5
cos
5
x + C
18.48
Z
sin
7
x cos
6
xdx =
Z
sin x(1 − cos
2
x)
3
cos
6
xdx =
t = cos x
dt = − sin xdx
=
= −
Z
(1 − t
2
)
3
t
6
dt =
Z
(t
12
− 3t
10
+ 3t
8
− t
6
)dt =
1
13
t
13
−
3
11
t
11
+
1
3
t
9
−
1
7
t
7
+ C =
=
1
13
cos
13
x −
3
11
cos
11
x +
1
3
cos
9
x −
1
7
cos
7
x + C
79
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.49
Z
sin
5
x cos
2
xdx =
Z
sin x(1 − cos
2
x)
2
cos
2
xdx =
t = cos x
dt = − sin xdx
=
= −
Z
(1 − t
2
)
2
t
2
dt = −
Z
(t
6
− 2t
4
+ t
2
)dt = −
1
7
t
7
+
2
5
t
5
−
1
3
t
3
+ C =
= −
1
7
cos
7
x +
2
5
cos
5
x −
1
3
cos
3
x + C
18.50
Z
sin
2
x cos
2
xdx =
Z
1
4
sin
2
2xdx =
Z
1 − cos 4x
8
dx =
1
8
x −
1
32
sin 4x + C
18.51
Z
sin
3
x cos
3
xdx =
Z
sin
3
x cos x(1 − sin
2
x)dx =
t = sin x
dt = cos x
=
=
Z
t
3
(1 − t
2
)dt =
Z
(t
3
− t
5
)dt =
1
4
t
4
−
1
6
t
6
+ C =
1
4
sin
4
x −
1
6
sin
6
x + C
18.52
Z
sin
4
x cos
5
xdx =
Z
sin
4
x cos x(1 − sin
2
x)
2
dx =
t = sin x
dt = cos dx
=
=
Z
t
4
(1 − t
2
)
2
dt =
Z
(t
4
− 2t
6
+ t
8
)dt =
1
5
t
5
−
2
7
t
7
+
1
9
t
9
+ C =
=
1
5
sin
5
x −
2
7
sin
7
x +
1
9
sin
9
x + C
18.53
Z
cos xdx
sin
8
x
=
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
dt
t
8
= −
1
7t
7
+ C = −
1
7 sin
7
x
+ C
18.54
Z
sin x tan xdx =
Z
sin
2
x
cos x
dx =
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
t
2
1 − t
2
dt =
Z
t
2
− 1 + 1
1 − t
2
=
= −
Z
dt +
Z
dt
1 − t
2
= −t +
1
2
ln
t + 1
t − 1
+ C = − sin x +
1
2
ln
sin x + 1
sin x − 1
+ C
18.55
Z
cos x
3
√
sin
2
x
dx =
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
t
−
2
3
dt = 3
3
√
t + C = 3
3
√
sin x + C
18.56
80
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
sin xdx
3
√
1 + 2 cos x
=
t = 1 + 2 cos x
dt = −2 sin xdx
−
1
2
dt = sin xdx
= −
1
2
Z
t
−
1
3
dt = −
3
4
t
2
3
+ C = −
3
4
3
q
(1 + 2 cos x)
2
+ C
18.57
Z
sin 2xdx
√
1 + cos
2
x
=
Z
2 sin x cos x
√
1 + cos
2
x
dx =
Z
−(1 + cos
2
x)
0
√
1 + cos
2
x
dx = −2
p
1 + cos
2
x + C
18.58
Z
sin 2x
1 + sin
2
x
dx =
Z
2 sin x cos x
1 + sin
2
x
dx =
Z
(1 + sin
2
x)
0
1 + sin
2
x
dx = ln |1 + sin
2
x| + C
18.59
Z
sin 2xdx
√
1 − sin
4
x
=
Z
2 sin x cos xdx
√
1 − sin
4
x
=
t = sin
2
x
dt = 2 sin x cos xdx
=
Z
dt
√
1 − t
2
=
= arcsin(t) + C = arcsin(sin
2
x) + C
18.60
Z
cos
3
x
sin
2
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x) cos x
sin
2
x
dx =
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
1 − t
2
t
2
dt =
=
Z
dt
t
2
−
Z
dt = −
1
t
− t + C = −
1
sin x
− sin x + C = −
1 + sin
2
x
sin x
+ C
18.61
Z
sin
3
x + cos
3
x
sin
2
x − sin x cos x + cos
2
x
dx =
Z
(sin x + cos x)dx = − cos x + sin x + C
18.62
Z
dx
sin
3
x
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
3
x
dx =
Z
dx
sin x
+
Z
cos
2
x
sin
3
x
dx = −
cos x
2 sin
2
x
+
1
2
Z
dx
sin x
=
= −
cos x
2 sin
2
x
+
1
2
ln | tan
x
2
| + C
całki obliczone pomocniczo:
Z
dx
sin x
=
u = tan
x
2
2du
1+u
2
= dx
2u
1+u
2
= sin x
=
Z
du
u
= ln |u| + C = ln | tan
x
2
| + C
Z
cos
2
x
sin
3
x
dx =
Z
cos x
sin
3
x
cos xdx =
u = cos x
dv =
cos x
sin
3
x
dx
du = − sin x
v = −
1
2 sin
2
x
=
81
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
cos x
2 sin
2
x
−
1
2
Z
dx
sin x
Z
cos x
sin
3
x
dx =
t = sin x
dt = cos x
=
Z
dt
t
3
= −
1
2t
2
+ C = −
1
2 sin
2
x
+ C
18.63
Z
dx
cos
3
x
=
Z
dx
sin
3
(x +
π
2
)
=
t = x +
π
2
dt = dx
=
Z
dt
sin
3
t
= ...
