O czym mówią stałe
fundamentalne
Tadeusz Paszkiewicz
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
O czym mówią stałe
fundamentalne
Tadeusz Paszkiewicz
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Rozmowa
Wilhelma z Baskerville
z nowicjuszem
w zakonie Benedyktynów
Adso z Melku
(Imię róży, Umberto Eco)
To być może. Ale jak widzisz, pracuję nad spra-
wami natury. I również w śledztwie, które pro-
wadzimy, nie chcę wiedzieć, kto jest dobry, a kto
zły, ale tylko to, kto był wczoraj wieczorem w
skryptorium, kto zabrał okulary, kto pozostawił
odcisk ciała ciągnącego inne ciało i gdzie jest
Berengar. To są fakty, które spróbuję powiązać ze
sobą, jeśli okaże się to możliwe, bo trudno jest
powiedzieć, jaki skutek wyniknie z takiej czy
innej przyczyny; wystarczyłoby, że wmiesza się
anioł, by zmienić wszystko, nie ma się przeto
czemu dziwić, jeżeli nie sposób pokazać, że jedna
rzecz jest przyczyną innej. Aczkolwiek należy
próbować, jak właśnie czynię.
Twoje życie nie jest łatwe – rzekłem.
Ale znalazłem Brunellusa! Wykrzyknął
Wilhelm, czyniąc aluzję do wypadku z
koniem sprzed dwóch dni.
Więc istnieje porządek w świecie –
oznajmiłem tryumfalnie.
Więc jest odrobina porządku w mojej
biednej głowie – odparł Wilhelm.
Tablica stałych fundamentalnych
Stała
Wielkość
Plancka h
6,62
×
10
-27
erg
×
s =6,62
×
10
-34
J
×
s
Masa elektronu m
e
9,11
×
10
-28
g = 9,11
×
10
-31
kg
Ładunek elektronu e
5
×
10
-10
CGSE = 1,6
×
10
-19
C
Prędkość światła c
2,997925
×
10
10
cm/s
≅
3
×
10
8
m
×
s
-1
Grawitacyjna stała
Newtona
Stała Boltzmanna k
B
8
3
1
2
6,67 10 cm g s
−
−
−
≈
×
G
−
16
23
1.4 10
erg/K
1.4 10
J/K
B
k
−
−
≈
×
≅
×
Obserwacja
W XIX w. wszystkie wielkości fizyczne
wyrażano w jednostkach odpowiadających
codziennemu doświadczeniu ludzi z epoki
dyliżansów. Dlatego wartości stałych
fundamentalnych są albo bardzo duże (prędkość
światła) albo bardzo małe (wszystkie pozostałe
wielkości).
Arbitralność wyboru jednostek długości (np.
powiązanie miary długości z długością równika
Ziemi), czasu i masy powoduje obecność
dziwnych mnożników potęg dziesiątki.
Wybrane jednostki miar dawnych
stopa chełmińska =12
albo 10 cali
stopa rosyjska=12
cali
foot (ang)=12 inches
0,288 m
0,3048 m
0,3048 m
mila chełmińska=180
sznurów=13 500 łokci
mila=7 wiorst
mile=8 furlongs=320
poles
7776,0 m
7467,6 m
1609,3 m
kamień (1796-1818) =32
funty=64 grzywny
pud=40 funtów
quarter=28 punds
12,967 kg
16,38 kg
12,70 kg
Konew (okres przedroz-
biorowy)=5 garncy
wiedro
Wine gallon
18,8 l
12,299 l
3,77853
Za: Vademecum ucznia i studenta, Wydawnictwo Naukowe PWN i Gazeta Wyborcza
Rozmowa
Wilhelma z Baskerville
z klucznikiem klasztoru
Remigiuszem z Varagine
(Imię róży, Umberto Eco)
Wielkość bezwymiarowa
Stała struktury subtelnej
( )
2
/
1 / 137.
e
c
α
≡
≈
ℏ
Jest to dla elektrodynamiki kwantowej
bardzo ważna wielkość.
Wymiar fizyczny energii i pracy
Wykonując pracę nad układem
zwiększamy jego energię.
Praca FL (F – siła, L – przesunięcie)
ma taki sam wymiar fizyczny jak
energia E.
[E]=[FL].
Sposób konstrukcji wielkości
o wymiarze ciśnienia
Energia/objętość
3
2
E
F L
F
V
L
L
×
=
=
Ciśnienie jest równe sile działającej
na element powierzchni o jednostko-
wym polu. Wymiar pola L
2
.
Sposób konstrukcji
o wymiarze siły
Energia/długość
[ ]
E
F L
F
L
L
×
=
=
Iloraz energii i długości ma wymiar
siły.
