15 Gwiazdy podwójne

Rozdział 15

Gwiazdy podwójne

Streszczenie

Zbiory gwiazd tworz ˛

acych układy zwi ˛

azane dynamicznie (po dwie lub wi˛ecej obiektów) s ˛

a w kos-

mosie czym´s powszechnym. Ze wzgl˛edu na sposób obserwacji wyró˙zniamy gwiazdy podwójne
spektralnie, za´cmieniowo, wizualnie, polarymetrycznie i astrometrycznie. Celem obserwacji tych
obiektów jest wyznaczenie ich orbit, co pozwala na obliczenie masy ukadu, tzw. fundamentalnych
mas gwiazd.
William Herschel pierwszy zinterpretował jako układy zwi ˛

azane dynamiczne niektóre z obser-

wowanych bliskich optycznie par gwiazd. Ale pionierem współczesnych obserwacji gwiazd
podwójnych był W. J. Struve, który odkrył blisko 3100 układów podwojnych, zestawiaj ˛

ac pre-

cyzyjny katalog ich poło˙ze´n. Inni wytrawni obserwatorzy gwiazd podwójnych to S.W. Burnham,
R.T. Innes, R.G. Aitken, G.P. Kuiper, J.P. Coteau. Do roku 1980, w bazie danych gwiazd pod-
wójnych w Obserwatorium Lick’a znajdowały si˛e rezultaty obserwacji blisko 65 tysi˛ecy układów
gwiazdowych. Obserwacji dokonano głównie za pomoc ˛

a techniki wizualnej wykorzystuj ˛

ac dlu-

googniskowe refraktory wyposa˙zone w mikrometry nitkowe. W momencie obserwacji mikrome-
try nitkowe pozwalaj ˛

a niemal natychmiast wyznaczy´c odległo´s´c

pomi˛edzy składnikami

układu oraz k ˛

at pozycyjny

składnika

wzgl˛edem

Elementy orbity gwiazdy podwójnnen definiowane s ˛

a podobnie jak dla orbit ciał w układzie plan-

etarnym. Nachylenie orbity rzeczywistej podane jest wzgl˛edem orbity widomej, czyli wzgl˛edem
płaszczyzny prostopadłej do linii ł ˛

acz ˛

acej obserwatora ze składnikiem

układu. Długo´s´c w˛ezła

wst˛epuj ˛

acgo orbity liczona jest tak jak k ˛

at pozycyjny a wi˛ec wzgl˛edem kierunku na północny

biegun ´swiata poprzez kierunek na wschód. Medoda Thiele-Innes’a wyznaczenia elementów or-
bity układu wizualnie pozwala na obliczenie wszystkich elementów orbity (

;

). K ˛

jest jednak okre´slony modulo

. Metoda Lehmann’a-Filhés’a słu˙zy do wyznaczenia orbity

układu spektralnie podwójnego. Daje ona jednoznaczne warto´sci jedynie dla elementów

;

Słowa kluczowe: gwiazdy podwójne wizualnie, spektralnie, mikrometr nitkowy, metoda Thiele-
Innes’a, Lehmann’a-Filk’es’a, wyznaczanie mas gwiazd, funkcja masowa.

206

Gwiazdy podwójne

15.1

Wst˛ep

Z obserwacji wynika, ˙ze gwiazdy bardzo cz˛esto ł ˛

acz ˛

a si˛e w zespoły zwi ˛

azane ze sob ˛

a dynam-

icznie, np. w pary, w trójki, w czwórki, . . . a˙z do galaktyk wł ˛

acznie. W takich układach wza-

jemne oddziaływania maj ˛

a charakter głównie grawitacyjny i przejawiaj ˛

a si˛e w ruchu orbitalnym

składników wzgl˛edem ´srodka mas układu. Pr˛edko´s´c ruchu, kształt orbity zawieraj ˛

a informacje o

masach, jednej z najwa˙zniejszych charakterystyk gwiazd.

Odkryte dotychczas układy gwiazd wykazuj ˛

a du˙z ˛

a ró˙znorodno´s´c. Istniej ˛

a pary orbituj ˛

ace tak

blisko siebie, ˙ze ich powierzchnie niemal si˛e stykaj ˛

a. W takich przypadkach siły pływowe nadaj ˛

obu składnikom kształt elipsoidalny, a z ich powierzchni materia przepływa z jednej gwiazdy
do drugiej lub powoli wyrzucana jest poza oba układy. Okresy obiegu tak ciasnych układów
s ˛

a rz˛edu kilku godzin. Tego typu gwiazd jest sporo, np. jest nim układ podwójny

Wielkiej

Nied´zwiedzicy, tworz ˛

a go dwie niemal jednakowej wielko´sci gwiazdy obiegaj ˛

ace si˛e wzajemnie

w ci ˛

agu 8 godzin. Odległo´s´c ich ´srodków dochodzi do 2 milionów km co oznacza, ˙ze niemal

ocieraj ˛

a si˛e powierzchniami. Dwoisto´s´c ciasnych układów podwójnych wykrywana jest meto-

dami spektroskopowymi (w oparciu o analiz˛e dopplerowskiego przesuni˛ecia lini widmowych) lub
metodami fotometrycznymi (pomiary zmiany blasku). Dlatego o takich układach powiada si˛e,

˙ze s ˛

a to układy spektralnie podwójne lub za´cmieniowo podwójne. W przypadkach gdy obser-

wowane s ˛

a dwa układy przesuni˛e´c dopplerowskich mówimy o układzie dwuliniowo spektralnie

podwójnym. Je˙zeli jeden ze składników jest wyra´znie ja´sniejszy od drugiego wówczas najcz˛e´sciej
widmo słabszego składnik jest niewidoczne w widmie ł ˛

acznym obu gwiazd. Taki układ nazywany

jest jednoliniowo spektralnie podwójnym.

Inn ˛

a klas ˛

a gwiazd podwójnych s ˛

a układy podwójnie polarymetrycznie, podwójna natura ta-

kich systemów wynika z okresowo zmieniaj ˛

acych si˛e parametrów polaryzacyjnych obserwowanego

promieniowania.

Je˙zeli składniki układu podwójnego oddalone s ˛

a na odległo´s´c rz˛edu kilkuset promieni jednej

z gwiazd, wówczas z pomoc ˛

a teleskopu mo˙zna obserwowa´c je jako dwa rozdzielone obiekty.

Nazywane s ˛

a wówczas wizualnie podwójnymi.

Blisko´s´c poło˙zenia gwiazd na sferze nie jest wystarczaj ˛

acym warunkiem ich blisko´sci w przestrzeni.

Układy, które s ˛

a bliskie jedynie na sferze nazywamy pdowójnymi optycznie. Podwójno´s´c opty-

czn ˛

a udaje si˛e ustali´c analizuj ˛

ac ruchy własne obu składników. Je˙zeli ruchy własne nie wykazuj ˛

dostatecznego podobie´nstwa, to mamy do czynienia z układem podwójnym optycznym. Rysunek
15.1 pogl ˛

adowo ilustruje tak ˛

a sytuacj˛e. W rzeczywistym układzie podwójnym gwiazdy wykazuj ˛

podobny ruch własny, natomiast po dostatecznie długim okresie czasu indywidualny ruch własny
mo˙zna zinterpretowa´c jako ruch orbitalny jednego składnika wzgl˛edem drugiego.

Na rysunku 15.2 pokazano trajektorie pary Syriusza i towarzysz ˛

acego mu białego karła ob-

serwowane w trzech układach odniesienia. W cz˛e´sci górnej rysunku, na prawo widzimy obser-
wowan ˛

a wzgl˛edn ˛

a orbit˛e karła wokół Syriusza; poło˙zenia karła odpowiadaj ˛

a 5-cio letnim inter-

wałom czasu. W lewej dolnej cz˛e´sci rysunku mamy widome orbity Syriusza i białego karła wzgl˛e-
dem ich wspólnego ´srodka masy; ´srodek masy (barycentrum układu) oznaczono krzy˙zykiem. Or-
bity rzeczywiste s ˛

a nachylone do płaszczyzny rysunku pod k ˛

atem

. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze

´srodek masy nie le˙zy w ognisku którejkolwiek z widomych orbit. W ´srodkowej cz˛e´sci narysowano
rzuty trajektorii absolutnego ruchu składników. ´Srodek masy porusza si˛e po prostej w kierunku
wskazywanym strzałk ˛

a a gwiazdy poruszaj ˛

a si˛e po trajektoriach wij ˛

acych si˛e wokół trajektorii

barycentrum. ´Srodek masy przecina odcinki ł ˛

acz ˛

ace chwilowe poło˙zenia składników zawsze w

takim samym stosunku (bliskim 2:5), równym stosunkowi ich mas. Po około pi˛e´cdziesi˛eciu latach
przedstawiony wzór trajektorii absolutnych powtarza si˛e.

Istniej ˛

a układy podwójne, których składnikami s ˛

a gwiazdy bardzo do siebie podobne np.

Panny. Ale istniej ˛

a te˙z systemy o niepodobnych składnikach np. Syriusz czy

Wielkiej

Nied´zwiedzicy. Bywa i tak, ˙ze jeden ze składników nie jest widoczny a sw ˛

a obecno´s´c objawia

wywołuj ˛

ac anomalie w ruchu gwiazdy głównej. Takie układy nazywane s ˛

a podwójnymi astrome-

15.1 Wst˛ep

207

Rysunek 15.1: U góry, układ podwójny optycznie. Trajektorie ruchu przestrzennego obu skład-
ników s ˛

a liniami prostymi. Oznacza to, ˙ze i trajektoria wzgl˛edna np. składnika B nie wykazuje

krzywizny, gwiazdy nie tworz ˛

a układu zwi ˛

azango dynamicznie. Rysunek dolny przedstawia wiz-

ualnie podwójn ˛

a 61 Cygni. Jest to układ o du˙zym ruchu własnym. Poza wzajemnym ruchem

orbitalnym, oba składniki poruszaj ˛

a si˛e wzgledem tła z takim samym ruchem własnym.

Rysunek 15.2: Ruch Syriusza i jego towarzysza białego karła (białe i czarne kółeczko odpowied-
nio) w trzech układach odniesienia. U dołu po lewej, ruch obu składników wzgl˛edem ich barycen-
trum, u góry po prawej, ruch wzgl˛edny jednego ze składników, w ´srodku ruch własny i orbitalny
obu składników w przestrzeni.

