ELEKTROMECHANICZNE

SYSTEMY NAP

Ę

DOWE

WYKŁAD 2

ANALIZA UKŁADÓW

ELEKTROMECHANICZNYCH

Z ZASTOSOWANIEM

METODY LAGRANGE’A

Podział ogólny układów elektromechanicznych

Wszystkie układy elektromechaniczne mo

ż

na podzieli

ć

na dwie grupy:

• Układy zachowawcze;

• Układy niezachowawcze.

Układ zachowawczy

- jest to taki układ w którym mo

ż

e wyst

ę

powa

ć

jedynie

magazynowanie energii, czyli energia nie mo

ż

e by

ć

rozpraszana (wytracana).

Układ niezachowawczy

- jest to taki układ w którym oprócz magazynowania

energii wyst

ę

puje równie

ż

rozpraszanie energii (wytracanie).

Układ zachowawczy - jest układem idealnym, wszystkie rzeczywiste układy fizyczne
s

ą

układami niezachowawczymi.

W układach elektromechanicznych niezachowawczych nast

ę

puje wytracanie energii

w elementach tłumi

ą

cych przez siły tarcia mechanicznego oraz wytracanie energii w

elementach rezystorowych przez zamian

ę

energii elektrycznej strat na energi

ę

ciepln

ą

.

Metody energetyczne analizy układów

elektromechanicznych

Dla zło

ż

onych układów elektromechanicznych prawidłowe formułowanie równa

ń

układu na podstawie oddzielnych równa

ń

Newtona dla układu mechanicznego i

oddzielnych równa

ń

Kirchhoffa dla układu elektrycznego mo

ż

e prowadzi

ć

do

otrzymania niekompletnej lub niepoprawnej formy równa

ń

.

Do analizy układów elektromechanicznych bardziej dogodne jest zastosowanie
formułowania równa

ń

z zastosowaniem metod energetycznych.

Do metod energetycznych analizy układów elektromechanicznych nale

żą

:

Metoda Lagrange’a (równania Lagrange’a);

Zasada Hamiltona (metoda wariacyjna).

Metod

ę

Lagrange’a opracował francuski matematyk Joseph Louis de Lagrange około

1780 roku.

Metoda Lagrange’a

W metodzie Lagrange’a w równaniach wyj

ś

ciowych wyst

ę

puj

ą

składniki

b

ę

d

ą

ce funkcj

ą

stanu energetycznego układu.

Funkcje stanu energetycznego układu dla układu zachowawczego
(bez strat energii):



Funkcja Lagrange’a L

.

Funkcje stanu energetycznego układu dla układu niezachowawczego

(ze stratami energii):



Funkcja Lagrange’a L;



Funkcja dyssypacji Rayleigha

F.

Funkcja Lagrange’a

Ogólna posta

ć

funkcji Lagrange’a dla układu elektromechanicznego:

V

T

L

−

=

Gdzie:

L – funkcja Lagrange’a układu elektromechanicznego;

T – całkowita funkcja stanu koenergii układu

elektromechanicznego;

V - całkowita funkcja stanu energii układu

elektromechanicznego;

Składniki funkcji Lagrange’a

'

'

E

E

T

m

k

+

=

Całkowita funkcja stanu koenergii T układu elektromechanicznego jest
równa sumie całkowitej koenergii kinetycznej E

k

’

i całkowitej koenergii

magnetycznej E

m

’ :

Całkowita funkcja stanu energii V układu elektromechanicznego jest równa
sumie całkowitej energii potencjalnej E

p

i całkowitej energii elektrycznej E

e

:

E

E

V

e

p

+

=

Gdzie:

E

p

- całkowita energia potencjalna układu elektromechanicznego;

E

e

- całkowita energia elektryczna układu elektromechanicznego.

Gdzie:

E

k

‘

- całkowita koenergia kinetyczna układu elektromechanicznego;

E

m

‘

- całkowita koenergia magnetyczna układu elektromechanicznego.