korzystając z rozwiązania w przykładzie (18.62) otrzymujemy:
... = −
cos t
2 sin
2
t
+
1
2
ln | tan
t
2
| + C = −
cos(x +
π
2
)
2 sin
2
(x +
π
2
)
+
1
2
ln | tan
(x +
π
2
)
2
| + C =
=
sin x
2 cos
2
x
+
1
2
ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + C
18.64
Z
dx
sin
4
x
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
4
x
dx =
Z
dx
sin
2
x
+
Z
cos
2
x
sin
4
x
dx = − cot x −
1
3
cot
3
x + C
Z
cos
2
x
sin
4
x
dx =
Z
cot
2
x
sin
2
x
dx =
t = cot x
−dt =
dx
sin
2
x
= −
Z
t
2
dt = −
1
3
cot
3
x + C
18.65
Z
dx
cos
5
x
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
cos
5
x
dx =
Z
sin
2
x
cos
5
x
+
Z
dx
cos
3
x
= −
sin x
3 cos
3
x
+
3
4
Z
dx
cos
3
x
=
=
sin x
4 cos
4
x
+
3 sin x
8 cos
2
x
+
3
8
ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + C
Z
sin
2
x
cos
5
x
dx =
u = sin x
dv =
sin x
cos
5
x
dx
du = cos dx
v =
1
4 cos
4
x
=
sin x
4 cos
4
x
−
1
4
Z
dx
cos
3
x
Z
sin x
cos
5
x
dx =
t = cos x
dt = − sin x
= −
Z
dt
t
5
=
1
4t
4
+ C =
1
4 cos
4
x
+ C
18.66
Z
dx
sin
7
x
=
u = tan
x
2
2du
1+u
2
= dx
2u
1+u
2
= sin x
=
Z
2du
1+u
2
(
2u
1+u
2
)
7
=
Z
(u
2
+ 1)
6
64u
7
du =
=
1
64
Z
u
12
+ 6u
10
+ 15u
8
+ 20u
6
+ 15u
4
+ 6u
2
+ 1
u
7
du =
=
1
64
Z
u
5
+ 6u
3
+ 15u +
20
u
+
15
u
3
+
6
u
5
+
1
u
7
du =
=
1
384
u
6
+
3
128
u
4
+
15
128
u
2
+
5
16
ln |u| −
15
128u
2
−
3
128u
4
−
1
384u
6
+ C =
=
1
384
tan
6
x
2
+
3
128
tan
4
x
2
+
15
128
tan
2
x
2
+
5
16
ln | tan
x
2
| −
15
128 tan
2 x
2
−
3
128 tan
4 x
2
−
1
384 tan
6 x
2
+ C
82
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.67
Z
dx
sin
3
x cos x
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
3
x cos x
dx =
Z
dx
sin x cos x
+
Z
cos x
sin
3
x
dx =
=
Z
dx
1
2
sin 2x
+
Z
cot x
sin
2
x
dx = ln | tan x| −
1
2
cot
2
x + C
Z
dx
1
2
sin 2x
=
t = 2x
1
2
dt = dx
=
Z
dt
sin t
= ln | tan
t
2
| + C = ln | tan x| + C
Z
cot x
sin
2
x
dx =
t = cot x
−dt =
dx
sin
2
x
= −
Z
tdt = −
1
2
cot
2
x + C
18.68
Z
dx
sin x cos
3
x
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin x cos
3
x
dx =
Z
sin x
cos
3
x
dx +
Z
dx
sin x cos x
=
=
Z
tan x
cos
2
x
dx +
Z
dx
1
2
sin 2x
=
1
2
tan
2
x + ln | tan x| + C
Z
dx
1
2
sin 2x
=
t = 2x
1
2
dt = dx
=
Z
dt
sin t
= ln | tan
t
2
| + C = ln | tan x| + C
Z
tan x
cos
2
x
dx =
t = tan x
dt =
dx
cos
2
x
=
Z
tdt =
1
2
tan
2
x + C
18.69
Z
dx
sin
5
x cos
3
x
==
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
5
x cos
3
x
dx =
=
Z
dx
sin
3
x cos
3
x
+
Z
dx
sin
5
x cos x
=
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
3
x cos
3
x
+
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
5
x cos x
dx =
=
Z
dx
sin x cos
3
x
+
Z
dx
sin
3
cos x
+
Z
dx
sin
3
x cos x
+
Z
cos x
sin
5
x
dx =
=
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin x cos
3
x
dx + 2
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin
3
cos x
+
Z
cos x
sin
5
x
dx =
=
Z
sin x
cos
3
x
dx +
Z
dx
sin x cos x
+ 2
Z
dx
sin x cos x
+ 2
Z
cos x
sin
3
x
+
Z
cos x
sin
5
x
dx =
=
Z
sin x
cos
3
x
dx + 3
Z
dx
sin x cos x
+ 2
Z
cos x
sin
3
x
dx +
Z
cos x
sin
5
x
dx =
=
1
2 cos
2
x
+ 3 ln | tan x| −
1
sin
2
x
−
1
4 sin
4
x
+ C
całki obliczone pomocniczo
Z
sin x
cos
3
x
dx =
t = cos x
−dt = sin xdx
= −
Z
dt
t
3
=
1
2t
2
+ C =
1
2 cos
2
x
+ C
Z
dx
sin x cos x
=
Z
dx
1
2
sin 2x
=
t = 2x
1
2
dt = dx
=
Z
dt
sin t
= ln | tan
t
2
| + C = ln | tan x| + C
Z
cos x
sin
3
x
dx =
t = sin x
dt = cos x
=
Z
dt
t
3
= −
1
2t
2
+ C = −
1
2 sin
2
x
+ C
83
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
cos x
sin
5
x
dx =
t = sin x
dt = cos x
=
Z
dt
t
5
= −
1
4t
4
+ C = −
1
4 sin
4
x
+ C
18.70
Z
dx
sin
2
x cos
4
x
=
=
Z
sin
2
+ cos
2
x
sin
2
x cos
4
x
dx =
=
Z
dx
cos
4
x
+
Z
dx
sin
2
x cos
2
x
=
=
Z
sin
2
+ cos
2
x
cos
4
x
dx +
Z
sin
2
+ cos
2
x
sin
2
x cos
2
x
dx =
=
Z
sin
2
cos
4
x
dx +
Z
dx
cos
2
x
+
Z
dx
cos
2
x
+
Z
dx
sin
2
x
=
=
Z
tan
2
x
cos
2
x
dx + 3
Z
dx
cos
2
x
+
Z
dx
sin
2
x
=
=
1
3
tan
3
x + 3 tan x − cot x + C
Z
tan
2
x
cos
2
x
dx =
t = tan x
dt =
dx
cos
2
x
=
Z
t
2
dt =
1
3
t
3
+ C =
1
3
tan
3
x + C
18.71
Z
sin
4
x
cos
3
x
dx =
Z
(1 − cos
2
x) sin
2
x
cos
3
x
dx =
Z
sin
2
x
cos
3
x
dx −
Z
sin
2
x
cos x
dx =
=
Z
1 − cos
2
x
cos
3
x
dx −
Z
1 − cos
2
x
cos x
dx =
Z
dx
cos
3
x
−
Z
dx
cos x
−
Z
dx
cos x
+
Z
cos xdx =
=
Z
dx
cos
3
x
− 2
Z
dx
cos x
+ sin x =
=
sin x
2 cos
2
x
+
1
2
ln | tan(
x
2
+
π
4
)| − 2 ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + sin x + C =
=
sin x
2 cos
2
x
−
3
2
ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + sin x + C
w przykładzie wykorzystano rozwiązania całek z przykładów (18.62), (18.63)
Z
dx
cos x
=
Z
dx
sin(x +
π
2
)
= ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + C
18.72
Z
sin
4
xdx
cos x
=
Z
(1 − cos
2
x)
cos x
dx =
Z
cos
4
x − 2 cos
2
x + 1
cos x
dx =
=
Z
cos
3
xdx − 2
Z
cos x +
Z
dx
cos x
=
=
Z
(1 − sin
2
x) cos xdx − 2 sin x + ln | tan(
x
2
+
π
4
)| =
84
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= − sin x −
1
3
sin
3
x + ln | tan(
x
2
+
π
4
)| + C
Z
(1 − sin
2
x) cos xdx =
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
(1 − t
2
)dt = t −
1
3
t
3
+ C =
= sin x −
1
3
sin
3
x + C
18.73
Z
cos
5
xdx
sin
3
x
=
Z
(1 − sin
2
x)
2
cos x
sin
3
x
dx =
Z
cos x
sin
3
x
dx − 2
Z
cos x
sin x
dx +
Z
sin x cos xdx =
=
t = sin x
dt = cos xdx
=
Z
dt
t
3
− 2
Z
dt
t
+
Z
tdt = −
1
2t
2
− 2 ln |t| +
1
2
t
2
+ C =
= −
1
2 sin
2
x
− 2 ln | sin x| +
1
2
sin
2
x + C
18.74
Z
sin
3
xdx
cos
8
x
=
Z
(1 − cos
2
x) sin x
cos
8
x
dx =
Z
sin x
cos
8
x
dx −
Z
sin x
cos
6
x
dx =
t = cos x
−dt = sin xdx
=
= −
Z
dt
t
8
+
Z
dt
t
6
=
1
7t
7
−
1
5t
5
+ C =
1
7 cos
7
x
−
1
5 cos
5
x
+ C
18.75
Z
cos 2xdx
cos
3
x
=
Z
2 cos
2
x − 1
cos
3
x
dx = 2
Z
dx
cos x
−
Z
dx
cos
3
x
=
=
3
2
ln | tan(
x
2
+
π
4
)| −
sin x
2 cos
2
x
+ C
w przykładzie wykorzystano całki z przykładów (18.71), (18.63)
18.76
Z
dx
5 + 4 cos x
=
u = tan
x
2
2du
1+u
2
= dx
1−u
2
1+u
2
= cos x
=
Z
2du
1+u
2
5 + 4 ·
1−u
2
1+u
2
=
Z
2du
1+u
2
5+5u
2
+4−4u
2
1+u
2
=
Z
2du
9 + u
2
=
=
2
9
Z
du
(
u
3
)
2
+ 1
=
t =
u
3
3dt = du
=
2
3
Z
dt
t
2
+ 1
=
2
3
arctan
1
3
tan
x
2
+ C
18.77
Z
dx
1 + sin x
=
u = tan
x
2
2du
1+u
2
= dx
2u
1+u
2
= sin x
=
Z
2du
1+u
2
1 +
2u
1+u
2
=
Z
2du
(u + 1)
2
=
85
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −
2
u + 1
+ C = −
2
tan
x
2
+ 1
+ C
18.78
Z
dx
sin x + cos x
=
Z
dx
√
2 sin(x +
π
4
)
=
1
√
2
ln | tan(
x
2
+
π
8
)| + C
18.79
Z
sin x cos xdx
sin
4
x + cos
4
x
= . . .
zakładając, że cos x 6= 0
. . . =
Z
sin x
cos
3
x
sin
4
x
cos
4
x
+ 1
dx =
t = tan
2
x
1
2
dt =
sin x
cos
3
x
dx
=
1
2
Z
dt
t
2
+ 1
=
1
2
arctan(t) + C =
=
1
2
arctan(tan
2
x) + C
18.80
Z
3 + sin
2
x
2 cos
2
x − cos
4
x
dx =
t = tan x
dt
t
2
+1
= dx
t
2
t
2
+1
= sin
2
x
1
t
2
+1
= cos
2
x
=
Z
3 +
t
2
t
2
+1
2
t
2
+1
−
1
(t
2
+1)
2
·
dt
t
2
+ 1
=
Z
4t
2
+3
t
2
+1
2t
2
+1
t
2
+1
dt =
=
Z
4t
2
+ 3
2t
2
+ 1
dt =
Z
2(2t
2
+ 1) + 1
2t
2
+ 1
dt =
Z
2dt +
Z
dt
2t
2
+ 1
= 2t +
1
√
2
arctan(
√
2t) + C =
= 2 tan x + arctan(
√
2 tan x) + C
Z
dt
2t
2
+ 1
=
u =
√
2t
du
√
2
= dt
=
1
√
2
Z
du
u
2
+ 1
=
1
√
2
arctan(u) + C =
1
√
2
arctan(
√
2t) + C
18.81
Z
cos x + sin x
(sin x − cos x)
2
dx =
t = sin x − cos x
dt = (cos x + sin x)dx
=
Z
dt
t
2
= −
1
t
+ C = −
1
sin x − cos x
+ C
18.82
Z
sin
2
x − cos
2
x
sin
4
x + cos
4
x
dx =
Z
− cos 2x
(sin
2
x + cos
2
x)
2
− 2 sin
2
x cos
2
x
dx = −
Z
cos 2x
1 −
1
2
sin
2
2x
dx =
=
t = sin 2x
1
2
dt = cos 2xdx
= −
1
2
Z
dt
1 −
1
2
t
2
=
u =
1
√
2
t
√
2du = dt
= −
1
√
2
Z
du
1 − u
2
=
= −
1
2
√
2
ln
1 + u
1 − u
+ C = −
1
2
√
2
ln
1 +
sin 2x
√
2
1 −
sin 2x
√
2
+ C = −
1
2
√
2
ln
√
2 + sin 2x
√
2 − sin 2x
+ C
18.83
86
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
sin x cos x
1 + sin
4
x
dx =
t = sin
2
x
1
2
dt = sin x cos x
=
1
2
Z
dt
1 + t
2
=
1
2
arctan(t) + C =
1
2
arctan(sin
2
x) + C
18.84
Z
dx
(sin
2
x + 3 cos
2
x)
2
=
t = tan x
dt
t
2
+1
= dx
t
2
t
2
+1
= sin
2
x
1
t
2
+1
= cos
2
x
=
Z
dt
t
2
+1
(
t
2
t
2
+1
+
3
t
2
+1
)
2
=
Z
dt
t
2
+1
(t
2
+3)
2
(t
2
+1)
2
=
=
Z
t
2
+ 1
(t
2
+ 3)
2
dt =
Z
t
2
+ 3 − 2
(t
2
+ 3)
2
dt =
Z
dt
t
2
+ 3
− 2
Z
dt
(t
2
+ 3)
2
=
=
1
3
Z
dt
t
2
3
+ 1
−
2
9
Z
dt
(
t
2
3
+ 1)
2
=
u =
t
√
3
√
3du = dt
=
1
√
3
Z
du
u
2
+ 1
−
2
3
√
3
Z
du
(u
2
+ 1)
2
= ...
korzystając z całki obliczonej w przykładzie (16.69) otrzymujemy:
... =
1
√
3
arctan(u) −
1
3
√
3
arctan(u) −
1
3
√
3
·
u
u
2
+ 1
+ C =
=
2
3
√
3
arctan
tan x
√
3
−
1
3
√
3
·
tan x
√
3
tan
2
x
3
+ 1
+ C
=
2
3
√
3
arctan
tan x
√
3
−
tan x
3 tan
2
x + 9
+ C
18.85
Z
sin
2
x cos
2
x
sin
8
x + cos
8
x
dx =
Z
1
4
sin
2
2x
sin
4
x + cos
4
x
2
−
1
8
sin
4
2x
dx =
Z
1
4
sin
2
2x
1
4
(1 + cos
2
2x)
2
−
1
8
sin
4
2x
dx =
=
Z
1
4
sin
2
2x
1 − sin
2
2x +
1
8
sin
4
2x
dx =
Z
1
8
·
2
cos
2
2x
1
sin
2
2x cos
2
2x
−
1
cos
2
2x
+
1
8
tan
2
2x
dx =
Z
1
8
·
2
cos
2
2x
dx
1 +
1
tan
2
2x
+
1
8
tan
2
2x
dx =
=
t = tan 2x
dt =
2dx
cos
2
2x
=
Z
1
8
dt
1 +
1
t
2
+
1
8
t
2
=
Z
t
2
dt
t
4
+ 8t
2
+ 8
= ...