208

Gwiazdy podwójne

Tablica 15.1: Reprezentacyjne układy gwiazdowe wizualnie podwójne.

Okres

Póło´s

Masa

Widmo

Gwiazda

[Lata]

]

Widmo

Syriusz

-1.47

1.26

49.94

20.1

2.28

A1 V

8.4

11.6

0.98

A D

Procjon

0.34

2.76

40.65

15.8

1.76

F5 IV

10.8

13.06

0.65

Skorpiona

4.90

2.86

45.7

18.4

1.51

F5 IV

4.92

2.88

1.51

Panny

3.48

3.50

171.4

40.7

1.18

F0 V

3.50

3.52

1.12

F0 V

Centaura

0.33

4.72

80.09

23.2

1.08

G2 V

1.70

6.09

0.88

Herkulesa

2.85

2.99

34.42

13.0

1.07

G0 IV

5.55

5.656

0.78

d K0

Kasjopei

3.47

4.67

480

75.3

0.94

G0 V

7.22

8.42

0.58

d M0

trycznie.

Przedstawiona klasyfikacja układów gwiazd wynika z techniki obserwacyjnej jak ˛

a dany układ

jest wykrywany. Zasadniczo nic nie stoi na przeszkodzie by jaki´s system był obserwowany
ró˙znymi technikami. Jednak najcz˛e´sciej jest to klasyfikacja dychotomiczna i dlatego podane ni˙zej
uwagi s ˛

a generalnie prawdziwe, chocia˙z wyj ˛

atki si˛e zdarzaj ˛

a. Podwójnie wizualnie s ˛

a to z reguły

systemy wyra´znie rozdzielone, poruszaj ˛

ace si˛e stosunkowo powoli i dlatego trudne do badania

metodami spektralnymi. Podwójnie spektralne, przeciwnie, s ˛

a to ciasne systemy gwiazd bardzo

szybko wzajemnie si˛e obiegaj ˛

acych, st ˛

ad łatwo zmierzy´c przesuni˛ecie dopplerowskie linii wid-

mowych docieraj ˛

acego z nich promieniowania. Obecnie znanych jest zaledwie kilka przypadków

układów wizualnych obserwowanych równie˙z technik ˛

a widmow ˛

a. Je´sli płaszczyzna orbity cias-

nego układu ma odpowiedni ˛

a orientacj˛e w stosunku do obserwatora, ciasny układ spektralny mo˙ze

by´c jednocze´snie układem za´cmieniowym. Układy za´cmieniowe i polarymetryczne s ˛

a zwykle

traktowane jako specjalna podgrupa układów spektralnych.

W tabeli 15.1 podano parametry

najbardziej znanych układów podwójnych typu wizualnego.

Celem obserwacji gwiazd podwójnych jest wyznaczenie ich orbit, co umo˙zliwia wyznacze-

nie mas gwiazd. Otrzymane t ˛

a drog ˛

a masy okre´slane s ˛

a mianem mas fundamentalnych, bowiem

obliczane s ˛

a przy zało˙zeniu jedynie stosowalno´sci prawa grawitacji oraz warto´sci stałej graw-

itacji. Wszystkie inne metody wyznaczania mas gwiazd korzystaj ˛

a z dodatkowych, bardziej lub

mniej uzasadnionych zało˙ze´n dotycz ˛

acych wła´sciwo´sci gwiazd. Otrzymane tymi metodami masy

nazywane s ˛

a masami fotometrycznymi, spektroskopowym, zale˙znie od wykorzystanej techniki

obserwacyjnej.
Załó˙zmy, ˙ze gwiazdy o masach

;

posiadaj ˛

a orbit˛e wzgl˛edn ˛

a o półosi wielkiej

i okresie

obiegu

. Zgodnie z III prawem Keplera masa układu podwójnego:

(15.1)

gdzie G jest stał ˛

a grawitacji. W przypadku gwiazd podwójnych póło´s wielka

wyra˙zona jest w

sekundach łuku. W jednostkach liniowych AU dostaniemy j ˛

a jako stosunek

, gdzie

jest

Istniej ˛

a przypadki obserwacji podwójnej polarymetrycznie, która nie wykazuje zmian przesuni˛ecia dopplerowskiego

lini widmowych promieniowania elektromagnetycznego.

15.2 Rys historyczny

209

paralaks ˛

a układu podwójnego. Okres

tradycyjnie podany jest w latach, masy w jednostkach

masy Sło ´nca. W tych jednostkach równanie (15.1) przyjmie posta´c:

(15.2)

W przypadku podwójnych spektralnie, wielko´sci ˛

a wyznaczon ˛

a z przesuni˛ecia linii widmowych

jest szybko´s´c radialna wyra˙zona w

m=sek

, dlatego póło´s wielka wyznaczona jest w kilometrach.

Ponadto, ze wzgl˛edu na krótkookresowo´s´c tych układów, okres obiegu podany jest w dniach. W
takich jednostkach prawo Keplera ma posta´c:

3:985

(15.3)

Za pomoc ˛

a równa´n (15.1), (15.2), (15.3) mo˙zna okre´sli´c jedynie sum˛e mas składników układu

podwójnego. Aby wyznaczy´c masy poszczególnych składników koniecznym jest znajomo´s´c poło˙ze-
nia ´srodka masy układu. A wi˛ec nie wystaczy tu badanie jedynie ruchu wzgl˛ednego.

15.2

Rys historyczny

Znamy bardzo ró˙zne układy gwiazdowe, od takich które mo˙zna obserwowa´c za pomoc ˛

a lornetki

Galileusza, do par wymagaj ˛

acych najpot˛e˙zniejszych teleskopów. Liczba odkrytych układów ci ˛

gle zwi˛eksza si˛e, do roku 1980 znano blisko 70 000 par, a na odkrycie, na pewno czekaj ˛

a dalsze

dziesi ˛

atki tysi˛ecy.

Pierwsz ˛

a obserwowan ˛

a par ˛

a gwiazdow ˛

a był Alcor i Mizar z Wielkiej Nied´zwiedzicy odległe

od siebie o około 14”. Układ ten obserwował z pomoc ˛

a teleskopu 1650 roku Riccioli. Sze´s´c lat

pó´zniej Hughens odkrył Trapez w Orionie — wielokrotny układ składaj ˛

acy si˛e z 6-ciu gwiazd.

Były to jednak odkrycia przypadkowe, nie nasuwaj ˛

ace ich autorom my´sli o podwójno´sci gwiazd w

sensie dynamicznym. W roku 1776 William Herschel jako pierwszy zinterpretował obserwowne
pary bliskich gwiazd jako dynamiczne układy podwójne. Herschel (1738-1822) wykorzystywał
zbudowane przez siebie teleskopy o lustrach z br ˛

azu o ´srednicach 50 i 130 cm. Narz˛edzia te mi-

ały dobr ˛

a optyk˛e daj ˛

ac ˛

a porz ˛

adne okr ˛

agłe obrazy gwiazd, ale ich horyzontalny monta˙z nastr˛eczał

sporo trudno´sci. Obserwator obserwował ruch gwiazd w polu widzenia z pomoc ˛

a oka, niekiedy

bez okularu. Herschel dysponował jedynie prymitywnym mikrometrem nie pozwalaj ˛

acym na

dokładne pomiary. Wi˛ekszo´s´c rezultatów obserwacji Herschel’a to porównanie odległo´sci mi˛edzy
gwiazdami z ocen ˛

a rozmiaru dysku gwiazdowego. Takie obserwacje same w sobie nie maj ˛

a wiel-

kiego znaczenia naukowego i to co czyni je cennymi to odległy moment czasu w którym zostały
wykonane. Prace Herschela z gwiazdami podwójnymi rozpocz˛eły si˛e jako uboczny produkt po-
miarów paralaks gwiazdowych. Herschel odkrył, ˙ze obserwowane zmiany poło˙ze´n gwiazd nie s ˛

natury paralaktycznej ale s ˛

a skutkiem orbitalnego ruchu w układach gwiazdowych. Na pocz ˛

atku

XIX wieku opublikował zapiski, w których opisuje pierwsze orbity obiektów spoza Układu Sło-
necznego, m.in. ruch Kastora i

Panny (patrz rysunek 15.3). Od roku 1816 prace ojca kontynuuje

John Herschel (1792-1871), który razem z James South’em podejmuj ˛

a obserwacje gwiazd pod-

wójnych na półkuli południowej. Ich dorobek 3000 par gwiazdowych, posiada du˙ze znaczenie
historyczne.

Pionierem współczesnych obserwacji gwiazd podwójnych był W.J. Struve (1793 - 1864) pracu-

j ˛

acy najpierw w obserwatorium Dorpat (dawne Tartu) a pó´zniej w Pułkowie. Struve jako pierwszy

(rok 1824) miał do dyspozycji teleskop z monta˙zem równikowym z mechanizmem zegarowym
i mikrometrem nitkowym. Teleskop o obiektywie o ´srednicy 24 cm, wykonanym przez Fraun-
hofera był w owych czasach narz˛edziem o najwi˛ekszej ´swiatłosile. Instrument ten był praw-
zorem współczesnych refraktorów astronomicznych i z jego pomoc ˛

a Struve odkrył 3134 układy

podwójne. W przeciwie´nstwie do obu Herschel’ów, Struve pomierzył i opublikował precyzyjny

210

Gwiazdy podwójne

Rysunek 15.3: Obserwowane zmiany poło˙ze´n układów podwójnych Kastor (na prawo) i

Panny

(na lewo). Orbitalne okresy obiegów tych układów wynosz ˛

a 380 i 180 lat, odpowiednio.

katalog poło˙ze´n odkrytych par. Metodyka pracy Struvego była znacznie bardziej efektywna od
stosowanej przez Herschel’ów, dysponował przecie˙z dogodniejszym monta˙zem. Struve zamierzał
dokona´c przegl ˛

adu mo˙zliwie du˙zego obszaru nieba. W ci ˛

agu 3 lat obserwował blisko 120 000

obiektów, spo´sród których 1 podwójna gwiazda trafiała si˛e na 38 gwiazd pojedynczych. W 1839
roku Struve zało˙zył obserwatorium w Pułkowie w pobli˙zu St. Petersburga, gdzie ustawił 38 cm
refraktor. Na tym narz˛edziu jego syn Otto (1819-1905) odkrył 500 gwiazd podwójnych.