Funkcja dyssypacji Rayleigha

Ogólna

posta

ć

funkcji

dyssypacji

Rayleigha

dla

układu

elektromechanicznego:

F

F

F

e

m

+

=

'

F

- ogólna funkcja dyssypacji Rayleigha;

F’

m

- kofunkcja dyssypacji Rayleigha dla elementów tłumi

ą

cych

mechanicznych;

F

e

- funkcja dyssypacji Rayleigha dla elementów stratnych

elektrycznych.

Wielko

ś

ci wyst

ę

puj

ą

ce w równaniach

Lagrange’a

Współrz

ę

dna uogólniona

ξ

Do opisu układu elektromechanicznego stosuje si

ę

pewne zmienne stanu

nazywane współrz

ę

dnymi uogólnionymi.

Jako współrz

ę

dne uogólnione przyjmuje si

ę

:



W układach mechanicznych:

Poło

ż

enia liniowe x ka

ż

dego elementu masy (o ruchu post

ę

powym);

Poło

ż

enia k

ą

towe

γγγγ

ka

ż

dego elementu bezwładno

ś

ci (o ruchu

obrotowym);



W układach elektrycznych:

Ładunki elektryczne q dla ka

ż

dego oczka obwodu elektrycznego;

Strumienie magnetyczne

ψ

dla ka

ż

dego oczka obwodu

elektrycznego;

Mi

ę

dzy współrz

ę

dnymi uogólnionymi nie wyst

ę

puj

ą ż

adne zale

ż

no

ś

ci – s

ą

to

wi

ę

c współrz

ę

dne niezalezne.

Wielko

ś

ci wyst

ę

puj

ą

ce w równaniach

Lagrange’a

Pochodna wzgl

ę

dem czasu współrz

ę

dnej uogólnionej

ξ

’

ξ

’ = d

ξ

/dt

Jako pochodne współrz

ę

dnych uogólnionych przyjmuje si

ę

:



W układach mechanicznych:

Pr

ę

dko

ś

ci liniowe x’=v ka

ż

dego elementu masy (o ruchu

post

ę

powym);

Pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe

γγγγ

’=

ω

ka

ż

dego elementu bezwładno

ś

ci (o ruchu

obrotowym);



W układach elektrycznych:

Pr

ą

dy elektryczne q’=i dla ka

ż

dego oczka obwodu elektrycznego;

Napi

ę

cia indukowane

ψ

’=e dla ka

ż

dego oczka obwodu

elektrycznego;

Wielko

ś

ci wyst

ę

puj

ą

ce w równaniach

Lagrange’a

Siły uogólnione Q

Jako siły uogólnione przyjmuje si

ę

:



W układach mechanicznych:

Suma algebraiczna sił zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na ka

ż

dy

element masy (o ruchu post

ę

powym);

Suma algebraiczna momentów zewn

ę

trznych działaj

ą

cych na

ka

ż

dy element bezwładno

ś

ci (o ruchu obrotowym);



W układach elektrycznych:

Suma algebraiczna sił elektromotorycznych zewn

ę

trznych

ź

ródeł

napi

ę

cia dla ka

ż

dego oczka obwodu elektrycznego;

Przykład modelu mechanizmu podnoszenia

d

ź

wignicy

Rzeczywisty mechanizm jest modelowany przez układ poł

ą

czonych z sob

ą

elementów składowych.

Zachowanie si

ę

tego modelu powinno z du

żą

dokładno

ś

ci

ą

odtwarza

ć

zachowanie

układu rzeczywistego.

Przykład modelu mechanizmu

podnoszenia d

ź

wignicy

Rzeczywisty pojazd jest modelowany przez układ poł

ą

czonych z sob

ą

elementów

składowych.

Zachowanie si

ę

tego modelu powinno z du

żą

dokładno

ś

ci

ą

odtwarza

ć

zachowanie

układu rzeczywistego.