Gęstość masy
Średnia masa zawarta w obszarze
o jednostkowej objętości jest gęstością
masy
ρ
.
Średnia liczba cząstek znajdujących
się w obszarze o jednostkowej jest
gęstością cząstek
ρ
c
. jest średnią
liczbą cząstek w obszarze o
jednostkowej objetości.
c
ρ
Sposób konstrukcji wielkości
o wymiarze pędu
Wykorzystamy relację de Broglie’a
p
/ L .
=
ℏ
h/ 2 .
=
π
ℏ
L jest wielkością o wymiarze długości,
np. długością fali, – stała Diraca.
h
Druga relacja de Broglie’a
E
h
h / T.
= ω = ν =
ℏ
E jest energią cząstki, T – wielkością
o wymiarze czasu,
ω
– wielkością typu
częstości kołowej,
ν
– typu częstości
liniowej.
ν
=T
-1
.
Natężenie prądu I
Jeżeli w interwale czasu t przepłynął
ładunek q to:
I=q/t.
Wielkości o wymiarze długości
11
/
3.86 10
cm,
c
e
m c
−
≡
≈
×
Ż
ℏ
( )
2
2
13
/
2.5 10
cm.
e
r
e
m c
e
−
≡
≈ ×
Długość Bohra (rząd wielkości – rozmiar
niewzbudzonego atomu H):
( )
2
2
8
/
10 cm
1Å
0.1 nm,
B
e
a
m e
−
≡
≈
=
=
ℏ
długość fali Comptona:
klasyczny promień elektronu (rozmiar nukleonu):
Związki pomiędzy
charakterystycznymi długościami
,
e
c
r
α
=
Ż
,
c
B
a
α
=
Ż
2
.
e
c
B
r
a
α
α
=
=
Ż
3
33
Pl
G / c
1.616 10
cm.
−
λ ≡
≈
×
ℏ
Długość Plancka
Długość Plancka charakteryzuje
rozmiar superstruny.
Istnieją wskazówki, że przestrzeń jest
kwantowana i
λ
Pl
jest „kwantem”
długości.
Wielkości o wymiarze pędu
pęd Fermiego
18
/ 2
2 10
g cm / s,
F
B
p
a
−
≡
≈ ×
ℏ
prędkość Fermiego
8
/
2.4 10 cm/s .
F
F
e
v
p
m
≡
≈
×
,
u
e
p
m c
≡
Pęd relatywistycznego elektronu
Wielkości o wymiarze energii
(elektromagnetyzm)
energia Fermiego
2
12
1
/ 2
10
erg
1.36 10 eV,
F
F
e
p
m
ε
−
≡
≈
≈
×
temperatura Fermiego
4
/
10 K .
F
F
B
T
k
ε
≡
≈
Energia spoczynkowa elektronu
2
6
2
2
5
10
g × cm /s
5 10 eV,
e
e
m c
ε
−
≡
≈
≈ ×
Związki pomiędzy
charakterystycznymi pędami i
energiami (elektromagnetyzm)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
.
2
e
e
F
B
e
e
m e
m e c
p
a
c
e
m c
m c
c
α
=
=
=
=
=
∝
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
Związki pomiędzy
charakterystycznymi
energiami (elektromagnetyzm)
(
)
(
)
2
2
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
4
8
.
F
F
e
e
B
e
e
e
e
e
p
m
m
a
e
m e
m c
m
c
m c
m c
ε
α
=
=
=
=
=
∝
∝
<<
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
Związek prędkości Fermiego
z prędkością światła
(elektromagnetyzm )
2
2
2
/
2
1
.
2
2
F
F
e
e
B
e
e
v
p
m
m a
m e
e
c
c
m
v
α
=
=
=
=
=
∝
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
Wielkości o wymiarze
pędu, energii, i prędkości
(kwantowa grawitacja)
energia Plancka
2
28
9
1.22 10
eV
10 J ,
Pl
Pl
E
m c
≡
≈
×
≈
Masa Plancka
5
19
/
2.18 10
g
2 10
mas protonu ,
Pl
m
c G
−
≡
≈
×
≈ ×
ℏ
pęd Plancka
5
/
~ 6.25 10 g cm / s .