Dalsze odkrycia wi ˛

a˙z ˛

a si˛e ´sci´sle z histori ˛

a najwi˛ekszych refraktorów astronomicznych. W

1873 roku rozpoczyna obserwacje astronom amator Sheldon W. Burnham (1838-1921), który
pracuj ˛

ac na ró˙znych narz˛edziach (od niewielkich po refraktory giganty) odkrył ponad 1300 gwiazd

podwójnych. W 1906 roku opublikował katalog zawieraj ˛

acy dane dotycz ˛

ace wszystkich znanych

mu par gwiazdowych - 13665 pozycji. W latach 1907-12 za pomoc ˛

a 102 cm refraktora z obserwa-

torium Yerkes, Burnham wykonał 9500 obserwacji szerokich par w celu udokładnienia ich ruchów
własnych.

Bardziej systematyczne poszukiwania nowych gwiazd podwójnych rozpocz˛eli w 1894 roku

Robert G. Aitken (1864-1951) i William J. Hussey (1862-1926). Obserwatorzy ci pracowali na
dwóch refraktorach w obserwatorium Lick’a (30 i 91 cm). Ponad 1/3 odkry´c dokonano za pomoc ˛

mniejszego instrumentu a w ci ˛

agu pi˛eciu lat pracy odkryto 2000 gwiazd podwójnych. Od 1907 do

1915 roku Aitken kontynuował prace samodzielnie odkrywaj ˛

ac dalszych 4000 par.

W Europie gwiazdy podwójne obserwował na teleskopach 45-60 cm wielebny T.E.H. Espin

(1858-1934) w swym prywatnym obserwatorium Tow Low w Anglii. Jonckheere (1889-1974)
wykorzystywał refraktor 33 cm w pobli˙zu Lille oraz 71 cm w Greenwich. Obserwatorzy ci odkryli
blisko 4000 par.

Wa˙zny wkład w odkrycia gwiazd podwójnych maj ˛

a astronomowie z obserwatorium w Nicei i

Pary˙zu. W latach 1967-76 w Nicei pod kierunkiem bodaj ostatniego z wytrawnych obserwatorów
wizualnych J.P. Coteau, z pomoc ˛

a refraktora 50 i 74 cm odkryto ł ˛

acznie 2000 gwiazd podwójnych.

Poszukiwania gwiazd podwójnych na sferze południowej rozpoczynaj ˛

a si˛e znacznie pó´zniej.

Systematyczne prace rozpocz ˛

ał pod koniec ubiegłego wieku R.T.A. Innes (1861-1933) w Kapsz-

tadzie. W roku 1903 opublikował pierwszy katalog gwiazd podwójnych nieba południowego —
450 pozycji. Po przej´sciu do Johannesburga Innes kontynuował prace, gdzie odkrył blisko 1200
par. Innes pracował na refraktorach 40 i 67 cm. W latach 1925-35 w Johanesburgu W.H. van
den Bos (1896-1975) i W.S. Finsen odkrywaj ˛

a 3200 par. 8000 par odkryli w latach 1928-46 w

Bloemfontein Rossiter z współpracownikami (refraktor 69 cm).

Gwiazdy podwójne odkrywano tak˙ze za pomoc ˛

a techniki fotograficznej. W trakcie prac zwi ˛

azanych

z projektem ¨Carte du Cielästronomowie odkryli 15000 par. Niektóre z nich okazały si˛e jednak

15.2 Rys historyczny

211

Tablica 15.2: Liczebno´s´c gwiazd podwójnych w trzech przedziałach jasno´sci.

Wielko´s´c gwiazdowa

Gwiazd podwójnych

65%

27%

by´c fałszywymi, bowiem za podwójne brano niekiedy defekty w emulsji. Fotograficzne płyty
¨Carte du Ciel¨nie były wykonane w celu poszukiwania gwiazd podwójnych, ponadto zasadniczo
trudno jest wykry´c na kliszach pary z niewielk ˛

a wzajemn ˛

a k ˛

atow ˛

a odległo´sci ˛

a. Dlatego pary fo-

tograficzne s ˛

a to głównie szerokie układy podwójne z bardzo wolnym ruchem orbitalnym.

Technika fotograficzna okazuje si˛e by´c bardziej wydajna w przypadku gwiazd karłów. Dzi˛eki

pracom G.P. Kuipera (lata 1920-1934) wiadomym jest, ˙ze niektóre z takich gwiazd s ˛

a układami

podwójnymi. Obserwacje wizualne nie pozwalaj ˛

a na odkrycie wielu tych układów, przyczyn ˛

a jest

ich niewielka jasno´s´c absolutna. Układy tego typu mo˙zna jednak odkrywa´c za pomoc ˛

a fotografii,

ale jedynie wtedy gdy s ˛

a dostatecznie od siebie oddalone. Do lepszego poznania słabych gwiazd

podwójnych przyczynił si˛e W.J. Luyten. za pomoc ˛

a kamery Schmidta na Mont Palomar odkrył

2000 ´´słabych´´ par. W´sród 120 tych układów w charakterze gwiazdy satelity wyst˛epuje biały
karzeł lub inna zdegenerowana gwiazda. W 14-tu parach główn ˛

a gwiazd ˛

a jest biały karzeł.

Odkrycia gwiazd podwójnych, jako takie nie miałyby wi˛ekszego znaczenia bez ich systematy-

cznej obserwacji, co dopiero umo˙zliwia wyznaczenie ich orbit. Dlatego koniecznym jest by pewna
cz˛e´s´c obserwatorów po´swi˛eciła czas takiemu wła´snie zadaniu. Z tego powodu w´sród wielkich ob-
serwatorów gwiazd podwójnych nale˙zy szczególnie wyró˙zni´c R.G. Aitken’a i S.W. Burnham’a.
Katalog gwiazd podwójnych z 1932 roku opublikowany przez Aitken’a zawierał 17180 obiek-
tów. Obserwacje ze sfery południowej nie zostały zebrane w formie katalogu. Po drugiej Wojnie

´Swiatowej postanowiono dokona´c centralizacji danych o układach gwiazdowych w formie bazy

danych, któr ˛

a mo˙zna by łatwo aktualizowa´c. W roku 1963, w Obserwatorium Lick’a wszystkie

współczesne dane zostały zebrane na perforowanych kartach (

300000

kart). Wszystkie pary

naniesione na karty zebrano w pracy Index Catalogue of Visual Double Stars 1961.0, obejmuje on
64247 pozycji, dla ka˙zdego układu podwójnego podano:

poło˙zenia na epoki 1900 i 2000,

daty pierwszej i ostatniej obserwacji,

k ˛

aty pozycyjne i wzajemne odległo´sci odpowiadaj ˛

ace epoce pierwszej i ostatniej obserwacji,

wielko´sci gwiazdowe obu składników w skali katalogu HD,

typy widmowe,

ruch własny głównego składnika,

numer w katalogu Argelander’a (BD), lub CD,

numer w katalogu Aitken’a.

Odkryte dotychczas gwiazdy podwójne nie stanowi ˛

a dostatecznie pełnego zbioru danych o tego

typu obiektach. ´Swiadczy o tym tabela 15.2, w której podano procentowe liczby gwiazd w kilku
przedziałach jasno´sci. Blask 3/4 znanych gwiazd podwójnych przewy˙zsza

. W tym przedziale

jasno´sci w przybli˙zeniu co 15 gwiazda jest układem podwójnym. Rzeczywisty stosunek liczby
gwiazd podwójnych do pojedynczych jest jednak wi˛ekszy, bowiem w otoczeniu Sło ´nca w przy-
bli˙zeniu co druga gwiazda to układ podwójny. Łatwo odgadn ˛

a´c przyczyn˛e tego efektu, mianowicie

im wi˛eksza odległo´s´c gwiazd tym trudniej wykry´c układy podwójne.

Niemal dla połowy znanych gwiazd podwójnych posiadamy informacje o ich typach wid-

mowych. Rozkład ze wzgl˛edu na typ widmowy przedstawia tabela 15.3. Rozkład ten wskazuje,

212

Gwiazdy podwójne

Tablica 15.3: Procent znanych gwiazd podwójnych w stosunku do pozostałych dla ró˙znych typów
widmowych.

Typ widmowy

Inne

Liczba gwiazd

b.mała

Tablica 15.4: Rozkład gwiazd podwójnych w zale˙zno´sci od odległo´sci k ˛

atowej pomi˛edzy skład-

nikami.

Odległo´s´c

Liczba znanych układów podwójnych

k ˛

atowa

Sfera północna

Sfera południowa

0:25

569

884

0:5

1929

3266

1:0

3457

6090

2:0

6192

10143

5:0

14856

18338

5:0

39883

29976

˙ze gwiazdy podwójne nie ró˙zni ˛

a si˛e je´sli chodzi o ich fizyczne własno´sci od gwiazd pojedynczych.

Interesuj ˛

aco przedstawia si˛e rozkład gwiazd podwójnych ze wzgl˛edu na ich wzajemn ˛

a odległo´s´c

k ˛

atow ˛

a. W tabeli 15.4 podano tego typu rozkład dla obu cz˛e´sci sfery niebieskiej. Gwiazdy pod-

wójne o odległo´sciach wi˛ekszych od

s ˛

a to bardzo szerokie pary. Przy ´srednich odległo´sciach od

Sło ´nca 300–400 lat ´swietlnych składniki oddalone s ˛

a od siebie o ponad 500 j.a. W tych warunk-

ach ruch orbitalny jest bardzo powolny co czyni go trudnym do wykrycia. Mimo to, z tabeli 15.4
wynika, ˙ze blisko połowa znanych gwiazd podwójnych nale˙zy do tej kategorii.