t
4
+ 8t
2
+ 8 ≡ (t
2
+ a)(t
2
+ b)
t
4
+ 8t
2
+ 8 ≡ t
4
+ (a + b)t
2
+ ab
(
a + b = 8
ab = 8
(
a = 4 − 2
√
2
b = 4 + 2
√
2
∨
(
a = 4 + 2
√
2
b = 4 − 2
√
2
rozkład na ułamki proste:
t
2
(t
2
+ 4 − 2
√
2)(t
2
+ 4 + 2
√
2)
≡
At + B
t
2
+ 4 − 2
√
2
+
Ct + D
t
2
+ 4 + 2
√
2
87
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
t
2
≡ (At + B)(t
2
+ 4 − 2
√
2) + (Ct + D)(t
2
+ 4 + 2
√
2)
t
2
≡ (A + C)t
3
+ (B + D)t
2
+ [(4 + 2
√
2)A + (4 − 2
√
2)C]t + (4 + 2
√
2)B + (4 − 2
√
2)D
A + C = 0
B + D = 1
(4 + 2
√
2)A + (4 − 2
√
2)C = 0
(4 + 2
√
2)B + (4 − 2
√
2)D = 0
A = 0
B =
1
2
(1 −
√
2)
C = 0
D =
1
2
(1 +
√
2)
... =
Z
1
2
(1 −
√
2)
t
2
+ 4 − 2
√
2
dt +
Z
1
2
(1 +
√
2)
t
2
+ 4 + 2
√
2
dt =
=
1
2
(1 −
√
2)
4 − 2
√
2
Z
dt
(
t
√
4−2
√
2
)
2
+ 1
+
1
2
(1 +
√
2)
4 + 2
√
2
Z
dt
(
t
√
4+2
√
2
)
2
+ 1
=
=
u =
t
√
4−2
√
2
q
4 − 2
√
2du = dt
+
v =
t
√
4+2
√
2
q
4 + 2
√
2dv = dt
=
=
1
2
(1 −
√
2)
q
4 − 2
√
2
Z
du
u
2
+ 1
+
1
2
(1 +
√
2)
q
4 + 2
√
2
Z
dv
v
2
+ 1
=
=
1
2
(1 −
√
2)
q
4 − 2
√
2
arctan u +
1
2
(1 +
√
2)
q
4 + 2
√
2
arctan v + C =
=
1
2
(1 −
√
2)
q
4 − 2
√
2
arctan
tan 2x
q
4 − 2
√
2
+
1
2
(1 +
√
2)
q
4 + 2
√
2
arctan
tan 2x
q
4 + 2
√
2
+ C
18.86
Z
dx
sin
4
x + cos
4
x
= ...
korzystając ze wzorów:
sin
4
x =
cos(4x) − 4 cos(2x) + 3
8
cos
4
x =
cos(4x) + 4 cos(2x) + 3
8
otrzymujemy:
... =
Z
4dx
cos 4x + 3
=
u = 4x
1
4
du = dx
=
Z
du
cos u + 3
=
t = tan
u
2
2dt
t
2
+1
= du
−t
2
+1
t
2
+1
= cos u
=
Z
2dt
t
2
+1
−t
2
+1
t
2
+1
+ 3
=
=
Z
2dt
t
2
+1
2t
2
+4
t
2
+1
=
Z
dt
t
2
+ 2
=
Z
dt
t
2
+ (
√
2)
2
=
1
√
2
arctan
t
√
2
+ C =
=
1
√
2
arctan
tan 2x
√
2
+ C
88
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.87
Z
dx
1 − sin
4
x
=
Z
dx
(1 − sin
2
x)(1 + sin
2
x)
=
Z
dx
cos
2
x(1 + sin
2
x)
=
t = tan x
dt =
dx
cos
2
x
t
2
t
2
+1
= sin
2
x
=
=
Z
dt
1 +
t
2
t
2
+1
=
Z
t
2
+ 1
2t
2
+ 1
dt =
Z
1
2
dt +
1
2
Z
dt
2t
2
+ 1
=
=
1
2
t −
1
2
√
2
arctan(
√
2t) + C =
1
2
tan x +
1
2
√
2
arctan(
√
2x) + C
Z
dt
2t
2
+ 1
=
u =
√
2t
du
√
2
= dt
=
1
√
2
Z
du
u
2
+ 1
=
1
√
2
arctan(u) + C
18.2
§ Całki funkcji cyklometrycznych (kołowych).
18.91
Z
x
2
√
1 − x
2
arcsin xdx =
u = arcsin x
dv =
x
2
√
1−x
2
dx
du =
dx
√
1−x
2
v =
1
2
arcsin x −
1
2
x
√
1 − x
2
=
=
1
2
arcsin
2
x −
1
2
x
p
1 − x
2
arcsin x −
1
2
Z
arcsin x
√
1 − x
2
+
1
2
Z
xdx =
=
1
4
arcsin
2
x −
1
2
x
p
1 − x
2
arcsin x +
1
4
x
2
+ C
całki obliczone pomocniczo:
Z
x
2
√
1 − x
2
dx =
Z
x
2
− 1 + 1
√
1 − x
2
dx = −
Z
p
1 − x
2
dx +
Z
dx
√
1 − x
2
=
= −
1
2
arcsin x −
1
2
x
p
1 − x
2
+ arcsin x + C =
1
2
arcsin x −
1
2
x
p
1 − x
2
+ C
Z
arcsin x
√
1 − x
2
=
t = arcsin
dt =
dx
√
1−x
2
=
Z
tdt =
1
2
arcsin
2
x + C
18.92
Z
arcsin x
p
(1 − x
2
)
3
dx =
u = arcsin x
dv =
dx
√
(1−x
2
)
3
du =
dx
√
1−x
2
v =
x
√
1−x
2
=
x arcsin x
√
1 − x
2
−
Z
x
1 − x
2
dx =
=
x arcsin x
√
1 − x
2
+
1
2
ln |1 − x
2
| + C
Z
dx
p
(1 − x
2
)
3
=
t = arcsin x
dt =
dx
√
1−x
2
sin t = x
=
Z
dt
1 − sin
2
t
=
Z
dt
cos
2
t
= tan t + C =
= tan(arcsin x) + C = tan(arctan
x
√
1 − x
2
) + C =
x
√
1 − x
2
+ C
arcsin x = arctan
x
√
1 − x
2
18.93
89
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x
2
1 + x
2
arctan xdx =
Z
x
2
+ 1 − 1
x
2
+ 1
arctan xdx =
Z
arctan x −
Z
arctan x
x
2
+ 1
dx =
= x arctan x −
1
2
ln |x
2
+ 1| −
1
2
arctan
2
x + C
całki obliczone pomocniczo:
Z
arctan xdx =
u = arctan x
dv = dx
du =
dx
x
2
+1
v = x
= x arctan x −
Z
x
x
2
+ 1
dx =
= x arctan x −
1
2
ln |x
2
+ 1| + C
Z
arctan x
x
2
+ 1
dx =
t = arctan
dt =
dx
x
2
+1
=
Z
tdt =
1
2
t
2
+ C =
1
2
arctan
2
x + C
18.94
Z
dx
(1 + 9x
2
)
√
arctan 3x
=
t = arctan 3x
1
3
dt =
dx
1+9x
2
=
1
3
Z
dt
√
t
=
2
3
√
t + C =
2
3
√
arctan 3x + C
18.95
Z
dx
(1 + 4x
2
)(arctan 2x)
2
=
t = arctan 2x
1
2
dt =
dx
1+4x
2
=
1
2
Z
dt
t
2
= −
1
2t
+ C = −
1
2 arctan 2x
+ C
18.96
Z
(arctan x)
2
x
2
+ 1
dx =
t = arctan x