Siły uogólnione
• Moment M;
• Ci

ęż

ar G;

γγγγ

M

G

x

Współrz

ę

dne uogólnione

• K

ą

t obrotu

γγγγ

;

• Przesuni

ę

cie x;

Ogólne równania Lagrange’a dla układu

zachowawczego

(

)

(

)

s

k

t

Q

t

L

t

L

dt

d

k

k

k

...,

,

2

,

1

,

)

(

,

,

,

,

'

'

'

=

=

∂

∂

−













∂

∂

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

Gdzie:

L – funkcja Lagrange’a układu elektromechanicznego;

ξ

- współrz

ę

dna uogólniona;

ξ

’ - pochodna wzgl

ę

dem czasu współrz

ę

dnej uogólnionej;

Q

k

- siła uogólniona.

Dla układu zachowawczego równanie Lagrange’a

sformułowane dla ka

ż

dej

zmiennej uogólnionej ma nast

ę

puj

ą

c

ą

posta

ć

:

Liczba równa

ń

Lagrange’a dla danego układu fizycznego jest równa liczbie stopni

swobody układu s, czyli liczbie współrz

ę

dnych uogólnionych.

Analiza prostego układu mechanicznego o ruchu

post

ę

powym

x

K

F

z

z

F

Q

=

v

dt

dx

x

=

=

/

'

a

dt

dx

x

=

=

/

'

''

Na mas

ę

m poł

ą

czon

ą

ze spr

ęż

yn

ą

o spr

ęż

ysto

ś

ci K działa siła mechaniczna F

z

.

Pomija si

ę

siły tarcia masy – rozpatrywany jest układ bez tłumienia.

Przyj

ę

to do opisu zmienn

ą

stanu - współrz

ę

dn

ą

uogólnion

ą

– przesuni

ę

cie masy x.

Zmienne pochodne: v=x’, a=x’’

Na mas

ę

działa siła zewn

ę

trzna F

z

, która b

ę

dzie rozpatrywana jako siła uogólniona

Q.

Gdy zwrot siły F

z

jest zgodny z przyj

ę

tym dodatnim zwrotem współrz

ę

dnej

uogólnionej x, to warto

ść

F

z

jest dodatnia.

Układ zawiera jedn

ą

mas

ę

– czyli ma

jeden stopie

ń

swobody mechanicznej.

Analiza prostego układu mechanicznego

o ruchu post

ę

powym

Q

x

F

x

L

x

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−









∂

∂

'

'

'

2

1

2

1

2

2

'

x

m

v

m

E

k

⋅

=

⋅

=

E

E

V

T

L

p

k

−

=

−

=

'

x

K

F

z

z

F

Q

=

Układ mechaniczny opisany jest przez równanie Lagrange’a:

x

K

x

m

E

E

V

T

L

p

k

2

2

'

2

1

'

2

1

⋅

−

⋅

=

−

=

−

=

Otrzymuje si

ę

:

x

K

E

p

2

2

1

⋅

=

0

'

=

=

F

F

m

'

'

x

m

x

L

⋅

=

∂

∂

'

'

'

x

m

x

L

dt

d

⋅

=









∂

∂

x

K

x

L

⋅

−

=

∂

∂

z

F

x

K

x

m

=

⋅

+

⋅

''

0

'

=

∂

∂

x

F

Analiza prostego układu mechanicznego o

ruchu post

ę

powym

x

K

F

z

z

F

x

K

x

m

=

⋅

+

⋅

''

lub

z

F

x

K

a

m

=

⋅

+

⋅

Siła

bezwładno

ś

ci

Siła

spr

ęż

ysta

Siła

zewn

ę

trzna

Otrzymane równanie jest równaniem równowagi sił dla rozpatrywanego układu

mechanicznego.

W równaniu wyst

ę

puje siła bezwładno

ś

ci opisana II prawem Newtona. Ale

znajomo

ść

tego prawa nie była konieczna do otrzymania tego równania !!!.

Analiza prostego układu mechanicznego o

ruchu post

ę

powym

x

K

F

z

z

F

x

K

x

m

=

⋅

+

⋅

''

lub

z

F

x

K

a

m

=

⋅

+

⋅

Siła

bezwładno

ś

ci

Siła

spr

ęż

ysta

Siła

zewn

ę

trzna

Otrzymane równanie jest równaniem równowagi sił dla rozpatrywanego układu

mechanicznego.