15.3

Narz˛edzia do obserwacji gwiazd wizualnie podwójnych

Obserwacje gwiazd podwójnych to pomiary z najwy˙zsz ˛

a zdolno´sci ˛

a rozdzielcz ˛

a. Dlatego wyko-

rzystuje si˛e w nich instrumenty daj ˛

ace obrazy dyfrakcyjne mo˙zliwie bliskie teoretycznym, które

mo˙zna analizowa´c przy dostatecznie du˙zych powi˛ekszeniach. Ju˙z od 150 lat wiadomo było jak
wykona´c obiektyw soczewkowy daj ˛

acy dobrej jako´sci obrazy gwiazd w pobli˙zu osi optycznej. Pod

tym wzgl˛edem wielkie refraktory zbudowane pod koniec XIX stulecia wytrzymuj ˛

a konkurencj˛e z

du˙zymi reflektorami nie wyposa˙zonych w optyk ˛

a adaptywn ˛

a. Dlatego obserwatorzy gwiazd pod-

wójnych do dzisiaj najch˛etniej wykorzystuj ˛

a du˙ze refraktory. Ponadto, teleskopy zwierciadłowe

zwykle wykorzystywane s ˛

a do bardzo ró˙znych programów przez całe grupy obserwatorów. Ta

okoliczno´s´c sprawia, ˙ze nie mo˙zna z ich pomoc ˛

a efektywnie pracowa´c w dziedzinie gwiazd pod-

wójnych. Bowiem dla tego typu obserwacji obserwator powinien dysponowa´c instrumentem w
ka˙zdej chwili gdy tylko warunki obserwacyjne daj ˛

a obrazy gwiazd najwy˙zszej jako´sci. Nie mo˙zna

bowiem prowadzi´c obserwacji gwiazd podwójnych przy bezchmurnym niebie kiedy jako´s´c obrazu
jest niska. Ciasny układ podwójny to para gwiazd mi˛edzy którymi odległo´s´c jest mniejsza lub
równa promieniowi pierwszego ciemnego pr ˛

a˙zka dyfrakcyjnego danego teleskopu. Składniki pary

uwa˙za si˛e za rozdzielone gdy odległo´s´c mi˛edzy nimi jest wi˛eksza od ´srednicy pierwszego pr ˛

a˙zka

dyfrakcyjnego. Powy˙zszej definicji nie nale˙zy bra´c dosłownie, gdy˙z do´swiadczeni wizualni ob-
serwatorzy z powodzeniem obserwuj ˛

a bardziej ciasne układy podwójne.

Obserwacja gwiazdy podwójnej (rysunek 15.4) polega na pomiarze współrz˛ednych biegu-

nowych

;

, satelity B wzgl˛edem gwiazdy głównej A przyj˛etej jako pocz ˛

atek układu odniesienia.

Pomiaru k ˛

ata pozycyjnego dokonuje si˛e licz ˛

ac go od kierunku północnego ku wschodniemu. Pole

widzenia teleskopu dzieli si˛e na ´cwiartki a k ˛

at pomi˛edzy prost ˛

a ł ˛

acz ˛

ac ˛

a składniki pary a kierun-

15.3 Narz˛edzia do obserwacji gwiazd wizualnie podwójnych

213

270

180

Rysunek 15.4: Pole widzenia refraktora podczas obserwacji gwiazdy podwójnej. Na prawo współ-
rz˛edne biegunowe: k ˛

at pozycyjny

, odległo´s´c k ˛

atowa

satelity B wzgl˛edem gwiazdy głównej A.

00000000000000000

11111111111111111

Sruba mikrometryczna

Prowadnica

Ramka ruchoma

00000000

11111111

000

111

Rysunek 15.5: Schemat budowy mikrometru nitkowego: prowadnice z nitk ˛

a pionow ˛

a, ruchoma

ramka z dwoma nitkami prostopadłymi, ´sruba mikrometryczna

kiem na biegun północny nazywamy k ˛

atem pozycyjnym

, k ˛

atowa odległo´s´c mi˛edzy składnikami

nazywana jest rozdzieleniem lub odległo´sci ˛

a, mierzy si˛e j ˛

a w sekundach łuku. Pełny pomiar,

obok współrz˛ednych, obejmuje jeszcze epok˛e obserwacji wyra˙zon ˛

a najcz˛e´sciej w dniach julia´ns-

kich. Z powodu ruchu orbitalnego pary, zarówno rozdzielenie jak i k ˛

at pozycyjny zmieniaj ˛

a si˛e,

co mo˙zna zauwa˙zy´c po dostatecznie długim okresie czasu. Gdy k ˛

at pozycyjny zwi˛eksza si˛e z up-

ływem czasu, ruch orbitalny nazywany jest prostym, w przeciwnym wypadku mówimu o ruchu
wstecznym.

Mikrometr nitkowy

Do pomiarów warto´sci współrz˛ednych

;

gwiazdy podwójnej obserwowanej wizualnie, wyko-

rzystuje si˛e mikrometr nitkowy. Przyrz ˛

ad ten zaprojektowano ju˙z w wieku XVIII, jednak ze

wzgl˛edu na trudno´sci technologiczne jego realizacja miała miejsce w wieku XIX, dokonał jej
W.J. Struve. Mikrometr nitkowy składa si˛e z ruchomej metalowej ramki przemieszczanej po-
mi˛edzy prowadnicami. Ramka i prowadnice znajduj ˛

a si˛e w jednej płaszczynie, któr ˛

a powinna

by´c płaszczyzna ogniskowa teleskopu. Przez ´srodek ramki naci ˛

agni˛eto w formie krzy˙za dwie

cienkie nici. Dodatkow ˛

a ni´c naci ˛

agni˛eto pomi˛edzy prowadnicami równolegle do jednej z nitek

ramki (rysunek 15.5). Tradycyjnie nitki wykonywano z nici paj˛eczych lub wydzielin g ˛

asienic jed-

wabnika. Ale współczesna technologia pozwala na produkcj˛e lepszych nici z nylonu lub kwarcu
o grubo´sciach około

, nie starzej ˛

acych si˛e, nie pochłaniaj ˛

acych wilgoci. Zasada pomiaru

mikrometrem nitkowym jest prosta. Ramka przesuwana jest wzdłu˙z prowadnic za pomoc ˛

a ´sruby

mikrometrycznej pozwalaj ˛

acej jednocze´snie na odczyt jej poło˙zenia z dokładno´sci ˛

a do

. Cały

przyrz ˛

ad obracany jest z niewielkim tarciem wokół osi optycznej teleskopu, przy czym, mo˙zliwy

jest pomiar orientacji k ˛

atowej mikrometru. Współczesne mikrometry cz˛esto s ˛

a wyposa˙zone w

elektronik˛e do automatycznego odczytu poło˙ze´n ramki. Widoczno´s´c nitek w okularze osi ˛

agana

jest poprzez pod´swietlenie pola widzenia lub o´swietlenie samych nitek. Pole o´swietla lampka o
regulowanej mocy umieszczona w pobli˙zu okularu. Regulowane o´swietlenie nitek uzyskiwane
jest za po´srednictwem słabego ´zródła ´swiatła umieszczonego w płaszczynie nitek na brzegach

214

Gwiazdy podwójne

mikrometru.

K ˛

atow ˛

a odległo´s´c pomi˛edzy składnikami wwyznacza si˛e za pomoc ˛

a równoległych nici nastaw-

ionych na ´srodki obrazów gwiazd, po uprzednim naprowadzeniu prostopadłej nici na obrazy obu
gwiazd. Pomiar powtarza si˛e zamieniaj ˛

ac równoległe nitki miejscami. Ró˙znica w odczytach

´sruby mikrometrycznej jest proporcjonalna do odległo´sci k ˛

atowej pomi˛edzy składnikami. Pomi-

aru dokonuje si˛e wielokrotnie obracaj ˛

ac miktometr wokół osi optycznej.

Obserwacje wizualne za pomoc ˛

a mikrometrów nie nale˙z ˛

a do łatwych pomiarów, osi ˛

agni˛ecie

wysokiej precyzji wymaga sporej wiedzy i do´swiadczenia obserwacyjnego. Podczas obserwacji
w szczególno´sci nale˙zy zwróci´c uwag˛e na:

ustawienie nitek w płaszczynie ogniskowej teleskopu. Celem tej operacji jest eliminacja
dwóch ´zródeł bł˛edów systematycznych:

1. wpływu paralaksy wynikaj ˛

acej z niepokrywania si˛e obrazu gwiazdy z krzy˙zem nitek,

2. bł˛edu w okre´sleniu ogniskowej teleskopu.

Bł˛edy te, zwłaszcza pierwszy z nich, dla stosunkowo odległych składników mog ˛

a dochodzi´c

do 10%. O istnieniu paralaksy mo˙zna przekona´c si˛e ogl ˛

adaj ˛

ac obraz gwiazdy w pobli˙zu

nici i lekko poruszaj ˛

ac głow ˛

a. Gdy ognisko obiektywu okre´slono niewła´sciwie, b˛edzie si˛e

wydawało, ˙ze gwiazda i ni´c zmieniaj ˛

a swoje wzgl˛edne poło˙zenia. W takiej sytuacji nale˙zy

ponownie zogniskowa´c okular na nitki i nastawi´c mikrometr na gwiazd˛e. W du˙zych refrak-
torach bł˛edy w okre´sleniu ogniska winny by´c utrzymane na poziomie dziesi˛etnych cz˛e´sci
milimetra.

kalibracj˛e mikrometrycznych gwintów. Bł˛edy gwintu maj ˛

a charakter systematyczny, za-

le˙zny od wykorzystywanej cz˛e´sci gwintu, temperatury. Uwzgl˛ednienie wszystkich wpły-
wów jest bardzo zło˙zone i polega na starannej obserwacji kroku gwintu i przeliczeniu go
na sekundy łuku. Jako pierwsze przybli˙zenie, bardzo dobr ˛

a ocen˛e kroku mo˙zna otrzy-

ma´c dziel ˛

ac długo´s´c kroku przez ogniskow ˛

a, obie wyra˙zone w tych samych jednostkach.

B˛edzie to przybli˙zona warto´s´c kroku w radianach. Mno˙z ˛

ac j ˛

a przez 206265 otrzymamy

krok w sekundach łuku. Dokładniejsze okre´slenie kroku otrzymuje si˛e drog ˛

a wielokrotnej

obserwacji par gwiazd o precyzyjnie znanych rozdzieleniach, lub lepiej, poprzez pomiary
czasu jaki potrzebuje gwiazda by przeby´c odległo´s´c mi˛edzy dwiema nitkami oddalonymi
o znan ˛

a liczb˛e obrotów gwintu. Mo˙zna te˙z wielokrotnie sfotografowa´c wzorcowe pola

gwiazdowe np. Plejady. Dobrej jako´sci fotografie pozwalaj ˛

a na wyznaczenie odległo´sci

ogniskowej teleskopu i skali zdj˛ecia. Obecnie coraz cz˛e´sciej w miejsce ´srub mikrome-
trycznych stosowane s ˛

a komparatory.

o´swietlenie nitek. Okulary nie s ˛

a przyrz ˛

adami w pełni achromatycznymi. Dla ró˙znych dłu-

go´sci fal ich ogniskowe, wprawdzie nieznacznie, ale si˛e ró˙zni ˛

a. Dlatego nitki mikrometru

nale˙zy o´swietla´c ´swiatłem białym, w przeciwnym razie wyst ˛

api ˛

a istotne ró˙znice w odległo´s-

ciach ognisk dla gwiazdy i nici. Jest to tzw. bł ˛

ad aberracji powi˛ekszenia. Znika on zupełnie

w przypadku stosowania pod´swietlenia pola widzenia a nie nici. Jednak odbywa si˛e to
kosztem pogorszenia zasi˛egu teleskopu.