dt =
dx
x
2
+1
=
Z
t
2
dt =
1
3
t
3
+ C =
1
3
arctan
3
x + C
18.97
Z
dx
√
1 − x
2
arccos
2
x
=
t = arccos x
−dt =
dx
√
1−x
2
= −
Z
dt
t
2
=
1
t
+ C =
1
arccos x
+ C
18.98
Z
dx
√
1 − x
2
arcsin x
=
t = arcsin x
dt =
dx
√
1−x
2
=
Z
dt
t
= ln |t| + C = ln | arcsin x| + C
18.99
Z
x arctan xdx
(1 + x
2
)
2
=
u = arctan x
dv =
x
(x
2
+1)
2
dx
du =
dx
x
2
+1
v = −
1
2(x
2
+1)
= −
arctan x
2(x
2
+ 1)
+
1
2
Z
dx
(x
2
+ 1)
2
=
= −
arctan x
2(x
2
+ 1)
+
1
4
arctan x +
x
4(x
2
+ 1)
+ C
90
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.100
Z
x arcsin xdx
(1 − x
2
)
3
2
=
u = arcsin x
dv =
x
(1−x
2
)
3
2
du =
dx
√
1−x
2
v =
1
√
1−x
2
=
arcsin x
√
1 − x
2
−
Z
dx
1 − x
2
=
=
arcsin x
√
1 − x
2
− ln
1 + x
1 − x
+ C
18.101
Z
x arcsin xdx =
u = arcsin x
dv = xdx
du =
dx
√
1−x
2
v =
1
2
x
2
=
1
2
x
2
arcsin x −
1
2
Z
x
2
√
1 − x
2
dx =
=
1
2
x
2
arcsin x −
1
2
Z
x
2
− 1 + 1
√
1 − x
2
dx =
1
2
x
2
arcsin x +
1
2
Z
p
1 − x
2
dx −
1
2
Z
dx
√
1 − x
2
=
=
1
2
x
2
arcsin x +
1
4
arcsin x +
1
4
x
p
1 − x
2
−
1
2
arcsin x + C =
=
1
2
(x
2
−
1
2
) arcsin x +
1
4
x
p
1 − x
2
+ C
18.102
Z
x arctan xdx
(x
2
− 1)
2
=
u = arctan x
dv =
x
(x
2
−1)
2
dx
du =
dx
x
2
+1
v = −
1
2(x
2
−1)
= −
arctan x
2(x
2
− 1)
+
1
2
Z
dx
(x
2
+ 1)(x
2
− 1)
=
= −
arctan x
2(x
2
− 1)
−
1
4
arctan x −
1
8
ln |x + 1| +
1
8
ln |x − 1| + C
Z
dx
(x
2
+ 1)(x
2
− 1)
rozkład na ułamki proste:
1
(x
2
+ 1)(x
2
− 1)
≡
Ax + B
x
2
+ 1
+
C
x + 1
+
D
x − 1
1 ≡ (Ax + B)(x
2
− 1) + C(x − 1)(x
2
+ 1) + D(x + 1)(x
2
+ 1)
1 ≡ (A + C + D)x
3
+ (B − C + D)x
2
+ (−A + C + D)x + (−A − C + D)
A + C + D = 0
B − C + D = 0
−A + C + D = 0
−B − C + D = 1
A = 0
B = −
1
2
C = −
1
4
D =
1
4
... =
Z
−
1
2
x
2
+ 1
dx +
Z
−
1
4
x + 1
dx +
Z
1
4
x − 1
dx =
= −
1
2
arctan x −
1
4
ln |x + 1| +
1
4
ln |x − 1| + C
91
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.103
Z
x
2
arctan xdx =
u = arctan x
dv = x
2
dx
du =
dx
x
2
+1
v =
1
3
x
3
=
1
3
x
3
arctan x −
1
3
Z
x
3
x
2
+ 1
dx =
=
1
3
x
3
arctan x −
1
3
Z
x(x
2
+ 1) − x
x
2
+ 1
dx =
1
3
x
3
arctan x −
1
6
x
2
+
1
6
ln |x
2
+ 1| + C
18.104
Z
arctan e
1
2
x
e
1
2
x
(1 + e
x
)
dx =
t = e
1
2
x
ln t =
1
2
x
2 ln t = x
2dt
t
= dx
=
Z
2 arctan t
t
2
(t
2
+ 1)
dt =
u = arctan t
dv =
2dt
t
2
(t
2
+1)
du =
dt
t
2
+1
v =
−2 arctan t −
2
t
dx
=
= −2 arctan
2
t −
2 arctan t
t
+ 2
Z
arctan t
t
2
+ 1
+ 2
Z
dt
t(t
2
+ 1)
=
= −2 arctan
2
t −
2 arctan t
t
+ arctan
2
t + 2
Z
dt
t(t
2
+ 1)
=
= − arctan
2
t −
2 arctan t
t
+ 2
Z
1
t
−
t
t
2
+ 1
dt =
= − arctan
2
t −
2 arctan t
t
+ 2 ln |t| − ln |t
2
+ 1| + C =
= − arctan
2
e
x
2
− 2e
−
x
2
arctan e
x
2
+ x − ln |e
x
+ 1| + C
18.105
Z
arcsin xdx
x
2
=
u = arcsin x
dv =
dx
x
2
du =
dx
√
1−x
2
v = −
1
x
= −
arcsin x
x
+
Z
dx
x
√
1 − x
2
=
= −
arcsin x
x
− ln
1
x
+
r
1
x
2
− 1
+ C
Z
dx
x
√
1 − x
2
=
t =
1
x
1
t
= x
−
dt
t
2
= dx
= −
Z
dt
t
q
1 −
1
t
2
= −
Z
dt
√
t
2
− 1
=
= − ln |t +
p
t
2
− 1| + C = − ln
1
x
+
r
1
x
2
− 1
+ C
18.106
Z
arcsin e
x
e
x
dx =
t = e
x
ln t = x
dt
t
= dx
=
Z
arcsin t
t
2
dt =
u = arcsin t
dv =
dt
t
2
du =
dx
√
1−t
2
v = −
1
t
=
= −
arcsin t
t
+
Z
dt
t
√
1 − t
2
= −
arcsin t
t
− ln
1
t
+
r
1
t
2
− 1
+ C =
= −e
−x
arcsin e
x
− ln |e
−x
+
p
e
−2x
− 1| + C
18.107
92
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
x
3
arctan xdx =
u = arctan x
dv = x
3
dx
du =
dx
x
2
+1
v =
1
4
x
4
=
1
4
x
4
arctan x −
1
4
Z
x
4
x
2
+ 1
dx =
=
1
4
x
4
arctan x −
1
4
Z
(x
2
− 1)(x
2
+ 1) + 1
x
2
+ 1
dx =
=
1
4
x
4
arctan x −
1
12
x
3
+
1
4
x −
1
4
arctan x + C =
1
4
(x
4
− 1) arctan x −
1
12
x(x
2
− 3) + C
18.108
Z
(2x + 3) arccos(2x − 3)dx =
t = 2x − 3
1
2
dt = dx
=
1
2
Z
(t + 6) arccos tdt =
=
u = arccos t
dv = (t + 6)dt
du = −
dt
√
1−t
2
v =
1
2
t
2
+ 6t
= (
1
4
t
2
+ 3t) arccos t +
1
4
Z
t
2
+ 12t
√
1 − t
2
=
= (
1
4
t
2
+ 3t) arccos t +
1
4
Z
t
2
