Szczecin, 21-06-2010

Egzamin z matematyki

rok I, semestr II

Teoria

Zadanie I.

Podać definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów. Obliczyć pole trójkąta o

2 pkt.

wierzchołach A(1, 2, 1), B(2, 3, −3), C(−3, 4, 5) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka

C.

Zadanie II.

Podać definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji

2 pkt.

wykazać, że funkcja

z = x

4

+ y

2

Posiada w punkcie (0, 0) minimum.

Zadanie III.

Podać definicję jakobianu przekształcenia T :



x = φ(u, v)

y = ψ(u, v)

. Korzystając z definicji

2 pkt.

obliczyć jakobian przekształcenia

T :

 x =

u
v

y = uv

2

Zadanie IV.

Podać definicję układu fundamentalnego równania liniowego jednorodnego rzędu

2 pkt.

n. Korzystając z tej definicji zbadać czy funkcje y

1

= e

x

, y

2

= e

2

x, y

3

= sin x tworzą układ

fundamentalny równania

y

000

+ 2y

0

− 3y = 0

Zadanie V.

Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać

2 pkt.

zbieżność szeregu liczbowego

∞

X

n=1

1

n

2

+ 2n + 6

Zadania

Zadanie 1.

Obliczyć długość łuku krzywej

3 pkt.

y = ln

e

x

− e

−x

e

x

+ e

−x

,

1 ≤ x ≤ 2.

Zadanie 2.

Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, −2, 1) i równoległej do

1 pkt.

płaszczyzn π

1

: x − 2y + 3z − 1 = 0, π

2

: −x + 3y − z + 5 = 0.

Zadanie 3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

2 pkt.

z = 2x

3

− xy

2

+ 5x

2

+ y

2

+

3

2

x.

Zadanie 4.

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

3 pkt.

z = 2x

2

+ 2y

2

,

z =

p

x

2

+ y

2

.

Zadanie 5.

Rozwiązać równania różniczkowe

6 pkt.

a. y

0

cos x − y sin x = y

4

sin x

b. (1 + 3x

2

sin y)dx − xctgydy = 0

c. y

000

+ y

00

= sin 2x.

Zadanie 6.

Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-

3 pkt.

wnątrz tego przedziału

∞

X

n=0

(n + 2)x

n+3

3

n

.

Zadanie 7.

Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję

2 pkt.

f (x) = 2 −

x

π

,

0 < x < π.

1.

R x

α

dx =

x

α+1

α+1

,

α 6= −1

2.

R

1

x

dx = ln |x| + C

3.

R a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

4.

R e

x

dx = e

x

+ C

5.

R sin xdx = − cos x + C

6.

R cos xdx = sin x + C

7.

R

1

cos

2

x

dx = tgx + C

8.

R

1

sin

2

x

dx = −ctgx + C

9.

R

1

a

2

+x

2

dx =

1
a

arctg

x
a

+ C

10.

R

1

√

a

2

−x

2

dx = arcsin

x
a

+ C

11.

R

1

√

x

2

+k

dx = ln |x +

√

x

2

+ k| + C

12.

R sin

n

xdx = −

1

n

sin

n−1

x cos x+

n−1

n

R sin

n−2

xdx

13.

R cos

n

xdx =

1

n

cos

n−1

x sin x+

n−1

n

R cos

n−2

xdx