Mikrometry nitkowe wykorzystywane były przez wi˛ekszo´s´c obserwatorów gwiazd podwójnych,
90% wykonanych obserwacji dokonano z ich pomoc ˛

a. Ich przewaga wynika z mo˙zliwo´sci pomia-

rów bezpo´sredniego obrazu gwiazdy. Jednak˙ze charakter takiego pomiaru nie jest obiektywny jest
obci ˛

a˙zony tzw. bł˛edami osobowymi. Dlatego, by uzyskiwa´c za pomoc ˛

a mikrometrów nitkowych

precyzyjne rezultaty trzeba lat praktyki.

15.4 Elementy orbity gwiazd podwójnych

215

Rysunek 15.6: Projekcja orbity rzeczywistej na sfer˛e niebiesk ˛

15.4

Elementy orbity gwiazd podwójnych

Przyjmujemy, ˙ze gwiazda B — satelita, porusza si˛e wzgl˛edem gwiazdy głównej A pod wpływem
siły centralnej generowanej przez punkt masowy o masie równej masie układu, rysunek 15.6.
Orbita widoma (obserwowana) układu podwójnego powstaje w rezultacie projekcji rzeczywis-
tej elipsy na płaszczyzn˛e prostopadł ˛

a do kierunku widzenia gwiazdy głównej. W takiej sytuacji

zachodzi potrzeba powi ˛

azania jednej orbity z drug ˛

a. Jak pami˛etamy obserwacja gwiazdy pod-

wójnej polega na pomiarach odległo´sci k ˛

atowej składników

oraz k ˛

ata pozycyjnego

składnika

B. K ˛

at pozycyjny tradycyjnie mierzony jest od kierunku północnego (linia AN na rysunku 15.6,

czyli od linii pokrywaj ˛

acej si˛e z południkiem deklinacyjnym, w kierunku anty-zegarowym dla

obserwatora na powierzchni Ziemi. Ze wzgl˛edu na ruch orbitalny

zmieniaj ˛

a si˛e, gdy

wzrasta z upływem czasu ruch orbitalny nazywany jest ruchem prostym. Takie obserwacyjne kon-
wencje powoduj ˛

a pewne trudno´sci. Płaszczyzna odniesienia orbity widomej, płaszczyzna x–y na

rysunku 15.6-b, definiowana jest jako płaszczyzna prostopadła w punkcie A (gwiazda główna)
do kierunku widzenia. W przypadku obserwacji układu powdójnego wizualnie, naturalnym jest
wybór kierunku AN jako osi

, natomiast kierunku AE (E-wschód) jako osi

. Jest to standar-

dow ˛

a konwencj ˛

a przy redukcji obserwacji gwiazd wizualnie podwójnych. Oznacza to, ˙ze o´s

układu prawoskr˛etnego b˛edzie skierowana od gwiazdy A do obserwatora. Tymczasem zwyczaje
obserwatorów gwiazd spektralnie podwójnych s ˛

a inne — kierunek przeciwny, od obserwatora do

gwiazdy jest traktowany jako dodatni, bowiem pr˛edko´s´c oddalania si˛e od Ziemi zawsze jest brana
jako wielko´s´c dodatnia. Dlatego aby nie kłóci´c si˛e z astrofizykami, w dalszej cz˛e´sci przyjmujemy
nast˛epuj ˛

ac ˛

a konwencj˛e układu x-y: o´s

skierowana jest wzdłu˙z kierunku AE, o´s

wzdłu˙z kie-

runku AN. Wówczas o´s

b˛edzie okre´slona tak jak to lubi ˛

a obserwatorzy pr˛edko´sci radialnych.

Na pociech˛e astrometrom mo˙zna przypomnie´c, ˙ze ta nowa konwencja orientacji osi jest dokład-
nie taka jak ˛

a sami stosuj ˛

a w trakcie redukcji zdj˛e´c pozycyjnych: o´s

to o´s

, o´s

to o´s

. W

tej konwencji obserwowane poło˙zenie (

) satelity B wzgl˛edem gwiazdy głównej

dane jest

formulami (rysunek 15.6-b):

sin

(15.4)

Na rysunku 15.6-a koło wielkie

jest prostopadłe do kierunku widzenia gwiazdy

. Koło

wielkie

jest koplanarne z płaszczyzn ˛

a rzeczywistej orbity. Przecina ono plaszczyzn˛e odnie-

sienia

wzdłu˙z linii w˛ezłów. W˛ezeł wst˛epuj ˛

acy okre´slony jest jako ten, w którym w miar˛e

216

Gwiazdy podwójne

ruchu orbitalnego składowa

-towa zmienia warto´sci z ujemnych na dodatnie, na rysunku 15.6 jest

nim w˛ezezł

. Łuk

, jest zatem k ˛

atem pozycyjnym w˛ezła wst˛epuj ˛

acego, oznaczamy go liter ˛

. K ˛

at sferyczny

jest nachyleniem orbity

, dla ruchu prostego

Punkt

jest pericentrum orbity wzgl˛ednej,

;

s ˛

a rzutami pericentrum i chwilowego poło˙ze-

nia satelity na koło wielkie

. Łuk

— oznaczany liter ˛

— jest długo´sci ˛

a pericen-

trum. Anomalia prawdziwa

opisuje poło˙zenie satelity w momencie

, na rysunku 15.6 mamy

)

Pozostałe elementy orbity to: póło´s wielka

, mimo´sród

, moment przej´scia pericentrum

okres obiegu

. Okres obiegu

b ˛

ad´z ruch ´sredni musi by´c traktowany jako niezale˙zny element

ze wzgl˛edu na równanie (15.2). Zatem, ł ˛

acznie mamy siedem elementów orbity wzgl˛ednej układu

podwójnego: (

;

W układzie podwójnym centrum mas systemu porusza si˛e jednostajnie wzgl˛edem barycen-

trum Układu Słonecznego, co poci ˛

aga jednostajno´s´c ruchu własnego centrum mas. Je´sli zatem

wykonaliby´smy pozycyjne pomiary ka˙zdej z gwiazd układu podwójnego wzgl˛edem tła gwiaz-
dowego, mo˙zliwym byłoby wyznaczenie orbity ka˙zdego ze składników wzgl˛edem ´srodka mas.
Niech

;

b˛ed ˛

a półosiami tych orbit, wtedy:

(15.5)

W ten sposób, korzystaj ˛

ac jeszcze z równania (15.2) lub 15.3) mogliby´smy wyznaczy´c masy

składników układu podwójnego.

Na rysunku 15.6 układ współrz˛ednych kartezja´nskich ma pocz ˛

atek w ´srodku sfery, jego osie

skierowane s ˛

a ku punktom

. Niech

b˛edzie promieniem wodz ˛

acym punktu

, w którym

w momencie

znajduje si˛e satelita układu, jego współrz˛edne wzgl˛edem gwiazdy głównej wyno-

sz ˛

(15.6)

Kosinusy kierunkowe z tego układu równa´n otrzymamy stosuj ˛

ac wzór kosinusów do trójk ˛

atów

sferycznych

oraz

. Z rysunku 15.6 mamy, ˙ze bok

, jest on

wspólny dla wszystkich trzech trójk ˛

atów. Pozostałe boki wynosz ˛

;

180

St ˛

ad równania (15.6) przechodz ˛

a w:

[ os(#

)

sin

sin(#

)

i℄

[ os(#

)

sin(#

)

sin

i℄

sin(#

)

sin

(15.7)

Wyra˙zenie na promie´n wodz ˛

acy

, jak poucza nas mechanika nieba, ma posta´c:

a(1

)

a(1

)

(15.8)

gdzie E jest anomali ˛

a mimo´srodow ˛

15.4 Elementy orbity gwiazd podwójnych

217

Rysunek 15.7: Widoma orbita ruchu wzgl˛ednego gwiazdy wizualnie podwójnej.

W rezultacie obserwacji gwiazd wizualnie podwójnych wyznaczone s ˛

a zmiany współrz˛ednych

punktów orbity wzgl˛ednej, natomiast o współrz˛ednej

nie mamy ˙zadnej informacji. W przy-

padku podwójnych spektralnie, pomiary dostarczaj ˛

a informacji o szybko´sci zmiany współrz˛ednej

poło˙zenia gwiazdy wzgl˛edem centrum masy układu. Zrozumiałym jest, ˙ze wobec tak ró˙znych

danych wyj´sciowych metody wyznaczenia elementów orbity podwójnych wizualnie i podwójnych
spektralnie s ˛

a inne.

Metoda Thiele–Innes’a

Obserwacje gwiazdy wizualnie podwójnej zwykle rozci ˛

agaj ˛

a si˛e w długim interwale czasu, 100 lat

to co´s zupełnie typowego. Ka˙zda obserwacja daje k ˛

atowe rozdzielenie pary gwiazd, k ˛

at pozycyjny

i naturalnie moment czasu, mamy wi˛ec ci ˛

ag trójek (

;

), albo mu równowa˙zny ci ˛

ag (

;

Wykre´slenie warto´sci współrz˛ednych (

) daje orbit˛e widom ˛

a, co przykładowo pokazano na ry-

sunku 15.7. Prawdziwa orbita satelity B wokół gwiazdy głównej A jest elips ˛

a, przy czym gwiazda

A znajduje si˛e w jednym z ognisk tej elipsy. Orbita widoma jest rzutem tej elipsy na płasz-
czyzn˛e x-y, i jest tak˙ze elips ˛

a. Jednak˙ze póło´s wielka orbity widomej nie jest półosi ˛

a wielk ˛

a orbity

rzeczywistej. Równie˙z, punkt A nie b˛edzie poło˙zony w ognisku orbity widomej, za to ´srodek
orbity widomej jest rzutem ´srodka orbity rzeczywistej.

Elementy orbity rzeczywistej mo˙zna otrzyma´c badaj ˛

ac geometri˛e jej rzutowania na płasz-

czyzn˛e x-y. Do geometrii opłaca si˛e wł ˛

aczy´c zasady dynamiczne i na tym wła´snie polega podej´scie

Thiele–Innes’a. Metoda ta jest najpowszechniej stosowan ˛

a w redukcji obserwacji gwiazd wizual-

nie podwójnych.