− 1 + 1 + 12t
√
1 − t
2
=
= (
1
4
t
2
+ 3t) arccos t −
1
4
Z
p
1 − t
2
dt +
1
4
Z
dt
√
1 − t
2
+
Z
3t
√
1 − t
2
=
= (
1
4
t
2
+ 3t) arccos t −
1
8
arcsin t −
1
8
t
p
1 − t
2
+
1
4
arcsin t − 3
p
1 − t
2
+ C =
= (
1
4
(2x − 3)
2
+ 3(2x − 3)) arccos(2x − 3) −
1
8
arcsin(2x − 3) −
1
8
(2x − 3)
q
1 − (2x − 3)
2
+
1
4
arcsin(2x − 3) − 3
q
1 − (2x − 3)
2
+ C
18.109
Z
x arctan x
√
1 + x
2
dx =
u = arctan x
dv =
x
√
1+x
2
dx
du =
dx
x
2
+1
v =
√
x
2
+ 1
=
p
x
2
+ 1 arctan x −
Z
dx
√
x
2
+ 1
=
=
p
x
2
+ 1 arctan x − ln |x +
p
x
2
+ 1| + C
18.110
Z
p
1 − x
2
arcsin xdx =
u = arcsin x
dv =
√
1 − x
2
dx
du =
dx
√
1−x
2
v =
1
2
arcsin x +
1
2
x
√
1 − x
2
=
=
1
2
arcsin
2
x +
1
2
x
p
1 − x
2
arcsin x −
1
2
Z
arcsin x
√
1 − x
2
−
1
2
Z
xdx =
=
1
2
arcsin
2
x +
1
2
x
p
1 − x
2
arcsin x −
1
4
arcsin
2
x −
1
4
x
4
+ C =
=
1
4
arcsin
2
x +
1
2
x
p
1 − x
2
arcsin x −
1
4
x
4
+ C
18.111
Z
x(1 + x
2
) arctan xdx =
u = arctan x
dv = (x + x
3
)dx
du =
dx
x
2
+1
v =
1
2
x +
1
4
x
4
=
= (
1
2
x +
1
4
x
4
) arctan x −
1
4
Z
x
4
+ 2x
x
2
+ 1
= (
1
2
x +
1
4
x
4
) arctan x −
1
4
Z
(x
2
− 1)(x
2
+ 1) + 1 + 2x
x
2
+ 1
dx =
93
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= (
1
2
x +
1
4
x
4
) arctan x −
1
4
Z
(x
2
− 1)dx −
1
4
Z
dx
x
2
+ 1
−
1
4
Z
2x
x
2
+ 1
dx =
= (
1
2
x +
1
4
x
4
) arctan x −
1
12
x
3
+
1
4
x −
1
4
arctan x −
1
4
ln |x
2
+ 1| + C =
= (
1
4
x
4
+
1
2
x −
1
4
) arctan x −
1
12
x
3
+
1
4
x −
1
4
ln |x
2
+ 1| + C
18.112
Z
arcsin
2
√
x
1 + x
dx =
u = arcsin
2
√
x
1+x
dv = dx
du = −
√
x
x(x+1)
dx
v = x
= x arcsin
2
√
x
1 + x
+
Z
√
x
x + 1
=
= x arcsin
2
√
x
1 + x
+ 2
√
x − 2 arctan(
√
x) + C
Z
√
x
x + 1
=
t
2
= x
2tdt = dx
= 2
Z
t
2
t
2
+ 1
dt = 2
Z
t
2
+ 1 − 1
t
2
+ 1
dt = 2t − 2 arctan t =
= 2
√
x − 2 arctan(
√
x) + C
18.3
§ Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
18.118
Z
(e
3x
+
√
e
x
)dx =
1
3
e
3x
+ 2
√
e
x
+ C
Z
e
ax
dx =
1
a
e
ax
+ C, gdzie a 6= 0
18.119
Z
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
dx =
t = e
x
+ e
−x
dt = (e
x
− e
−x
)dx
=
Z
dt
t
= ln |t| + C = ln(e
x
+ e
−x
) + C
18.120
Z
dx
e
2x
− 1
=
t = e
2x
1
2
ln t = x
dt
2t
= dx
=
1
2
Z
dt
t(t − 1)
=
1
2
Z
dt
t − 1
−
Z
dt
t
=
=
1
2
ln |t − 1| −
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |e
2x
+ 1| − x + C
18.121
Z
dx
e
x
+ e
−x
=
Z
e
x
dx
e
2x
+ 1
=
t = e
x
dt = e
x
dx
=
Z
dt
t
2
+ 1
= arctan(t) + C =
= arctan(e
x
) + C
94
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.122
Z
√
e
x
+ 1dx =
t =
√
e
x
+ 1
t
2
= e
x
+ 1
2tdt = e
x
dx
=
Z
2t
2
t
2
− 1
dt =
Z
2(t
2
− 1) + 2
t
2
− 1
dt =
=
Z
2dt + 2
Z
dt
t
2
− 1
= 2t +
Z
dt
t − 1
−
Z
dt
t + 1
= 2t + ln
t − 1
t + 1
+ C =
= 2
√
e
x
+ 1 + ln
√
e
x
+ 1 − 1
√
e
x
+ 1 + 1
+ C
1
x
2
− 1
=
1
2
x − 1
−
1
2
x + 1
18.123
Z
e
x
− 1
e
x
+ 1
dx =
Z
e
x
+ 1 − 2
e
x
+ 1
dx =
Z
dx − 2
Z
dx
e
x
+ 1
= x − 2x + 2 ln |e
x
+ 1| + C =
= 2 ln |e
x
+ 1| − x + C
Z
dx
e
x
+ 1
=
t = e
x
ln t = x
dt
t
= dx
=
Z
dt
t(t + 1)
=
Z
dt
t
−
Z
dt
t + 1
= ln t − ln |t + 1| =
= x − ln |e
x
+ 1| + C
18.124
Z
dx
√
3 + 2e
x
=
t =
√
3 + 2e
x
t
2
= 2e
x
+ 3
t
2
−3
2
= e
x
tdt = e
x
dx
=
Z
2dt
t
2
− 3
= −2
Z
dt
(
√
3)
2
− t
2
=
= −
1
√
3
ln
√
3 + t
√
3 − t
+ C = −
1
√
3
ln
√
3 +
√
3 + 2e
x
√
3 −
√
3 + 2e
x
+ C
18.125
Z
e
x
√
1 + e
x
dx =
t = 1 + e
x
dt = e
x
dx
=
Z
√
tdt =
2
3
t
3
2
+ C =
2
3
q
(e
x
+ 1)
3
+ C
18.126
Z
e
x
(e
x
− 1)
2
dx =
t = e
x
− 1
dt = e
x
dx
=
Z
dt
t
2
= −
1
t
+ C = −
1
e
x
− 1
+ C
18.127
Z
(e
x
+ e
−x
)
2
dx =
Z
(e
2x
+ 2 + e
−2x
)dx =
1
2
(e
2x
− e
−2x
) + 2x + C
18.128
95
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
Z
e
x
e
x
+ 5
dx =
Z
(e
x
+ 5)
0
e
x
+ 5
dx = ln |e
x
+ 5| + C
18.129
Z
4e
x
+ 6e
−x
9e
x
− 4e
−x
dx =
Z
4e
2x
+ 6
9e
2x
− 4
dx =
t = e
x
ln t = x
dt
t
= dx
=
Z
4t
2
+ 6
t(9t
2
− 4)
dt =
Z
4t
2
+ 6
t(3t − 2)(3t + 2)
dt = ...