W równaniu wyst

ę

puje siła bezwładno

ś

ci opisana II prawem Newtona. Ale

znajomo

ść

tego prawa nie była konieczna do otrzymania tego równania !!!.

Analogia układu elektrycznego

x

K

F

z

x

K

x

m

F

z

⋅

+

⋅

=

''

Wprowadzaj

ą

c nowe zmienne i

współczynniki:

;

/

1

;

;

'

'

'

'

;

'

'

;

K

C

m

L

U

F

q

x

i

q

v

x

q

x

z

=

=

=

=

=

=

=

=

u

u

C

q

i

dt

d

L

q

C

q

L

U

C

L

+

=

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

)

/

1

(

''

Otrzymuje si

ę

równanie

opisuj

ą

ce równowa

ż

ny

obwód elektryczny LC:

Obwód elektryczny LC jest obwodem oscylacyjnym.

St

ą

d układ mechaniczny: masa spr

ęż

yna jest równie

ż

układem oscylacyjnym.

Pulsacja rezonansowa drga

ń

elektrycznych i mechanicznych:

m

K

K

m

LC

LC

m

r

=

⋅

=

=

=

1

1

1

;

1

ω

ω

Analiza prostego obwodu elektrycznego

)

(t

u

Q

=

i

dt

dq

q

=

=

/

'

2

2

/

/

/

'

''

dt

q

d

dt

di

dt

dq

q

=

=

=

Rozpatrywany jest jednooczkowy obwód elektryczny RLC zasilany napi

ę

ciem u(t).

Przyj

ę

to do opisu zmienn

ą

stanu - współrz

ę

dn

ą

uogólnion

ą

– ładunek elektryczny q.

Zmienne pochodne:

i=q’

Na obwód działa napi

ę

cie zewn

ę

trzne u(t), które b

ę

dzie rozpatrywane jako siła

uogólniona Q.

Przyj

ę

to zwrot współrz

ę

dnej q zgodny ze zwrotem pr

ą

du w obwodzie q’=i.

Gdy zwrot napi

ę

cia u(t) jest zgodny ze zwrotem współrz

ę

dnej uogólnionej q, to

warto

ść

u(t) jest dodatnia.

q

Układ zawiera jedn

ą

oczko – czyli ma

jeden stopie

ń

swobody elektrycznej.

Analiza prostego obwodu elektrycznego

Q

q

F

q

L

q

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

'

'

q

C

E

e

2

2

1

⋅

=

'

2

1

2

1

2

2

'

q

L

i

L

E

m

⋅

=

⋅

=

)

(t

u

Q

=

Obwód elektryczny jest opisany przez równanie Lagrange’a:

Otrzymuje si

ę

:

E

E

V

T

L

e

m

−

=

−

=

'

q

C

q

L

E

E

V

T

L

e

m

2

2

'

2

1

'

2

1

⋅

−

⋅

=

−

=

−

=

'

2

1

2

1

2

2

q

R

i

R

F

F

e

⋅

=

⋅

=

=

'

'

q

L

q

L

⋅

=

∂

∂

''

'

q

L

q

L

dt

d

⋅

=













∂

∂

q

C

q

L

⋅

−

=

∂

∂

1

'

'

q

R

q

F

⋅

=

∂

∂

)

(

'

''

t

u

q

R

C

q

q

L

=

⋅

+

+

⋅

Analiza prostego obwodu elektrycznego

lub

)

(t

u

i

R

C

q

i

dt

d

L

=

⋅

+

+

⋅

Napi

ę

cie na

cewce L

Napi

ę

cie na

kondensatorze

C

Napi

ę

cie

zasilaj

ą

ce

Otrzymane równanie jest równaniem równowagi napi

ęć

dla rozpatrywanego

obwodu elektrycznego.

Otrzymano opis obwodu za po

ś

rednictwem II prawa Kirchhoffa. Ale znajomo

ść

tego

prawa nie była konieczna do otrzymania opisu obwodu !!!.