Zakładamy, ˙ze obserwowano układ przynajmniej przez okres równy jednemu obiegowi satelity.

Oznacza, to, ˙ze mo˙zemy wyznaczy´c okres obiegu orbitalnego

. W pierwszym kroku wykre´slamy

orbit˛e widom ˛

a, która wygl ˛

ada bardzo podobnie do tej z rysunku 15.7. W celu znalezienia poło˙ze-

nia jej punktu centralnego

mo˙zemy zastosowa´c stosowne metody geometryczne albo wyznaczy´c

współczynniki równania elipsy, które w najbardziej ogólnej formie ma posta´c:

2hxy

Współczynniki te znajdujemy metod ˛

a najmniejszych kwadratów.

Przedłu˙zony odcinek

przecina elips˛e w punktach

b˛ed ˛

acymi rzutami pericentrum i

apocentrum orbity rzeczywistej. Korzystamy teraz z własno´sci rzutowania orbity rzeczywistej na
płaszczyzn˛e x-y. Mianowicie, linie proste rzutuj ˛

a si˛e w linie proste, a co wa˙zniejsze, stosunki dłu-

go´sci odcinków na elipsie rzeczywistej jak i na rzutowanej s ˛

a zachowane. Skoro tak, to mimo´sród

218

Gwiazdy podwójne

orbity rzeczywistej wynosi:

(15.9)

Nie nastr˛ecza trudno´sci znalezienie momentu czasu

odpowiadaj ˛

acego poło˙zeniu rzutu składnika

B w punkcie P orbity widomej. A dysponuj ˛

ac okresem obiegu

oraz moment przej´scia przez

pericentrum

, mo˙zemy na dowolny moment czasu

obliczy´c anomali˛e ´sredni ˛

)

(15.10)

Anomali˛e mimo´srodow ˛

wyznaczymy z równania Keplera:

sin

(15.11)

co oznacza, ˙ze na dowolny moment

mamy te˙z anomali˛e prawdziw ˛

tan

1=2

tan

(15.12)

Mamy te˙z dokona´c oblicze´n w odwrotnym kierunku, mianowicie, ustalaj ˛

ac np.

mo˙zemy

odnale´z´c odpowiadaj ˛

acy jej moment czasu

, mianowicie z równania (15.12) obliczymy najpierw

tan

a bior ˛

ac pod uwag˛e znane to˙zsamo´sci trygonometryczne, mamy:

tan

(15.13)

a dalej z równania (15.11) obliczymy anomali˛e mimo´srodow ˛

a, a kkorzystaj ˛

ac z (15.10), ostate-

cznie mamy moment czasu

odpowiadaj ˛

acy

ar os

e(1

)

1=2

(15.14)

Dla tej warto´sci momentu czasu mo˙zemy okre´sli´c poło˙zenie punktu

na elipsie widomej. Na

rysunku 15.7 odcinek

R S

jest rzutem latus rectum elipsy rzeczywistej. Niech

;

);

;

)

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi punktów

odpowiednio. Warto´sci tych współrz˛ednych s ˛

a wielko´sciami

obserwowanymi (s ˛

a one okre´slone poprzez

), odpowiadaj ˛

a im warto´sci

oraz

za pomoc ˛

a równania (15.8) mamy, ˙ze promienie wodz ˛

ace tych punktów na orbicie rzeczywistej

wynosz ˛

a(1

)

Podstawiaj ˛

ac te warto´sci do dwóch pierwszych równa´n (15.7), dostaniemy:

a[ os

)

sin

sin(!

)

i℄

a[ os

)

sin(!

)

sin

i℄

sin(!

)

sin

)

i℄

sin

)

os(!

)

sin

i℄

(15.15)

Wielko´sci

;

nazywane s ˛

a stałymi Thiele–Innes’a. S ˛

a to wielko´sci znane, a zatem

mo˙zna z ich pomoc ˛

a wyznaczy´c elementy orbity rzeczywistej, wyst˛epuj ˛

ace po prawej stronie

równa´n (15.15), mianowicie:

sin

)(1

sin

)(1

(15.16)

15.4 Elementy orbity gwiazd podwójnych

219

sk ˛

ad:

tan(!

)

tan(!

)

(15.17)

Warto´sci

+ )

oraz

)

daj ˛

a si˛e wyznaczy´c jednoznacznie, bowiem znak wyra˙ze´n (

1 + os

(

) jest zawsze dodatni. Jednak˙ze warto´sci

wyznaczone s ˛

a niejednoznacznie, dodanie

180

do obu k ˛

atów w równaniach (15.16) nie wpłynie na prawe strony rych równa´n. Zwykle

niejednoznaczno´s´c usuwana jest w sposób sztuczny ograniczaj ˛

ac zbiór warto´sci k ˛

ata pozycyjnego

w˛ezła do przedziału

180

. Przy takiej konwencji

jest zdefiniowana jednoznacznie.

za pomoc ˛

a dwóch pierwszych równa´n (15.16) dostaniemy wyra˙zenie na nachylenie orbity

tan

)

sin(!

)

sin(!

)

(15.18)

Póło´s wielka

orbity rzeczywistej mo˙ze by´c obliczona z jednego z równa´n (15.16).

W taki sposób wyznaczone s ˛

a wszystkie elementy orbitalne gwiazdy podwójnej wizualnie.

Jedynie długo´s´c w˛ezła

nie jest w pełni okre´slona, bowiem niewiadomym jest, który z w˛ezłów

orbity jest w˛ezłem wst˛epuj ˛

acym. Szcz˛e´sliwie, ta niepewno´s´c nie wpływa na wyznaczenie masy

układu. Ponadto mo˙zna j ˛

a usun ˛

a´c dysponuj ˛

ac danymi spektralnymi.

Zwró´cmy uwag˛e na jeszcze jedn ˛

a spraw˛e. Istota metody Thiele–Innes’a polega na tym, ˙ze

w celu wyznaczenia elementów orbity wykorzystujemy momenty czasu

odpowiadaj ˛

ace poło˙ze-

niom punktów na orbicie wzgl˛ednej. Gdy mamy

;

mo˙zemy wyznaczy´c anomali˛e prawdziw ˛

dla dowolnego punktu. Zrobili´smy to dla punktów

. Rozpisuj ˛

ac wyra˙zenia na

)

oraz

sin(#

)

w równaniach (15.7), uwzgl˛edniaj ˛

ac jeszcze równania (15.15) otrzymamy:

sin

(15.19)

a podstawiaj ˛

ac za

równanie (15.8), b˛edziemy mieli:

sin

1+e

sin

1+e

(15.20)

czyli stałe Thiele–Innes’a spełniaj ˛

a te równania dla dowolnego punktu (

) orbity widomej, dla

którego za pomoc ˛

a równa´n (15.10) — (15.12) mo˙zemy policzy´c na moment

warto´s´c anomalii

prawdziwej

na orbicie rzeczywistej. A zatem, równania (15.20) s ˛

a równaniami warunkowymi i

mo˙zna je elegancko rozwi ˛

aza´c metod ˛

a najmniejszych kwadratów, po czym sposobem dopiero co

omówionym, mo˙zemy wyznaczy´c elementy orbity.

Metoda Lehmann’a–Filhes’a

W układach podwójnych spektroskopowo obserwowane zmiany szybko´sci radialnych ´swiadcz ˛

a o

ruchu składników wzgl˛edem ich ´srodka masy. Dlatego wyznaczone trajektorie s ˛

a orbitami wzgl˛e-

dem barycentrum mas obu składników. Poza t ˛

a ró˙znic ˛

a definicja elemmentów orbitalnych jest taka

sama jak dla gwiazd podwójnych wizualnie. Przedstawimy metod˛e wyznaczenia orbity jednego
ze składników układu podójnego spektralnie tak jak gdyby był to układ spektralnie pojedynczy.
Oczywistym jest, ˙ze to co zostanie powiedziane poni˙zej dotyczy obu składników.

Z obserwacji uzyskujemy szybko´s´c radialn ˛

jako funkcj˛e czasu

. Zakładamy, ˙ze ob-

serwowane szybko´sci radialne zostały stosownie skorygowane, a wi˛ec dotycz ˛

a obserwatora w

barycentrum Układu Słonecznego.

Gwiazdy podwójne spektralnie bardzo cz˛esto maj ˛

a krótki okres obiegu, a wi˛ec s ˛

a obser-

wowane przez okres obejmuj ˛

acy wiele obiegów orbitalnych. Oznacza to, ˙ze okres

znany jest

220

Gwiazdy podwójne

dla tych gwiazd z du˙z ˛

a dokładno´sci ˛

a. Załó˙zmy, ˙ze

jest ´sredni ˛

a warto´sci ˛

a szybko´sci radial-

nej z długiego interwału czasu. Warto´s´c ta jest równa ´sredniej z

po dokładnie jednym obiegu

orbitalnym.

jest wi˛ec szybko´sci ˛

a radialn ˛

a ´srodka masy układu podwójnego. Oscylacje obser-

wowanych warto´sci

wokół tej ´sredniej s ˛

a efektem zmian pr˛edko´sci radialnej barycentrycznego

ruchu orbitalnego gwiazdy. Poniewa˙z o´s

układu w jakim badamy ruch gwiazd podwójnych

pokrywa si˛e z radialnym kierunkiem do gwiazdy mo˙zemy napisa´c:

(15.21)

W naszych rozwa˙zaniach równanie (15.21) dotyczy układu współrz˛ednych o pocz ˛

atku w barycen-

trum układu podwójnego. Interesuje nas orbita jednego ze składników wzgl˛edem tego punktu, a
nie orbita wzgl˛edna, st ˛

ad chc ˛

ac skorzysta´c z trzeciego z równa´n (15.7) musimy poło˙zy´c promie´n

wodz ˛

acy

zamiast odległo´sci wzgl˛ednej

sin(#

)

sin

Bior ˛

ac pod uwag˛e zwi ˛

azki (15.5) oraz ich odpowiedniki dla promieni wodz ˛

acych, czyli

mo˙zemy w wyra˙zeniu na składow ˛

a z, wyrugowa´c promie´n wodz ˛

acy

sin(#

)

sin

(15.22)

gdzie, przypominamy,

odnosi si˛e do orbity wzgl˛edem ´srodka masy, natomiast

dotycz ˛

orbity wzgl˛ednej.