rozkład na ułamki proste:
4t
2
+ 6
t(3t − 2)(3t + 2)
≡
A
t
+
B
3t − 2
+
C
3t + 2
4t
2
+ 6 ≡ A(9t
2
− 4) + Bt(3t + 2) + Ct(3t − 2)
4t
2
+ 6 ≡ (9A + 3B + 3C)t
2
+ (2B − 2C)t + (−4A)
9A + 3B + 3C = 4
2B − 2C = 0
−4A = 6
A = −
3
2
B =
35
12
C =
35
12
... = −
3
2
Z
dt
t
+
35
12
Z
dt
3t − 2
+
35
12
Z
dt
3t + 2
= −
3
2
ln |t| +
35
36
ln |9t
2
− 4| + C =
= −
3
2
x +
35
36
ln |9e
2x
− 4| + C
18.130
Z
dx
e
x
+ e
2x
=
t = e
x
ln t = x
dt
t
= dx
=
Z
dt
t
2
(t + 1)
rozkład na ułamki proste:
1
t
2
(t + 1)
≡
A
t
+
B
t
2
+
C
t + 1
1 ≡ At(t + 1) + B(t + 1) + Ct
2
1 ≡ (A + C)t
2
+ (A + B)t + B
A + C = 0
A + B = 0
B = 1
A = −1
B = 1
C = 1
... =
Z
−dt
t
+
Z
dt
t
2
+
Z
dt
t + 1
= − ln |t| −
1
t
+ ln |t + 1| + C =
96
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
= −x − e
−x
+ ln |e
x
+ 1| + C
18.131
Z
e
x
(e
x
+ a)
n
dx
dla
n = 1
Z
e
x
e
x
+ a
dx = ln |e
x
+ a| + C
dla
n ∈ N
+
− {1}
Z
e
x
(e
x
+ a)
n
dx =
t = e
x
+ a
dt = e
x
dx
=
Z
dt
t
n
= −
1
(n − 1)t
n−1
+ C = −
1
(n − 1)(e
x
+ a)
n−1
+ C
18.132
Z
e
x
dx
√
3 − 5e
2x
=
t = e
x
dt = e
x
=
Z
dt
√
3 − 5t
2
=
1
√
3
Z
dt
r
1 − (
q
5
3
t)
2
=
u =
q
5
3
t
q
3
5
du = dt
=
=
1
√
5
Z
du
√
1 − u
2
=
1
√
5
arcsin u + C =
1
√
5
arcsin(
r
5
3
e
x
) + C
18.133
Z
dx
√
e
2x
+ 4e
x
+ 1
=
t = e
x
ln t = x
dt
t
= dx
=
Z
dt
t
√
t
2
+ 4t + 1
=
u =
1
t
1
u
= t
−du
u
2
= dt
= −
Z
du
u
2
q
1
u
2
+
4
u
+ 1
=
= −
Z
du
√
u
2
+ 4u + 1
= −
Z
du
p
(u + 2)
2
− 3
= − ln |u + 2 +
p
u
2
+ 4u + 1| + C =
= − ln |e
−x
+ 2 +
p
e
−2x
+ 4e
−x
+ 1| + C
18.134
Z
x
3
e
−x
dx =
u = x
3
dv = e
−x
dx
du = 3x
2
dx
v = −e
−x
= −x
3
e
−x
+ 3
Z
x
2
e
−x
dx =
=
u = x
2
dv = e
−x
dx
du = 2xdx
v = −e
−x
= −x
3
e
−x
− 3x
2
e
−x
+ 6
Z
xe
−x
dx =
u = x
dv = e
−x
dx
du = dx
v = −e
−x
=
= −x
3
e
−x
− 3x
2
e
−x
− 6xe
−x
+ 6
Z
e
−x
dx = −x
3
e
−x
− 3x
2
e
−x
− 6xe
−x
− 6e
−x
+ C
18.135
Z
dx
x ln x
=
t = ln x
dt =
dx
x
=
Z
dt
t
= ln |t| + C = ln | ln x| + C
97
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.136
Z
ln(x
2
+ 1)dx =
u = ln(x
2
+ 1)
dv = dx
du =
2x
x
2
+1
dx
v = x
= x ln(x
2
+ 1) +
Z
2x
2
x
2
+ 1
dx =
= x ln(x
2
+ 1) +
Z
2dx − 2
Z
dx
x
2
+ 1
= x ln(x
2
+ 1) + 2x − 2 arctan(x) + C
18.137
Z
(ln |x|)
2
dx =
u = ln
2
|x|
dv = dx
du =
2 ln |x|
x
dx
v = x
= x ln
2
|x| − 2
Z
ln |x| =
u = ln |x|
dv = dx
du =
dx
x
v = x
=
= x ln
2
|x| − 2x ln |x| + 2
Z
dx = x ln
2
|x| − 2x ln |x| + 2x + C
18.138
Z
ln(x +
p
x
2
+ 1)dx =
u = ln(x +
√
x
2
+ 1)
dv = dx
du =
1
√
x
2
+1
v = x
=
= x ln(x +
p
x
2
+ 1) −
Z
x
√
x
2
+ 1
dx = x ln(x +
p
x
2
+ 1) −
p
x
2
+ 1 + C
18.139
Z
ln |2 + 5x|dx =
u = ln |2 + 5x|
dv = dx
du =
5dx
2+5x
v = x
= x ln |2 + 5x| −
Z
5x
2 + 5x
dx =
= x ln |2 + 5x| −
Z
2 + 5x − 2
2 + 5x
dx = x ln |2 + 5x| −
Z
dx + 2
Z
dx
2 + 5x
=
= x ln |2 + 5x| − x +
2
5
ln |2 + 5x| + C = (x +
2
5
) ln |2 + 5x| − x + C
18.140
Z
dx
x(1 + ln
2
|x|)
=
t = ln |x|
dt =
dx
x
=
Z
dt
1 + t
2
= arctan(t) + C = arctan(ln |x|) + C
18.141
Z
x
−2
ln |x|dx =
u = ln |x|
dv =
dx
x
2
du =
dx
x
v = −
1
x
= −
ln |x|
x
+
Z
dx
x
2
= −
ln |x|
x
−
1
x
+ C
18.142
Z
(4 + 3x)
2
ln |x|dx =
Z
(9x
2
+ 24x + 16) ln |x|dx =
u = ln |x|
dv = (9x
2
+ 24x + 16)dx
du =
dx
x
v = 3x
3
+ 12x
2
+ 16x
=
= (3x
3
+ 12x
2
+ 16x) ln |x| −
Z
(3x
2
+ 12x + 16)dx =
= (3x
3
+ 12x
2
+ 16x) ln |x| − x
3
− 6x
2
− 16x + C
98
matematyka
.pl
Autorzy: Szemek, mariuszm
http://www.matematyka.pl/82336.htm
18.143
Z
x
3
ln(x
2
+ 3)dx =
1
2
Z
2x(x
2
+ 3 − 3) ln(x
2
+ 3) =
t = x
2
+ 3
dt = 2xdx
=
=
1
2
Z
(t − 3) ln tdt =
u = ln t
dv = (t − 3)dt
du =
dt
t
v =
1
2
t
2
− 3t
=
=
1
4
(t
2
− 6t) ln t −
1
2
Z
(
1
2
t − 3)dt =
1
4
(t
2
− 6t) ln t −
1
8
t
2
+
3
2
t + C =
=
1
4
(x
4
− 9) ln |x
2
+ 3| −
1
8
(x
2
+ 3)
2
+
3
2
(x
2
+ 3) + C
18.144
Z
xa
x
dx, a > 1
=
u = x
dv = a
x
dx
du = dx
v =
a
x
ln a
=
xa
x
ln a
−
1
ln a
Z
a
x
dx =
xa
x
ln a
−
a
x
ln
2
a
+ C
99
matematyka
.pl
Document Outline
- Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiazania
- Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez czesci.