Pl
Pl
p
λ
≡
×
⋅
ℏ
Inne wielkości
związane ze stałą G
Wielkość
Związek ze stałymi
fundamentalnymi
Przybliżona
wielkość
liczbowa
Czas Plancka
Natężenie Plancka prądu
Siła Plancka
Moc Plancka
Gęstość Plancka
Częstość Plancka
Ciśnienie Plancka
5
P
Pl
/ c
/ c
l
t
l
G
≡
=
ℏ
5
Pl
Pl
I
e/t
e/
G/c
≡
=
ℏ
44
1, 2 10
N
×
52
3, 6 10 W
×
( )
3
5
2
Pl
Pl
Pl
m /
c /
G
l
ρ ≡
=
ℏ
96
3
5,1 10
kg / m
×
1
5
Pl
Pl
t
c / G
−
ν ≡
=
ℏ
43
1,85 10
Hz
×
( )
3
2
7
2
Pl
PL
Pl
Pl
Pl
p
/
F /
c /
G
l
l
≡ ε
=
=
ℏ
113
4,6 10 Pa
×
44
5,4
10 s
−
×
P
Pl
=
ε
Pl
/t
Pl
=c
5
/G
3
×
10
24
A
4
Pl
Pl
Pl
F
/
c / G
≡ ε
=
l
Inne charakterystyczne wielkości
uzyskane
ze stałych fundamentalnych
13
10
J / gauss ,
2
B
e
e
m c
µ
−
≡
≈
ℏ
jednostka oporu elektrycznego (kwantowy
efekt Halla):
Magneton Bohra
2
/
25812.8 omów ,
q
e
Ω ≡
≈
ℏ
jednostka ciśnienia:
(
)
2
0
12
12
0
3
3
2
0
0
/ 2
1
N
/
4.35 10
4.35 10
.
m
e
a
Ry
B
Pa
a
a
≡
=
≈
⋅
=
⋅
Ciśnienie Plancka
( )
3
7
2
114
-5
2
113
/
/
~
~ 2 10
10 N / cm
2 10
Pa .
Pl
Pl
Pl
B
E
c
G
λ
≡
=
×
= ×
ℏ
Pl
B
Wprowadzimy ciśnienie Plancka
Jest to niewyobrażalnie wysokie
ciśnienie charakterystyczne dla
wczesnych etapów ewolucji
Wszechświata.
Obserwacje
•
Masa Plancka jest wielkością charakterysty-
czną dla średniej kolonii bakterii – olbrzymią
w skali mikroskopowej.
•Energia Plancka jest wielkością typową dla
początkowych etapów ewolucji Wszechświata
.
•
Klasyczny promień elektronu jest wielkością
rzędu rozmiaru nukleonu (świat cząstek
elementarnych).
• Z otaczającą nas materią związane są: długość
Bohra, energia i pęd Fermiego, jednostki oporu
i ciśnienia .
Działanie
Niech cząstka o pędzie p przebywa drogę x to z
jej ruchem związane jest działanie S:
q
/ 2S .
=
ℏ
Parametr kwantowości:
.
S
p x
∝
[ ]
h
[ ]
px
Wymiar fizyczny stałej Plancka = = [S].
Inna definicja działania
Jeżeli proces związany z energią E trwa
przez interwał czasu t, to związane jest
z nim działanie:
S
∝
Et .
Klasyfikacja układów fizycznych
1
<<
⇒
>>
q
S
η
1
≥
⇒
≤
q
S
η
v/c
1
∝
v /
1
c
<<
• Układy klasyczne
•
Układy kwantowe
• Układy relatywistyczne
•
Układy nierelatywistyczne
v/c
1
1
mechanika
relatwisty-
czna
mechanika
nierelatywi-
styczna
relatyw.
mech.
kwant.
nierelatyw.
mechanika
kwant.
q
„Mapa” Świata
Sześcian Bronsteina
G
–
gr
aw
ita
cyj
na
s
ta
ła
N
ew
tona
Sześcian Bronsteina
Kryształy
Najprostsze kryształy zbudowane są z atomów.
Można przyjąć, że te atomy stykają się.
Odległość 2a
0
pomiędzy sąsiednimi cząstkami jest
w przybliżeniu równa odległości pomiędzy ich
środkami, czyli równa jest średnicy atomu 2a
B
.
a
0
2a
0
≈
2a
B
Przyjmijmy, że kryształ zbudowany jest z atomów
wodoru.
Oszacowanie średnicy atomu wodoru
p=m
e
v
F
odśr
F
el
×
a
0
Atom wodoru uważamy za
kulę o promieniu a
0
.
Elektron porusza się po
orbicie, która jest okręgiem,
który jest dowolnym
centralnym przekrojem tej
kuli. Zmiana orientacji
orbity wymaga zmiany
orientacji momentu pędu, czyli działania czynnika
zewnętrznego
.
Siły działające na elektron poruszający
się po orbicie kołowej o promieniu a
0
z prędkością liniową v i o pędzie p
• Warunek równowagi:
(
)
2
2
2
2
2
el
odsr
0
e
0
0
e
F = F
e /a = p / m a
e /a = p /m .