)

(

'

''

t

u

q

R

C

q

q

L

=

⋅

+

+

⋅

Napi

ę

cie na

rezystancji R

Analiza zło

ż

onego obwodu elektrycznego

2

2

1

1

;

u

Q

u

Q

−

=

=

Rozpatrywany jest dwuoczkowy obwód elektryczny z elementami RLC:

Do opisu układu przyj

ę

to dwie zmienne stanu - współrz

ę

dne uogólnione:

ładunek elektryczny zwi

ą

zany z oczkiem 1 - q

1

;

ładunek elektryczny zwi

ą

zany z oczkiem 2 - q

2

;

W obwodach wyst

ę

puj

ą

napi

ę

cia zewn

ę

trzne u1 i u2, które b

ę

d

ą

rozpatrywane jako

siła uogólnione:

Poniewa

ż

zwrot napi

ę

cia u

2

nie jest zgodny ze zwrotem współrz

ę

dnej

uogólnionej q

2

, to warto

ść

u

2

jest uwzgl

ę

dniana ze znakiem ”-”.

Układ zawiera dwa niezale

ż

ne oczka –

czyli ma dwa stopnie swobody
elektrycznej.

Analiza zło

ż

onego obwodu elektrycznego

2

2

1

1

;

u

Q

u

Q

−

=

=

Obwód elektryczny jest opisany przez równania Lagrange’a dla ka

ż

dego oczka:

2

2

2

2

1

1

1

1

'

'

'

'

Q

q

F

q

L

q

L

dt

d

Q

q

F

q

L

q

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

Analiza zło

ż

onego obwodu elektrycznego

E

E

V

T

L

e

m

−

=

−

=

'

2
2

2
2

'

'

2

1

2

1

q

L

i

L

E

m

⋅

=

⋅

=

(

)

q

q

C

E

e

2

1

2

2

1

−

⋅

=

'

2

1

'

2

1

2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2
2

2

2

1

1

q

R

q

R

i

R

i

R

F

F

e

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

=

(

)

q

q

C

q

L

E

E

V

T

L

e

m

2

1

2

2

2

'

2

1

'

2

1

−

⋅

−

⋅

=

−

=

−

=

0

'

1

=

∂

∂

q

L

(

)

q

q

C

q

L

2

1

1

1

−

⋅

−

=

∂

∂

1

1

1

'

'

q

R

q

F

⋅

=

∂

∂

u

u

u

R

C

1

1

=

+

1

1

1

1

'

'

Q

q

F

q

L

q

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

1

1

u

Q

=

0

'

1

=













∂

∂

q

L

dt

d

(

)

u

q

R

q

q

C

1

1

1

2

1

'

1

=

⋅

+

−

⋅

Dla oczka 1:

Równanie dla
oczka 1:

Analiza zło

ż

onego obwodu elektrycznego

E

E

V

T

L

e

m

−

=

−

=

'

2
2

2
2

'

'

2

1

2

1

q

L

i

L

E

m

⋅

=

⋅

=

(

)

q

q

C

E

e

2

1

2

2

1

−

⋅

=

'

2

1

'

2

1

2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2
2

2

2

1

1

q

R

q

R

i

R

i

R

F

F

e

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

=

(

)

q

q

C

q

L

E

E

V

T

L

e

m

2

1

2

2

2

'

2

1

'

2

1

−

⋅

−

⋅

=

−

=

−

=

'

'

2

2

q

L

q

L

⋅

=

∂

∂

(

)

q

q

C

q

L

2

1

2

1

−

⋅

=

∂

∂

2

2

2

'

'

q

R

q

F

⋅

=

∂

∂

u

u

u

u

R

C

L

−

=

+

−

2

2

2

2

2

2

'

'

Q

q

F

q

L

q

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

2

2

u

Q

−

=

2

2

''

'

q

L

q

L

dt

d

⋅

=













∂

∂

(

)

u

q

R

q

q

C

q

L

−

=

⋅

+

−

⋅

−

⋅

2

2

2

2

1

2

'

1

''

Dla oczka 2:

Równanie dla
oczka 2:

Zalety metody Lagrange’a

W metodzie Lagrange’a w równaniach wyj

ś

ciowych wyst

ę

puj

ą

składniki

b

ę

d

ą

ce funkcj

ą

energii. Składniki energii zale

żą

od kwadratu odpowiednich

zmiennych stanu. Zagadnienie odpowiedniego przyj

ę

cia znaków dla

wielko

ś

ci fizycznych nie ma tu znaczenia.

