Ć

wiczenie III 18

Wyznaczanie momentów bezwładności brył metodą stolika balansowego

1)

Cel ćwiczenia

Wyznaczenie momentu kierującego sprężyny spiralnej i wyznaczenie momentów bezwładności brył.

2)

Wprowadzenie

Momentem bezwładności I nazywamy skalarną wielkość fizyczną, która jest miarą bezwładności
bryły w ruchu obrotowym wokół wyróżnionej osi obrotu. Dla ciała sztywnego składającego się z n
połączonych razem punktów materialnych moment bezwładności I zapisujemy wzorem:

2

1`

n

i i

i

I

m r

=

=

∑

gdzie m

i

oznacza masę i-tego punktu, r

i

odległość i-tego punktu od osi obrotu, względem której

obliczamy moment bezwładności I. Dla ciągłego rozkładu masy bryły sztywnej o gęstości ρ sumowanie
zastępujemy całkowaniem po całej objętości bryły:

2

2

m

V

m

I

r dm

r dV

V

ρ

ρ

=

=

=

∫

∫

gdzie m oznacza masę bryły, V-objętość, r- odległość elementu objętości dV od osi obrotu.
Najczęściej obliczamy momenty bezwładności względem 3 wzajemnie prostopadłych osi obrotu
przechodzących przez środek masy bryły. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności (obrotu),
a obliczone względem nich momenty bezwładności-głównymi momentami bezwładności. Momenty
bezwładności wyznaczone względem 2 osi głównych przyjmują wartości ekstremalne: maksymalną i
minimalną. Jeżeli znamy moment bezwładności względem jednej z osi przechodzącej przez środek
masy bryły I

0

to moment bezwładności względem nowej osi I równoległej do pierwotnej można zapisać

wzorem:

2

0

I

I

mb

= +

gdzie m- oznacza masę bryły, b- odległość pomiędzy osiami obrotu. Powyższe równanie nosi nazwę
twierdzenia Steinera o osiach równoległych.
Doświadczalnie można wyznaczyć momenty bezwładności wykorzystując właściwości ruchu
harmonicznego, dotyczy to szczególnie drgań skrętnych ( torsyjnych).
Skręcenie sprężyny spiralnej o kąt φ spowoduje powstanie w jej wnętrzu sił sprężystości, których
moment M, jest skierowany przeciwnie do momentu sił skręcających i zgodnie z prawem Hooke`a

M

D

ϕ

= − ⋅

jest proporcjonalny do kąta skręcenia sprężyny gdzie:
D-oznacza moment kierujący sprężyny,

ϕ

- oznacza kąt skręcenia wyrażony w mierze łukowej kąta.

Moment siły M powoduje drgania harmoniczne sprężyny starając się przywrócić ją do stanu
równowagi. Z drugiej strony zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego ciała sztywnego:

d L

M

dt

=

gdzie L oznacza moment pędu wyrażony wzorem:

L

I

d

dt

ω

φ

ω

= ⋅

=

ω

- prędkość kątowa w ruchu obrotowym dookoła ustalonej osi obrotu. W ćwiczeniu kierunek wektora

ω

pokrywa się z kierunkiem głównej osi bezwładności. Moment siły M można zapisać w postaci

skalarnej:

2

2

d

d

M

I

I

D

dt

dt

ω

φ

φ

=

=

= −

po przekształceniu powyższego równania otrzymujemy równanie ruchu:

2

2

2

2

2

0

0

0

2

0

2

0

d

D

dt

I

d

D

dt

I

T

φ

φ

φ

π

ω φ

ω

ω

+

=

+

=

=

=

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja periodyczna typu sinus lub cosinus:

( )

(

)

0

sin

A

o

t

t

φ

φ

ω

α

=

+

gdzie φ(t) oznacza kątowe wychylenie z położenia równowagi po czasie t, φ

o

-amplituda czyli

maksymalne wychylenie, ω

o

–częstość kątowa drgań, T- okres drgań, α

o

-faza początkowa drgań. Kąt φ

wyrażamy w radianach. Okres T drgań torsyjnych wyrażamy wzorem:

2

I

T

D

π

=

Z wyznaczonego uprzednio doświadczalnie momentu kierującego D sprężyny skrętnej obliczamy
moment bezwładności bryły umieszczonej na osi sprężyny ze wzoru:

2

2

4

T

I

D

π

=

3)

Opis stanowiska laboratoryjnego

Stanowisko laboratoryjne pokazano na rysunku 1. Zawiera ono: stolik balansowy, bryły do pomiarów
momentów bezwładności, bramki świetlnej z licznikiem i zasilaczem, dynamometr , przymiar liniowy,
suwmiarka, waga laboratoryjna lub kuchenna z uchybem ∆m= 1g lub lepszym.

Rysunek 1. Zestaw do pomiarów momentów bezwładności.

4)

Program ćwiczenia:

1.

Umieścić stalowy pręt wraz z dwoma jednakowymi ciężarkami w otworze osi obrotu stolika
balansowego. Przymocować ciężarki w jednakowych odległościach od osi obrotu. Zanotować
odległość r końca ciężarka od osi obrotu. Ustalić niepewność pomiarową ∆r. Postawić stolik
balansowy na środku planszy, na której zaznaczono podziałkę kątową (linie wzajemnie
prostopadłe i przecinające się pod kątem π/4). Pręt ustawić wzdłuż linii wyznaczającej 0 skali
kątowej.