- Całki funkcji wymiernych.
- Całki funkcji niewymiernych. Całki funkcji zawierajacych pierwiastki z wyrazenia liniowego.
- Całki funkcji zawierajacych pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego
- Całki funkcji trygonometrycznych.
- Całki funkcji cyklometrycznych.
- Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
- Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez czesci.
- 15.22
- 15.23
- 15.24
- 15.25
- 15.26
- 15.27
- 15.28
- 15.29
- 15.30
- 15.31
- 15.32
- 15.33
- 15.34
- 15.35
- 15.36
- 15.37
- 15.38
- 15.39
- 15.40
- 15.41
- 15.42
- 15.43
- 15.44
- 15.45
- 15.46
- 15.47
- 15.48
- 15.49
- 15.50
- 15.51
- 15.52
- 15.53
- 15.54
- 15.55
- 15.56
- 15.57
- 15.58
- 15.59
- 15.60
- 15.61
- 15.62
- 15.63
- 15.64
- 15.65
- 15.66
- 15.67
- 15.68
- 15.69
- 15.70
- 15.71
- 15.72
- 15.73
- 15.74
- 15.75
- 15.76
- 15.77
- 15.78
- 15.79
- 15.80
- 15.81
- 15.82
- 15.83
- Całki funkcji wymiernych.
- 16.26
- 16.27
- 16.28
- 16.29
- 16.30
- 16.31
- 16.32
- 16.33
- 16.34
- 16.35
- 16.36
- 16.37
- 16.38
- 16.39
- 16.40
- 16.41
- 16.42
- 16.43
- 16.44
- 16.45
- 16.46
- 16.47
- 16.48
- 16.49
- 16.50
- 16.51
- 16.52
- 16.53
- 16.54
- 16.55
- 16.56
- 16.57
- 16.58
- 16.59
- 16.60
- 16.61
- 16.62
- 16.63
- 16.64
- 16.65
- 16.66
- 16.67
- 16.68
- 16.69
- 16.70
- 16.71
- 16.72
- 16.73
- 16.74
- 16.75
- 16.76
- 16.77
- 16.78
- 16.79
- 16.80
- 16.81
- 16.82
- 16.83
- 16.84
- 16.85
- 16.86
- 16.87
- 16.88
- 16.89
- 16.90
- 16.91
- 16.92
- 16.93
- 16.94
- 16.95
- 16.96
- 16.97
- 16.98
- Całki funkcji niewymiernych.
- § Całki funkcji zawierajacych pierwiastki z wyrazenia liniowego.
- § Całki funkcji zawierajacych pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego
- 17.51
- 17.52
- 17.53
- 17.54
- 17.55
- 17.56
- 17.57
- 17.58
- 17.59
- 17.60
- 17.61
- 17.62
- 17.63
- 17.64
- 17.65
- 17.66
- 17.67
- 17.68
- 17.69
- 17.70
- 17.71
- 17.72
- 17.73
- 17.74
- 17.75
- 17.76
- 17.77
- 17.78
- 17.79
- 17.80
- 17.81
- 17.82
- 17.83
- 17.84
- 17.85
- 17.86
- 17.87
- 17.88
- 17.89
- 17.90
- 17.91
- 17.92
- 17.93
- 17.94
- 17.95
- 17.96
- 17.97
- 17.98
- 17.99
- 17.100
- 17.101
- 17.102
- 17.103
- 17.104
- 17.105
- 17.106
- 17.107
- 17.108
- 17.109
- 17.110
- 17.111
- 17.112
- 17.113
- 17.114
- 17.115
- 17.116
- 17.117
- 17.118
- 17.119
- 17.120
- 17.121
- 17.122
- 17.123
- Całki funkcji przestepnych.
- § Całki funkcji trygonometrycznych.
- 18.30
- 18.31
- 18.32
- 18.33
- 18.34
- 18.35
- 18.36
- 18.37
- 18.38
- 18.39
- 18.40
- 18.41
- 18.42
- 18.43
- 18.44
- 18.45
- 18.46
- 18.47
- 18.48
- 18.49
- 18.50
- 18.51
- 18.52
- 18.53
- 18.54
- 18.55
- 18.56
- 18.57
- 18.58
- 18.59
- 18.60
- 18.61
- 18.62
- 18.63
- 18.64
- 18.65
- 18.66
- 18.67
- 18.68
- 18.69
- 18.70
- 18.71
- 18.72
- 18.73
- 18.74
- 18.75
- 18.76
- 18.77
- 18.78
- 18.79
- 18.80
- 18.81
- 18.82
- 18.83
- 18.84
- 18.85
- 18.86
- 18.87
- § Całki funkcji cyklometrycznych (kołowych).
- § Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych.
- § Całki funkcji trygonometrycznych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zadania i rozwiazania z przekrojów 2
,projektowanie materiałów inżynierskich, zadania i rozwiązania Umocnienie roztworowe
K05 pf08L zadania rozwiazania
Zadania z rozwiazaniami ZaiP zadanie 3
belki proste zadania z rozwiaza Nieznany (2)
Obliczanie pochodnych Zadanie Rozwiazanie zadania domowego id
ARYT ZADANIA i rozwiazania
K03 pf08L zadania rozwiazania Nieznany
Matematyka finansowa zadania z rozwiązaniami 2
Zadania z rozwiązaniami 1 8
Zadania z rozwiazaniami ZaiP, zadanie 1 rozwiazanie
Matematyka finansowa - zadania z rozwiązaniami
zadania z rozwiazaniami, ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI:
przykładowe zadania i rozwiazania
III etap zadania rozwiazania id Nieznany
więcej podobnych podstron