W metodzie Lagrange’a w równaniach wyst

ę

puj

ą

zale

ż

no

ś

ci mi

ę

dzy

skalarami, a nie wektorami.

Przy zastosowaniu metody Lagrange’a równania układu otrzymuje si

ę

drog

ą

rutynowych przekształce

ń

algebraicznych. Nie jest konieczna

znajomo

ść

fizycznych zwi

ą

zków przyczynowo-skutkowych.

Wady metody Lagrange’a

Metoda Lagrange’a oparta jest na

ś

cisłym wykorzystaniu formalnych

operacji matematycznych. Przy stosowaniu metody traci si

ę

zrozumienie i

pogl

ą

dowo

ść

zjawisk

fizycznych

wyst

ę

puj

ą

cych

w

układzie

elektromechanicznym.

Siłownik elektromechaniczny

Przetwornik przedstawiony na rysunku jest siłownikiem elektromechanicznym.

Siłownik składa si

ę

z rdzenia magnetycznego, uzwojenia nawini

ę

tego na rdzeniu i

ruchomego rdzenia. Siłownik pozwala sterowa

ć

przesuwaniem ruchomego rdzenia

za pomoc

ą

sygnału elektrycznego.

Siłownik

jest

stosowany

do

sterowania

zaworów

hydraulicznych

lub

pneumatycznych, do otwierania i zamykania pokryw. Konstrukcja przetwornika jest
stosowana do budowy styczników i przeka

ź

ników elektromagnetycznych.

Analiza siłownika elektromechanicznego

R

u

i

K

D

d

x

z

Poziom

odniesienia

m

G

W siłowniku mo

ż

na wyró

ż

ni

ć

dwa powi

ą

zane z sob

ą

układy:

1) Układ elektryczny - zło

ż

ony z uzwojenia siłownika o rezystancji R oraz

indukcyjno

ś

ci L. Uzwojenie iest zasilane napi

ę

ciem u o dowolnej zmienno

ś

ci.

2) Układ mechaniczny – zło

ż

ony z ruchomego rdzenia o masie m, poł

ą

czonego z

elementem spr

ęż

ystym o podatno

ś

ci K i z elementem tłumi

ą

cym o tłumieniu D.

R

L(x)

u

i

K

D

m

G

x

Układ

elektryczny

Układ

mechaniczny

Siłownik elektromechaniczny – układ

elektryczny

R

u

i

K

D

d

x

z

Poziom

odniesienia

m

G

R

L(x)

u

i

Indukcyjno

ść

uzwojenia siłownika:

)

(

2

2

x

L

R

R

z

R

z

L

p

Fe

m

=

+

=

=

z – liczba zwojów uzwojenia; R

m

- opór magnetyczny

równy sumie oporu

magnetycznego rdzenia magnetycznego R

Fe

i oporu szczeliny powietrznej R

p

S

x

d

R

S

l

R

p

Fe

Fe

Fe

⋅

−

=

⋅

=

µ

µ

0

;

Poniewa

ż

:

x

b

a

x

L

L

−

=

=

)

(

Indukcyjno

ść

uzwojenia siłownika L=L(x) jest nieliniow

ą

funkcj

ą

współrz

ę

dnej

poło

ż

enia ruchomego rdzenia x.

Analiza siłownika metod

ą

Lagrange’a

Współrz

ę

dne uogólnione podstawowe i pochodne:

1) Dla układu elektrycznego - ładunek q oraz pr

ą

d i = dq/dt = q’ ;

2) Dla układu mechanicznego - poło

ż

enie x oraz pr

ę

dko

ść

v=dx/dt = x’ .