2.

Sprawdzić zerowe położenie dynamometru. Zwrócić uwagę na to, że dynamometr będzie
mierzył siły w pozycji poziomej. W razie konieczności wyregulować zerową pozycję
dynamometru. Założyć końcówkę dynamometru na jedno z ramion pręta tak aby dotykał końca
ciężarka.

3.

Trzymając dynamometr prostopadle do pręta skręcić sprężynę o kąt π/4 tak, aby położenie pręta
pokrywało się z linią oznaczoną na skali kątowej. Zanotować wskazania dynamometru F

i

.

4.

Skręcić sprężynę o kolejny kąt π/4 i zanotować wskazania dynamometru. Powyższą czynność
powtórzyć dla przynajmniej 8 kolejnych kątów. Wyniki zapisać w tabeli 1.

5.

Wyliczyć dla każdego wychylenia sprężyny moment siły M = F

.•

r.

6.

Wyznaczyć i zapisać niepewności pomiarowe ∆r , ∆F

,

∆

α

. Obliczyć niepewność pomiarową

momentu siły ∆M ze wzoru:

F

r

M

M

F

r

∆

∆





∆ =

+









Tabela I.

∆

r = ∆F =

∆

α

=

l.p. r [cm] r [m] α [rad] F[N] M=F*r [Nm]

∆

M [Nm]

7.

Wyznaczyć i zapisać masy m

i

brył dla których będą wyznaczane momenty bezwładności.

Zanotować niepewność pomiarową wagi.

8.

Zmierzyć przy pomocy suwmiarki rozmiary geometryczne brył potrzebne do wyznaczenia

momentów bezwładności.
9.

Umieścić i umocować badaną bryłę na osi stolika balansowego. Do bryły przykleić kawałek
taśmy samoprzylepnej (jej szerokość nie powinna przekraczać 3 mm).

10.

Przybliżyć do bryły statyw z bramką świetlną i sprawdzić czy reaguje na przyklejoną taśmę.

11.

Funkcję bramki ustawić według poleceń prowadzącego zajęcia tzn. tak, aby zliczała czas
pojedynczych okresów drgań torsyjnych lub ilość przejść przez bramkę.

12.

Skręcić sprężynę od położenia równowagi i puścić .

13.

Jeżeli wybrano wariant ze zliczaniem ilości przejść przez bramkę to za pomocą stopera
zmierzyć czas dla n=20 okresów drgań t. Do wyznaczenia okresu T potrzeba 2 przejść przez
bramkę. Wyznaczyć czas pojedynczego okresu i jego niepewność pomiarową ∆T= ∆t/n .

14.

Jeżeli wybrano wariant ze zliczaniem pojedynczego okresu drgań powtórzyć pomiary
wielokrotnie n≥10.Obliczyć średnią arytmetyczną badanego okresu i jej odchylenie
standardowe

σ

ze wzoru:

(

)

(

)

2

1

1

1

n

i

i

n

i

i

x

x

n n

x

x

n

σ

=

=

−

=

−

=

∑

∑

gdzie: x-wielkość mierzona bezpośrednio, x

i

- wynik i-tego pomiaru,

n- ilość pomiarów,

x

-średnia

arytmetyczna. Porównać niepewności pomiarowe systematyczne i przypadkowe. Ustalić, które
dominują.

15. Powtórzyć czynności od punktu 9 dla kolejnych brył.

5)

Sprawozdanie

1.

Korzystając z programu regresja liniowa lub z arkusza kalkulacyjnego Excel sprawdzić liniowość
wykresu M = f(α ) oraz zapisać wyliczone przez program współczynniki regresji a, b, Sa, Sb, r.

2.

Na papierze milimetrowym wykonać wykres M=Fr = f(α ), zaznaczyć na wykresie prostokąty
niepewności pomiarowych i poprzez maksymalna ilość prostokątów poprowadzić prostą . Z wykresu
wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej. Podać sens fizyczny otrzymanego współczynnika.

3.

Wykorzystując wzór na okres wahadła skrętnego i wyznaczony z wykresu moment kierujący D obliczyć
momenty bezwładności I badanych brył.

4.

Znaleźć w literaturze i zapisać teoretyczne wzory na momenty bezwładności brył względem osi obrotu
wykorzystanej w ćwiczeniu. Porównać z momentami wyznaczonymi doświadczalnie.

100%

teoria

doswiadczenie

teoria

I

I

I

I

I

−

∆ =

∗

5.

Przeprowadzić dyskusję otrzymanych wyników i niepewności pomiarowych.

6)

Pytania kontrolne

1.

Drgania harmoniczne proste i tłumione

2.

Wykresy wychylenia, prędkości i przyspieszenia w ruchu harmonicznym

3.

Podaj przykłady układów spełniających warunek ruchu harmonicznego

4.

Definicja bryły sztywnej i momentu bezwładności

5.

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego zasada zachowania momentu pędu

6.

Twierdzenie Steinera

opracowali TP i AT