Po zró˙zniczkowaniu równania (15.22) otrzymamy:

sin

sin(#

)

(15.23)

Dokonamy teraz uproszczenia wyra˙zenia w nawiasach kwadratowych. W tym celu skorzystamy z
praw dotycz ˛

acych zagadnienia dwóch ciał, i zamiast pochodnych

=dt;

d#=dt

podstawimy:

sin

gdzie

a(1

)

a(1

)

Wykorzystali´smy tu znan ˛

a równo´s´c

. Podstawiaj ˛

ac te wyra˙zenia do równania (15.23),

b˛edziemy mieli:

sin

[ os

)

℄

(15.24)

A dalej wprowadzaj ˛

ac nowe oznaczenie:

[ os

)

℄

(15.25)

15.4 Elementy orbity gwiazd podwójnych

221

Rysunek 15.8: Krzywa szybko´sci radialnej składnika gwiazdy spektralnie podwójnej.

gdzie stała

definiowana jest formuł ˛

sin

(15.26)

Wcze´sniej zało˙zyli´smy, ˙ze obserwowane szybko´sci radialne gwiazdy zostały zredukowane do

barycentrum Układu Słonecznego. Niech dalej b˛edzie, ˙ze odj˛eto od nich warto´s´c ´sredni ˛

czym naniesiono na wykres, analogiczny do tego z rysunku 15.8. Kształt krzywej z rysunku
?? opisany jest równaniem (15.25). Gdyby na osi odci˛etych odło˙zono zamiast czasu

anomali˛e

prawdziw ˛

krzywa miałaby kształt sinusoidalny. Poniewa˙z

nie wzrasta jednostajnie z czasem,

zamiast sinusoidy obserwujemy jej zniekształcenie. Poło˙zenie osi czasu odpowiada warunkowi

, a zatem powierzchnia pod fragmentem krzywej BCD jest równa powierzchni nad cz˛e´s-

ci ˛

a krzywej DEB’.

Oznaczmy przez

maksymaln ˛

a i minimaln ˛

a warto´s´c pochodnej

=dt

Punktowi

, czyli maksimum krzywej na wykresie z rysunku 15.8, odpowiada w równaniu (15.25)

warunek

)

, co poci ˛

aga równo´s´c

. Podobnie w punkcie

mamy

180

. Kład ˛

ac do równania (15.25) wartosci

dla tych punktów, b˛edziemy mieli:

)

(15.27)

Po rozwi ˛

azaniu tego układu otrzymamy:

(

)

(15.28)

(

)

(15.29)

W ten sposób mamy wyznaczon ˛

a stał ˛

oraz iloczyn

. Gdyby´smy mieli do dyspozy-

cji iloczyn

sin

wówczas wyznaczenie mimo´srodu

i długo´sci pericentrum

nie stanowiłoby

problemu. W celu wyznaczenia

wykorzystajmy ponownie wykres zmian szybko´sci radi-

alnej z rysunku 15.8. W metodzie Lehmann’a-Filhés’a punktem wyj´scia jest stosunek powierzchi
dwóch obszarów

, zakre´slonych na rysunku 15.8. Przyjrzyjmy si˛e obszarowi

jasne jest, ˙ze wynosi on:

Skoro w punkcie

ma miejsce warunek

, z równania (15.22) wynika, ˙ze

Analogiczne rozumowanie dla obszaru

pozwala napisa´c:

(15.30)

222

Gwiazdy podwójne

W punktach

pochodna

=dt

,a wobbec tego, warto´sci współrz˛ednych punktów

;

odpowiadaj ˛

a maksymalnej i minimalnej warto´sci współrz˛ednej

dla całej orbity.

Zgodnie z równaniem (15.22) oraz (15.8), dla dowolnego punktu orbity współrz˛edna

dana

jest formuł ˛

)

sin

)

Przypomnijmy sobie, ˙ze poszukujemy wyra˙zenia na

sin

. W tym celu w mianowniku warto

zamieni´c

przez

)

, po czym po drobnych manipulacjach dostaniemy:

)

sin

sin(#

)

os(#

)

sin

sin(#

)

(15.31)

W interesuj ˛

acych nas punktach

, pochodna

=dt

, st ˛

ad z równania (15.25) mamy:

)

sin(#

)

(15.32)

Rzucaj ˛

ac okiem

na formuł˛e (15.22) widzimy, ˙ze dodatni znak odpowiada maksimum współrz˛e-

dnej

, natomiast znak ujemny dotyczy minimum. Ł ˛

acz ˛

ac razem równania (15.30), (15.31) i

(15.32), stosunek obszarów

wyrazi si˛e wzorem:

sin

)

1=2

sin

)

1=2

(15.33)

Po wykonaniu krzy˙zowych iloczynów oraz stosownych przekształce´n, otrzymamy poszukiwan ˛

przez nas formuł˛e, mianowicie:

sin

(15.34)

Potrzebne warto´sci

;

mo˙zna pomierzy´c z krzywej szybko´sci radialnej, warto´s´c iloczynu

dana jest równaniem (15.29), a wi˛ec:

sin

(15.35)

Dysponuj ˛

ac zarówno

jak i

sin

mo˙zemy jednoznacznie obliczy´c mimo´sród orbity oraz

długo´s´c pericentrum

. Korzystaj ˛

ac ze znnanego ju˙z mimo´srodu łatwo znajdziemy moment prze-

j´scia

przez pericentrum orbity bowiem w tym momencie

, st ˛

ad z równania (15.25) wynika:

Warto´s´c ta definiuje dwa punkty

;

na krzywej szybko´sci radialnej (rysunek 15.8). Z definicji

anomalia prawdziwa wzrasta monotonicznie z czasem. A poniewa˙z znamy jej warto´sci w punkcie

, st ˛

ad łatwo roztrzygn ˛

a´c, który z punktów

;

odpowiada warunkowi

czyli pericen-

trum orbity. Warto´s´c odci˛etej dla tego punktu daje poszukiwany moment czasu

Obserwatorzy gwiazd podwójnych cz˛esto nazywaj ˛

elementem orbity układu spektral-

nego. I rzeczywi´scie, z równania (15.26) mamy:

sin

Czytelników zbyt literalnie nastawionych do ˙zycia pozwol˛e sobie odesła´c do stosownej uwagi w materiałach dotycz ˛

cych ruchu własnego gwiazd.

15.5 Wyznaczenie mas składników gwiazd wizualnie podwójnych

223

gdzie ruch ´sredni dany jest formuł ˛

Nieco ostro˙zno´sci wymaga sprawa jednostek bowiem

dana jest najcz˛e´sciej w km/sek, nato-

miast okres

wyra˙zany jest w dobach. Zachowuj ˛

ac takie konwencje mo˙zemy napisa´c:

sin

86400T

a po uwzgl˛ednieniu równania (15.28):

sin

21600T

(

)

(15.36)

przy czym iloczyn

sin

b˛edzie w kilometrach.

Podsumowuj ˛

ac, obserwacje gwiazdy spektralnie podwójnej, ich analiza w fformie krzywej

szybko´sci radialnej umo˙zliwia wyznaczenie nast˛epuj ˛

acycch elementów orbity:

sin

;

Elementy orbity

oraz

z czystych obserwacji spektralnych nie mog ˛

a by´c rozdzielone. Podob-

nie, co chyba nie jest zaskoczeniem, nie da si˛e z nich wyznaczy´c długo´sci w˛ezła

. Korzystali´smy

przecie˙z jedynie z formuły na współrz˛edn ˛

(zobacz równanie (15.22)), w którym wielko´s´c ta w

ogóle nie wyst˛epuje.

15.5

Wyznaczenie mas składników gwiazd wizualnie podwójnych

Omówione w poprzednim podrozdziale metody wyznaczenia orbit układów podwójnych nie s ˛

jedynymi mo˙zliwymi. Niezale˙znie od konkretnego podej´scia ich ko ´ncowy produkt nie b˛edzie w
pełni jednoznacznie okre´slony (np. nie wiadomo, który w˛ezeł jest w˛ezłemm wst˛epuj ˛

acym). Na

szcz˛e´scie jest to bez znaczenia je´sli chodzi o wyznaczenie mas układów wizualnie podwójnych.

Uzyskana metod ˛

a Thiele-Innes’a póło´s wielka orbity wzgl˛ednej wyra˙zona jest w jednostkach

w jakich zmierzono k ˛

atow ˛

a odległo´s´c składników, najcz˛e´sciej w sekundach łuku. Okres obiegu

dost˛epny jest w latach, a zatem zgodnie z równaniem (15.2) masa układu wynosi:

(15.37)

Wykorzystanie tej formuły wymaga znajomo´sci paralaksy

układu. Dla gwiazd podwójnych z

najbli˙zszego s ˛

asiedztwa Sło ´nca paralaksy zwykle s ˛

a dost˛epne, gorzej ma si˛e sprawa w pozostałych

przypadkach. Ale nie wszystko jest wówczas stracone. Otó˙z mo˙zemy oszacowa´c masy skład-
ników w oparciu o ich klasyfikacj˛e widmow ˛

a maj ˛

ac do dyspozycji masy, powy˙zsze równanie

mo˙zemy przepisa´c jako:

2=3

)

1=3

(15.38)

Wyznaczona w ten sposób paralaksa nazywana jest paralaks ˛

a dynamiczn ˛

a. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze

ze wzgl˛edu na pierwiastek trzeciego stopnia z sumy mas, paralaksa dynamiczna jest stosunkowo
niewra˙zliwa na jako´s´c oszacowania masy układu podwójnego. Oznacza to, ˙ze uzyskane t ˛

a drog ˛

odległo´sci gwiazd powinny by´c wiarygodne, co z kolei mo˙zna wykorzysta´c do kalibracji ´swiatłosiły
gwiazd o podobnym do wyst˛epuj ˛

acego w układzie podwójnym typie widmowym.

Z równania (15.37) nic poza sum ˛

a mas nie da si˛e uzyska´c. W celu otrzymania mas składników

musimy zidentyfikowa´c poło˙zenie ´srodka masy układu, co wymaga znajomo´sci ruchu absolut-
nego, lub przynajmniej ruchu wzgl˛edem gwiazd, których ruchy własne mo˙zemy pomin ˛

a´c jako

znikome.

Metoda ta została wykalibrowana za pomoc ˛

a gwiazd podwójnych o znanych paralaksach.