⇒
→
•
Siła przyciągania elektrostatycznego:
•
Siła odśrodkowa:
2
2
el
0
F = e /a
2
odsr
e
0
F
= m v /a
Zależność a
0
od stałych
fundamentalnych
Cząstce o pędzie p przypisać można falę o
długości λ = 2π / p
ℏ
Zastąpimy w warunku równowagi pęd przez
0
/ a
ℏ
Otrzymamy równanie pozwalające określić a
0
.
Jego rozwiązanie:
( )
2
2
0
/
.
e
B
a
m e
a
=
≡
ℏ
Warunek kwantowania Sommerfelda
,
wtedy
0
= 2
a
λ
π
0
/
.
p
a
=
ℏ
2
2
2
2
2
0
e
0
0
e
e / a = p / m
e / a
/ (a m ).
→
=
ℏ
Związek promienia atomu Bohra
z energią wiązania elektronu
Oznaczymy energię wiązania elektronu w
atomie wodoru literą |
∆
|
2
0
B
e
.
8
a
∆ = −
πε
Można wyrazić promień atomu Bohra a
B
przez
energię wiązania:
B
v
a
.
2
=
∆
ℏ
Pary Coopera w nadprzewodniku
Leon Cooper – amerykański fizyk i laureat nagrody
Nobla, zaproponował model wyjaśniający własność
nadprzewodnictwa: elektrony przewodnictwa łączą
się w pary o przeciwnych momentach magnetycznych
– pary Coopera.
Rozmiar pary Coopera
w nadprzewodniku
Wykorzystamy związek otrzymany dla atomu
wodoru do opisu par Coopera w nadprzewod-
niku. |
∆
| tym razem jest energią wiązania dwóch
elektronów w parę. W grę wchodzą elektrony
o przeciwnie skierowanych momentach
magnetycznych poruszające się z prędkością
Fermiego v
F
.
( )
F
v / 2
.
ξ =
∆
ℏ
Rozmiar pary Coopera
ξ
(długość korelacji)
Wniosek
Średnia odległość pomiędzy sąsiednimi
atomami kryształu jest rzędu średnicy atomu
Bohra czyli 2a
B
:
W rzeczywistości typowa stała sieci jest rzędu
5 Å.
27
27
2
2
8
20
27
10
10
erg
s
2
2
10 cm
1Å
0.1 nm
25 10 10
B
a
a
g
−
−
−
−
−
×
×
≈
≈
≈
=
=
×
erg = 10
-7
J.
Wielkości charakteryzujące
kryształy metali
2
19
1
F
F
e
p / 2m
10
J
1.36 10
eV
−
ε =
≈
≈
×
8
F
F
e
v = p /m
2.4 10 cm/s
≈
×
• Pęd Fermiego
• Prędkość Fermiego
• Energia Fermiego
• Temperatura Fermiego
K
10
/
4
≈
≈
B
F
F
k
T
ε
18
F
B
p
/ 2a
2 10
gcm / s
−
=
≈ ×
ℏ
Metale: indywidualna
charakterystyka - promień r
s
N elektronów zajmuje obszar Ω
V
o objętości V.
Na jeden elektron przypada średnio objętość v
0
Przyjęliśmy, że każdy elektron metalu otacza
kula o promieniu r
s
i objętości v
0
Energia, pęd, prędkość Fermiego i promień r
s
pozwalają całkiem dobrze opisać najważniejsze
własności metali.
(
)
3
0
v
/
4 / 3
s
V N
r
π
=
≡
2
2
3
/
,
/
,
=
∝
c
B
m
B
B
U
e a U
a
µ
2
2
2
/
B
B
e
e
e
e
e
ea
m c
e m
c
µ
α
≈
=
=
ℏ
ℏ
ℏ
27
10
J / gauss .
2
B
e
e
m c
µ
−
=
≈
ℏ
Porównanie oddziaływania momentów
magnetycznych cząstek kryształu
i oddziaływania Culomba
Obserwacja:
Rola oddziaływań magnetycznych
w kryształach niemagnetycznych
2
2
2
2
2
1
137
c
C
c
B
B
B
e
U
U
U
U
m
a
ea
ea
µ
µ
α
=
=
=
≈
(
)
2
2
/
1/137
m
c
U
U
α
=
≈
Wniosek: w kryształach
niemagnetycznych
oddziaływania magnetyczne są
znacznie słabsze od kulombowskich.
Konkluzje
W stałych fundamentalnych
służących do kwantowego opisu
zjawisk związanych z oddziaływa-
niami elektromagnetycznymi
zakodowana jest cenna informacja
o własnościach metali.
Konkluzje
Chociaż własności materii
skondensowanej są zjawiskami
nierelatywistycznymi stała c –
prędkość światła – gra
w podanym ich opisie istotną rolę.
Oczywiście bardzo wielu
własności materii
skondensowanej nie można
opisać w tak prosty sposób –
np. drgań sieci krystalicznej.