Układ elektryczny

Układ mechaniczny

K

D

m

G

x

R

L(x)

u

i

W obwodzie elektrycznym siłownika wyst

ę

puj

ą

straty mocy na rezystancji uzwojenia, a

w układzie mechanicznym straty mocy w elemencie tłumi

ą

cym – siłownik jest układem

niezachowawczym.

V

T

L

−

=

Funkcja Lagrange’a jest ró

ż

nic

ą

całkowitej koenergii układu T i całkowitej energii

układu V:

Analiza siłownika metod

ą

Lagrange’a

R

L(x)

u

i

K

D

m

G

x

Układ

elektryczny

Układ

mechaniczny

Całkowita koenergia T układu elektromechanicznego siłownika jest równa sumie
całkowitej koenergii kinetycznej E

k

’ i całkowitej koenergii magnetycznej E

m

’ :

2

2

'

2

1

2

1

x

m

v

m

E

k

′

=

=

2

2

'

'

)

(

2

1

)

(

2

1

q

x

L

i

x

L

E

m

⋅

=

⋅

=

2

2

'

)

(

2

1

'

2

1

q

x

L

x

m

T

⋅

+

⋅

=

Całkowita energia V układu elektromechanicznego siłownika jest równa sumie
całkowitej energii potencjalnej E

p

i całkowitej energii elektrycznej E

e

:

x

K

E

p

2

2

1

=

0

=

E

e

x

K

V

2

2

1

⋅

=

( brak elementów
pojemno

ś

ciowych )

Funkcja dyssypacji Rayleigha układu
elektromechanicznego siłownika:

'

2

1

'

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

x

D

q

R

v

D

i

R

F

+

=

+

=

Funkcja Lagrange’a L układu
elektromechanicznego siłownika:

x

K

q

x

L

x

m

V

T

L

2

2

2

2

1

'

)

(

2

1

'

2

1

⋅

−

⋅

+

⋅

=

−

=

Analiza siłownika metod

ą

Lagrange’a

(

)

(

)

(

)

)

(

'

,

'

,

'

,

,

,

'

,

'

'

,

,

,

'

,

'

t

Q

x

t

q

x

F

x

t

q

x

q

x

L

x

t

q

x

q

x

L

dt

d

m

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

R

L(x)

u

i

K

D

m

G

x

Układ

elektryczny

Układ

mechaniczny

Układ siłownika elektromechanicznego jest opisany nast

ę

puj

ą

cymi równaniami

Lagrange’a:

(

)

(

)

(

)

)

(

'

,

'

,

'

,

,

,

'

,

'

'

,

,

,

'

,

'

t

Q

q

t

q

x

F

q

t

q

x

q

x

L

q

t

q

x

q

x

L

dt

d

e

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

Układ elektryczny

Układ mechaniczny

Gdzie siły uogólnione wynosz

ą

:

g

m

G

t

Q

u

t

u

t

Q

m

e

⋅

−

=

−

=

=

=

)

(

;

)

(

)

(

Szczegółowa posta

ć

równania Lagrange’a dla

obwodu elektrycznego siłownika

R

L(x)

u

i

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

'

,

'

,

'

,

,

,

'

,

'

'

,

,

,

'

,

'

t

u

t

Q

q

t

q

x

F

q

t

q

x

q

x

L

q

t

q

x

q

x

L

dt

d

e

=

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

(

)

[

]

[

]

[

]

[

]

i

dt

d

x

L

i

v

x

L

dx

d

q

dt

d

x

L

q

dt

dx

x

L

dx

d

q

dt

d

x

L

q

x

L

dt

d

q

x

L

dt

d

q

t

q

x

q

x

L

dt

d

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

=













∂

∂

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

'

,

,

,

'

,

'

(

)

0

,

,

,

'

,

'

=

∂

∂

q

t

q

x

q

x

L

(

)

i

R

q

R

q

t

q

x

F

⋅

=

⋅

=

∂

∂

'

'

,

'

,

'

[

]

i

v

x

L

dx

d

i

dt

d

x

L

i

R

t

u

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

)

(

)

(

)

(

Równanie dla obwodu elektrycznego po uporz

ą

dkowaniu ma posta

ć

zło

ż

on

ą

z trzech

składników:

I – spadek napi

ę

cia na rezystancji stojana; II – napi

ę

cie indukowane w uzwojeniu przez

zmienny w czasie pr

ą

d i ; III – napi

ę

cie indukowane w uzwojeniu przez ruch rdzenia z

pr

ę

dko

ś

ci

ą

v;

Szczegółowa posta

ć

równania Lagrange’a dla

układu mechanicznego siłownika

(

)

x

K

x

L

x

i

x

K

x

L

x

q

x

t

q

x

q

x

L

⋅

−

∂

∂

=

⋅

−

∂

∂

=

∂

∂

)

(

2

1

)

(

'

2

1

,

,

,

'

,

'

2

2

(

)

v

D

x

D

x

t

q

x

F

⋅

=

⋅

=

∂

∂

'

'

,

'

,

'

[

]

x

K

v

D

v

dt

d

m

G

x

L

dx

d

i

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

)

(

2

1

2

Równanie równowagi dla układu mechanicznego po uporz

ą

dkowaniu ma posta

ć

:

K

D

m

G

x

(

)

(

)

(

)

g

m

G

t

Q

x

t

q

x

F

x

t

q

x

q

x

L

x

t

q

x

q

x

L

dt

d

m

⋅

−

=

−

=

=

∂

∂

+

∂

∂

−









∂

∂

)

(

'

,

'

,

'

,

,

,

'

,

'

'

,

,

,

'

,

'

(

)

[

]

v

dt

d

m

x

m

x

m

dt

d

x

t

q

x

q

x

L

dt

d

⋅

=

⋅

=

⋅

=









∂

∂

''

'

'

,

,

,

'

,

'

Szczegółowa posta

ć

równania Lagrange’a dla

układu mechanicznego siłownika

[

]

x

K

v

D

v

dt

d

m

G

x

L

dx

d

i

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

)

(

2

1

2

Równanie równowagi dla układu mechanicznego po uporz

ą

dkowaniu

ma posta

ć

:

Składniki po prawej stronie
równania oznaczaj

ą

kolejno:

sił

ę

bezwładno

ś

ci ruchomego

elementu rdzenia,

sił

ę

tłumienia

sił

ę

spr

ęż

ysto

ś

ci.

K

D

m

G

x

Składniki po lewej stronie
równania oznaczaj

ą

kolejno:

sił

ę

elektromagnetyczn

ą

wytwarzan

ą

przez siłownik

i

sił

ę

ci

ęż

ko

ś

ci ruchomego

elementu rdzenia.

Siła elektromagnetyczna siłownika

[

]

)

(

2

1

2

x

L

dx

d

i

F

e

=

Na podstawie równa

ń

Lagrange’a uzyskano wyra

ż

enie na sił

ę

elektromagnetyczn

ą

F

e

wytwarzan

ą

przez siłownik elektromechaniczny.

Wytwarzanie siły elektromagnetycznej Fe przez siłownik elektromechaniczny
stanowi podstaw

ę

działania tego siłownika.

Wyznaczenie warto

ś

ci siły elektromagnetycznej Fe nie jest mo

ż

liwe na podstawie

analizy klasycznej lecz tylko z równa

ń

Lagrange’a.

u

i

K

D

d

x

z

Poziom

odniesienia

G

F

e

Siła elektromagnetyczna siłownika

[

]

)

(

2

1

2

x

L

dx

d

i

F

e

=

Na podstawie równa

ń

Lagrange’a uzyskano wyra

ż

enie na sił

ę

elektromagnetyczn

ą

F

e

wytwarzan

ą

przez siłownik elektromechaniczny:

Zasada konstruowania przetworników elektromechanicznych jest oparta na
tym, aby przy zmianie poło

ż

enia liniowego lub k

ą

towego ruchomego elementu

przekształtnika nast

ę

powała zmiana indukcyjno

ś

ci obwodów przetwornika.

u

i

K

D

d

x

z

Poziom

odniesienia

G

F

e

Warunkiem powstania siły elektromagnetycznej jest:

[

]

0

)

(

≠

x

L

dx

d