224

Gwiazdy podwójne

Rysunek 15.9: Poło˙zenie ´srodka mas

gwiazd podwójnych w układzie współrz˛ednych idealnych

;

, Poło˙zenie satelity B okre´slone jest za pomoc ˛

a pary

;

, gdzie

Na rysunku 15.9 punkty

;

oznaczaj ˛

a gwiazd˛e główn ˛

a, satelit˛e oraz ´srodek masy układu,

;

s ˛

a współrz˛ednymi satelity wzgl˛edem gwiazdy głownej. Zgodnie z definicj ˛

a ´srodka masy,

odległo´s´c

wynosi:

(15.39)

Oznaczmy przez

;

współrz˛edne tangencjalne gwiazdy głównej wyznaczone z serii płyt fo-

tograficznych pochodz ˛

acych z ró˙znych epok. Wówczas je˙zeli

;

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi ´srodka

masy

, to z równania (15.4) bior ˛

ac pod uwag˛e geometri˛e zagadnienia z rysunku 15.9, dla punktu

mo˙zemy napisa´c:

sin

(15.40)

Współrz˛edne

;

s ˛

a niewiadome, ale o punkcie

wiemy ˙ze porusza si˛e ruchem jednostajnym

prostoliniowym, a skoro tak, to standardowe współrz˛edne punktu

b˛edziemy mogli wyznaczy´c

wprowadzaj ˛

ac stosowne wyra˙zenia opisuj ˛

ace zmiany składowych poło˙zenia punktu

sin

(15.41)

Je˙zeli gwiazd˛e główn ˛

a obserwowano przez dostatecznie długi okres czasu, wówczas metod ˛

a najm-

niejszych kwadratów, mo˙zemy dopasowa´c rezultaty obserwacji do poło˙ze´n przewidzianych za po-
moc ˛

a równa´n (15.41. Oznacza to, ˙ze wyznaczone zostan ˛

a (

;

), (

;

), oraz

=(M

)

Skoro suma mas jest ju˙z znana to z równania (15.2) mo˙zemy wyzmnaczy´c masy poszczególnych
składników.

Zauwa˙zmy, ˙ze równanie (15.41) mo˙zna zastosowa´c do jakiejkolwiek gwiazdy, o której pod-

wójno´sci wydaj ˛

a si˛e ´swiadczy´c okresowe zmiany w obserwowanym ruchu własnym (tzw. pod-

wójne astrometrycznie). Analiza ruchów własnych pojedynczych gwiazd układu, pozwala na
obliczenie warto´sci

=(M

)

oraz

na ró˙zne momenty czasu. Do tych danych mo˙zemy

zastosowa´c metod˛e Thiele-Innes’a i wyznaczy´c wielko´s´c

a=(M

)

, która jest przecie˙z

równa półosi

. A dalej z równa´n (15.2) i (15.5) mamy nast˛epuj ˛

ace zwi ˛

azki:

)

(15.42)

15.6 Wyznaczenie mas składników gwiazd spektralnie podwójnych

225

Maj ˛

ac do dyspozycji paralaks˛e

, w równaniach tych wyst˛epuj ˛

a trzy niewiadome: masy i póło´s

, a wi˛ec nie mo˙zemy wyznaczy´c mas dokładnie, i co nam pozostaje to jedynie wyznaczy´c tzw.

funkcj˛e masow ˛

)

. Eliminacja

z równa´n (15.42) daje:

)

(15.43)

Znamy szereg przypadków gwiazd powdójnych astrometrycznie, w´sród nich słynna gwiazda Barnard’a,
której towarzysz ma tak mała mas˛e, ˙ze bardziej prawdopodobnym wydaje si˛e ˙ze jest on planet ˛

ani˙zeli gwiazd ˛

a. W takich układach je˙zeli skorzystamy z nierówno´sci

to równanie

(15.43) przejdzie w:

1=3

(15.44)

Czyli, dysponuj ˛

ac oszacowaniem masy

składnika głównego np. w oparciu o jego widmo,

mamy mo˙zliwo´s´c oszacowania masy niewidocznego składnika korzystaj ˛

ac z tego równania lub

bardziej precyzyjnie z równania (15.43).

Układy podwójne astrometrycznie stanowi ˛

a dogodne obiekty do wykrycia układów plane-

tarnych. Ale poniewa˙z okresowe zmiany w ruchu własnym składnika głównego s ˛

a tak drobne —

efekt perturbacji masami planetarnymi — nie wszyscy astronomowie s ˛

a przekonani czy uda si˛e

z ich pomoc ˛

a cokolwiek odkry´c. Nadzieje wzrosły z chwil ˛

a ulokowania na orbicie okołoziem-

skiej teleskopu Hubble’a. Ale obserwacje z takiego teleskopu bed ˛

a wymagały bardziej zło˙zonego

równania obserwacyjnego ni˙zeli równanie (15.41). Trzeba b˛edzie do ´n wł ˛

aczy´c wyrazy drugiego

a nawet rzeciego rz˛edu ruchu własnego. Równie˙z stałe składowe ruchu własnego b˛edzie trzeba
zast ˛

api´c odpowiednimi wyra˙zeniami uwzgl˛edniaj ˛

acymi ich zmienno´s´c.

15.6

Wyznaczenie mas składników gwiazd spektralnie podwójnych

W układach podwójnych spektralnie, je˙zeli obserwowane s ˛

a widma obu składników, mo˙zemy

oddzielnie analizowa´c dwie krzywe szybko´sci radialnej. A wtedy, poza półosi ˛

a wielk ˛

a i długo´sci ˛

pericentrum, elementy orbit obu gwiazd s ˛

a identyczne, mamy bowiem:

180

(15.45)

Dla obu krzywych szybko´sci radialnych mamy równania (patrz (15.25), (15.26)):

[ os

)

℄

[ os

)

℄

(15.46)

Metod ˛

a Lehmann’a-Filhés’a potrafimy z tych krzywych wyznaczy´c

sin

. Nie ma wi˛ec

trudno´sci w otrzymaniu stosunku mas składników układu bowiem:

sin

(15.47)

Jednak całkowitej masy układu nie da si˛e wyznaczy´c z samych danych widmowych. Wszystko co
da si˛e zrobi´c najlepszego to, korzystaj ˛

ac z równania (15.3) napisa´c wyra˙zenie postaci:

)

sin

3:985

sin

(15.48)

gdzie

;

wyra˙zone s ˛

a w

w dobach.

226

Gwiazdy podwójne

Obecno´s´c

sin

w tym równaniu sprawia, ˙ze nie mo˙zemy wyznaczy´c masy poszczególnych

składników spektralnie podwójnej. Pomimo to, znajomo´s´c

)

sin

okazuje si˛e by´c przy-

datn ˛

a w zastosowaniach statystycznych. Przypu´s´cmy, ˙ze du˙za liczba N podwójnych spektralnie, o

zbli˙zonych widmach ma wyznaczone warto´sci

)

sin

. Załó˙zmy, ˙ze ich masy s ˛

a iden-

tyczne natomiast nachylenia orbit maj ˛

a charakter losowy. Warto´s´c ´srednia

sin

wynosi wówczas

2=3

i st ˛

ad masa układu podwójnego mo˙ze by´c wyliczona z:

)

sin

(15.49)

W przypadku układu jedno-liniowo spektralnie podwójnego nie mamy mo˙zliwo´sci wyznaczenia
stosunku mas składników układu. To co mo˙zna tu zrobi´c, podobnie jak dla podwójnych astrome-
trycznie, to wyznaczy´c funkcj˛e masow ˛

a ale tym razem dodatkowo b˛edzie w niej tkwiło nachylenie

orbity, mianowicie:

)

sin

)

(15.50)

W oparciu o podobne argumenty jak dla wizualnie podwójnych mo˙zna pokaza´c, ˙ze da si˛e t˛e
funkcj˛e oszacowa´c za pomoc ˛

a wyra˙zenia:

)

3:985

sin

(15.51)

gdzie jednostk ˛

a masy jest masa Sło ´nca.

15.7

Zadanka na ´cwiczenia

1. Poka˙z, ˙ze dla orbity widomej układu wizualnie podwójnego, b˛ed ˛

acej obrazem zrzutowanej

orbity rzeczywistej, obowi ˛

azuje drugie prawo Keplera.

2. Dowolna ci˛eciwa przechodz ˛

aca przez ´srodek elipsy nazywana jest jej ´srednic ˛

a. Miejscem

geometrycznym ´srodków ci˛eciw równoległych do danej ´srednicy jest odcinek zwany ´sred-
nic ˛

a sprz˛e˙zon ˛

a. Udowodnij, ˙ze własno´s´c sprz˛e˙zenia ´srednic (w podanym wy˙zej sensie) jest

zachowana przez opreacj˛e rzutowania orbity układu podwójnego wizualnie. Po czym poka˙z,

˙ze rzut półosi małej mo˙ze by´c zidentyfikowany na orbicie widomej w oparciu o czyst ˛

a ge-

ometri˛e, bez si˛egania do dynamicznych aspektów układu.

3. Orbita widoma układu powdójnego wizualnie ma okres

125

lat i jest okr˛egiem o ´sred-

nicy

. Układ ma paralaks˛e

:25

, ´srodek orbity widomej jest odległy o

od składnika

głównego. Znajd´z mas˛e układu.
Wyja´snij dlaczego podane informacje s ˛

a niewystarczaj ˛

ace by zastosowa´c metod˛e Thiele-

Innes’a.

4. Udowodnij, ˙ze w dowolnym punkcie orbity, k ˛

at pozycyjny

układu podwójnego zwi ˛

azant

z anomali ˛

a prawdziw ˛

a zale˙zno´sci ˛

tan(

)

tan

)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
15 Gwiazdy skryjcie światło mk2 STT
Scenariusze, Gwiazdy i gwiazdeczki. Świadomość stałej liczby elementów w zbiorze., Scenariusz zajęć
15 Srebrna Gwiazda
Rozdział 15 Podwójna zdrada YCD
WIERSZ NA 15 WRZEŚNIA 2009 ZBIGNIEW JERZYNA TANIEC Z GWIAZDAMI
wyklad 14 15 2010
wyklad badania mediow 15 i 16
15 ROE
15 Sieć Następnej Generacjiid 16074 ppt
wyklad 15 chemiczne zanieczyszczenia wod 2
Wykład 1 15
15 Uklady PLL i t s
Ćwiczenia i seminarium 1 IV rok 2014 15 druk

więcej podobnych podstron